1. What's the content of this blog
Composition: Mathematics, my favourite lesson 90%. Mathematics Software 3%, My Life
and Experience 3%, and Others 4%..
-- Here we can share knowledge --
Friday, August 28, 2009
Kongruensi Polinomial dan Hensel Lemma
Posted by hendry_dext
Kita sudah mempelajari CRT (Chinese Remainder Theorem) untuk menyelesaikan
Kombinasi Kongruensi Linear. Lalu, bagaimana apabila kita menemui kasus yang
nonlinear.?? Perhatikan contoh soal di bawah.
1. habis dibagi 200. Tentukan bilangan bulat yang mungkin.
2. bersisa 1 jika dibagi 1331. Tentukan bilangan bulat yang mungkin.
3. Budi mempunyai sejumlah koin. bersisa 67 jika dibagi 3500.
Tentukanlah jumlah koin minimum yang dimiliki Budi.
dan masih ada contoh soal lainnya..
==================================================================
==
Sedikit mengulang. Jika kita ingin memecahkan kongruensi linear. Kita dapat menggunakan
persamaan linear diophantine. Contohnya, seperti di bawah:
bersisa 4 jika dibagi 15. Tentukan bilangan bulat yang mungkin.
Jawab:
Kita dapat menotasikan soal di atas menjadi:
Diolah sedikit:
Sekarang, masalahnya seperti persamaan linear diophantine, yaitu menemukan nilai dari
persamaan .

2. 15 = 2 x 7 +1
7 = 1 x 7 + 0.
Identitas Bezout-nya adalah:
1 = 1 x 15 + 2x 7.
Kalikan dengan 13, maka hasilnya:
13 = 13 x 15 + 26 x 7.
Pindah ruas:
26 x 7 = -13 x 15 + 13.
Jadi:
Pada post ini, kita akan sering menjumpai istilah "invers modulo". Untuk mendapatkan invers
modulo dari , kita cukup mengetahui identitas Bezout-nya, yaitu
1 = 1 x 15 + 2x 7
Dapat kita katakan bahwa "2 adalah invers dari 7 modulo 15".
Kita juga dapat mengatakan bahwa "7 adalah invers dari 2 modulo 15".
Perhatikan juga bahwa invers modulo adalah operasi yang lazim dalam pemindahan ruas.
Untuk menyelesaikan kongruensi nonlinear, kita dapat gunakan Hensel Lemma.
Hensel Lemma
Untuk suatu soal
dimana adalah fungsi polinomial dengan koefisien integer.
_______ adalah bilangan prima.
_______ dan integer
Anggap bahwa adalah solusi dari
Maka:
(i) Jika , maka akan ada solusi unik integer dimana yang
memenuhi .
Nilai dapat dicari dengan cara berikut:
dimana adalah invers dari modulo .
(ii) Jika DAN ,maka
untuk semua integer .
(iii) Jika DAN ,maka
tidak memiliki solusi untuk
Note: Lemma ini dapat dibuktikan dengan ekspansi Taylor. Bukti belum dapat disertakan di
post ini.
Untuk memahami cara menyelesaikan kongruensi polinomial, perhatikan semua contoh soal
yang ada di bawah:
Contoh Soal 1:
habis dibagi 97. Tentukan bilangan bulat yang memenuhi.

3. Jawab:
Soal di atas dapat ditulis ulang menjadi:
Perhatikan bahwa 97 adalah bilangan prima. Hensel Lemma hanya dapat digunakan jika kita
ingin mencari dimana . Jadi, di soal ini kita tidak bisa
menggunakan Hensel Lemma, karena pangkat primanya 1.
Salah satu cara yang dapat dilakukan untuk soal ini adalah dengan coba-coba.
Masukkan , lalu periksa satu semi satu apakah habis dibagi
97. Namun, cara ini sungguh membuat frustasi...
Ada cara alternatif.
dapat dibentuk menjadi
Jadi, . Karena 97 adalah bilangan prima, maka .
Contoh Soal 2:
Tentukan solusi kongruensi .
Jawab:
Gunakan cara coba-coba. Masukkan . Karena 1 memenuhi dan yang lainnya
tidak, maka solusinya adalah .
Contoh Soal 3:
Tentukan solusi kongruensi
Jawab Cara Biasa (Tanpa Hensel Lemma)
Perhatikan contoh soal 2. Kita sudah menemukan solusi untuk
yaitu .
Dapat juga ditulis sebagai
dimana semua bilangan bulat..
Anggap
adalah (i)
adalah (ii)
Secara logika, kita tahu bahwa solusi pada (ii) dimiliki oleh (i). Ini juga dapat diketahui
karena . Jadi, kita dapat menerapkan sifat (i) pada (ii).
Substitusikan ke (ii):
Berapapun nilai , dan selalu habis dibagi 25. Oleh karenanya dapat kita tiadakan.

4. Kita menemui kasus linear..
Bagi kedua ruas dengan 5. (Lihat INI pada pembagian kedua ruas)
13 dapat disederhanakan dengan modulo 5.
Maka kita dapatkan solusi untuk , yaitu:
=
Jawab dengan Hensel Lemma
.
Solusi untuk adalah .
.
.
Karena bukan 0, kita menemui kasus (i) dari Hensel Lemma.
karena yang berarti 2 adalah invers dari 3 modulo 5.
Jadi, solusinya adalah
.
Contoh Soal 4:
habis dibagi 200. Tentukan bilangan bulat yang mungkin.
Jawab:
Karena , maka kongruensi di atas dapat dipecah menjadi 2, yaitu:
... (i)
DAN
... (ii)
Solusi untuk (i) dapat diperoleh dengan coba-coba, mulai dari . Kita
dapatkan
Solusi untuk (ii) sudah didapat dari contoh soal 3, yaitu .
Selanjutnya, kita dapat menggunakan CRT (Chinese Remainder Theorem) untuk menemukan
solusi dari keduanya.
(i) , maka ...(i)
(ii) , maka ... (ii)

5. Kita cari identitas Bezoutnya dengan algoritma Euclid.
25 = 8x3+1.
Identitas Bezout: 1 = 25 +(8)(-3)
Berarti (-3) adalah invers dari 8 modulo 25.
Substitusikan nilai k ke nilai awal .
.
Contoh Soal 5:
Tentukan solusi kongruensi
Jawab dengan Hensel Lemma:
Sebelumnya cari dulu solusi untuk .
Dengan cara coba-coba, kita dapatkan solusi:
*) Untuk
.
merupakan kasus (i) dari Hensel Lemma.
, karena 4 adalah invers dari 3 modulo 11. Atau bisa ditulis 3x4 = 1 mod
11.
Maka, solusinya adalah
*) Untuk
.
merupakan kasus (i) dari Hensel Lemma.
, karena 1 adalah invers dari 1 modulo 11. Atau bisa ditulis 1x1 = 1 mod
11.
.
Maka, solusinya adalah
*) Untuk
merupakan kasus (i) dari Hensel Lemma.
, karena 6 adalah invers dari 2 modulo 11. Atau bisa ditulis 2x6 = 1 mod

6. 11.
Maka, solusinya adalah .
Jadi, solusi gabungan dari ketiganya:
Contoh Soal 6:
Tentukan solusi kongruensi
Jawab:
Sebelumnya, kita cari dulu solusi untuk
Dengan coba-coba, kita dapatkan .
Kemudian, kita cari solusi untuk
Kita gunakan solusi sebelumnya, yaitu 1.
.
merupakan kasus (ii) dari Hensel Lemma.
Maka, solusinya
Kemudian, kita cari solusi untuk
*) Untuk
merupakan kasus (iii) dari Hensel Lemma.
Maka, tidak mempunyai solusi.
*) Untuk
merupakan kasus (ii) dari Hensel Lemma.
Maka, solusinya
*) Untuk
merupakan kasus (iii) dari Hensel Lemma.
Maka, tidak mempunyai solusi.
Jadi, gabungan solusi kongruensi untuk adalah
Contoh Soal 7:
Tentukan solusi untuk

7. Jawab:
Sebelumnya, kita cari dulu solusi untuk
Dengan cara coba-coba, kita dapatkan
Kemudian, kita cari solusi untuk
merupakan kasus (i) dari Hensel Lemma.
, karena 2 adalah invers dari 4 modulo 7 Atau bisa ditulis 2x4 = 1 mod 7.
Maka, solusinya adalah
Kemudian, kita cari solusi untuk
merupakan kasus (i) dari Hensel Lemma.
.
Maka, solusinya adalah
Contoh Soal 8:
bersisa 1 jika dibagi 1331. Tentukan bilangan bulat yang mungkin.
Jawab:
Sebelumnya, kita cari solusi untuk .
Dengan coba-coba, kita dapatkan solusi .
Selanjutnya, kita cari solusi untuk .
*) Untuk
merupakan kasus (i) dari Hensel Lemma.
Maka, solusinya adalah
*) Untuk
merupakan kasus (iii) dari Hensel Lemma.
tidak memiliki solusi.
Jadi, solusi untuk adalah

8. Tahap akhir, kita cari solusi untuk .
merupakan kasus (i) dari Hensel Lemma.
Maka, solusinya adalah .
Contoh Soal 9:
Budi mempunyai sejumlah koin. bersisa 67 jika dibagi 3500.
Tentukanlah jumlah koin minimum yang dimiliki Budi.
Jawab:
Soal di atas dapat ditulis ulang menjadi:
Karena , maka kita bisa mereduksi masalah di atas menjadi 3 bagian, yaitu:
... (i)
DAN
... (ii)
DAN
... (iii)
Tinjau (i).
Dengan memasukkan , maka kita dapatkan solusi sbb:
... (a)
Tinjau (ii)
Sebelumnya, selesaikan dahulu kongruensi .
Dengan cara coba-coba, kita dapatkan solusi: .
Kemudian, selesaikan kongruensi .
*) Untuk
merupakan kasus (i) dari Hensel Lemma.
*) Untuk
merupakan kasus (i) dari Hensel Lemma.

9. *) Untuk
merupakan kasus (i) dari Hensel Lemma.
Maka, solusi gabungan ketiganya adalah
Kemudian, selesaikan kongruensi .
*) Untuk
merupakan kasus (i) dari Hensel Lemma.
*) Untuk
merupakan kasus (i) dari Hensel Lemma.
*) Untuk
merupakan kasus (i) dari Hensel Lemma.
Jadi, solusi kongruensi untuk adalah
... (b)
Tinjau (iii)
Dengan cara coba-coba, kita dapatkan solusi
... (c)
Maka, syarat-syarat di bawah ini harus dipenuhi agar solusi didapat.
... (a)
DAN
... (b)
DAN
... (c)

10. Perhatikan bahwa syarat (b) adalah syarat yang memiliki angka paling besar. Jadi, solusinya
pasti ada di antara 3, yaitu ATAU ATAU
Perhatikan juga bahwa yang diminta soal adalah yang minimum. Jadi, kita akan memulai
pengecekan mulai dari .
Cek:
memenuhi syarat (a) karena
juga memenuhi syarat (c) karena
Oleh karena tidak ada bilangan yang lebih kecil dari 69, dan 69 sudah mencukupi syarat yang
ada, maka
Jumlah koin minimum yang dimiliki Budi = x min = 69.