Este documento resume dos métodos para determinar si una ecuación diferencial es homogénea y de qué grado es: el método de inspección y el método de suma de exponentes. También explica cómo resolver ecuaciones diferenciales homogéneas mediante el uso de variables auxiliares y la integración.
2. Ecuaciones Diferenciales Homogéneas Son ecuaciones en las que se puede hacer un cambio de variable reduciéndolas para que resulte una ecuación de variable separada. Su forma Ordinaria es: M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
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5. Ejemplo Si tuviéramos la siguiente ecuación; F(x, y) = x - 3√(xy + 5y) * Lo primero es sustituir los términos con «x» y «y» por sus variables con «t» de la siguiente manera: F(tx, ty) = tx - 3√(tx ty + 5ty) * = toda la ecuación entre paréntesis está bajo la raíz cuadrada
6. Ahora vemos si hay términos que podamos resolver y factorizar. = tx - 3√(t^2 xy + 5ty) Factorizamos los dos términos «t» y los multiplicamos. Resolviendo la raíza quedaría; = tx – 3t √(xy + 5ty
7. Ahora volvemos a factorizar toda la ecuación: = t (x - 3√(xy + 5y)) Se puede notar que regresamos a la ecuación original, cuando esto ocurre se dice que nuestra ecuación es homogénea y el exponente en la letra «t» nos indicará de que grado es nuestra ecuación. x - 3√(xy + 5y) Ecuación homogénea de primer grado
8. Método de Suma de exponentes Este otro método es más sencillo pero requiere un poco más de visualización. Supongamos que tenemos la siguiente ecuación: F(x, y) = x2 + 2xy – (y3/x)
9. Vemos fácilmente que el primer término es de segundo grado. F(x, y) = x2 + 2xy – (y3/x) Para el segundo término vemos que es x por y, ambos de primer grado, al multiplicarlos los exponentes se suman dejando este término también en segundo grado . Finalmente el tercer término se ve que es una y a la tercera potencia mientras que abajo hay una x, no se pueden dividir como tal pero sus exponentes si se pueden restar dejando esta parte hipotéticamente en segundo grado.
10. Finalmente si sabemos que todos los términos son de segundo grado entonces nuestra ecuación es homogénea y por consiguiente también conocemos de que grado es: F(x, y) = x2 + 2xy – (y3/x) Ecuación homogénea de segundo grado
11. Resolución de Ecuaciones Homogéneas Ahora bien, lo anterior no es la resolución aún, es solo una forma de saber si la ecuación es homogénea y de que grado. Para resolverla podemos emplear un método en el que mezclemos la solución de las ecuaciones de variables separables; y = uxdy = udx + xdu x = uy dx = udy + ydu u = x +y dy = du - dx
12. Suponga que tiene la siguiente ecuación; 2x3ydx + (x4y4)dy = 0 Primero como en el ejemplo anterior verificamos si la ecuación es homogénea y de que grado es, la manera más fácil es por la suma de sus exponentes: 2x3ydx + (x4 y4)dy = 0 3+1=4 4
13. Resolviendo… La ecuación es homogénea de cuarto grado, podemos empezar. Lo primero es sustituir alguno de los términos, o «x» o «y», por las ecuaciones en «u», no es realmente importante cual de las dos sustituyamos en este momento; 2x3ydx + (x4 + y4)dy = 0 Sustituyendo las «x» en la ecuación nos quedaría: 2u3y3y(udx +ydu) + (u4y4 + y4)dy = 0
14. Vemos en la ecuación que hay muchos términos elevados a una potencia por lo que podemos resolverlos al multiplicarlos o dividirlos según nos convenga. 2u3y3y(udx +ydu) + (u4y4 + y4)dy = 0 2u3y4(udx +ydu) + y4(u4 + 1)dy = 0 En la primera parte multiplicamos los dos términos «y» mientras que en la segunda parte la factorizamos.
15. Ahora que tenemos la ecuación así podemos ver que hay un término en común en las dos partes de la ecuación; la «y4» por lo que podemos dividir toda la ecuación entre este mismo término eliminándolo y haciendo nuestra ecuación más sencilla: 2u3y4(udx +ydu) + y4(u4 + 1)dy = 0 ÷y4 2u3(udx +ydu) + (u4 + 1)dy = 0
16. Ahora creerás que ya no se puede hacer más pero no es así, viéndolo bien se puede ver que puedes multiplicar los diferenciales por cada término. 2u4dy + 2u3ydu + u4dy + dy = 0 Sumamos algebraicamente términos semejantes: 3u4dy + 2u3ydu + dy = 0
17. Factorizamos una última vez… 3u4dy + 2u3ydu + dy = 0 (3u4 + 1)dy +2u3ydu = 0 Y ahora colocamos los términos de «dy» de un lado y los términos de «u» en otro (la técnica de variables separables); (dy/y) + (2u3du/3u4+1)
18. A Integrar… ∫(dy/y) + ∫(2u3du/3u4+1) El primer término es simple de la manera du/u: ∫du/u = Ln |u| + C ∫dy/y = Ln |y| + C
19. El segundo término quedaría es más complejo, quedaría; (*) 2∫(u3du/3u4 + 1) Donde: m = 3u4 + 1 dm = 12u3du (*) = sacamos el 2 como una constante
20. Nos hace falta un doce para completar la ecuación y nos damos cuenta de que la integral nos queda también de la forma de du/u, entonces; 2/12 ∫dm/m Simplificamos la ecuación y la unimos con la otra integral quedando como resultado. Ln |y| + 1/6 Ln |3u4 + 1| = C
21. Resultado Ahora, este no es el resultado final, necesitamos convertir los término en «u», usamos para estos las ecuaciones claves (*); x = uy u = x/y Ln |y| + 1/6 Ln |3(x4/y4) + 1| = C (*) = hay que recordar al momento de sustituir «u» que hay que sustituirla de la ecuación que tomamos, es decir si sustituimos «x» al inicio tenemos que despejar la «u» de esta ecuación.
22. Centro de Enseñanza Técnica Industrial Ruíz Lozano Erik Ricardo 10310380 Aula 212 Ingeniería Mecatrónica Ecuaciones Diferenciales Profesor M.E. César Octavio Martínez Padilla
