圏とHaskellの型

圏とHaskellの型
Kinebuchi Tomohiko
2016-07-02
Kinebuchi Tomohiko 圏とHaskellの型

目次
想定聴者
下準備
スライドの表記について
圏論とは
プログラムの型とは
Haskellの型全体を圏として見る
Hask圏
tuple型
Either型
Functor
自然変換
参考文献
宣伝
数学茶屋

想定聴者
プログラムの型は分かるが圏論を知らない人
圏論は知っているがプログラムの型を知らない人
→ プログラムの型が圏論を通してどう見えるかを解説してい
きます.

話すこと
Haskellの型の仕組みと圏論の対応
Haskellの型システム圏論の概念
型対象
関数射
tuple 直積
either 直和
Functor 関手
(ある種の関数) 自然変換
Haskellの型システムが圏論に支えられている実例を見ていきま
す.

話さないこと
圏論一般の説明
前の発表を参照してください
プログラムの圏論的意味論
Haskellの文法
Haskellの良いプログラミング
この発表を聞いてもHaskellが書けるようになるわけではないで
す. 悪しからず.

下準備 - スライドの表記について
スライドのタイトルに目印を付け, どちら側の話なのかを表し
ます.
プログラミング側の話→ [プ]
圏論側の話→ [圏]

スライドとソースコードの入手先
https://github.com/TomohikoK/math-cafe-20160702
LaTeXファイルとHaskellソースコードを手に入れて嬉しい人向
けです. 何かあれば私のTwitterアカウント
(https://twitter.com/kinebuchitomo) に話し掛けるか,
GitHubのissueに書いてください.
.hsという拡張子のファイルは, ghciで:loadコマンドで読み込
めます.

[圏] 圏論とは
(あくまでこの発表での圏論の使い方ですが)
「対象」と対象どうしをつなぐ「射」やそれらの「性質」とい
う言葉で物事を記述する手法.
対象について語るとき, 他の対象との関係の性質という外部か
らの視点だけを使い, 「何からできているか?」という内部から
の視点を使わないという特徴がある.

[プ] プログラムの型とは
「型」とはプログラムに登場する値や式の種類のことで, その
役割は
プログラムの間違いの検出
整数が期待されているところに文字列が現れるなどの間違
いを事前に見付ける.
抽象化, インターフェースの定義
値や関数の重要な性質だけに着目する.
ソースコードを読みやすくする.
「ソースコード」とはプログラムを人間が読める形で記述
したもの.
プログラムの最適化
型の情報を使って, より高速なプログラムを生成する.
ref.『Types and Programming Languages』(Benjamin C. Pierce)

[プ][圏] Haskellの型がなす圏 (Hask圏)
対象: 型
射: 一変数関数
恒等射: id関数 (引数をそのまま返す関数)
射の合成: f . g (Haskellの意味での関数の合成)
関数fの変数の型がA, 返り値の型がBのとき, fをAからBへの
射とします.
(https://en.wikibooks.org/wiki/Haskell/Category theory)

[プ][圏] Haskellの型が圏をなすことの説明
恒等射についての条件:
任意の関数f, gに対して
f . id == fとid . g == gが成り立ちます.
射の合成についての条件:
任意の関数f, g, hに対して
(h . g) . f == h . (g . f)が成り立ちます.
→ Haskellの型が圏をなすことが分かりました.

[プ][圏] 例. Hask圏の対象
Integer: 整数の型
String: 文字列の型
Maybe String: 文字列の値がある状態もしくは値が無い状
態を表す型
[Integer]: 整数のリストの型

[プ][圏] 例. Hask圏の射
Haskellの世界のdoubleと数学の世界のdoubleの見た目はなんだ
か似ている.
Haskellの関数double
double :: Integer -> Integer -- 関数の型宣言
double x = 2 * x -- 関数の定義
数学の関数double
double : Z → Z
double(x) = 2x
double関数を射と見たときの始域はIntegerで終域もIntegerで
す. double関数の型宣言の情報のみを使っていて, 関数の定義
の情報は使っていないことに注意してください.

[プ][圏] ここまでの内容で質疑応答
「あのスライドをもう1回見せてほしい」
「あそこの解説を聞き逃した」
「あれってどういう意味?」

[プ] Haskellの直積型 (tuple型)
型a, bに対し, それらの直積と呼ばれるtuple型(a, b)が存在し,
tupleの基本的な関数としてfst, sndがあります.
-- | Extract the first component of a pair.
fst :: (a,b) -> a
fst (x,_) = x
-- | Extract the second component of a pair.
snd :: (a,b) -> b
snd (_,y) = y
(https://hackage.haskell.org/package/base-4.9.0.0/docs/
src/Data.Tuple.html#line-33)
→ これに対応する圏論の概念は何でしょう?

[圏] 積の復習
圏Cの対象X, Y の積 X × Y, p, q とは, 圏Cの対象X × Y ,
射p : X × Y → X, 射q : X × Y → Y の組で, 次の条件を満たす
ものです.
W
k
}}
∃1
h

l
!!
X X × Yp
oo
q
// Y
(条件) 任意の圏Cの対象Wと射k : W → X, l : W → Y に対し
て, 射h : W → X × Y が1つだけあって
p ◦ h = k
q ◦ h = l
となる.

[プ][圏] 直積型がHask圏の積であること
直積型がHask圏の積になるためには次の条件を満たす必要があ
ります.
(条件) a, b, cを任意の型とし, k :: c - a, l :: c - bを任意
の関数としたとき, 関数h :: c - (a, b)があって
fst . h == k
snd . h == l
とできる.
c
k
}}
∃1
h

l
!!
a (a, b)
fst
oo
snd
// b
→ h x = (k x, l x)と実装すれば条件を満たします.

[プ] hの例
作為的な例ですが.
k :: (Integer, String, String) - Integer
k (x, _, _) = x
l :: (Integer, String, String) - String
l (_, y, _) = y
h :: (Integer, String, String) - (Integer, String)
h x = (k x, l x)

[プ] Haskellの直和型 (Either型)
型a, bに対し, それらの直和と呼ばれるEither型Either a bが存
在し, EitherのコンストラクタとしてLeft, Rightがあります.
data Either a b = Left a | Right b
deriving (Eq, Ord, Read, Show)
src/Data.Either.html#Either)
→ これに対応する圏論の概念は何でしょう?

[圏] 余積の復習
圏Cの対象X, Y の余積 X Y, i, j とは, 圏Cの対象X Y ,
射i : X → X Y , 射j : Y → Y Y の組で, 次の条件を満たす
ものです.
W
X
k
==
i
// X Y
∃1
h
OO
Y
j
oo
l
aa
(条件) 任意の圏Cの対象Wと射k : X → W, l : Y → Wに対し
て, 射h : X Y → Wが1つだけあって
h ◦ i = k
h ◦ j = l
となる.

[プ][圏] 直和型がHask圏の余積であること
直和型がHask圏の余積になるためには次の条件を満たす必要が
あります.
(条件) a, b, cを任意の型とし, k :: a - c, l :: b - cを任意
の関数としたとき, 関数h :: Either a b - cがあって
h . Left == k
h . Right == l
とできる.
c
a
k
;;
Left
// Either a b
∃1
h
OO
b
Right
oo
l
cc

[プ] hの例
k :: Integer - Integer
k x = 2 * x
l :: Integer - Integer
l x = 3 * x
h :: Either Integer Integer - Integer
h (Left x) = 2 * x
h (Right x) = 3 * x
Haskellのパターンマッチでhを定義しているので, 条件を満たす
ことが分かりやすくなっています.

[プ] HaskellのFunctor
定義は以下の通りです.
class Functor f where
fmap :: (a - b) - f a - f b
src/GHC.Base.html#Functor)
ある具体的なFunctorをfとして, fの射関数fmapの型を宣言して
います.
（「射関数」= 関手Fが写す対象と射のうち射の方だけを考え
たもの. 射fを射Ffに写す関数のこと.）

[圏] 関手の復習
圏Cから圏Dへの関手F : C → Dとは, 対応の
組F : Ob(C) → Ob(D), F : HomC(X, Y ) → HomD(FX, FY )であっ
て,
F1X = 1FX
F(g ◦ f) = Fg ◦ Ff
を満たすもの.

[プ] HaskellのFunctor則 (Functor law)
Functor則とはFunctorが満たすべき条件. これに反する実装自
体はできるものの, そうするメリットはあまり無いです.
fmap id == id
fmap (f . g) == fmap f . fmap g
Data-Functor.html#t:Functor)
このFunctor則の2つの条件が, 関手が満たすべき2つの条件に対
応しています.
→ HaskellのFunctorと圏論での関手に対応

[プ] Functorの例: Maybe
Maybeとは, ある型の値がある状態と値がない空の状態をいっ
ぺんに表せる型です. 定義は以下の通りです.
data Maybe a = Nothing | Just a
deriving (Eq, Ord)
src/GHC.Base.html#Maybe)
Nothingが「値が無いこと」に対応し,
Just aが「aという型の値があること」に対応しています.

[プ] MaybeがFunctor則を満たすこと (1/2)
MaybeのFunctorとしての定義は以下の通りです.
instance Functor Maybe where
fmap _ Nothing = Nothing
fmap f (Just a) = Just (f a)
src/GHC.Base.html#line-652)
Maybe aについてNothingの場合とJust aの場合のそれぞれで
Functor則を満たすことを確認すれば良いです.

[プ] MaybeがFunctor則を満たすこと (2/2)
fmap id Nothing == Nothing
fmap id (Just a) == Just (id a) == Just a
fmap (g . f) Nothing == Nothing
((fmap g) . (fmap f)) Nothing
== fmap g (fmap f Nothing)
== fmap g Nothing
== Nothing
fmap (g . f) (Just a) == Just ((g . f) a)
== Just (g (f a))
((fmap g) . (fmap f)) (Just a)
== fmap g (fmap f (Just a))
== fmap g (Just (f a))
== Just (g (f a))

[プ][圏] Maybeで関数を写してみよう
例: 整数の値を取って, その文字列表現を返す関数int2str.
int2str :: Integer - String
int2str i = show i
この関数をMaybeで写すと,
fmap int2str :: Maybe Integer - Maybe String
という関数になります.
Hask圏 Hask圏
Integer
int2str// String
Maybe
+3 Maybe Integer
fmap int2str
// Maybe String

[プ] ghciで動かしてみる
$ ghci
Prelude :load int2str.hs
Prelude :t int2str
Prelude :t fmap int2str
fmap int2str :: Functor f = f Integer - f String
Prelude int2str 1
1
Prelude fmap int2str (Just 3)
Just 3
Prelude fmap int2str Nothing
Nothing

[プ] Functorの例: List
Listとは, ある型の値を0個以上並べたものの型です. 定義は以
下の通りです
data [] a = [] | a : [a]
(https://hackage.haskell.org/package/ghc-prim-0.4.0.0/
candidate/docs/src/GHC-Types.html#line-33)
右辺の[]が空のリストを表し,
a : [a]がリストの前に要素を1つ追加したものを表します.
リストの定義では再帰的な定義が使われています.

[プ] ListがFunctor則を満たすこと (1/3)
ListのFunctorとしての定義は以下の通りです.
-- The list type
instance Functor [] where
fmap = map

FunctorとしてのListの定義に出てきた map関数の定義は以下の
通りです.
map :: (a - b) - [a] - [b]
map _ [] = []
map f (x:xs) = f x : map f xs
Listについて[]の場合とa : [a]の場合のそれぞれで Functor則
を満たすことを確認すれば良いです.

fmap id [] == []
fmap id (x:xs) == id x : map id xs == x : map id xs
fmap (g . f) [] == []
((fmap g) . (fmap f)) []
== fmap g (fmap f [])
== fmap g [] == []
fmap (g . f) (x:xs) == (g . f) x : map (g . f) xs
== g (f x) : map (g . f) xs
((fmap g) . (fmap f)) (x:xs)
== fmap g (fmap f (x:xs))
== fmap g (f x : map f xs)
== g (f x) : (map g) ((map f) xs)
== g (f x) : ((map g) . (map f) xs)
== g (f x) : map (g . f) xs

[プ][圏] Listで関数を写してみよう
例: 整数の値を取って, その文字列表現を返す関数int2str.
int2str i = show i
この関数をListで写すと,
fmap int2str :: [Integer] - [String]
という関数になります.
Hask圏 Hask圏
Integer
int2str// String
List +3 [Integer]
fmap int2str
// [String]

[プ] ghciで動かしてみる
$ ghci
Prelude :load int2str.hs
Prelude :t int2str
Prelude :t fmap int2str
fmap int2str :: Functor f = f Integer - f String
Prelude int2str 1
1
Prelude fmap int2str [1, 2, 3]
[1,2,3]
Prelude fmap int2str []
[]

[圏] 自然変換の復習
圏C, Dと関手F, G : C → Dがあったとき, 自然変換α : F → Gと
は射の集まりαX : FX → GX (X ∈ Ob(C))であって,
∀f : X → Y に対しαY ◦ Ff = Gf ◦ αXを満たすもの
X
f // Y FX
Ff //
αX

FY
αY

GX
Gf // GY
→ さてHask圏で自然変換になるものは何があるでしょう?

[プ] 例. リストの先頭の要素を取り出す関数
リストの1つ目の要素を取り出す関数takeFirstを次のように定
義します. リストが空だった場合はNothingを返しておきます.
takeFirst :: [a] - Maybe a
takeFirst [] = Nothing
takeFirst (x:xs) = Just x
プログラミングに出てくる自然変換では, 型変数aが何かには
依存しない場合が多いです. (むしろ依存されると気持ち悪いで
す.)

[プ] takeFirstは自然変換
takeFirstは自然変換なので,
整数のリストからそれぞれの要素の文字列表現のリストを
作り, その先頭の要素を取り出す処理 (→↓のルート)
整数のリストの先頭の要素を取り出して, 整数をその文字
列表現に変換する処理 (↓→のルート)
が同じ結果になります.
[Integer]
fmap int2str
//
takeFirst

[String]
takeFirst

Maybe Integer
fmap int2str
// Maybe String

[プ] 具体的な値でtakeFirstの動きを見ましょう
[1, 2, 3] fmap int2str
//
_
takeFirst

[1,2,3]_
takeFirst

Just 1 fmap int2str
// Just 1
[] fmap int2str
//
_
takeFirst

[]_
takeFirst

Nothing fmap int2str
// Nothing

参考文献
『すごいHaskellたのしく学ぼう!』(Miran Lipovaca・著／
田中英行・村主崇行・共訳)
WikiBooks「Haskell/Category theory」 https:
//en.wikibooks.org/wiki/Haskell/Category theory
Hackage https://hackage.haskell.org/
『圏論の基礎』(S.マックレーン著, 三好博之／高木理訳)
『Types and Programming Languages』(Benjamin C. Pierce)
『型システム入門』(住井英二郎監訳, 遠藤侑介・酒井政裕
・今井敬吾・黒木裕介・今井宜洋・才川隆文・今井健男共
訳)

数学茶屋
「フリートーク中心の数学好きの集まり」
和コンセプト
時期は9月
場所は渋谷近辺
人数は20人くらい
Facebook → https://www.facebook.com/MathTeaHouse

[プ][圏] おしまい
Haskellの型と圏論の概念の対応 (再掲)
Haskellの型システム圏論の概念
型対象
関数射
tuple型直積
Either型直和
Functor 関手
Listのtakeなど自然変換

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