Solución de una ecuación diferencial 
En una función desconocida y la variable 
independiente X definida en un intervalo y...
1°-Ejemplo: 
Y= sen2x + cos2x Y¹¹ + 4y =0 
Y¹= 2cos2x – 4cos (2x) 
Y¹¹= – 4sen2x – 4 cos (2x) 
Comprobación: 
– 4sen2x – 4...
2° ejemplo: 
Y= 5sen2x + 3cos2x Y¹¹+4y= 0 
5 (cos) (2x) + 3 (sen) 2x) 
Y¹= – 6sen2x + 10cos2x 
Y¹¹= – 20sen2x – 12cos2x 
C...
3° ejemplo: 
Comprobar que: 
Y= X² – 1 es solución de (Y¹) +Y² = – 1 
Y¹ = 2x 
2x + (x² – 1 ) ²= 1
4° ejemplo: 
Y= 
1 
푥 
Y¹ + Y = 0 
Y¹= – 
1 
푋² 
Y¹¹= 
2 
푋³ 
– 
1 
푋² 
+ – ( 
1 
푋 
)² = 0 
– 
1 
푋² 
+ – 
1 
푋² 
= 0
5° ejemplo 
Y = 푒2푥 Y¹¹ + Y¹ – 6 Y = 0 
Y¹=2푒2푥 
Y¹¹= 4 푒2푥 
4 푒2푥 + 2 푒2푥 – 6 (푒2푥) = 0 
6 푒2푥 – 6 푒2푥 = 0
6° ejemplo 
Y= 푒−2푥 + 푒3푥 Y¹¹ + Y ¹ - 6Y = 0 
Y ¹ = - 2 푒−2푥 + 3 푒3푥 
Y¹¹ = - 4 푒−2푥 + 9푒3푥 
- 4 푒−2푥+ 9 푒3푥 - 2 푒−2푥+ 3푒3...
7° ejemplo 
Y= x² + 푒푥 + 푒−2푥 Y¹¹ + Y¹ - 6Y =0 
Y¹ = 2x² + 푒푥+ 푒−2푥 
Y¹¹ = 2 + 푒푥+ 4푒−2푥 
2+ 푒푥+ 4 푒−2푥+ 2x + 푒푥 - 2 푒−2푥-...
8°- ejemplo 
Y= C1 푒2푥+ C2 푒2푥 Y¹¹-4 Y¹+ 4Y =0 
Y¹= 2 C1 푒2푥+ 2C 2푥푒2푥+ C 2푒2푥 
Y¹¹= 4 C1 푒2푥 + 4C 2푥푒2푥 + 2C 2푒2푥 + 2 C2 ...
9° ejemplo: 
푑푦 
푑푥 
= 
푦 
푥 
푑푦 
푦 
∫ 
= ∫ 
푑푥 
푥 
lny= lnx + ln C1 
lny = lnC1x 
Aplicado antilogaritmos 
Y= C1x 
Compro...
Sustituyendo: 
푑푦 
푦 
= 
푑푥 
푥 
C1= 
퐶1푥 
푥 
C1= C1 
푑푦 
푑푥 
= 
푥 
푦 
∫y dy = ∫x dx 
[= 
푦² 
2 
= 
푥² 
2 
+ 
퐶¹ 
2 
]² 
y²...
Ecuaciones diferenciales exactas 
(x² + 2xy + x) dx + Y² dy =0 
X²dx + 2xy dx + x dx + Y² dyno se puede separar 
M= x² + 2...
2° ejemplo: 
(X² + Y² + X ) dx + xydy =0 
M (x,y) dx + N (x,y) dy =0 │ 
휕푀 
휕푦 
= 
휕푁 
휕푥 
M= X² + Y² + X * 
휕푀 
휕푦 
= 2Y ...
3° ejemplo: 
(5x + 4y) dx + (4x – 8y³) dy =0 
(5x + 4y) + (4x+8y) 
푑푥 
20푥³ 
− 
푑푦 
32푦5 
5x dx – 4y dx + 4x dy - 8y³ dy =...
4° ejemplo: 
a veces es posible encontrar un factor (que llamamos 
factor integrante) el cual al multiplicarse por la 
ecu...
Ahora utilizamos este resultado para obtener el 
factor integrante por medio de la siguiente 
expresión. 
M (x)= e∫푔 푥 푑푥 ...
A continuación simplemente aplicamos 
Integramos: 
(x³+ xy² + x² ) dx 
(x³+ xy² + x² )dx =∫ x³dx + y² ∫ x dx + ∫ x² dx 
푥4...
Solo nos falta encontrar el valor de g (y) para determinar 
el valor g (y) derivamos la función ƒ encontrada con 
respecto...
Si g¹ (y) = 0 entonces g(y) = C1 es una constante cualquiera 
Por lo tanto la función buscada es: 
ƒ = 
푥4 
4 
+ y² 
푥2 
2...
5° ejemplo
Integramos: 
Ƒ (3 + 
푦² 
푥² 
) dx 
∫(3 + 
푦² 
푥² 
)dx = 3∫dx + y² ∫ 
푑푥 
푥² 
= 3xy² ∫ x-² 
Ƒ= 3x+y² 
푥−¹ 
−1 
+ g (y) 
Ƒ= ...
Derivar función f 
휕푓 
휕푦 
= 
2푦 
푥 
+ g¹(y) 
g¹(y) =0 
sustitución: 
F= 3x 
−푦² 
푥 
+ C1 
Reduciendo 
3x 
−푦² 
푥 
= C 
Mu...
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  1. 1. Solución de una ecuación diferencial En una función desconocida y la variable independiente X definida en un intervalo y es una función que satisface la ecuación diferencial para todos los valores de X en el intervalo dado. Y¹¹= Y biprimaría
  2. 2. 1°-Ejemplo: Y= sen2x + cos2x Y¹¹ + 4y =0 Y¹= 2cos2x – 4cos (2x) Y¹¹= – 4sen2x – 4 cos (2x) Comprobación: – 4sen2x – 4cos2x + 4(sen2x + cos2x)=0 – 4sen2x – 4cos2x + 4sen2x + 4cos2x =0 esto es una solución general
  3. 3. 2° ejemplo: Y= 5sen2x + 3cos2x Y¹¹+4y= 0 5 (cos) (2x) + 3 (sen) 2x) Y¹= – 6sen2x + 10cos2x Y¹¹= – 20sen2x – 12cos2x Comprobación: –20sen2x – 12cos2x + 4 (5sen2x + 3cos2x) = 0 – 20sen2x – 12cos2x + 20sen2x + 12cos2x= 0 esto es una Solución particular
  4. 4. 3° ejemplo: Comprobar que: Y= X² – 1 es solución de (Y¹) +Y² = – 1 Y¹ = 2x 2x + (x² – 1 ) ²= 1
  5. 5. 4° ejemplo: Y= 1 푥 Y¹ + Y = 0 Y¹= – 1 푋² Y¹¹= 2 푋³ – 1 푋² + – ( 1 푋 )² = 0 – 1 푋² + – 1 푋² = 0
  6. 6. 5° ejemplo Y = 푒2푥 Y¹¹ + Y¹ – 6 Y = 0 Y¹=2푒2푥 Y¹¹= 4 푒2푥 4 푒2푥 + 2 푒2푥 – 6 (푒2푥) = 0 6 푒2푥 – 6 푒2푥 = 0
  7. 7. 6° ejemplo Y= 푒−2푥 + 푒3푥 Y¹¹ + Y ¹ - 6Y = 0 Y ¹ = - 2 푒−2푥 + 3 푒3푥 Y¹¹ = - 4 푒−2푥 + 9푒3푥 - 4 푒−2푥+ 9 푒3푥 - 2 푒−2푥+ 3푒3푥 - 6 (푒−2푥 + 푒3푥) =0
  8. 8. 7° ejemplo Y= x² + 푒푥 + 푒−2푥 Y¹¹ + Y¹ - 6Y =0 Y¹ = 2x² + 푒푥+ 푒−2푥 Y¹¹ = 2 + 푒푥+ 4푒−2푥 2+ 푒푥+ 4 푒−2푥+ 2x + 푒푥 - 2 푒−2푥-2 (x² + 푒푥+ 푒−2푥)= 0 2 + 푒푥 + 4 푒−2푥 + 2x + 푒푥 - 2 푒−2푥- 2 x²- 2 푒−2푥 = 2( 1+ X - x² ) 2( 1+ X - x² ) = 2( 1+ X - x² )
  9. 9. 8°- ejemplo Y= C1 푒2푥+ C2 푒2푥 Y¹¹-4 Y¹+ 4Y =0 Y¹= 2 C1 푒2푥+ 2C 2푥푒2푥+ C 2푒2푥 Y¹¹= 4 C1 푒2푥 + 4C 2푥푒2푥 + 2C 2푒2푥 + 2 C2 푒2푥 =4 C1 푒2푥 + 4C 2 푥푒2푥 + 2C 2 푒2푥 + 2 C2 푒2푥- 4(2 C1 푒2푥 + 2C 2 푥푒2푥 + C 2 푒2푥) + 4 (C1 푒2푥 + C2 푒2푥) =0 4 C1 푒2푥 + 4C 2 푥푒2푥 + 2C 2 푒2푥 + 2 C2 푒2푥 - 8C1 푒2푥 - 8C 2 푥푒2푥- 4 C 2 푒2푥 + 4C1 푒2푥+ 4 C2 푒2푥= 0 8C1 푒2푥+ 8C 2 푥푒2푥+ 4 C 2 푒2푥 -12C2푒2푥- 8 C1푒2푥 = 0 Y= 0
  10. 10. 9° ejemplo: 푑푦 푑푥 = 푦 푥 푑푦 푦 ∫ = ∫ 푑푥 푥 lny= lnx + ln C1 lny = lnC1x Aplicado antilogaritmos Y= C1x Comprobacion Y= C1x 푑푦 = C1 푑푥
  11. 11. Sustituyendo: 푑푦 푦 = 푑푥 푥 C1= 퐶1푥 푥 C1= C1 푑푦 푑푥 = 푥 푦 ∫y dy = ∫x dx [= 푦² 2 = 푥² 2 + 퐶¹ 2 ]² y² = x² + C1
  12. 12. Ecuaciones diferenciales exactas (x² + 2xy + x) dx + Y² dy =0 X²dx + 2xy dx + x dx + Y² dyno se puede separar M= x² + 2xg + x 푀 푑푦 = 2x no se puede con los exactos N= y² 푁 푑푋 = 0
  13. 13. 2° ejemplo: (X² + Y² + X ) dx + xydy =0 M (x,y) dx + N (x,y) dy =0 │ 휕푀 휕푦 = 휕푁 휕푥 M= X² + Y² + X * 휕푀 휕푦 = 2Y N= XY * 휕푁 휕푥 = Y No es exacta porque: 휕푀 휕푦 + 휕푁 휕푥
  14. 14. 3° ejemplo: (5x + 4y) dx + (4x – 8y³) dy =0 (5x + 4y) + (4x+8y) 푑푥 20푥³ − 푑푦 32푦5 5x dx – 4y dx + 4x dy - 8y³ dy =0 M= 5x + 4y 푑푚 = 4 푑푦 N= 4x – 8y³ 푑푛 = 4 푑푥
  15. 15. 4° ejemplo: a veces es posible encontrar un factor (que llamamos factor integrante) el cual al multiplicarse por la ecuación diferencial la convierte en exacta para encontrar este factor integrante se utiliza la sig. Formula: 휕푀 휕푦 = 휕푁 휕푥 __________ N
  16. 16. Ahora utilizamos este resultado para obtener el factor integrante por medio de la siguiente expresión. M (x)= e∫푔 푥 푑푥 = e∫ 1 푥 푑푥 푥 = 푒푙푛푥 = x 푑푥 = e∫
  17. 17. A continuación simplemente aplicamos Integramos: (x³+ xy² + x² ) dx (x³+ xy² + x² )dx =∫ x³dx + y² ∫ x dx + ∫ x² dx 푥4 푥2 푥3 + y² + + g (y) 4 2 3
  18. 18. Solo nos falta encontrar el valor de g (y) para determinar el valor g (y) derivamos la función ƒ encontrada con respecto a Y 휕푓 푥2 = 2y + g (y)* 휕푦 2 휕푓 휕푦 = x²y + g¹(y) Este resultado se iguala con N (x²y) X²y + g¹ (y) = X²y Simplificado: +g¹ (y)= X²y - X²y g¹ (y) = 0
  19. 19. Si g¹ (y) = 0 entonces g(y) = C1 es una constante cualquiera Por lo tanto la función buscada es: ƒ = 푥4 4 + y² 푥2 2 + 푥3 3 + C1 Y la solucion se obtiene igualando esta función a una constante (C2) 푥4 4 + y² 푥2 2 + 푥3 3 + C1 = C2 Simplificando: 푥4 푥2푦2 푥3 + + 4 2 3 = C
  20. 20. 5° ejemplo
  21. 21. Integramos: Ƒ (3 + 푦² 푥² ) dx ∫(3 + 푦² 푥² )dx = 3∫dx + y² ∫ 푑푥 푥² = 3xy² ∫ x-² Ƒ= 3x+y² 푥−¹ −1 + g (y) Ƒ= 3x- 푦² 푥 + g (y)
  22. 22. Derivar función f 휕푓 휕푦 = 2푦 푥 + g¹(y) g¹(y) =0 sustitución: F= 3x −푦² 푥 + C1 Reduciendo 3x −푦² 푥 = C Multiplicado por X [3x −푦² 푥 = C] 3x³- y² = cx Solución : 3x 푥푦² 푥 + c1= c2

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