Enviar pesquisa
Carregar
Techtalk:多様体
•
10 gostaram
•
6,510 visualizações
Kenta Oono
Seguir
2011年9月11日に行った多様体についてのTechTalk
Leia menos
Leia mais
Tecnologia
Denunciar
Compartilhar
Denunciar
Compartilhar
1 de 16
Baixar agora
Baixar para ler offline
Recomendados
【論文紹介】How Powerful are Graph Neural Networks?
【論文紹介】How Powerful are Graph Neural Networks?
Masanao Ochi
BERT+XLNet+RoBERTa
BERT+XLNet+RoBERTa
禎晃 山崎
ベイズ最適化によるハイパラーパラメータ探索
ベイズ最適化によるハイパラーパラメータ探索
西岡 賢一郎
[DL輪読会]Deep Learning 第15章 表現学習
[DL輪読会]Deep Learning 第15章 表現学習
Deep Learning JP
因果探索: 基本から最近の発展までを概説
因果探索: 基本から最近の発展までを概説
Shiga University, RIKEN
変分ベイズ法の説明
変分ベイズ法の説明
Haruka Ozaki
劣モジュラ最適化と機械学習1章
劣モジュラ最適化と機械学習1章
Hakky St
MCMC法
MCMC法
MatsuiRyo
Recomendados
【論文紹介】How Powerful are Graph Neural Networks?
【論文紹介】How Powerful are Graph Neural Networks?
Masanao Ochi
BERT+XLNet+RoBERTa
BERT+XLNet+RoBERTa
禎晃 山崎
ベイズ最適化によるハイパラーパラメータ探索
ベイズ最適化によるハイパラーパラメータ探索
西岡 賢一郎
[DL輪読会]Deep Learning 第15章 表現学習
[DL輪読会]Deep Learning 第15章 表現学習
Deep Learning JP
因果探索: 基本から最近の発展までを概説
因果探索: 基本から最近の発展までを概説
Shiga University, RIKEN
変分ベイズ法の説明
変分ベイズ法の説明
Haruka Ozaki
劣モジュラ最適化と機械学習1章
劣モジュラ最適化と機械学習1章
Hakky St
MCMC法
MCMC法
MatsuiRyo
強化学習と逆強化学習を組み合わせた模倣学習
強化学習と逆強化学習を組み合わせた模倣学習
Eiji Uchibe
Word Tour: One-dimensional Word Embeddings via the Traveling Salesman Problem...
Word Tour: One-dimensional Word Embeddings via the Traveling Salesman Problem...
joisino
TensorFlowで逆強化学習
TensorFlowで逆強化学習
Mitsuhisa Ohta
馬に蹴られるモデリング
馬に蹴られるモデリング
Shushi Namba
それでも私が研究を続ける理由
それでも私が研究を続ける理由
Hitomi Yanaka
混合モデルとEMアルゴリズム(PRML第9章)
混合モデルとEMアルゴリズム(PRML第9章)
Takao Yamanaka
ベイズ最適化
ベイズ最適化
MatsuiRyo
Multilabel pattern
Multilabel pattern
yohei okawa
多様な強化学習の概念と課題認識
多様な強化学習の概念と課題認識
佑 甲野
機械学習応用システムのための要求工学
機械学習応用システムのための要求工学
Nobukazu Yoshioka
ベイズ統計学の概論的紹介
ベイズ統計学の概論的紹介
Naoki Hayashi
機械学習による統計的実験計画(ベイズ最適化を中心に)
機械学習による統計的実験計画(ベイズ最適化を中心に)
Kota Matsui
機械学習モデルのハイパパラメータ最適化
機械学習モデルのハイパパラメータ最適化
gree_tech
ようやく分かった!最尤推定とベイズ推定
ようやく分かった!最尤推定とベイズ推定
Akira Masuda
SSII2022 [TS1] Transformerの最前線〜 畳込みニューラルネットワークの先へ 〜
SSII2022 [TS1] Transformerの最前線〜 畳込みニューラルネットワークの先へ 〜
SSII
「統計的学習理論」第1章
「統計的学習理論」第1章
Kota Matsui
最適輸送の計算アルゴリズムの研究動向
最適輸送の計算アルゴリズムの研究動向
ohken
統計的因果推論への招待 -因果構造探索を中心に-
統計的因果推論への招待 -因果構造探索を中心に-
Shiga University, RIKEN
Sparse Codingをなるべく数式を使わず理解する(PCAやICAとの関係)
Sparse Codingをなるべく数式を使わず理解する(PCAやICAとの関係)
Teppei Kurita
PCAの最終形態GPLVMの解説
PCAの最終形態GPLVMの解説
弘毅 露崎
とぽろじー入門(画像なし版)
とぽろじー入門(画像なし版)
Katsuya Ito
「トピックモデルによる統計的潜在意味解析」読書会 4章前半
「トピックモデルによる統計的潜在意味解析」読書会 4章前半
koba cky
Mais conteúdo relacionado
Mais procurados
強化学習と逆強化学習を組み合わせた模倣学習
強化学習と逆強化学習を組み合わせた模倣学習
Eiji Uchibe
Word Tour: One-dimensional Word Embeddings via the Traveling Salesman Problem...
Word Tour: One-dimensional Word Embeddings via the Traveling Salesman Problem...
joisino
TensorFlowで逆強化学習
TensorFlowで逆強化学習
Mitsuhisa Ohta
馬に蹴られるモデリング
馬に蹴られるモデリング
Shushi Namba
それでも私が研究を続ける理由
それでも私が研究を続ける理由
Hitomi Yanaka
混合モデルとEMアルゴリズム(PRML第9章)
混合モデルとEMアルゴリズム(PRML第9章)
Takao Yamanaka
ベイズ最適化
ベイズ最適化
MatsuiRyo
Multilabel pattern
Multilabel pattern
yohei okawa
多様な強化学習の概念と課題認識
多様な強化学習の概念と課題認識
佑 甲野
機械学習応用システムのための要求工学
機械学習応用システムのための要求工学
Nobukazu Yoshioka
ベイズ統計学の概論的紹介
ベイズ統計学の概論的紹介
Naoki Hayashi
機械学習による統計的実験計画(ベイズ最適化を中心に)
機械学習による統計的実験計画(ベイズ最適化を中心に)
Kota Matsui
機械学習モデルのハイパパラメータ最適化
機械学習モデルのハイパパラメータ最適化
gree_tech
ようやく分かった!最尤推定とベイズ推定
ようやく分かった!最尤推定とベイズ推定
Akira Masuda
SSII2022 [TS1] Transformerの最前線〜 畳込みニューラルネットワークの先へ 〜
SSII2022 [TS1] Transformerの最前線〜 畳込みニューラルネットワークの先へ 〜
SSII
「統計的学習理論」第1章
「統計的学習理論」第1章
Kota Matsui
最適輸送の計算アルゴリズムの研究動向
最適輸送の計算アルゴリズムの研究動向
ohken
統計的因果推論への招待 -因果構造探索を中心に-
統計的因果推論への招待 -因果構造探索を中心に-
Shiga University, RIKEN
Sparse Codingをなるべく数式を使わず理解する(PCAやICAとの関係)
Sparse Codingをなるべく数式を使わず理解する(PCAやICAとの関係)
Teppei Kurita
PCAの最終形態GPLVMの解説
PCAの最終形態GPLVMの解説
弘毅 露崎
Mais procurados
(20)
強化学習と逆強化学習を組み合わせた模倣学習
強化学習と逆強化学習を組み合わせた模倣学習
Word Tour: One-dimensional Word Embeddings via the Traveling Salesman Problem...
Word Tour: One-dimensional Word Embeddings via the Traveling Salesman Problem...
TensorFlowで逆強化学習
TensorFlowで逆強化学習
馬に蹴られるモデリング
馬に蹴られるモデリング
それでも私が研究を続ける理由
それでも私が研究を続ける理由
混合モデルとEMアルゴリズム(PRML第9章)
混合モデルとEMアルゴリズム(PRML第9章)
ベイズ最適化
ベイズ最適化
Multilabel pattern
Multilabel pattern
多様な強化学習の概念と課題認識
多様な強化学習の概念と課題認識
機械学習応用システムのための要求工学
機械学習応用システムのための要求工学
ベイズ統計学の概論的紹介
ベイズ統計学の概論的紹介
機械学習による統計的実験計画(ベイズ最適化を中心に)
機械学習による統計的実験計画(ベイズ最適化を中心に)
機械学習モデルのハイパパラメータ最適化
機械学習モデルのハイパパラメータ最適化
ようやく分かった!最尤推定とベイズ推定
ようやく分かった!最尤推定とベイズ推定
SSII2022 [TS1] Transformerの最前線〜 畳込みニューラルネットワークの先へ 〜
SSII2022 [TS1] Transformerの最前線〜 畳込みニューラルネットワークの先へ 〜
「統計的学習理論」第1章
「統計的学習理論」第1章
最適輸送の計算アルゴリズムの研究動向
最適輸送の計算アルゴリズムの研究動向
統計的因果推論への招待 -因果構造探索を中心に-
統計的因果推論への招待 -因果構造探索を中心に-
Sparse Codingをなるべく数式を使わず理解する(PCAやICAとの関係)
Sparse Codingをなるべく数式を使わず理解する(PCAやICAとの関係)
PCAの最終形態GPLVMの解説
PCAの最終形態GPLVMの解説
Destaque
とぽろじー入門(画像なし版)
とぽろじー入門(画像なし版)
Katsuya Ito
「トピックモデルによる統計的潜在意味解析」読書会 4章前半
「トピックモデルによる統計的潜在意味解析」読書会 4章前半
koba cky
Wisc ⅳ知能検査の活用について H26年大阪府島本町講演
Wisc ⅳ知能検査の活用について H26年大阪府島本町講演
人斬り 抜刀斎
脳と認知機能
脳と認知機能
人斬り 抜刀斎
集中不等式のすすめ [集中不等式本読み会#1]
集中不等式のすすめ [集中不等式本読み会#1]
Kentaro Minami
Caffeインストール
Caffeインストール
Kenta Oono
提供AMIについて
提供AMIについて
Kenta Oono
続わかりやすいパターン認識11章(11.1 - 11.4)
続わかりやすいパターン認識11章(11.1 - 11.4)
Nagi Teramo
Common Design of Deep Learning Frameworks
Common Design of Deep Learning Frameworks
Kenta Oono
Learning Image Embeddings using Convolutional Neural Networks for Improved Mu...
Learning Image Embeddings using Convolutional Neural Networks for Improved Mu...
Kenta Oono
2015年9月18日 (GTC Japan 2015) 深層学習フレームワークChainerの導入と化合物活性予測への応用
2015年9月18日 (GTC Japan 2015) 深層学習フレームワークChainerの導入と化合物活性予測への応用
Kenta Oono
GTC Japan 2016 Chainer feature introduction
GTC Japan 2016 Chainer feature introduction
Kenta Oono
技術者が知るべき Gröbner 基底
技術者が知るべき Gröbner 基底
Hiromi Ishii
Chainerインストール
Chainerインストール
Kenta Oono
Encode勉強会:GENCODE: The reference human genome annotation for The ENCODE Proje...
Encode勉強会:GENCODE: The reference human genome annotation for The ENCODE Proje...
Kenta Oono
Introduction to Chainer and CuPy
Introduction to Chainer and CuPy
Kenta Oono
Introduction to Chainer (LL Ring Recursive)
Introduction to Chainer (LL Ring Recursive)
Kenta Oono
日本神経回路学会セミナー「DeepLearningを使ってみよう!」資料
日本神経回路学会セミナー「DeepLearningを使ってみよう!」資料
Kenta Oono
ピーFIの研究開発現場
ピーFIの研究開発現場
Yuya Unno
ディープラーニング最近の発展とビジネス応用への課題
ディープラーニング最近の発展とビジネス応用への課題
Kenta Oono
Destaque
(20)
とぽろじー入門(画像なし版)
とぽろじー入門(画像なし版)
「トピックモデルによる統計的潜在意味解析」読書会 4章前半
「トピックモデルによる統計的潜在意味解析」読書会 4章前半
Wisc ⅳ知能検査の活用について H26年大阪府島本町講演
Wisc ⅳ知能検査の活用について H26年大阪府島本町講演
脳と認知機能
脳と認知機能
集中不等式のすすめ [集中不等式本読み会#1]
集中不等式のすすめ [集中不等式本読み会#1]
Caffeインストール
Caffeインストール
提供AMIについて
提供AMIについて
続わかりやすいパターン認識11章(11.1 - 11.4)
続わかりやすいパターン認識11章(11.1 - 11.4)
Common Design of Deep Learning Frameworks
Common Design of Deep Learning Frameworks
Learning Image Embeddings using Convolutional Neural Networks for Improved Mu...
Learning Image Embeddings using Convolutional Neural Networks for Improved Mu...
2015年9月18日 (GTC Japan 2015) 深層学習フレームワークChainerの導入と化合物活性予測への応用
2015年9月18日 (GTC Japan 2015) 深層学習フレームワークChainerの導入と化合物活性予測への応用
GTC Japan 2016 Chainer feature introduction
GTC Japan 2016 Chainer feature introduction
技術者が知るべき Gröbner 基底
技術者が知るべき Gröbner 基底
Chainerインストール
Chainerインストール
Encode勉強会:GENCODE: The reference human genome annotation for The ENCODE Proje...
Encode勉強会:GENCODE: The reference human genome annotation for The ENCODE Proje...
Introduction to Chainer and CuPy
Introduction to Chainer and CuPy
Introduction to Chainer (LL Ring Recursive)
Introduction to Chainer (LL Ring Recursive)
日本神経回路学会セミナー「DeepLearningを使ってみよう!」資料
日本神経回路学会セミナー「DeepLearningを使ってみよう!」資料
ピーFIの研究開発現場
ピーFIの研究開発現場
ディープラーニング最近の発展とビジネス応用への課題
ディープラーニング最近の発展とビジネス応用への課題
Mais de Kenta Oono
Minimax statistical learning with Wasserstein distances (NeurIPS2018 Reading ...
Minimax statistical learning with Wasserstein distances (NeurIPS2018 Reading ...
Kenta Oono
Deep learning for molecules, introduction to chainer chemistry
Deep learning for molecules, introduction to chainer chemistry
Kenta Oono
Overview of Machine Learning for Molecules and Materials Workshop @ NIPS2017
Overview of Machine Learning for Molecules and Materials Workshop @ NIPS2017
Kenta Oono
Comparison of deep learning frameworks from a viewpoint of double backpropaga...
Comparison of deep learning frameworks from a viewpoint of double backpropaga...
Kenta Oono
深層学習フレームワーク概要とChainerの事例紹介
深層学習フレームワーク概要とChainerの事例紹介
Kenta Oono
20170422 数学カフェ Part2
20170422 数学カフェ Part2
Kenta Oono
20170422 数学カフェ Part1
20170422 数学カフェ Part1
Kenta Oono
情報幾何学の基礎、第7章発表ノート
情報幾何学の基礎、第7章発表ノート
Kenta Oono
On the benchmark of Chainer
On the benchmark of Chainer
Kenta Oono
Tokyo Webmining Talk1
Tokyo Webmining Talk1
Kenta Oono
VAE-type Deep Generative Models
VAE-type Deep Generative Models
Kenta Oono
Stochastic Gradient MCMC
Stochastic Gradient MCMC
Kenta Oono
Chainer Contribution Guide
Chainer Contribution Guide
Kenta Oono
Deep Learning技術の最近の動向とPreferred Networksの取り組み
Deep Learning技術の最近の動向とPreferred Networksの取り組み
Kenta Oono
Development and Experiment of Deep Learning with Caffe and maf
Development and Experiment of Deep Learning with Caffe and maf
Kenta Oono
How to Develop Experiment-Oriented Programs
How to Develop Experiment-Oriented Programs
Kenta Oono
NIPS2013読み会:Inverse Density as an Inverse Problem: The Fredholm Equation Appr...
NIPS2013読み会:Inverse Density as an Inverse Problem: The Fredholm Equation Appr...
Kenta Oono
NIPS2013読み会:Inverse Density as an Inverse Problem: The Fredholm Equation Appr...
NIPS2013読み会:Inverse Density as an Inverse Problem: The Fredholm Equation Appr...
Kenta Oono
Mais de Kenta Oono
(18)
Minimax statistical learning with Wasserstein distances (NeurIPS2018 Reading ...
Minimax statistical learning with Wasserstein distances (NeurIPS2018 Reading ...
Deep learning for molecules, introduction to chainer chemistry
Deep learning for molecules, introduction to chainer chemistry
Overview of Machine Learning for Molecules and Materials Workshop @ NIPS2017
Overview of Machine Learning for Molecules and Materials Workshop @ NIPS2017
Comparison of deep learning frameworks from a viewpoint of double backpropaga...
Comparison of deep learning frameworks from a viewpoint of double backpropaga...
深層学習フレームワーク概要とChainerの事例紹介
深層学習フレームワーク概要とChainerの事例紹介
20170422 数学カフェ Part2
20170422 数学カフェ Part2
20170422 数学カフェ Part1
20170422 数学カフェ Part1
情報幾何学の基礎、第7章発表ノート
情報幾何学の基礎、第7章発表ノート
On the benchmark of Chainer
On the benchmark of Chainer
Tokyo Webmining Talk1
Tokyo Webmining Talk1
VAE-type Deep Generative Models
VAE-type Deep Generative Models
Stochastic Gradient MCMC
Stochastic Gradient MCMC
Chainer Contribution Guide
Chainer Contribution Guide
Deep Learning技術の最近の動向とPreferred Networksの取り組み
Deep Learning技術の最近の動向とPreferred Networksの取り組み
Development and Experiment of Deep Learning with Caffe and maf
Development and Experiment of Deep Learning with Caffe and maf
How to Develop Experiment-Oriented Programs
How to Develop Experiment-Oriented Programs
NIPS2013読み会:Inverse Density as an Inverse Problem: The Fredholm Equation Appr...
NIPS2013読み会:Inverse Density as an Inverse Problem: The Fredholm Equation Appr...
NIPS2013読み会:Inverse Density as an Inverse Problem: The Fredholm Equation Appr...
NIPS2013読み会:Inverse Density as an Inverse Problem: The Fredholm Equation Appr...
Último
NewSQLの可用性構成パターン(OCHaCafe Season 8 #4 発表資料)
NewSQLの可用性構成パターン(OCHaCafe Season 8 #4 発表資料)
NTT DATA Technology & Innovation
モーダル間の変換後の一致性とジャンル表を用いた解釈可能性の考察 ~Text-to-MusicとText-To-ImageかつImage-to-Music...
モーダル間の変換後の一致性とジャンル表を用いた解釈可能性の考察 ~Text-to-MusicとText-To-ImageかつImage-to-Music...
博三 太田
AWS の OpenShift サービス (ROSA) を使った OpenShift Virtualizationの始め方.pdf
AWS の OpenShift サービス (ROSA) を使った OpenShift Virtualizationの始め方.pdf
FumieNakayama
クラウドネイティブなサーバー仮想化基盤 - OpenShift Virtualization.pdf
クラウドネイティブなサーバー仮想化基盤 - OpenShift Virtualization.pdf
FumieNakayama
CTO, VPoE, テックリードなどリーダーポジションに登用したくなるのはどんな人材か?
CTO, VPoE, テックリードなどリーダーポジションに登用したくなるのはどんな人材か?
akihisamiyanaga1
デジタル・フォレンジックの最新動向(2024年4月27日情洛会総会特別講演スライド)
デジタル・フォレンジックの最新動向(2024年4月27日情洛会総会特別講演スライド)
UEHARA, Tetsutaro
自分史上一番早い2024振り返り〜コロナ後、仕事は通常ペースに戻ったか〜 by IoT fullstack engineer
自分史上一番早い2024振り返り〜コロナ後、仕事は通常ペースに戻ったか〜 by IoT fullstack engineer
Yuki Kikuchi
業務で生成AIを活用したい人のための生成AI入門講座(社外公開版:キンドリルジャパン社内勉強会:2024年4月発表)
業務で生成AIを活用したい人のための生成AI入門講座(社外公開版:キンドリルジャパン社内勉強会:2024年4月発表)
Hiroshi Tomioka
Último
(8)
NewSQLの可用性構成パターン(OCHaCafe Season 8 #4 発表資料)
NewSQLの可用性構成パターン(OCHaCafe Season 8 #4 発表資料)
モーダル間の変換後の一致性とジャンル表を用いた解釈可能性の考察 ~Text-to-MusicとText-To-ImageかつImage-to-Music...
モーダル間の変換後の一致性とジャンル表を用いた解釈可能性の考察 ~Text-to-MusicとText-To-ImageかつImage-to-Music...
AWS の OpenShift サービス (ROSA) を使った OpenShift Virtualizationの始め方.pdf
AWS の OpenShift サービス (ROSA) を使った OpenShift Virtualizationの始め方.pdf
クラウドネイティブなサーバー仮想化基盤 - OpenShift Virtualization.pdf
クラウドネイティブなサーバー仮想化基盤 - OpenShift Virtualization.pdf
CTO, VPoE, テックリードなどリーダーポジションに登用したくなるのはどんな人材か?
CTO, VPoE, テックリードなどリーダーポジションに登用したくなるのはどんな人材か?
デジタル・フォレンジックの最新動向(2024年4月27日情洛会総会特別講演スライド)
デジタル・フォレンジックの最新動向(2024年4月27日情洛会総会特別講演スライド)
自分史上一番早い2024振り返り〜コロナ後、仕事は通常ペースに戻ったか〜 by IoT fullstack engineer
自分史上一番早い2024振り返り〜コロナ後、仕事は通常ペースに戻ったか〜 by IoT fullstack engineer
業務で生成AIを活用したい人のための生成AI入門講座(社外公開版:キンドリルジャパン社内勉強会:2024年4月発表)
業務で生成AIを活用したい人のための生成AI入門講座(社外公開版:キンドリルジャパン社内勉強会:2024年4月発表)
Techtalk:多様体
1.
TechTalk 2011/09/01 ⼤大野健太 oono@preferred.jp
2.
アジェンダ • 多様体とは? • 多様体の例例 •
多様体の作り⽅方
3.
多様体とは? • 局所的に”座標”が書ける”曲⾯面”(きちんとした定義は後述) • 幾何学の考える対象 •
⽅方法 • 多様体(+α)⾃自体の形を調べる • モジュライ論論,ホモロジー論論,ホモトピー論論,結び⽬目理理論論 • 多様体の上の関数やそれに対する作⽤用素を調べる(← 修⼠士での専 攻内容はこれに近い) • Hodge-de Rham理理論論,モース理理論論,ルベーグ積分 • 両⽅方に関わる分野 • モース理理論論
4.
• ⽬目的 • 多様体を分類する •
3次元多様体の分類,幾何化予想,ポアンカレ予想 • 物理理に対する数学的枠組みを与える • ⼀一般相対性理理論論は4次元のリーマン多様体の幾何学 • ゲージ理理論論,ミラー対称性,カラビ・ヤウ多様体
5.
多様体の例例 • y=x2 • Rn,
Cn=R2n • x2+y2=1 • メビウスの輪輪 -1 0 1 1 0
6.
多様体でない例例 • y2 =
x2(x+1) • 原点近傍で⽬目盛り付けできない • 悪魔の階段関数
7.
こんなものも多様体 (シュティーフェル多様体) • V=Rnとして •
Vn,k = {(v1, …, vk) | vj∈V, vjたちの張る部分空間 のなかでvjたちは正規直交基底} {(v1, …, vk) | vj∈V, |vj|=1, viとvjは直交する} • => Vn,kはnk-k(k+1)/2次元の多様体 • 例例:k=1の場合 • Vn,1 = (⻑⾧長さ1のベクトル全体) = Sn (n次元球⾯面)
8.
多様体の例例 • RPn(n次元実射影空間) =
(Rn+1{0}) / 〜~ • 〜~:同値関係(Rn+1の元をグループ分けする) • x〜~y (xとyが同じグループ) ó 0でない実数λを⽤用いてx = λyとなる • 例例:(1, 2, 3) 〜~ (3, 6, 9) • φi:RPn {xi = 0} → Rnを • φi([x0, …, xn]) = ( x0/xi, x1/xi,… , ^xi/xi,… ,xn/xi ) • で定義する,これの逆写像ψiは • [ξ0, …,1 , …, ξn] = ψi(ξ0, ξ1, …, ^ξi, …, ξn) • これによって,RPn{xi = 0}とRnを同⼀一視できる.RPnはn枚Rnで覆え る. 除くの意味
9.
多様体の定義 • 位相空間Mがn次元(位相)多様体であるとは,M上の任意の点pに対 して, • pの開近傍:Up •
Rnの開集合:Vp • 同相写像:φp:Up → Vp • 同相写像:連続全単射で逆写像も連続 • が存在する
10.
微分多様体の定義 • 位相空間Mがn次元(位相)多様体であるとは,M上の任意の点pに対 して, • pの開近傍:Up •
Rnの開集合:Vp • 同相写像:φp:Up → Vp • 同相写像:連続全単射で逆写像も連続 • が存在して,次の条件を満たす • 任意のp, q∈Mに対して,Up∩Uq ≠ Φなら, • φq○φp -1|φp(Up∩Uq): φq(Up∩Uq) → φq(Up∩Uq) • が微分可能 空集合
11.
多様体を簡単に作る⽅方法 • 定理理 • f:Rn
→ Rm, f = (f1, f2, …, fn),連続微分可能に対し, • と置く • 仮定:Df(x)が full rankならば, • x0∈Rn に対して y = f(x0)とおくと, • f-1(y) = {x∈Rn|f(x)=y} は位相多様体
12.
シュティーフェル多様体 • 例例:f :
Rnk → R(k(k+1)/2) を下のように定義する • => Vn,k = f-1(yij)1<=i<=j<=n となる • yij = 1 (if i = j) • 0 (if i ≠ j)
13.
⼀一般化されたStokesの公式 • ∫Mdω =
∫∂Mω • ω:微分形式 • y3dx+z2dy+(x+2y)dz:1次微分形式(線積分) • y3dx∧dy+z2dy∧dz+(x+2y)dz∧dx:2次微分形式(⾯面積分) • y3dx∧dy∧dz:3次微分形式(体積積分) • Greenの定理理,Gaussの定理理,Stokesの定理理などはこの式から導かれる
14.
多様体で出来ない事 • 尖った曲⾯面は扱えない • variety(代数多様体)は尖った点があってもよい •
次元は有限 • ヒルベルト空間(無限次元になりうるベクトル空間)の張り合わせ に⼀一般化する事も出来ます • 次元は⼀一定 • ある場所では3次元,他の場所では2次元などは考えていない
15.
多様体学習 • 次元の⾼高い空間の中で次元の低い多様体の上に点たちが分布している • これらの点たちを次元の低い空間の上に,多様体上の距離離を保ちなが らマッピングする(“埋め込む”)
16.
まとめ • 多様体とは • ユークリッド空間の切切れ端を張り合わせた曲⾯面(内在的定義) •
⾼高次元ユークリッド空間に埋め込まれた低次元曲⾯面(外在的定義) • 多様体のきちんとした定義 • ⾃自明でない多様体の例例 • 実射影空間RPn, シュティーフェル多様体 • 関数の逆像f-1(y)として多様体を作る事が出来る • SPCM • http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~kawazumi/spcm.html
Baixar agora