アルゴリズムとデータ構造9

アルゴリズムとデータ構
造
９．「ハッシュ法」
2011 年 4 月 26 日（火）
服部　健太

2011/4/26 アルゴリズムとデータ構造 9 2
概要
 ハッシュ法の概念について説明する
 ハッシュ法の実現方法について説明する

直接アドレス表（ Direct-address
tables ）
 キー空間が小さければ，キーそのものをインデック
スにして，配列にデータを格納すれば， O(1) で参
照できる
 例：
 テキスト中の各アルファベットの出現頻度を数える
 アルファベットをキーとしたテーブルに，出現頻度を格納す
る
 アルファベットは 26 文字なので，配列の大きさは 26 でよい
 ‘a’ → 1, ‘b’ → 2, …, ‘z’ → 26 とする
 def count(T, x):
 T[x] = T[x] + 1
⇒ キー空間が膨大な場合には，より小さな特定の範囲
に収まるように，キーを変換してやればよい．

ハッシュ法
 要素の検索や追加が平均 O(1) でできる
 広大なキー空間をハッシュ関数によってある
範囲にマップする
k1
k2 k3
k4
k5
h(k1)
K ：実際のキー
U ：キー空間全体
h(k4)
h(k2)=h(k5)
h(k3)
ハッシュ表 :T
ハッシュ関数 :h
0
m-1
衝突
（ collision
）

チェイン法
 衝突したレコード同士をリストでつなぐ
ハッシュ表 :T
k1 k4
k5 k2 k7
k3
k8 k6
k1
k2
k3
k4
k5
K ：実際のキー
U ：キー空間全体
k7
k8
k6

ハッシュ表の探索（チェイン法）
 ハッシュ表の探索
 入力：ハッシュ表 (HT) ，キー (key)
 出力：見つかったデータを返す（無かったら None ）
def search(HT, key):
p = HT.heads[hashfn(key, HT.size)]
while p != None:
if p.key == key:
return p.data
else:
p = p.next
return None
ハッシュ表のインデッ
クスは 0 始まりとする

ハッシュ表への挿入（チェイン
法）
 ハッシュ表への挿入
 入力：ハッシュ表 (HT) ，キー (key) ，データ
(data)
def insert(HT, key, data):
h = hashfn(key, HT.size)
p = hnode()
p.key = key
p.data = data
p.next = HT.heads[h]
HT.heads[h] = p

練習問題
 チェイン法の削除手続き DELETE(HT, key) を書け
 キー (key) が見つからない場合はエラーとせよ
def delete(HT, key):
h = hashfn(key, HT.size)
prev = None
p = ???
while p != None and p.key != key:
prev = p
p = p.next
if p == None: error(“key not found”)
if prev == None:
???
else:
???

解答例

ハッシュ関数
 望ましいハッシュ関数
 いろいろなキーの値を 0 から m-1 までの範囲にできるだけ一様
に散らばせる（ランダムになる）
 簡単に計算できる
 キーが正整数の場合
 たいていの場合， m で割った余りをとる
 ただし，ハッシュ関数をできるだけランダムなものにするには
， m が素数が望ましい．
 キーが文字列の場合
 何らかの手段で整数値を得て，それを m で割った余りをとる
 長さ k の文字列 s に対して：
 Ord は文字の順序数を得る関数とする
 1 文字を 8 ビットで表す計算機では，定数 c=256(=28
) とすると良い
∑=
−
×=
k
i
ik
misOrdcsHash
1
mod])[()(

文字列用の簡単なハッシュ関数の例
 入力：文字列 (s) ，ハッシュ表サイズ (m)
 出力：ハッシュ値
def hashfn(s, m):
h = 0
for i in range(0, len(s)):
h = 256 * h + ord(s[i])
return h % m

チェイン法の計算量
 平均的な計算量は，データ数 N と表（配列の
長さ） M に依存する．
 ハッシュ関数がランダムに近く，値が適度に
バラけることを前提とすると，チェイン法に
おけるリストの長さは，平均 N/M と考えら
れる．
 挿入も探索も N/M に比例する
 N に対して， M を十分大きく取れば， O(1)

開番地法（ open addressing ）
 ハッシュ表そのものにレコードを格納
する
 チェイン法では，リストの先頭ポインタ
だった
 レコードの各エントリには，使用中かどう
かを表すフィールドを含める
 衝突時（挿入）の処理
 表の中のハッシュ値が示す位置を調べて，
そこが未使用（ FREE ）なら，その場所に
書き込む
 使用中（ USED ）なら，別の場所を調べに
いく．そこが未使用ならその場所に書き込
むし，使用中であれば，また別の場所に移
る
○
○
○
○
使用中かどう
かを表す印．
○は USED の
意

ハッシュ表への挿入（開番地法）
 ハッシュ表への挿入
 入力：ハッシュ表 (HT) ，キー (key) ，データ (data)
def insert(HT, key, data):
for i in range(0, HT.size):
h = HASH(key, i, HT.size)
if HT.recds[h].mark == ‘FREE’:
HT.recds[h].mark = ‘USED’
HT.recds[h].key = key
HT.recds[h].data = data
return
error(“size over”)

ハッシュ表の探索（開番地法）
 ハッシュ表の探索
 入力：ハッシュ表 (HT) ，キー (key)
 出力：見つかったデータを返す（無かったら None ）
def search(HT, key):
i = 0
while True:
h = HASH(key, i, HT.size)
if HT.recds[h].key == key:
return HT.recds[h].data
i = i + 1
if (HT.recds[h].mark == ‘FREE’
or i == HT.size):
break
return None

線形走査法（ linear probing ）
 次の場所を決めるときに，単純にその隣の場
所，さらにその隣，・・・と空きが見つかる
まで，インデックスを１つずつ増やしていく
 配列の最後まで行ったら，先頭に戻る．
def HASH(key, i, size):
return (hashfn(key,size)+i) % size
 クラスタリング現象
 データが固まって存在しやすいため，効率が
良くない
hashfn は通常
のハッシュ関
数
○
○
○
○
+1
+1
hashfn(k)
ここに挿入す
る

２重ハッシュ法（ double
hashing ）
 ２つのハッシュ関数 h1 と h2 を使う
def HASH(key, i, size):
return (h1(key, size)
+ i * h2(key, size)) % size
def h1(key, size):
return key % size
def h2(key, size):
return 1 + (key % (size – 1))
 h2 は， 1 以上， size-1 以下の値を返す
○
○
○
○
h1(k)
h2(k)
h2(k)
ここに挿入す
る

ハッシュ表からの削除（開番地
法）
 削除した場所を単純に未使用に戻すと，次に
検索するときに検索の走査がそこで止まって
しまうため，誤った結果になる．
 表の要素の状態に削除済み（ DELETED ）を加え
， FREE と USED と合わせて３種類とする
 削除するときは，状態を DELETED にしてお
く
 探索のときは，削除ずみの場所があっても次
の場所を見つけに行く
 挿入の際には，削除ずみの場所を再利用して
新しいデータを入れる

練習問題
 P.18 で説明した方式で，開番地法の探索，
挿入，削除の手続きを書け
 ヒント：
 search, insert は mark に関する条件判定を少し変えれ
ばよい
 この手法の問題点は何か？
 ヒント：挿入と削除を頻繁に繰り返すとどうなる
か？

解答例

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