アルゴリズムとデータ構造7

アルゴリズムとデータ構
造
７．「２分探索木」
2011 年 4 月 26 日（火）
服部　健太

2011/4/26 アルゴリズムとデータ構造 7 2
概要
 ２分探索木の性質について説明する
 ２分探索木による探索，挿入，削除のアルゴ
リズムについて説明する．

２分探索木
 単純だが効率が良いのでよく使われる
 ２分探索木を作るには
 ２分木のノードに１つずつデータ（キー）を入れる
 このとき，次のような関係を満たすようにする．
 x を２分探索木のあるノードとする．
 もし， y が x の左部分木の中にあるノードなら
ば， y.key x.key≦
 もし， y が x の右部分木の中にあるノードなら
ば， x.key y.key≦
 要するに，あるノードから見て左側の子孫のデータ
すべてが，このノードのデータより小さく，逆に右
側の子孫のデータはすべて大きいような２分木のこ
とである

２分探索木の例
 データが {1, 2, 8, 9, 10, 12, 15, 20, 25, 30} の場合の例：
 練習問題
 {1,2,3} の３つの値からなる２分探索木をすべて描け
 （ヒント：全部で 5 種類あるはず）
20
2
1 9
15
25
30
8 12
10

２分探索木の特徴
 間順走査（ in-order traversal ）で木を辿りな
がら，データを出力すると，出力されたデー
タは順序どおりに並ぶ
 各自，先ほど描いた図に対して，確認してみよ

２分探索木の実現
 ２分探索木
 木のルートを保持するフィールド root を１つだけ持つレ
コード
 def btree(): return record([‘root’])
 ２分探索木のノード
 以下の 4 つのフィールドを持つレコード
 left
 左部分木のノード
 right
 右部分木のノード
 key
 レコードのキー
 data
 レコードのデータ
 def btnode(): return record([‘left’, ‘right’, ‘key’, ‘data’])
5
left right
key data
root
bt:
1 8
2

２分探索木の実現（２）
 表の探索
 見つかったら該当するノード，見つからなかったら None
を返す
def search(node, key):
if node == None or key == node.key:
return node
if key < node.key:
return search(node.left, key)
else:
return search(node.right, key)
 search(BT.root, x) の形で呼び出す

実験
 p.6 に図示した２分探索木を作成して， search してみる
 >>> bt = btree()
 >>> bt.root = btnode()
 >>> bt.root.key = 5
 >>> bt.root.data = “data of key 5”
 >>> bt.root.left = btnode()
 >>> bt.root.left.key = 1
 >>> bt.root.left.data = “data of key 1”
 >>> bt.root.left.right = btnode()
 >>> bt.root.left.right.key = 2
 ・・・以下略
 >>> search(bt.root, 2)

練習問題
 さきほどの２分探索木の search 手続き（関数）で
は，再帰呼び出しを用いていたが，かわりに while
を用いて，書き直してみよ
 ヒント：
def search_iter(node, key):
while ???:
if key < node.key:
node = ???
else:
node = ???
return node
ノードのキーが一致する
か，葉に到達するまで繰
り返す
キーを比較して，右を捜
すか左を探すかする

解答例

２分探索木の最大と最小
 ２分探索木の左側の子を辿っていくと最小の要素が
見つかる
def bt_minimum(n):
while n.left != None:
n = n.left
return n
 最大の要素は右側の子を辿っていけば見つかる
def bt_maximum(n):
while n.right != None:
n = n.right
return n

２分探索木への挿入
def insert(BT, key, data):
parent = None; p = BT.root
n = btnode()
# n.left = n.right = None
n.key = key; n.data = data
while p != None:
parent = p
if n.key < p.key: p = p.left
else: p = p.right
if parent == None:
BT.root = n # 空の木だった場合
elif n.key < parent.key:
parent.left = n
else:
parent.right = n
挿入する位置
を探す

練習問題
 <1,2,3,4,5,6> の順にデータを挿入したときにできる木
の形は？
 実際に，以下のように insert して確認してみよ
>>> bt = btree()
>>> for k in [1,2,3,4,5,6]:
insert(bt, k, “data of key:” + str(k))
 ２分探索木の search の最悪計算量はいくらか？
 最善の場合はいくらか？
【 Python 注】数値を
文字列に変換して連
結

完全な２分木

バランスが悪い２分木の例

２分探索木からの削除
 削除したいノードを場合分け
 ノードが葉の場合
 単純に取り除いて， None に置き換える
 左右一方しか子供がいない場合
 そのノードの子と置き換える
 左右両方に子供がいる場合
 左側の部分木の最大の要素
（もしくは右側の部分木の最小
の要素）と置き換える
　
α
ノード間の大小関係
が保たれることに注
意
α

２分探索木からの削除（２）
def delete(BT, key):
parent = None; p = BT.root
while p != None and key != p.key:
parent = p
if key < p.key: p = p.left:
else: p = p.right
if p == None: error(“key not found”) # 削除するキーが見つからない場合
if p.left == None:
r = p.right
else:
r, q = extract_max(p.left); r.left = q; r.right = p.right
if parent == None:
BT.root = r # 根を削除する場合
elif key < parent.key:
parent.left = r
else:
parent.right = r
削除するノー
ドを探す
p.left の最大要素と，そ
れを削除してできた新
しい部分木を返す（後
述）

２分探索木からの削除（３）
 extract_max(n)
 部分木 n に含まれる最大要素のノード m と，そのノード m を削除した結果
の更新されたノード n を返す手続き
 n は None ではないものとする
def extract_max(n):
parent = None
p = n
while p.right != None:
parent = p
p = p.right
if parent == None:
return p, p.left
else:
parent.right = p.left
return p, n

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