funciones logarítmicas, exponenciales y trigonometricas

1. Republica bolivariana de venezuela
Ministerio del poder popular para la educación superior
Instituto universitario de tecnología Antonio José se sucre
Barquisimeto-Lara
Funciones
Integrante:
Kenny Gil
C.I.20.666.851
Sección: S2

2. En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y
otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del
dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido,
también llamado rango o ámbito).
A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la
izquierda en la siguiente lista?:
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda.
La regla es entonces "elevar al cuadrado":
1 --------> 1
2 --------> 4
3 --------> 9
4 --------> 16
X --------> x 2.
Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de
función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones:

3. X --------> x 2 o f(x) = x 2.
Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 3 2 = 9.
Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a 2 , etc.
Ejemplo 1
Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos
Conjunto X Conjunto Y
Ángela 55
Pedro 88
Manuel 62
Adrián 88
Roberto 90
Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o
variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que
se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener
dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el
mismo peso.
La derivada de la función f(x) en el punto x = a es el valor del límite, si existe, de un cociente
incremental cuando el incremento de la variable tiende a cero.

4. La función derivada de una función f(x) es una función que asocia a cada número real su
derivada, si existe. Se denota por f'(x).
Funciones logarítmicas
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Ejemplo
X
1/8 -3
1/4 -2
1/2 -1
1 0
2 1
4 2
8 3
Propiedades de las funciones logarítmicas
Dominio: R +

5. Recorrido: R
Es continua.
Los puntos (1, 0) y (a, 1) pertenecen a la gráfica.
Es inyectiva (ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a>1.
Decreciente si a<1.
Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y 3er
cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones reciprocas o inversas
entre sí.

6. De la definición de logaritmo podemos deducir:
No existe el logaritmo de un número con base negativa.
No existe el logaritmo de un número negativo.
No existe el logaritmo de cero.

7. El logaritmo de 1 es cero.
El logaritmo en base a dé a es uno.
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
Propiedades de los logaritmos
1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de
los factores.
2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo
menos el logaritmo del divisor.
3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por
el logaritmo de la base.

8. 4. El logaritmo de una raíz es igual al cociente entre el logaritmo del
radicando y el índice de la raíz.
5. Cambio de base:
Logaritmos decimales
Son los que tienen base 10. Se representan por log (x).
Logaritmos neperianos
Son los que tienen base e. Se representan por ln (x) o L(x).
Funciones Exponenciales
Además de funciones lineales, cuadráticas, racionales y radicales, existen las funciones
exponenciales. Las funciones exponenciales tienen la forma f(x) = bx, donde b > 0 y b ≠ 1. Al
igual que cualquier expresión exponencial, b se llama base y x se llama exponente.
Un ejemplo de una función exponencial es el crecimiento de las bacterias. Algunas bacterias se
duplican cada hora. Si comienzas con 1 bacteria y se duplica en cada hora, tendrás 2x bacterias
después de x horas. Esto se puede escribir como f(x) = 2x.
Las características generales de las funciones exponenciales son:
1) El dominio de una función exponencial es R.

9. 2) Su recorrido es (0, +∞)
3) Son funciones continuas.
4) Como a0 = 1 , la función siempre pasa por el punto (0, 1).
La función corta el eje Y en el punto (0, 1) y no corta el eje X.
5) Como a1 = a , la función siempre pasa por el punto (1, a).
6) Si a > 1 la función es creciente.
Si 0 < a < 1 la función es decreciente.
7) Son siempre concavas.
8) El eje X es una asíntota horizontal.
Si a > 1 :
Al elevar un número mayor que 1 a cantidades negativas cada vez más grandes, el valor de la
potencia se acerca a cero, por tanto:
Cuando x → - ∞ , entonces a x → 0
Si 0 < a < 1 :
Ocurre lo contrario que en el caso anterior:
Cuando x → + ∞, entontes a x → 0
Ejemplo de funciones exponenciales:

10. 1) Dominio:
El dominio de las funciones exponenciales es R.
Dom(f) = Dom(g) = R .
2) Recorrido:
El recorrido de las funciones exponenciales es (0, + ∞) .
Im(f) = Im(g) = (0, + ∞) .
3) Puntos de corte:
f(0) = 20 = 1 , el punto de corte con el eje Y es (0, 1).
g(0) = - 20 = 1 , el punto de corte con el eje Y es (0, 1).
La funciones f(x) y g(x) no cortan al eje X.
4) Crecimiento y decrecimiento:
La función f(x) es creciente ya que a > 1.
La función g(x) es decreciente ya que 0 < a < 1.
5) Concavidad y convexidad:
Las funciones f(x) y g(x) son concavas.
6) Asíntotas:
Las funciones f(x) y g(x) tienen una asintota en el eje X.

11. Ejemplos
Ejemplo de funciones exponenciales: f(x) = ex
1) Dominio:
El dominio de las funciones exponenciales es R.
Dom(f) = R .
2) Recorrido:
El recorrido de las funciones exponenciales es (0, + ∞) .
Im(f) = (0, + ∞) .
3) Puntos de corte:
f(0) = e0 = 1 , el punto de corte con el eje Y es (0, 1).
La función f(x) no corta al eje X.
4) Crecimiento y decrecimiento:
La función f(x) es creciente ya que e > 1 .

12. 5) Concavidad y convexidad:
Las función f(x) es concava.
6) Asíntotas:
Las función f(x) tiene una asintota en el eje X.
Funciones Trigonométricas
Para empezar a estudiar las Funciones Trigonométricas, es necesario dominar lo que en
Matemáticas se conoce como el Teorema de Pitágoras, para ello, nos familiarizaremos con
algunos de sus términos descritos a continuación:
“En un Triángulo Rectángulo el Cuadrado de la Hipotenusa es igual a la suma de los Cuadrados
de sus Catetos”.
Simbólicamente se describe así:

13. Los lados Adyacentes en un Triángulo Rectángulo se denominan Catetos, y el Lado Opuesto al
Ángulo recto se llama Hipotenusa.
Para las Funciones Trigonométricas, como se mencionó anteriormente, haremos uso del
Teorema de Pitágoras y trabajaremos con las Funciones de Seno, Coseno y Tangente, y sus
inversas, además de apoyarnos siempre con la Calculadora.
l Teorema de Pitágoras en sí, lo utilizamos para encontrar variables desconocidas, y éstas
pueden ser los Lados Adyacentes o bien, la Hipotenusa.
Ejemplo
1. Se tienen los lados de un Triángulo Rectángulo a = 6 cm. y b = 6.7 cm, lado c = 9 cm.

14. Se puede observar que tenemos una incógnita que debemos encontrar el valor, ésta será
nuestra variable X. Aplicando el Teorema de Pitágoras, procedemos a utilizar la Fórmula:
Se sustituye las cantidades numéricas en las variables correspondientes
Se realiza las operaciones
Se procede a despejar la Ecuación, a modo de dejar sola la variable que queremos encontrar:
Para dejar la Variable sola, pasamos el exponente al otro lado, convirtiéndolo en Radical.
Obtenemos Raíz Cuadrada de 45 dándonos como respuesta 6.70 = X = b

15. Las letras minúsculas son las que utilizamos en el Teorema de Pitágoras, las letras Mayúsculas,
en éste caso, se utilizarán para referirnos a los Ángulos del Triángulo.
1. Función Seno (Sen): La Función Seno nos describe la relación existente entre Lado
Opuesto sobre la Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:
2. Función Coseno (Cos): La Función Coseno describe la relación entre Lado Adyacente
sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:

16. 3. Función Tangente (Tan): Ésta Función nos representa la relación entre Lado adyacente
sobre Hipotenusa. Su simbología es la siguiente:
También tenemos las Funciones que son inversas a las anteriores:
4. Función Cotangente (Cot): Que describe la relación entre Lado Adyacente con Lado
Opuesto:
5. Función Secante (Sec): Relación entre Hipotenusa sobre Lado Adyacente:

17. 6. Función Cosecante (CsC): Nos muestra la relación entre Hipotenusa sobre Lado
Opuesto:
EJERCICIO 1: Calcula las razones trigonométricas del ángulo α :
Como ves, los tres lados del triángulo son conocidos, así que para calcular las razones
trigonométricas sólo tenemos que aplicar las fórmulas y sustituir. Para el ángulo α el cateo
opuesto es 9, el contiguo 12 y la hipotenusa 15.
EJERCICIO 2: Calcula las razones trigonométricas del ángulo C del siguiente triángulo

18. Ahora en este ejercicio ya no tenemos los tres lados, falta uno de los catetos y para calcularlo
vamos a utilizar el Teorema de Pitágoras.
Lo primero ponerle nombre a los lados. Vamos a llamarle con letras minúsculas a los lados que
están enfrente del ángulo con la correspondiente letra mayúscula; es decir a = 14 m, b = 8 m
y c es el lado que queremos calcular.
Aplicando el Teorema de Pitágoras tenemos:
a2
= b2
+ c 2
142
= 82
+ c2
196 = 64 + c2
196 - 64 = c2
132 = c2
y aplicando las fórmulas
11,49 = c tenemos:
Luego c = 11, 49 m.