Chinh phục hình học không gian thầy biển - ver 2016

Chuyên đề: CHINH PHỤC HÌNH HỌC KHÔNG GIAN - v2016
Biên soạn: NGUYỄN HỮU BIỂN - https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien Trang 1
Phần 1: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1). CÁC PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
* Phương pháp 1:
c¾t b
a;b (P)
d a;d b
a
d (P)


⊂⊂⊂⊂ ⇒⇒⇒⇒ ⊥⊥⊥⊥
⊥ ⊥⊥ ⊥⊥ ⊥⊥ ⊥ 
P
b
a
d
* Phương pháp 2:
d' (P)
d / /d'
d (P)

⇒⇒⇒⇒ ⊥⊥⊥⊥
⊥⊥⊥⊥ 
d'
P
d
* Phương pháp 3:
(P) (Q)
d (Q)
d (P),d
⊥ = ∆⊥ = ∆⊥ = ∆⊥ = ∆ 
⇒⇒⇒⇒ ⊥⊥⊥⊥
⊂ ⊥ ∆⊂ ⊥ ∆⊂ ⊥ ∆⊂ ⊥ ∆
∆
d
Q
P
* Phương pháp 4:
(P) (Q)
(P) (R) (R)
(Q) (R)
∩ = ∆∩ = ∆∩ = ∆∩ = ∆

⊥⊥⊥⊥ ⇒⇒⇒⇒ ∆ ⊥∆ ⊥∆ ⊥∆ ⊥
⊥⊥⊥⊥ 
R
Q
P
∆

2). PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI ĐƯỜNG THẲNG
d (P)
d a
a (P)
⊥⊥⊥⊥ 
⇒⇒⇒⇒ ⊥⊥⊥⊥
⊂⊂⊂⊂  a
d
P
3). PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG
d (P)
(P) (Q)
d (Q)
⊥⊥⊥⊥ 
⇒⇒⇒⇒ ⊥⊥⊥⊥
⊂⊂⊂⊂ 
Qd
P
4). XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG
a). Định nghĩa về góc giữa 2 đường thẳng cắt nhau.
Cho a b M∩ = khi đó ta có 4 góc tạo thành. Góc có số đo bé nhất được gọi là góc giữa 2
đường thẳng a và b. Ký hiệu: ( )a;b
Chú ý:
- Nếu ( ) 0
a b a;b 0≡ ⇒ =
- Nếu ( ) 0
a b a;b 90⊥ ⇒ =
Nếu gọi ( )a;bα = thì 0 0
0 90 0 c 1os≤ α ≤ ⇒ < α ≤
b). Các phương pháp xác định góc giữa hai đường thẳng chéo nhau
* Phương pháp 1: Để xác định góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau:
- Kẻ a '/ /a,b'/ /b sao cho a ' b' M∩ = . Khi đó ( ) ( )a;b a ';b'α = =
b
a
α
M
b'
a'
α
M
b
a

* Phương pháp 2: Để xác định góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b ta làm như sau:
- Từ 1 điểm M bất kỳ trên a ta kẻ đường thẳng b'/ /b . Khi đó ( ) ( )a;b a;b'α = =
b
α
M
b'
a
5). CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH GÓC GIỮA HAI MẶT PHẲNG
* Phương pháp 1: Giả sử ( ) ( )P Q∩ = ∆ , trong (P) dựng a ⊥ ∆ tại M, trong (Q) dựng b ⊥ ∆ tại M.
Khi đó ta có ( ) ( )( ) ( )P ; Q a;b=
M
∆
a
b
(P)
(Q)
α
* Phương pháp 2: Nếu a (P),b (Q)⊥ ⊥ thì ( ) ( )( ) ( )P ; Q a;b=
α
M
∆
a b
(P)
(Q)
α

* Phương pháp 3: Nếu ABC∆ là hình chiếu của SBC∆ , khi đó α là góc tạo bởi mặt phẳng (SBC)
với mặt phẳng (ABC) được xác định bởi công thức ABC
SBC
S
c
S
os ∆
∆
α = (công thức hình chiếu diện tích)
α
C
B
A
S
6). CÁC PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH TỪ 1 ĐIỂM ĐẾN MẶT PHẲNG
a). Định nghĩa: Cho mặt phẳng (P) và điểm M (P)∉ . Khi đó ( )
HM (P)
d M;(P) MH
H (P)
⊥
= ⇔ 
∈
(P)
H
M
b). Các phương pháp xác định khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng
* Phương pháp 1: Để xác định khoảng cách từ điểm M đến (P) ta làm như sau:
- Tìm ra mặt phẳng (Q) chứa M và (Q) (P)⊥ = ∆ .
- Kẻ MH ⊥ ∆ tại H. Khi đó ( )d M;(P) MH=
∆
(Q)
(P)
H
M

* Phương pháp 2: Để xác định khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (ABC) ta có thể tính thông
qua thể tích khối chóp M.ABC như sau: M.ABC
M.ABC ABC
ABC
3.V1
V .d(M;(ABC)).S d(M;(ABC))
3 S
∆
∆
= ⇒ =
C
B
A
M
c). Một số lưu ý khi tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng
* Lưu ý 1: Nếu MN / /(P) thì ( ) ( )d M;(P) d N;(P)=
NM
(P)
* Lưu ý 2: Nếu tia MN cắt (P) tại A thì
( )
( )
d M;(P) MA
d N;(P) NA
=
(P)
A
N
M
* Lưu ý 3: Ngoài 2 phương pháp tính khoảng cách từ 1 điểm M đến mặt phẳng (P) đã trình bày ở
trên thì phương pháp phổ biến nhất để tính khoảng cách từ 1 điểm M đến mặt phẳng (P) ta thường
thông qua khoảng cách từ chân đường vuông góc nào đó đến mặt phẳng cần tính theo mô hình mẫu
sau đây:

∆
(P)
K
H
S
M
- Xây dựng 1 mặt phẳng chứa M và vuông góc (P) bằng cách: từ M kẻ MH ⊥ ∆ tại H
( )SAM (P)⇒ ⊥ theo giao tuyến SM.
- Kẻ MK SM⊥ tại K ( ) ( )( )MK P d M; P MK⇒ ⊥ ⇒ =
7). PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH KHOẢNG CÁCH GIỮA 2 ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU
a). Định nghĩa đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau.
MN được gọi là ĐOẠN vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau 1∆ và 2∆
1
2
1 2
MN
MN
M , N
⊥ ∆

⇔ ⊥ ∆
 ∈∆ ∈∆
N
M
∆2
∆1
b). Định nghĩa khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.
- Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau d và d’ chính là độ dài đoạn vuông góc chung.
- Ký hiệu ( )1 2d ; MN∆ ∆ =
c). Phương pháp xác định khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau.
Để tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau 1∆ và 2∆ , trước hết ta phải tìm ra mặt
phẳng (P) chứa 1 trong 2 đường thẳng, không mất tính tổng quát ta giả sử (P) chứa 2∆ . Khi đó, bài
toán tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau 1∆ và 2∆ ta đưa về 1 trong 2 trường hợp sau
đây:
* Trường hợp 1: 1 (P)∆ ⊥ tại M, khi đó ta dựng 2MN ⊥ ∆ tại N ⇒ MN là đoạn vuông góc
chung của 1∆ và 2∆ ( )1 2d ; MN⇒ ∆ ∆ = (Trường hợp này thường mặt phẳng (P) đã cho sẵn)

P N
M
∆2
∆1
* Trường hợp 2: 1 / /(P)∆ , khi đó khoảng cách giữa 2 đường thẳng 1∆ và 2∆ sẽ bằng
khoảng cách từ 1 điểm M bất kỳ trên 1∆ đến mặt phẳng (P) ( ) ( )( )1 2d ; d M; P MH⇒ ∆ ∆ = = (Trường
hợp này thường mặt phẳng (P) chưa cho sẵn mà phải tự xây dựng)
H
M
∆2
∆1
P
8). PHƯƠNG PHÁP TÍNH THỂ TÍCH CỦA KHỐI ĐA DIỆN
a). Thể tích của khối chóp (khối tứ diện): V =
1
3
. (diện tích đáy) . (đường cao)
b). Thể tích của khối lăng trụ (khối hình hộp): V = (diện tích đáy) . (đường cao)
c). Công thức tỉ số thể tích (công thức SIMSON)
Cho hình chóp S.ABC, trên SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A’, B’, C’ khi đó ta có:
S.A'B'C'
S.ABC
V SA' SB' SC'
. .
V SA SB SC
=
C
C'
B
B'
A
A'
S

* Lưu ý: Các tính chất của hình chóp đều
- Đáy là đa giác đều (tam giác đều, hình vuông, …)
- Chân đường cao trùng với tâm của đa giác đáy.
- Góc giữa các cạnh bên và mặt đáy bằng nhau.
- Góc giữa các mặt bên và mặt đáy bằng nhau.
- Tất cả các cạnh bên bằng nhau
9). PHƯƠNG PHÁP XÁC ĐỊNH TÂM CỦA MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP - LĂNG TRỤ
a). Phương pháp chung:
- Tâm của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy với
mặt phẳng trung trực của cạnh bên.
- Tâm đường mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng là trung điểm của đoạn thẳng nối tâm 2 đáy của
lăng trụ đó.
I
C'
B'
A'
C
B
A
O2
O1
b). Các trường hợp thường gặp
* Trường hợp 1: Hình chóp có các đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới 1 góc vuông.
- Nếu hình chóp S.ABCD có 0
SAC SDC SBC 90= = = thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp
S.ABCD là trung điểm SC, bán kính
SC
R
2
= .
I
D
C
BA
S

* Trường hợp 2: Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau.
- Nếu hình chóp S.ABC có SA SB SC= = thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC được
xác định như sau:
∆
C
BA
S
d
H
I
O
* Trường hợp 3: Hình chóp có cạnh bên vuông góc với đáy.
- Nếu hình chóp S.ABC có SA (ABC)⊥ thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC được
C
∆
B
A
S
d
H
I
O
* Trường hợp 4: Hình chóp có mặt bên vuông góc với đáy.
- Nếu hình chóp S.ABC có (SAB) (ABC)⊥ thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC được

d2
O2
B
A
S
d1
C
I
O1
* Trường hợp 5: Hình chóp có đáy là nửa lục giác đều.
- Nếu hình chóp S.ABCD có (ABCD) là nửa lục giác đều thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình
chóp S.ABCD được xác định như sau:
O
H
I
D
CB
A
S
* Trường hợp 6: Hình chóp có đáy là tứ giác có tổng 2 góc đối diện bằng 0
90 .
- Nếu hình chóp S.ABCD có 0
ABC ABD 90+ = thì tâm I của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD
được xác định như sau:
H
I
O
D
C
B
A
S

Phần 2: BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang vuông tại A và B, AB a= , BC a 2= ,
a 2
AD
2
= , hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau, SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Góc
tạo bởi mặt phẳng (SBC) và mặt đáy bằng 0
45 , M là trung điểm SC. Tính thể tích của khối chóp
M.BCD và khoảng cách giữa 2 đường thẳng SC và BD theo a.
Phân tích và hướng dẫn
a 2
450
a 2
2
a
a
C
D
K
M
H
I
B
A
S
* Ý 1: tính thể tích của khối chóp M.BCD
Để tính được thể tích của khối chóp, điểm quan trọng là phải xác định được đường cao
+ Gọi H là trung điểm AC ⇒ MH là đường trung bình của SAC∆
( )MH / /SA MH ABCD⇒ ⇒ ⊥ ⇒ MH là đường cao của khối chóp M.BCD
⇒ thể tích khối chóp M.BCD là BCD
1
V .MH.S
3
∆=
+ Ta có
SA a
MH
2 2
= = , ( )2 2
BCD
1 1
S .DB.CI . AB AD . AC AI
2 2
∆ = = + −
( )2 2 2 2
BCD
1
S . AB AD . AB BC AI
2
∆⇒ = + + − , mà 2 2 2
1 1 1 a
AI
AI AB AD 3
= + ⇒ =

2 3
BCD
a a
S V
2 6 2
∆⇒ = ⇒ = (đvtt)
* Ý 2: tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng SC và BD
+ Ta thấy ngay mặt phẳng (SAC) chứa SC và vuông góc với BD (do BD AC,BD SA⊥ ⊥ ), vì vậy để
tính khoảng cách từ SC đến BD ta nhớ lại mô hình quen thuộc sau
D
B
I
K
(SAC)
C
S
+ Như vậy ta kẻ IK SC⊥ tại K IK⇒ là đoạn vuông góc chung của SC và BD ⇒ IK là khoảng
cách cần tìm
+ Ta có
2a
IK IC IK a3IKC SAC IK
SA SC a 2a 3
∆ ∆ ⇒ = ⇔ = ⇔ =δδδδ
* Nhận xét : ý 2 của câu 7 này có thể làm bằng phương pháp cài tọa độ với việc chọn gốc tọa độ O
tại A, B ,D Oy,S OzOx∈ ∈ ∈ , từ đó ta dễ dàng tìm được ( )A 0;0;0 , ( )B a;0;0 , ( )C a;a 2;0 ,
a 2
D 0; ;0
2
 
  
 
, ( )S 0;0;a .
P
C
S
DB
Gọi (P) là mặt phẳng chứa SC và (P) song song với BD ⇒ (P) qua S và có vec tơ pháp tuyến là
2 2
2a 2 3a 2
n SC;BD ;a ;
2 2
 
 = =     
 

⇒ (P) có phương trình 2x 2y 3 2z 3 2a 0+ + − = ( ) ( )
a
d BD,SC d B,(P)
3
⇒ = = (các bạn tự tính
toán để kiểm tra lại đáp số nhé)
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh a, SA vuông góc với mặt đáy, SA a 3= .
Gọi M, N là các trung điểm của SB, SC. Tính thể tích khối chóp ABCNM và khoảng cách từ điểm
C đến mặt phẳng (SAB).
S
H
N
K
M
A
FI
B
C
* Ý 1: tính thể tích khối chóp ABCNM
Để tính được thể tích khối chóp ABCNM ta cần xác định đường cao, thật vậy:
+ Gọi I là trung điểm BC, ta có
BC AI
BC (SAI);BC (SBC) (SBC) (SAI)
BC SA
⊥ 
⇒ ⊥ ⊂ ⇒ ⊥
⊥ 
theo giao
tuyến SI.
+ Do đó, trong mặt phẳng (SAI), kẻ AH SI⊥ tại H AH (SBC)⇒ ⊥ , vậy AH là đường cao của khối
chóp ABCNM ABCNM BCNM
1
V AH.S
3
⇒ =
+ Ta có
( )
2 22 2 2 2
1 1 1 1 1 5 3
AH a
AH AI 3a 5a 3 a 3
1
AS
= + = + = ⇒ =
 
 
 
+ Gọi
2
BCNM
a a 15
a .
(BC NM).IK 3a 152 4
K SI MN S
2 2 16
 
+ +  = ∩ ⇒ = = =
3
ABCNM
3a
V
16
⇒ =
* Ý 2: tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB)
+ Gọi F là trung điểm của AB, ta có ( )
CF AB a 3
CF (SAB) CF d C;(SAB)
CF SA 2
⊥ 
⇒ ⊥ ⇒ = =
⊥ 

Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, M là trung điểm AA’, góc
tạo bởi mặt phẳng (BMC’) và (ABC) bằng 0
60 . Tính theo a thể tích của lăng trụ đứng
ABC.A’B’C’ và khoảng cách từ AB đến MC’.
K
600
a
M
A'
B'
C'
D
H
C
a
E
a
B
A
I
* Ý 1: tính thể tích của lăng trụ đứng ABC.A’B’C’
Trước hết ta cần lập luận để xác định được góc tạo bởi mặt phẳng (BMC’) và (ABC)
+ Gọi I AC MC'= ∩ , do
IA MA 1
AM / /CC'
IC CC' 2
⇒ = = ⇒ A là trung điểm của IC.
+ IBC∆ có A là trung điểm của IC và
1
BA .IC
2
= IBC⇒ ∆ vuông tại B BC BI⇒ ⊥ , mà
BI C'C BI (C'CB) BI C'B⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ ⇒ góc tạo bởi mặt phẳng (BMC’) và (ABC) là góc tạo bởi 2
đường thẳng C’B và CB 0
C'BC 60⇒ = .
+ Ta có thể tích của lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ là ABCV C'C.S∆=
+ Xét C'BC∆ có 0 C'C
tan 60 C'C a 3
BC
= ⇒ = , ABC∆ đều cạnh a
2
ABC
a 3
S
4
∆⇒ =
3
ABC
3a
V C'C.S
4
∆⇒ = = (đvtt)
* Ý 2: tính khoảng cách từ AB đến MC’
+ Để tính khoảng cách từ AB đến MC’ ta sẽ xây dựng mặt phẳng chứa AB và song song với MC’
bằng cách : gọi D là trung điểm của C’C AM / /C'D,AM C'D AMC'D⇒ = ⇒ là hình bình hành
MC'/ /AD MC'/ /(ABD) d(AB,MC') d(MC',(ABD))⇒ ⇒ ⇒ =
+ Ta có d(MC',(ABD)) d(C',(ABD))=
+ Nhận thấy nếu gọi E là trung điểm AB thì AB (DCE)⇒ ⊥ (do AB CE,AB DC⊥ ⊥ )
(ABD) (DCE)⇒ ⊥ theo giao tuyến ED
⇒ kẻ C'K ED⊥ tại K C'K (ABD) C'H d(C',(ABD))⇒ ⊥ ⇒ =
+ Mặt khác do D là trung điểm CC’ nên d(C,(ABD)) d(C',(ABD))⇒ =

C'
C
KH
(ABD)
⇒ kẻ CH ED⊥ tại H CH (ABD) CH d(C,(ABD))⇒ ⊥ ⇒ =
+ Xét ECD∆ vuông tại C, đường cao CH 2 22 2 2
1 1 1 1 1 3
CH a
3a 3aCH CD CE 8
4 4
⇒ = + = + ⇒ =
Vậy khoảng cách từ AB đến MC’ là
3
a
8
Chú ý: Ý 2 của câu 7 có thể làm bằng phương pháp cài tọa độ với việc chọn B làm gốc tọa độ,
I Ox,C Oy,B' Oz∈ ∈ ∈ , khi đó ta dễ dạng có được ( )B 0;0;0 , ( )I a 3;0;0 , ( )C 0;a;0 ,
a 3 a
A ; ;0
2 2
 
  
 
,
( )C' 0;a;a 3 ,
a 3 a a 3
M ; ;
2 2 2
 
  
 
, a 0>
+ Gọi (P) là mặt phẳng chứa AB và song song với MC’, khi đó (P) qua ( )B 0;0;0 và có vec tơ pháp
tuyến là
2 2 2
a 3 3a a 3
n C'M;BA ; ;
4 4 2
 
 = = −    
 
( ) ( ) ( )
2 2 2
a 3 3a a 3
(P) : x 0 y 0 z 0 0 x 3y 2z 0
4 4 2
⇒ − − − + − = ⇔ − + =
P
B
A
MC'
( ) ( )
( )
2
2 2
0 3a 2a 3 3
d MC',AB d C',(P) a
8
1 3 2
− +
⇒ = = =
+ − +
Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, mặt bên (SAD) là tam giác vuông
cân tại S, hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc AD sao cho HA 3.HD= . Gọi M
là trung điểm của AB, biết SA 2 3a= và đường thẳng SC tạo với đáy một góc 0
30 . Tính theo a thể
tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC).

D 300
2 3a
M
K
B
A
H
C
I
S
* Ý 1: tính thể tích khối chóp S.ABCD
+ Do hình chiếu vuông góc của S lên (ABCD) là điểm H thuộc AD nên SH là đường cao của khối
chóp S.ABCD S.ABCD ABCD
1
V .SH.S
3
⇒ =
+ SAD∆ vuông tại S, đường cao SH
( )
2
2 3
SA AH.AD 2 3a AD.AD AD 4a AH 4a,HD a
4
⇒ = ⇔ = ⇔ = ⇒ = =
2
SH HA.HD 3a.a SH a 3⇒ = = ⇔ =
+ SHC∆ vuông tại H, 0
SCH 30 SC 2.SH 2a 3 HC 3a= ⇒ = = ⇒ =
2 2 2
ABCDDC HC HD 2 2a S AD.DC 8 2a⇒ = − = ⇒ = =
Vậy thể tích khối chóp S.ABCD là
3
S.ABCD ABCD
1 8 6a
V .SH.S
3 3
= = (đvtt)
* Ý 2: tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC).
Vẫn theo mạch suy luận quen thuộc đó là tính khoảng cách từ 1 M điểm đến 1 mặt phẳng (SBC) ta
đưa về khoảng cách từ chân đường vuông góc H đến mặt phẳng (SBC).
+ Ta có M là trung điểm AB nên ( )( ) ( )( )1
d M, SBC d A, SBC
2
=
(SBC)
B
M
A

+ Mặt khác ta lại có ( )( ) ( )( )AH / /(SBC) d A, SBC d H, SBC⇒ =
HA
(SBC)
+ Kẻ HK BC⊥ tại K, mà ( ) ( )BC SH BC (SHK) SBC SHK⊥ ⇒ ⊥ ⇒ ⊥ theo giao tuyến SK ⇒ kẻ
HI SK⊥ tại I ( ) ( )( )HI SBC d H, SBC HI⇒ ⊥ ⇒ =
+ SHK∆ vuông tại H, đường cao HI 2 2 2
1 1 1 2a 66
HI
HI SH HK 11
⇒ = + ⇒ = (chú ý HK DC= ). Vậy
khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (SBC) là
a 66
11
(CÒN NỮA)

Chinh phục hình học không gian thầy biển - ver 2016

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Destaque

Destaque (11)

Semelhante a Chinh phục hình học không gian thầy biển - ver 2016

Semelhante a Chinh phục hình học không gian thầy biển - ver 2016 (20)

Chinh phục hình học không gian thầy biển - ver 2016