1. Expresiones algebraicas
Keily Montes
Ci: 31.271.594
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la educación
Universidad Politécnica Territorial "Andrés Eloy Blanco" (UPTAEB)
Barquisimeto- Eso. Lara
2. Expresiones algebraicas
• Una expresión algebraica es una combinación de letras ó letras y
números unidos por medio de las operaciones: suma, resta,
multiplicación, división, potenciación ó radicación, de manera
finita.Usualmente las primeras letras de nuestro alfabeto: a, b, c, d, etc.
si no se dice otra cosa, representan valores fijos en la expresión.
expresión.
• Estas letras también se pueden llamar parámetros.Las últimas letras de
nuestro alfabeto: x, y, z, u otros símbolos, representan variables que
pueden tomar valores dentro de un subconjunto de números reales.
3. Suma algebraica
En álgebra la suma es una de las operaciones fundamentales y la más
básica, sirve para sumar monomios y polinomios. La suma algebraica sirve
para sumar el valor de dos o más expresiones algebraicas. Como se trata de
expresiones que están compuestas por términos numéricos y literales, y con
exponentes, debemos estar atentos a las siguientes reglas:
• Suma de monomios:La suma de dos monomios puede dar como resultado
un monomio o un polinomio.Cuando los factores son iguales, por ejemplo,
la suma 2x + 4x, el resultado será un monomio, ya que la literal es la
misma y tiene el mismo grado (en este caso, sin exponente)
En este caso sumaremos solo los términos numéricos, ya que, en ambos
casos, es lo mismo que multiplicar por x:
2x + 4x = (2+4)x = 6x
4. Suma algebraica: monomios
Cuando las expresiones tienen signos diferentes, se respeta el signo. Si es
necesario, escribimos la expresión entre paréntesis: (–2x) + 4x; 4x + (–2x).
Aplicando la ley de los signos, al sumar una expresión conserva su signo, positivo o
negativo:
4x + (–2x) = 4x – 2x = 2x.
En el caso de que los monomios tengan literales diferentes, o en caso de tener la
misma literal, pero con diferente grado (exponente), entonces el resultado de la
suma algebraica es un polinomio, formado por los dos sumandos. Para distinguir la
suma de su resultado, podemos escribir los sumandos entre paréntesis:
(4x) + (3y) = 4x + 3y
(a) + (2a2) + (3b) = a + 2a2 + 3b
(3m) + (–6n) = 3m – 6n
Cuando en la suma hay dos o más términos comunes, es decir, con las mismas
literales y del mismo grado, se suman entre sí, y se escribe la suma con los demás
términos:
(2a) + (–6b2) + (–3a2) + (–4b2) + (7a) + (9a2)=
[(2a) + (7a)] + [(–3a2) + (9a2)] + [(–6b2) + (–4b2)] = [9a]+[ 6a2]+[ –10b2] =
9a + 6a2 – 10b2
5. Suma algebraica: polinomios
Un polinomio es una expresión algebraica que está formada por sumas y restas de los
diferentes términos que conforman el polinomio. Para sumar dos polinomios, podemos
seguir los siguientes pasos:
Sumaremos 3a2 + 4a + 6b –5c – 8b2 con c + 6b2 –3a + 5b
Ordenamos los polinomios en relación a sus letras y sus grados, respetando el signo de
cada término:
4a +3a2 + 6b – 8b2
–3a + 5b + 6b2 + c
Agrupamos las sumas de los términos comunes:
[4a –3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2] + c
Efectuamos las sumas de los términos comunes que pusimos entre paréntesis o
corchetes. Recordemos que al ser suma, cata término del polinomio conserva su signo en
el resultado: [4a –3a] + 3a2 + [6b + 5b] + [– 8b2 + 6b2] + c = a + 3a2 + 11b – 2b2 + c
Otra forma de ilustrar esto, es haciendo la suma en forma vertical, alineando los términos
comunes y realizando las operaciones:
6. Resta algebraica
En matemáticas, la resta algebraica es cuando dos valores se añaden entre sí por medio de un
signo menos (–). Este va a afectar al término siguiente, modificando su signo. Si el término es
positivo, el signo lo vuelve negativo. Y viceversa. Este cambio de signo va de acuerdo con las
Leyes de los signos.
Los requisitos para que esta operación pueda realizarse son:
Los términos deben ser semejantes. Es decir, contener las mismas literales y exponentes, como
3x2yz, x2yz, 4x2yz.
Se tiene que poner el signo (–) entre los términos que se van a restar [4x2yz – 3x2yz].
Si el siguiente término tiene signo negativo, se señalará [3x2yz – (–x2yz)] y se afectará con él
[3x2yz + x2yz].
Si los términos no son semejantes, sólo se señala la operación después de afectar el signo del
término que le sigue [3x2yz – xyz3]. No se acumulan, por lo que no hay resta qué realizar.
¿Cómo se resuelve una resta algebraica?
Hay que seguir algunos pasos para calcular una resta algebraica correctamente. Se va a partir de
un ejemplo:
3x2 – (– 4x2)
Primero se observa el signo del término siguiente: en este caso, (– 4x2) es negativo.
Se afecta el término con el signo menos: – (– 4x2) = + 4x2.
Por las Leyes de los signos, (–)*(–) = (+) “Menos por menos igual a más”.
Se escribe la operación ya con el signo modificado: 3x2 + 4x2.
Se resuelve la operación: 3x2 + 4x2 = 7x2.
7. Valor numérico
Para hallar el valor numérico de una expresión algebraica, se reemplaza el valor dado
de la(s) letra(s) y se realizan las operaciones indicadas en la expresión, ahora, entre
números, El valor obtenido, es el valor numérico de la expresión dada.
Ejemplo 1
Evalúe la expresión para x = -1.
Solución:
Luego el valor numérico de la expresión para x = -1 , es 1.
8. Multiplicación algebraica
La multiplicación es la abreviación de la suma y el concepto aplicado al algebra no cambia,
pero debemos emplear varios conocimientos previos que se muestran a continuación:
Ley de signos:
+⋅+=++⋅+=+
+⋅–=−+⋅–=−
–⋅+=−–⋅+=−
–⋅–=+–⋅–=+
Multiplicación de potencias: Estas corresponden a las propiedades de potencias y se aplican
en la multiplicación algebraica para calcular factores literal con la misma base.
Multiplicación de potencias de igual base
ab⋅ac=ab+cab⋅ac=ab+c
Se mantiene la base y se suman los exponentesexponentes
Multiplicación de potencias de igual exponente
ac⋅bc=(a⋅b)cac⋅bc=(a⋅b)c
Se mantiene el exponente y se multiplican las bases.
9. División algebraica
Es una operación entre dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor para
obtener otra expresión llamada cociente por medio de un algoritmo.
D d
R q
Esquema de la división clásica
Donde:
D es el dividendo
d es el divisor
q es el cociente
R es el residuo
Tal que se cumpla la siguiente relación:
D=da+R
El dividendo es igual al divisor por el cociente, mas el residuo. De aquí se extraen 2 tipos
de división
División exacta: esta división se define cuando R residuo es cero, entonces:
D=dq+0. = D/d=q
División inexacta: esta división se define cuando el residuo R es diferente a cero. De la
identidad, dividiendo entre el divisor d, tenemos:
D/d= da+R/d. = D/d=q+R/d
Significa que es inexacta ya que existe un termino adicional R/d
10. Productos notables
En matemáticas, un producto corresponde
al resultado que se obtiene al realizar una
multiplicación. Sabemos que algo es notable
cuando nos llama la atención o destaca entre un
grupo de cosas.
Entonces, los productos notables son
simplemente multiplicaciones especiales entre
expresiones algebraicas, que por sus
características destacan de las demás
multiplicaciones. Las características que hacen
que un producto sea notable, es que se
cumplen ciertas reglas, tal que el resultado
puede ser obtenido mediante una simple
inspección, sin la necesidad de verificar o
realizar la multiplicación paso a paso.
11. Tipos de productos notables
1- Binomio al cuadrado o cuadrado de la suma de dos cantidades:
(expresión algebraica) a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 (producto notable)
De este modo el cuadrado de la suma de dos cantidades es equivalente a la primera
cantidad al cuadrado; más el doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda,
sumada a la segunda cantidad al cuadrado.
Esto significa que cuando se tiene una expresión como a2 + 2ab + b2 se sabe que se la
puede factorizar en (a + b)2
2-Binomio al cubo
Esto implica que el cubo de la primera cantidad más el cubo de la segunda cantidad es
igual al cubo de la primera; más el triple de la primera cantidad al cuadrado por la
segunda; sumado el triple de la primera cantidad por la segunda al cuadrado; más la
segunda al cubo.
De este modo cuando se tiene la expresión a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 se puede factorizar en
(a + b)3
3-Diferencia de cuadrados o cuadrado de la diferencia de dos cantidades
El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual a la primera cantidad al cuadrado
menos la multiplicación del doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda,
más el cuadrado de la segunda.Así es que cuando aparece la siguiente expresión: a2 –
2ab + b2, se la puede factorizar en el siguiente producto notable (a – b)2
12. Tipos de productos notables
4-La suma de dos números por su diferencia (a + b) (a – b) es igual a la diferencia del
cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo.
De este modo cuando aparece la antedicha expresión algebraica se puede resolver a
través del producto notable: a2 – b2
5-Trinomio al cuadrado
El cuadrado de la suma de tres cantidades es equivalente al cuadrado de la primera
cantidad, más el cuadrado de la segunda, más el cuadrado de la tercera, más el doble
del producto de la primera por la segunda; más el doble del producto de la primera
por la tercera; más el doble del producto de la segunda por la tercera.
Así si se tiene la siguiente expresión algebraica:
a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc se puede factorizar en el producto notable (a + b + c)2
13. Factorización
En matemáticas la factorización es una técnica que consiste en la descomposición
en factores de una expresión algebraica (que puede ser un número, una suma o
resta, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen distintos
métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el
objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de «bloques
fundamentales», que reciben el nombre de factores, como por ejemplo un
número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.
Lo contrario de la factorización de polinomios es la expansión, la multiplicación de
los factores juntos polinómicas a un polinomio "ampliado", escrito como una
simple suma de términos.
14. Referencias
• Del Moral, M. & Rodriguez, J. (s.f.). Ejemplo de Suma Algebraica.Ejemplo de. Recuperado el
31 de Enero de 2023 de https://www.ejemplode.com/5-matematicas/4670-
ejemplo_de_suma_algebraica.htmlFuente: https://www.ejemplode.com/5-
matematicas/4670-ejemplo_de_suma_algebraica.html#ixzz7uY3mLdBZ
• Del Moral, M. & Rodriguez, J. (s.f.). Ejemplo de Resta Algebráica.Ejemplo de. Recuperado el
31 de Enero de 2023 de https://www.ejemplode.com/5-matematicas/4671-
ejemplo_de_resta_algebraica.htmlFuente: https://www.ejemplode.com/5-
matematicas/4671-ejemplo_de_resta_algebraica.html#ixzz7uYfvuCtM
• División algebraica. Disponible en: https://ciencias-
basicas.com/matematica/elemental/operaciones-algebraicas/5-division-algebraica/
• Factorización. Disponible en: https://es.m.wikipedia.org/wiki/Factorizaci%C3%B3n
• Multiplicacion algebraica. Disponible en:
https://matematicasdesdecero.com/algebra/multiplicacion-algeb
• Producto notables. Disponible en:
http://campusvirtual.cua.uam.mx/material/tallerm/04_Productos_notables_html/
• Tipos de productos notables. Disponibles en: https://diccionarioactual.com/productos-
notables/
