Este documento introduce las ecuaciones paramétricas y su aplicación en el álgebra vectorial. Explica que las ecuaciones paramétricas definen una curva en términos de una variable parámetro t, donde x e y son funciones de t. También compara la representación paramétrica con la ecuación cartesiana, y describe cómo transformar entre los dos formatos y graficar curvas paramétricas.

1. ECUACIONES
PARAMETRICAS
´Republica Bolivariana DeVenezuela .
Ministerio Del Poder Popular Para la educación .
instituto universitario politécnico ¨ Santiago Mariño ¨.
sede Barcelona – estado Anzoátegui.
ECUACIONES
PARAMÉTRICAS
Profesor: Pedro Beltran Bachiller:
Karianna Bravo
C.I:29.733.730
Barcelona,19 de octubre del 2020

2. INTRODUCCIÓN
El álgebra lineal es una de las ramas de las matemáticas que estudia conceptos tales
como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal,
espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales. A continuación veremos como se
representa una curva o superficie en el plano o en el espacio mediante la aplicación
de las ecuaciones paramétricas ,comparar la grafica de ecuaciones paramétricas con la
grafica de la ecuación cartesiana ,determinar la longitud de arco de una curva a través de
sus ecuaciones paramétricas y aplicar ecuaciones vectoriales paramétricas para la
determinación de las características cinemáticas de una partícula en movimiento.

3. ÁLGEBRA
VECTORIAL
Es una rama de las matemáticas encargada de estudiar
sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios
vectoriales y sus transformaciones lineales. Se relaciona con áreas
como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis
funcional, investigación de operaciones, gráficas computacionales,
entre otras.

4. Existen tres modos esencialmente distintos para introducir el álgebra
vectorial: geométricamente, analíticamente y axiomáticamente.
 Geométricamente
Los vectores son representados por rectas que tienen una
orientación, y las operaciones como suma, resta y multiplicación por
números reales son definidas a través de métodos geométricos.
 Analíticamente
La descripción de los vectores y sus operaciones es
realizada con números, llamados componentes. Este tipo de
descripción es resultado de una representación geométrica porque se
utiliza un sistema de coordenadas.
 Axiomáticamente
Se hace una descripción de los vectores,
independientemente del sistema de coordenadas o de cualquier tipo
de representación geométrica.
ÁLGEBRA
VECTORIAL

5. VECTORES
son segmentos de recta en los que su extremo final es la punta
de una flecha. Estos son determinados por su módulo o longitud del
segmento, su sentido que es indicado por la punta de su flecha y su
dirección de acuerdo con la recta a la que pertenezca. El origen de un
vector es también conocido como el puntode aplicación.
Elementos
 Módulo :Es la distancia que hay desde el origen hasta el extremo de un
vector, representada por un número real junto con una unidad.
 Dirección :Es la medida del ángulo que existe entre el eje x (a partir del
positivo) y el vector, así como también se utilizan los puntos cardinales
(norte, sur, este y oeste).
 Sentido :Es dado por la punta de flecha ubicada en el extremo del
vector, indicando hacia dónde se dirige este.

6. Clasificaciónde
losvectores
 Vector fijo
Es aquel cuyo punto de aplicación (origen) es fijo; es decir, que
se mantiene ligado a un punto del espacio, por lo que no puede
desplazarse en este.
 Vector libre
Puede moverse libremente en el espacio porque su origen se
traslada a cualquier punto sin cambiar su módulo, sentido o
dirección.
 Vector deslizante
Es aquel que puede trasladar su origen a lo largo de su línea de
acción sin cambiar su módulo, sentido o dirección.

7. ECUACIONES
PARAMÉTRICAS
son aquellas definidas en términos de un solo parámetro,
generalmente, este parámetro es ‘t’. Una curva que represente tal
ecuación es llamada curva paramétrica. Para ello, las variables de la
ecuación Cartesiana son transformadas con el fin de representar el
parámetro ‘t’ como, x = f(t) y = g(t)
GRAFICADE ECUACIONES PARAMETRICAS
Las ecuaciones paramétricas son aquellas ecuaciones en que
las variables x y y, cada una separadamente, están expresadas en función
de la misma tercera variable. Según esto, designando por la letra z la
tercera variable, comúnmente llamada variable paramétrica. Una curva
plana C es un conjunto de puntos P(x, y) cuyas coordenadas están dadas
por las ecuaciones paramétricas. x = f( t ), y = g ( t ). en donde f y g son
funciones continuas en un intervalo [a,b]. Ejemplo:

8. Considera las ecuaciones paramétricas x=t y y=(t) para -3<t<2. se
grafica las ecuaciones en papel cuadriculado.
Solución
Usa las ecuaciones para calcular los valores x y y que
corresponden a los valores t en el intervalo
Después grafica los puntos a medida que t aumenta, conectando
cada punto con el anterior.ECUACIONES
PARAMÉTRICAS

9. Representación
paramétricade
unacurva
La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional
consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente
o parámetro (habitualmente se considera que t es un número real y que los puntos del
espacio n-dimensional están representados por n coordenadas reales), de la forma
donde x representa la i-ésima coordenada del punto generado al asignar valores del
intervalo [a, b] a t. Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3
funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t)
Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cada punto le
corresponda un punto distinto de la curva; si las coordenadas del punto obtenido al hacer t
= a son las mismas del punto correspondiente a t = b la curva se denomina cerrada.
Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un punto
ordinario si las derivadas de las funciones paramétricas existen en y son continuas en ese
punto y al menos una es distinta de 0. Si un arco de curva está compuesto solamente de
puntos ordinarios se denomina suave.
Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial
donde ek representa al vector unitario correspondiente a la coordenada k-ésima. Por
ejemplo, las funciones paramétricas de un círculo unitario con centro en el origen son x
= cos t, y = sen t. Podemos reunir estas ecuaciones como una sola ecuación de la forma
Siendo ij la base usual del espacio bidimensional real.

10. Transformarlas
ecuaciones
paramétricasalas
cartesianas.
Está dada por: Ax + By + Cz + D = 0, es decir, los puntos del
espacio (x, y, z) que satisfacen la ecuación y forman un plano.
Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuando está escrita en
ecuación paramétrica:
 1) Se igualan las coordenadas.
 2) Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente.
 3) Se eliminan los parámetros para encontrar una única ecuación lineal
en variables (x, y, z).
Ecuación paramétrica: función que asocia un punto de la recta a cada
valor del parámetro en la recta numérica. x= x + λp + μq y= y + λp + μq z= z
+ λp + μq
 λ=0, μ=0
 λ=0, μ=1
 λ=2, μ=2

11. Comparacionde
graficade
ecuaciones
paramétricascon
graficadela
ecuacióncartesiana.
En general, una curva plana se define por dos variables,
a saber, x e y. Tal plano se conoce como plano Cartesiano y su
ecuación se llama ecuación Cartesiana.
Las ecuaciones paramétricas son aquellas definidas en
términos de un solo parámetro, generalmente, este parámetro es
‘t’. Una curva que represente tal ecuación es llamada curva
paramétrica. Para ello, las variables de la ecuación Cartesiana son
transformadas con el fin de representar el parámetro ‘t’ como: x =
f(t) y = g(t)
Una curva paramétrica puede ser dibujada de muchas
formas diferentes y la más conveniente entre ellas es la selección
de ciertos valores de t y obtener los valores correspondientes de
f(t) y g(t), es decir, x e y. Entonces estos son después trazados en
coordenadas Cartesianas.