1.
ECUACIONES
PARAMETRICAS
´Republica Bolivariana DeVenezuela .
Ministerio Del Poder Popular Para la educación .
instituto universitario politécnico ¨ Santiago Mariño ¨.
sede Barcelona – estado Anzoátegui.
ECUACIONES
PARAMÉTRICAS
Profesor: Pedro Beltran Bachiller:
Karianna Bravo
C.I:29.733.730
Barcelona,19 de octubre del 2020

2.
INTRODUCCIÓN
El álgebra lineal es una de las ramas de las matemáticas que estudia conceptos tales
como vectores, matrices, sistemas de ecuaciones lineales y en un enfoque más formal,
espacios vectoriales, y sus transformaciones lineales. A continuación veremos como se
representa una curva o superficie en el plano o en el espacio mediante la aplicación
de las ecuaciones paramétricas ,comparar la grafica de ecuaciones paramétricas con la
grafica de la ecuación cartesiana ,determinar la longitud de arco de una curva a través de
sus ecuaciones paramétricas y aplicar ecuaciones vectoriales paramétricas para la
determinación de las características cinemáticas de una partícula en movimiento.

3.
ÁLGEBRA
VECTORIAL
Es una rama de las matemáticas encargada de estudiar
sistemas de ecuaciones lineales, vectores, matrices, espacios
vectoriales y sus transformaciones lineales. Se relaciona con áreas
como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis
funcional, investigación de operaciones, gráficas computacionales,
entre otras.

4.
Existen tres modos esencialmente distintos para introducir el álgebra
vectorial: geométricamente, analíticamente y axiomáticamente.
 Geométricamente
Los vectores son representados por rectas que tienen una
orientación, y las operaciones como suma, resta y multiplicación por
números reales son definidas a través de métodos geométricos.
 Analíticamente
La descripción de los vectores y sus operaciones es
realizada con números, llamados componentes. Este tipo de
descripción es resultado de una representación geométrica porque se
utiliza un sistema de coordenadas.
 Axiomáticamente
Se hace una descripción de los vectores,
independientemente del sistema de coordenadas o de cualquier tipo
de representación geométrica.
ÁLGEBRA
VECTORIAL

5.
VECTORES
son segmentos de recta en los que su extremo final es la punta
de una flecha. Estos son determinados por su módulo o longitud del
segmento, su sentido que es indicado por la punta de su flecha y su
dirección de acuerdo con la recta a la que pertenezca. El origen de un
vector es también conocido como el puntode aplicación.
Elementos
 Módulo :Es la distancia que hay desde el origen hasta el extremo de un
vector, representada por un número real junto con una unidad.
 Dirección :Es la medida del ángulo que existe entre el eje x (a partir del
positivo) y el vector, así como también se utilizan los puntos cardinales
(norte, sur, este y oeste).
 Sentido :Es dado por la punta de flecha ubicada en el extremo del
vector, indicando hacia dónde se dirige este.

6.
Clasificaciónde
losvectores
 Vector fijo
Es aquel cuyo punto de aplicación (origen) es fijo; es decir, que
se mantiene ligado a un punto del espacio, por lo que no puede
desplazarse en este.
 Vector libre
Puede moverse libremente en el espacio porque su origen se
traslada a cualquier punto sin cambiar su módulo, sentido o
dirección.
 Vector deslizante
Es aquel que puede trasladar su origen a lo largo de su línea de
acción sin cambiar su módulo, sentido o dirección.

7.
ECUACIONES
PARAMÉTRICAS
son aquellas definidas en términos de un solo parámetro,
generalmente, este parámetro es ‘t’. Una curva que represente tal
ecuación es llamada curva paramétrica. Para ello, las variables de la
ecuación Cartesiana son transformadas con el fin de representar el
parámetro ‘t’ como, x = f(t) y = g(t)
GRAFICADE ECUACIONES PARAMETRICAS
Las ecuaciones paramétricas son aquellas ecuaciones en que
las variables x y y, cada una separadamente, están expresadas en función
de la misma tercera variable. Según esto, designando por la letra z la
tercera variable, comúnmente llamada variable paramétrica. Una curva
plana C es un conjunto de puntos P(x, y) cuyas coordenadas están dadas
por las ecuaciones paramétricas. x = f( t ), y = g ( t ). en donde f y g son
funciones continuas en un intervalo [a,b]. Ejemplo:

8.
Considera las ecuaciones paramétricas x=t y y=(t) para -3<t<2. se
grafica las ecuaciones en papel cuadriculado.
Solución
Usa las ecuaciones para calcular los valores x y y que
corresponden a los valores t en el intervalo
Después grafica los puntos a medida que t aumenta, conectando
cada punto con el anterior.ECUACIONES
PARAMÉTRICAS

9.
Representación
paramétricade
unacurva
La representación paramétrica de una curva en un espacio n-dimensional
consiste en n funciones de una variable t que en este caso es la variable independiente
o parámetro (habitualmente se considera que t es un número real y que los puntos del
espacio n-dimensional están representados por n coordenadas reales), de la forma
donde x representa la i-ésima coordenada del punto generado al asignar valores del
intervalo [a, b] a t. Por ejemplo, para representar una curva en el espacio se usan 3
funciones x = x(t), y = y(t), z = z(t)
Es común que se exija que el intervalo [a, b] sea tal que a cada punto le
corresponda un punto distinto de la curva; si las coordenadas del punto obtenido al hacer t
= a son las mismas del punto correspondiente a t = b la curva se denomina cerrada.
Se dice que un punto de la curva correspondiente a un valor t del intervalo es un punto
ordinario si las derivadas de las funciones paramétricas existen en y son continuas en ese
punto y al menos una es distinta de 0. Si un arco de curva está compuesto solamente de
puntos ordinarios se denomina suave.
Es común resumir las ecuaciones paramétricas de una curva en una sola ecuación vectorial
donde ek representa al vector unitario correspondiente a la coordenada k-ésima. Por
ejemplo, las funciones paramétricas de un círculo unitario con centro en el origen son x
= cos t, y = sen t. Podemos reunir estas ecuaciones como una sola ecuación de la forma
Siendo ij la base usual del espacio bidimensional real.

10.
Transformarlas
ecuaciones
paramétricasalas
cartesianas.
Está dada por: Ax + By + Cz + D = 0, es decir, los puntos del
espacio (x, y, z) que satisfacen la ecuación y forman un plano.
Para encontrar la ecuación cartesiana de un plano, cuando está escrita en
ecuación paramétrica:
 1) Se igualan las coordenadas.
 2) Se escribe como un sistema de ecuaciones correspondiente.
 3) Se eliminan los parámetros para encontrar una única ecuación lineal
en variables (x, y, z).
Ecuación paramétrica: función que asocia un punto de la recta a cada
valor del parámetro en la recta numérica. x= x + λp + μq y= y + λp + μq z= z
+ λp + μq
 λ=0, μ=0
 λ=0, μ=1
 λ=2, μ=2

11.
Comparacionde
graficade
ecuaciones
paramétricascon
graficadela
ecuacióncartesiana.
En general, una curva plana se define por dos variables,
a saber, x e y. Tal plano se conoce como plano Cartesiano y su
ecuación se llama ecuación Cartesiana.
Las ecuaciones paramétricas son aquellas definidas en
términos de un solo parámetro, generalmente, este parámetro es
‘t’. Una curva que represente tal ecuación es llamada curva
paramétrica. Para ello, las variables de la ecuación Cartesiana son
transformadas con el fin de representar el parámetro ‘t’ como: x =
f(t) y = g(t)
Una curva paramétrica puede ser dibujada de muchas
formas diferentes y la más conveniente entre ellas es la selección
de ciertos valores de t y obtener los valores correspondientes de
f(t) y g(t), es decir, x e y. Entonces estos son después trazados en
coordenadas Cartesianas.

12.
Longituddearco
enecuaciones
paramétricas.
En matemática, la longitud de arco, también llamada
rectificación de una curva, es la medida de la distancia o camino
recorrido a lo largo de una curva o dimensión lineal.
Para encontrar la longitud de arco de una curva, construimos una
integral de la forma:
Cuando x y y son funciones de una nueva variable, el parámetro t
Para poder usar la integral de longitud de arco, primero
calculamos las derivadas de ambas funciones y obtenemos dx y dy
en términos de dt
Se sustituye estas expresiones en la integral y factoría el término
dt2 fuera del radical.

13.
LONGITUDDE
UNACURVA
PARAMETRIZADA
Una curva se considera parametrizada por las siguentes
ecuaciones:
𝑥( 𝑡) = 𝑡3 − 𝑡
𝑦( 𝑡) = 2𝑒−𝑡2
Si dejamos que t varíe de -1,5 a 1,5, la curva resultante se ve asi:

14.
longituddearco
deunacurvaa
travésdesus
ecuaciones
paramétricas.
Para encontrar la longitud de arco de una curva,
construimos una integral de la forma
∫ (𝑑𝑥)2 + (𝑑𝑦)2
Los términos dx y dy representan el pequeño cambio en
los valores de x e y desde el principio hasta el final del segmento.
Ahora trabajaremos el caso en el que la curva está dada en forma
paramétrica; es decir, cuando x y y son funciones de una nueva
variable, el parámetro t. Para poder usar la integral de longitud de
arco, primero calculamos las derivadas de ambas funciones y
obtenemos dx y dy en términos de dt.
𝑑𝑥 = 𝑑𝑥 𝑑𝑡 𝑑𝑡
𝑑𝑦 = 𝑑𝑦 𝑑𝑡
dt Sustituye estas expresiones en la integral y factoriza el término
𝑑𝑡2 fuera del radical.

15.
longituddearco
deunacurvaa
travésdesus
ecuaciones
paramétricas.
 Ejemplo
Procedimiento para obtener las derivadas de las funciones x y y
Grafica

16.
longituddearco
deunacurvaa
travésdesus
ecuaciones
paramétricas.
Procedimiento para aplicar y resolver la integral para la longitud de
arco
Grafica
Evaluacion de f

17.
ecuacionesvectoriales
paramétricasparala
determinacióndelas
características
cinemáticasdeuna
partículaen
movimiento.
Cinemáticay dinámica
Se dice que un cuerpo se halla en movimiento respecto a
otro cuando existe un cambio continuo de su posición
relativa a lo largo del tiempo. La rama de la Física que se
dedica al estudio del movimiento de los cuerpos es
la Mecánica, y ésta se subdivide en las siguientes disciplinas:
Cinemática :que describe geométricamente el movimiento sin
atender a sus causas.
Dinámica :que conecta el movimiento y sus características
con las causas (fuerzas) que lo producen.
Estática :que establece las condiciones de equilibrio mecánico
(ausencia de movimiento).
Para poder desarrollar la Cinemática es necesario
establecer una serie de conceptos previos, que permitan
sostener todo el entramado matemático. Entre estos
postulados están
 Espacio
 Tiempo
 Partícula (o punto material)
 Sólido rígido

18.
ecuacionesvectoriales
paramétricasparala
determinacióndelas
característicascinemáticas
deunapartículaen
movimiento.
Cinemática del movimiento rectilíneo
Antes de considerar el problema completo del movimiento de una
partícula en el espacio de tres dimensiones, examinaremos el
problema unidimensional, más simple, de una partícula que
realiza un movimiento rectilíneo.
Posición
Cuando tenemos una partícula cuyo movimiento se ciñe
a una recta, no necesitamos el álgebra vectorial para identificar
las diferentes posiciones de la partícula. Nos basta con una
etiqueta x(t) que designa la posición a lo largo de la recta. Esta
cantidad tiene un signo que indica si nos encontramos a la
izquierda o a la derecha de la posición a lo largo de la recta que
hayamos etiquetado como x = 0. En el caso unidimensional
podemos representar la posición frente al tiempo, colocando el
tiempo en el eje de abscisas y la posición en el de ordenadas. Esta
posibilidad no existe en el caso tridimensional.

19.
ecuacionesvectoriales
paramétricasparala
determinacióndelas
característicascinemáticas
deunapartículaen
movimiento.
Cuando una partícula cambia de posición pasando de encontrarse
en x1 en el instante t1 a una posición x2 en el instante t2 se dice
que en el intervalo de tiempo Δt = t2 − t1 ha experimentado un
desplazamiento
El desplazamiento que, como la posición, se mide en unidades de
distancia (m, en el SI), posee la propiedad de que es
independiente de que punto se toma como origen de posiciones.

20.
ecuacionesvectoriales
paramétricasparala
determinacióndelas
característicascinemáticas
deunapartículaen
movimiento.
Velocidad
Velocidad media
Si una partícula realiza un desplazamiento Δx en un intervalo Δt,
se define la velocidad media (en una dimensión) como el cociente
entre el desplazamiento y el intervalo empleado en realizarlo

21.
ECUACION
VECTORIAL
Para determinar la ecuación vectorial de una recta es
necesario que conozcamos un punto de la recta y un vector de
posición o dos puntos de la recta. Vamos a hallar la ecuación a
partir de un punto y un vector de posición, si tuviésemos dos
puntos A, B entonces el vector AB es un vector de posición. La
ecuación de una recta es una expresión analítica que permite
identificar todos los puntos de la recta.

22.
ECUACION
VECTORIAL
Dados un punto de la recta y un vector de dirección , un
punto genérico de la recta tendrá como vector de posición
Es claro que , como el vecto y están en la
misma dirección existe un número tal que , por
tanto esta expresión se conoce como ecuación
vectorial de la recta.

23.
Las ecuaciones paramétricas son sistema de ecuaciones que permite representar una
curva o superficie en el espacio, mediante valores que recorren un intervalo de
números reales, mediante una variable , llamada parámetro, considerando cada
coordenada de un punto como una función dependiente del parámetro. En las
generalidades del algebra vectorial estudiar los sistemas de ecuaciones lineales,
vectores, matrices, espacios vectoriales y sus transformaciones lineales. Se relaciona
con áreas como ingeniería, resolución de ecuaciones diferenciales, análisis funcional,
investigación de operaciones y gráficas computacionales. Otra de las áreas que ha
adoptado el álgebra es la física, ya que a través de esta se ha logrado desarrollar el
estudio de fenómenos físicos, describiéndolos mediante el uso de vectores. Esto ha
hecho posible una mejor comprensión del universo. En el álgebra vectorial se originó
del estudio de los cuaterniones 1, i, j, y k, así como también de la geometría cartesiana.
En matemática la longitud de arco es la medida de la distancia o camino recorrido a lo
largo de una curva o dimensión lineal. Una curva también es un conjunto de puntos
que representan las distintas posiciones ocupadas por un punto que se mueve.
CONCLUSION

24.
ANEXOS
 https://www.youtube.com/watch?v=uCm3HvF-EtQ
 https://www.youtube.com/watch?v=UVqs1dat91g
 https://www.youtube.com/watch?v=kZdgeJaHhPs
 https://www.youtube.com/watch?v=9RW8oAb_eJ0

25.
BIBLIOGRAFIA
 Autor: Vincenzo Jesús D'Alessio Torres
 Titulo: Álgebra Vectorial: Fundamentos, Magnitudes, Vectores
 Direccion:https://www.lifeder.com/algebra-vectorial-fundamentos-
magnitudes-vectores/
 Autor:EcuRed
 Titulo:Ecuaciones paramétricas
 Direccion:https://www.ecured.cu/Ecuaciones_param%C3%A9tricas
 Autor:Wikipedia
 Titulo:Ecuación paramétrica
 Direccion:https://es.wikipedia.org/wiki/Ecuaci%C3%B3n_
param%C3%A9trica#Representaci%C3%B3n_param%C3
%A9trica_de_una_curva
 Autor:Wikipedia
 Titulo: Algebra lineal
 Direccion: https://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_lineal