1. On the extreme eigenvalues of
regular graphs
120080348 이정규
2. Preliminaries
Closed walk: vr=v0 이고 1≤i ≤ r 에 대해서 vi-1 가 vi 와 adjacent 한
X의 vertex들의 sequence v0,…vr
Cycle, Closed walk
Cycle: X에서 길이r의 cycle은 v0,…vr 로 lable할 수 있고 그
v0,…vr 가 X에서 closed walk이고 모든 1≤i ≤ j≤ r인 i,j에 대해서
vi ≠ vj인 X의 subgraph
3. Preliminaries
r ( X ) :그래프 X에서 길이 r인 closed walk의 개수
Girth:cycle이 졲재하면 X의 가장 작은 cycle의 길이,
졲재하지 않으면 ∞ girth(X)로 표시
oddgirth: 졲재하면 X의 가장 작은 odd cycle의 길이 졲
재하지 않으면 ∞ oddg(X)로 표시
( X ): X의 l번째 큰 eigenvalue
l ( X ) : X의 l번째 큰 eigenvalue
l
4. Preliminaries
Adjacency matrix A:
1 i 와 j 가 adjacency 하면
Aij
Fact:
0 otherwise
e.g:
r
r ( X ) Tr ( A )
0
A 0
1
1
0
0
0
1
0
1
3
A 0
0
0
1
0
0
0
1
1
길이 3인 closed walk 의 수 r ( X ) Tr ( A )
r
3
2
5. Theorem 1
Theorem 4
For any 0, there exist a positive constant c c( , k) such that
for any k - regular graph X the number of eigenvalue s of X with (2 - ) k - 1 is
at least c | X |
이 정리의 의미는 K - regular
eigenvalue
그래프에 대해서 ( 2 ) k 1 이상의
의 갯수를 추정 할 수 있다는 것이다 . (최소 c X 개 )
6. • 특정 정점 vo 에서 시작하는 특정 길이 2s 의 closed walk의 수를 추정
간단한
induction 으로
s
2s
4
임을
s
s 1
보일
수 있고 ,
Lemma 2 에 의해서
2 s ( X ) Tr ( A
X
X
2
2s
)
2s
( s 1)
2
1
( s 1)
2
( k 1)
2
2s
k ( k 1) s 1
X
s 1 s
1
s 1
k 1
X
2
( s 1)
2
k 1
1
2s
2
X
2 ( s 1)
2
2s
( s 1)
2
2
X
(1)
2s
2s
)
X
( s 1)
2
k 1
2s
2s
( s 1)
Tr ( A
k ( k 1)
2
s 1
k 1
2s
7. Theorem 1의 증명
X 를 n 개의
eigenvalue
k 1 ... n k 를 가진
0가 주어졌고 , m 은
그러면
(2 ) k 1
n m 은 (2 ) k 1
이하인
이상인
k regular
X 의 의 갯수라
X 의 의 갯수가
그래프 라 하자
하자 .
된다 .
그러므로
n
Tr ( kI A )
2s
k
i
2s
(n m ) k (2 ) k 1
2s
i0
m (( 2 k )
(k (2 ) k 1)
2s
2s
) n k (2 ) k 1
2s
m (2k )
2s
정리 하면
반면에 ,
2s
Tr ( kI A )
2s
i0
(1 )
s
n
( s 1)
2
i0
n
2 ( s 1)
2
n
2 ( s 1)
2
2s i
k Tr ( A 2 s i )
i
2s 2 j
2 k 1
2 j k
k 2 k 1
k
2 k 1
2s
2s
s
i0
2s 2 j
2s 2 j
)
2 j k Tr ( A
2s 2 j
k 2 k 1)
2s
(1)에 의해서
이항정리(binomial expansion)
에 의해서
8. Theorem 1의 증명
그러므로
1
m
2 ( s 1)
k 2 k 1 2s k (2 ) k 1) 2s
2
n
(2k )
2s
(k (2 ) k 1)
2s
s 1에 대해서
k 2 k 1
lim
2
s
2 ( s 1)
이므로
k
모든
2 k 1
2 ( s 1)
1
2s
2s
s s 0 에 대해서
2s
k 2 k 1 k 2 k 1 lim 2 k 2 k 1
s
다음을
k 2 k 1
2
2s
만족하는
s 0 s , k 가 졲재한다 .( 극한의
k 2 k 1
2s
1
2s
정의에
의해서 )
2s
그러므로
k
c , k
(2k )
2s
1
m
2 ( s 1)
2
n
c , k 0 이고
2 k 1
2 s0
(k (2 ) k 1)
2 s0
라 두면
k 2 k 1 2s k (2 ) k 1) 2s
(2k )
2s
(k (2 ) k 1)
m c , k n
2s
k
(2k )
2s
2 k 1
2s
(k (2 ) k 1)
2s
c , k
9. Corollary 3
Corollary 3. Let (X i ) i
lim X i
i
0
0
be a sequence of k - regular graphs such that
Then for each l 1,
lim inf l X i 2 k 1
i
l ( X ) : X의 l번째 큰 eigenvalue
10. Analogous theorems for the least
eigenvalues of regular graphs
Theorem 1의 반대의 경우는 사실이 아니다. 즉
For any 0, there exist a positive constant
c c( , k) such that
for any k - regular graph X the number of eigenvalue s of X with -(2 - ) k - 1 is
at least c | X |
라는 명제는 참이 아니라는 것이다.
반례)
0
A
0
1
0
위 명제는
있어야
모든
eigenvalue
( 2 ) 보다
된다고
말하고
있으므로
1
는 0이지만
작은
는 최소
반례가
2
2 c 이상
된다 .
하지만 theorem 1에 하나의 제약 조건을 두면 위의
정리가 참임을 증명할 수 있다.
11. Theorem 4의 증명
X 를 n 개의
eigenvalue
k 1 ... n k 를 가진
0가 주어졌고 , m 은
그러면
(2 ) k 1
n m 은 (2 ) k 1
이하인
k regular
X 의 의 갯수라
이상인
X 의 의 갯수가
그래프 라 하자
하자 .
된다 .
그러므로
n
Tr ( kI A )
2s
k
i
2s
(n m ) k (2 ) k 1
2s
m (2k )
2s
i0
(k (2 ) k 1 )
m (( 2 k )
2s
theorem
1 증명에서
모든
k
다음을
s s 0 에 대해서
2 k 1
2 ( s 1)
2
2 s0
2s
) n k (2 ) k 1
2s
보였다 .
다음을
만족하는
k 2 k 1
2 s0
s 0 s , k 가 졲재한다 .( 극한의
k
2 k 1
2 s0
정의에
의해서 )
12. Theorem 4의 증명
g ( , k ) 2 s 0라 하자 . oddg ( X ) 2 s 0 이면 , 0 j s 0 1 에 대해서 ,
그래프
X 에서 길이
그러므로
Tr ( A
2 s 0 2 j 1 인 것의
2 s0 2 j 1
closed
의 갯수는
walk
) 0
0 j s 0 1 에 대해서 , eq (1) 2 s ( X ) Tr ( A ) X
1
2s
s0
Tr ( kI A )
2 s0
i0
s0
i0
2 ( s 0 1)
2
k
앞의 결과와
n
2 ( s 0 1)
k
,
2
2 k 1
2 k 1
m
s0
i0
s0 1
i0
( s 1)
2
2
k 1
2s
을 사용하면
2 s0
2 j 1
2 s 2 j 1
Tr ( A 0
)
2 j 1k
2 s0 2 j
2 j k 2 k 1
2 s0 2 j
2 s0
함께 정리하면
k
2 ( s 1)
2 k 1
2 s0
2
2 ( s 0 1)
2 s0
Tr ( kI A )
k 2 k 1
1
2 s0 2 j
2 s0 2 j
)
2 j k Tr ( A
(1 )
2 s0 2 j
n
2s 2 j
k Tr ( A 0
)
2
2 j
( s 0 1)
n
0이다 .
2
n
c , k 0 and
2 s0
2 s0
m (( 2 k )
2 s0
(k (2 ) k 1)
k 2 k 1
k 2 k 1 2 s0 k ( 2 ) k 1 ) 2 s0
(2k )
2 s0
(k (2 ) k 1)
m c , k n
2 s0
2 s0
2 s0
) n k (2 ) k 1
k
, c , k
(2k )
2 s0
2 k 1
(2k )
2 s0
2 s0
2 s0
(k (2 ) k 1)
k (2 ) k 1)
2 s0
(k (2 ) k 1)
2 s0
c , k
2 s0
라 두면
13. conclusion
이 논문은 어떤 k-regular 그래프가 있을 때 그
그래프의 가장 큰 eigenvalue들의 수를 추정 할 수
있는 theorem of Serre 을 기졲과 다른 방법으로
증명했고,그 반대인 경우인 가장 작은
eigenvalue들의 수를 추정까지 증명
machine learning에서 그래프의 spectrum인 eigenvector
를 이용하는 spectral clustering 에 응용 가능