Ejercicio resuelto de oligopolio con decisión secuencial, según el modelo de Stackelberg. Comparativa con los resultados de decisión secuencial según el modelo de Cournot.

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Juancarlos.aguado.franco@gmail.com @juancaraguado juancarlos.aguado @urjc.es
EJERCICIO RESUELTO DE OLIGOPOLIO: DECISIÓN SECUENCIAL
(Modelo de Stackelberg)
Si necesita repasar los conceptos manejados en este ejercicio, puede ver los vídeos
correspondientes donde se explica la teoría en mi página:
http://microeconomiajuancarlosaguado.blogspot.com.es/p/videos.html
Suponga que en el mercado de un determinado bien existen sólo dos
empresas, –se trata por tanto de un duopolio–, cuyas funciones de costes totales
responden a la forma: CTi = 18Qi + 10.
La función de demanda del bien que producen es P = 50 – 2(Q1 + Q2). Si la
empresa nº 1 decide la cantidad que va a producir antes que la empresa nº 2,
determine:
a) La función de pagos y de reacción de la empresa nº 2
b) La función de pagos de la empresa nº 1
c) La cantidad que producirá cada empresa
d) El precio de equilibrio del mercado
e) El beneficio que obtendrán cada una de las empresas
f) Compare estos beneficios con los que habrían obtenido en el caso de
que la decisión hubiese sido simultánea.

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a) La función de pagos, o de beneficios, de la empresa nº 2 será la diferencia entre
sus ingresos totales y sus costes totales. Los ingresos totales los obtendremos
multiplicando el precio –que lógicamente dependerá de la cantidad que una y otra
empresa produzcan- por la cantidad que la empresa nº 2 decida fabricar.
B2 = IT2 – CT2 = [50 – 2(Q1 + Q2)] Q2 – (18Q2 + 10) ;
B2 = 50Q2 – 2Q1Q2 – 2Q2
2
– 18Q2 – 10;
B2 = – 2Q2
2
+ 32Q2 – 2Q1Q2 – 10
Para calcular la función de reacción de la empresa nº 2, hemos de hacer la
derivada respecto de su variable de decisión –en este caso la cantidad Q 2- e igualarla a
cero. Después, despejando dicha variable, tenemos la función de reacción o de mejor
respuesta de dicha empresa.
= – 4Q2 + 32 – 2Q1 = 0;
Q2
*
= 8 – 0’5Q1
b) La función de pagos o beneficios de la empresa nº 1 será:
B1 = IT – CT = [50 – 2 (Q1 + Q2)] Q1 – (18Q1 + 10) ;
B1 = 50Q1 – 2Q1Q2 – 2Q1
2
– 18Q1 – 10;
B1 = – 2Q1
2
+ 32Q1 – 2Q1Q2 – 10
La empresa nº 1 sabe que la cantidad que producirá la empresa nº 2, en respuesta
a lo que ella misma vaya a producir, estará determinada por lo que marca su función de
reacción (Q2
*
= 8 – 0’5Q1), por lo que podrá tomar su decisión de qué cantidad producir
utilizando este dato.
Sustituimos, por tanto, en la función de beneficios de la empresa nº 1 el valor de
Q2.

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B1 = – 2Q1
2
+ 32Q1 – 2Q1(8 – 0’5Q1) – 10 = – 2Q1
2
+ 32 Q1 – 16Q1 + Q1
2
– 10;
B1 = – Q1
2
+ 16Q1 – 10
c) Para hallar cuál es la cantidad óptima para la empresa nº 1, la que le hace
maximizar beneficios, derivamos esta función respecto de su variable de decisión (Q1) e
igualamos a cero.
= – 2Q1 + 16 = 0 ;
de donde:
Q1
*
= 8.
Ahora, sabiendo que la empresa nº 1 va a producir 8 unidades, la empresa
nº 2 producirá la cantidad que le sea óptima, lo que calculamos sustituyendo este valor
en su función de reacción.
Q2
*
= 8 – 0’5Q1 = 4.
d) El precio de equilibrio lo obtenemos, simplemente, sustituyendo las cantidades
producidas por una y otra empresa en la función de demanda:
P = 50 – 2(Q1 + Q2) = 50 – 2 (8 + 4) = 26.
e) Calculamos los beneficios que una y otra empresa obtendrán sustituyendo los
valores de Q1 y Q 2 en sus respectivas funciones de beneficios:
B1 = – Q1
2
+ 16Q1 – 10 = – 82
+ 16 · 8 – 10 = 54
B2 = – 2Q2
2
+ 32 Q2 – 2Q1Q2 – 10 = – 2 · 42
+ 32 · 4 – 2 · 8 · 4 – 10 = 22
También podríamos haberlos obtenido sustituyendo en la función genérica de
beneficios; B = IT – CT, siendo los ITi = P · Qi
B1 = 26 · 8 – 18 · 8 – 10 = 54
B2 = 26 · 4 – 18 · 4 – 10 = 22

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Como se puede apreciar en los resultados de este ejercicio, en un oligopolio en el
que una empresa toma su decisión de qué cantidad producir antes que la otra, la que
actúa en primer lugar tiene ventaja. Al producir 8 unidades la empresa nº 1, la empresa
nº 2 sólo va a producir 4 –si produjese una cantidad mayor el precio que estarían
dispuestos a pagar los consumidores bajaría y sus propios beneficios también-. El
resultado es que la primera empresa tiene mayor volumen de beneficios que la segunda
(54 > 22).
f) Calcularemos a continuación los beneficios que una y otra empresa hubiesen
obtenido en una hipotética situación en la que ambas decidiesen la cantidad a producir
de forma simultánea. De este modo, podremos comparar los beneficios que obtendrían
con los calculados cuando el proceso de toma de decisiones ha sido secuencial.
Partiremos para ello de las funciones de reacción de los jugadores. Ya hemos
calculado la de la empresa nº 2. La de la empresa nº 1 es idéntica; simplemente hemos
de cambiar los subíndices. Tendremos por tanto un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas:
Q2
*
= 8 – 0’5Q1
Q1
*
= 8 – 0’5Q2
Resolviendo, obtenemos el equilibrio del juego:
Q1
*
= Q2
*
= 5’33.
El precio de equilibrio lo obtenemos sustituyendo ambos valores en la función
de demanda:
P = 50 – 2 (Q1 + Q2) = 50 – 2 (5’33 + 5’33) = 28’66.
El beneficio de una y otra empresa, por tanto, será:
B1 = 28’66 · 5’33 – 18 · 5’33 – 10 = 43’33
B2 = 28’66 · 5’33 – 18 · 5’33 – 10 = 43’33
Se corrobora por consiguiente lo que predice la teoría; los beneficios de la
empresa líder –aquella que toma su decisión de cuánto producir antes que la otra- son
mayores que los que obtendría en una situación de decisión simultánea, mientras que los
beneficios de la empresa seguidora son menores, siempre que la variable de decisión
sean las cantidades.