El documento define los números complejos y sus operaciones. Define el conjugado de un número complejo como el número obtenido al cambiar el signo de su componente imaginaria. Explica cómo representar números complejos en un plano cartesiano y las propiedades de las sumas, restas, multiplicaciones y divisiones de números complejos. También define otros conceptos matemáticos como números reales, desigualdades, valor absoluto y plano numérico.

1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto Estado Lara
Números Reales y Plano Numérico
Nombres y Apellidos: Joselyn Gabriela Hernández Rojas
C.I:30173187
Trayecto inicial
Sección: PNFT 0100
Unidad Curricular: Matemática
Números Reales y Plano
Numérico

2. DEFINICION DE CONJUGADOS
En matemáticas, el conjugado de un número complejo se obtiene cambiando el
signo de su componente imaginaria. Por lo tanto, el conjugado de un número
complejo
(Donde a y b son números reales) es
El conjugado es a menudo indicado como Z*. Aquí, se utiliza la notación para
evitar confusiones con la notación utilizada para indicar la transpuesta
conjugada de una matriz (que puede pensarse como una generalización del
conjugado de un número). Notar que si el número complejo es tratado como una
matriz las notaciones son idénticas.
Por ejemplo,
( )
Los números complejos pueden ser representados como puntos en un plano con
un sistema de coordenadas cartesianas. El eje x contiene los números reales y el
eje y contiene los múltiplos de (la unidad imaginaria). Por lo tanto, en esta
representación el conjugado de un número corresponde a su reflexión sobre el
eje x.Sin embargo, en forma polar, el conjugado de queda determinado
por Lo cual se puede verificar fácilmente aplicando la fórmula de Euler. Os
pares formados por un número y su conjugado son importantes ya que la unidad
imaginaria es indistinta de su inversa aditiva y multiplicativa , ya que ambas
satisfacen la definición de la unidad imaginaria : Lo más común es que, si
un número complejo es solución de un problema, también su conjugado lo es, esto
se verifica por ejemplo en las soluciones complejas de la fórmula cuadrática con
coeficientes reales.
Las propiedades de los conjugados complejos se aplican a todos los números
complejos Z y W a menos que se indique lo contrario
1. ( )
2.( )

3. 3. ( )
4.( ) si W es distinto de cero
5. si y solo si Z es real
6.
7. | | | |
8.
9. Si Z es distinto de cero
Esta última fórmula es el método normalmente utilizado para encontrar el inverso
de un número complejo si el número está expresado en coordenadas
rectangulares.
( ) ( )
( ) ( ) Si Z es distinto a cero
OPERACIONES CON CONJUGADOS
Cada vez que se presentan nuevos tipos de números, una de las primeras
preguntas es, “¿Cómo se suman?”. Aprenderemos como sumar, restar, dividir y
multiplicar los números complejos
Sumando y restando números complejos
Primero, considera la siguiente expresión.
( ) ( )
Para simplificar esta expresión, combina los términos semejantes, 6x y 4x. Estos
son los términos semejantes porque tienen la misma variable con el mismo
exponente. De manera similar, 8 y 2 son términos semejantes porque ambos son
constantes, sin variables.
( ) ( )
De la misma manera, puedes simplificar expresiones con radicales.
( √ ) ( √ ) √

4. Puedes sumar √ con √ porque ambos términos en el mismo radical √ , del
mismo modo que 6x y 4x tienen la misma variable y exponente.
El número i parece una variable, pero recuerda que es igual a√ . Lo interesante
es que no hay reglas nuevas de las cuales preocuparse, ya sea que lo trates como
una variable o un radical, aplican las mismas reglas para sumar y restar números
complejos. Combinas las partes imaginarias (los términos con i) y combinas las
partes reales.
Ejemplo: ( ) ( )
Reacomodado las sumas para juntar los términos semejantes
( )
( ) ( )
Combina los términos semejantes
MULTIPLICACION DE NUMEROS COMPLEJOS
Considera la siguiente expresión:
( )( )
Puedes simplificar multiplicando los coeficientes, luego las variables.
( )( ) ( )( )( )( )
Multiplicar dos números imaginarios (¡pero no complejos!) funciona del mismo
modo, pero hay un paso adicional. Empieza con el mismo método para multiplicar
5i y −3i.
( )( ) ( )( )( )
Hasta ahora todo va bien, pero el i2
se puede simplificar más.
Cuando multiplicas una raíz cuadrada por sí misma, obtienes el número dentro del
radical. Esto es lo que significa una raíz cuadrada.
(√ )(√ )
(√ )(√ )

5. Bueno, i también es una raíz cuadrada. Es igual a√
( )( )
(√ )(√ )
Entonces, el último paso para simplificar (5i)( −3i) = −15i2
es reemplazar i2
con −1.
( )( ) ( )( )( )( )
( )
Ejemplo: ( )( )
( )( ) ( )( )( )( )
Multiplica los coeficientes de i y luego multiplica i por i
( )
Reemplaza con
( )
Multiplica
( )( )
NUMEROS REALES
Los números reales son el conjunto que incluye los números naturales, enteros,
racionales e irracionales. Se representa con la letra R La palabra real se usa para
distinguir estos números del número imaginario i, que es igual a la raíz cuadrada
de -1, o √-1. Esta expresión se usa para simplificar la interpretación matemática de
efectos como los fenómenos eléctricos.
Además de las características particulares de cada conjunto que compone el
superconjunto de los números reales, mencionamos las siguientes características.

6. Orden:
Todos los números reales tienen un orden:
En el caso de las fracciones y decimales:
Integral
La característica de integridad de los números reales es que no hay espacios
vacíos en este conjunto de números. Esto significa que cada conjunto que tiene un
límite superior, tiene un límite más pequeño. Por ejemplo,
Infinitud
Los números irracionales y racionales son infinitamente numerosos, es decir, no
tienen final, ya sea del lado positivo como del negativo.
Expansión decimal
Un número real es una cantidad que puede ser expresada como una expansión
decimal infinito. Se usan en mediciones de cantidades continuas, como la longitud
y el tiempo.
Cada número real se puede escribir como un decimal. Los números irracionales
tienen cifras decimales interminables e irrepetibles, por el ejemplo, el número pi π
es aproximadamente 3,14159265358979...
DESIGUALDAD MATEMATICA
La desigualdad matemática es una proposición de relación de orden existente
entre dos expresiones algebraicas conectadas a través de los signos: desigual que
≠, mayor que >, menor que <, menor o igual que ≤, así como mayor o igual que ≥,
resultando ambas expresiones de valores distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole,
se emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que
emplean:
• Mayor que > • Menor o igual que ≤
• Menor que < • Mayor o igual que ≥

7. Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es
igual.
Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:
• Mayor que >
• Menor que <
Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.
En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:
• Menor o igual que
• Mayor o igual que
Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien,
amplias”.
La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros.
El miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la
derecha, al lado derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo siguiente:
La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad de
las expresiones.
Propiedades de la desigualdad matemática
 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la
desigualdad se mantiene.
 Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la
desigualdad se mantiene.
 Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad
se mantiene.
 Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la
desigualdad se mantiene.
Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las
siguientes propiedades:
 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo,
la desigualdad cambia de sentido.
 Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la
desigualdad cambia de sentido.

8. Para terminar, hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación son
diferentes. Una inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría no
tener solución o ser incongruente. Sin embargo, una desigualdad podría no ser
una inecuación. Por ejemplo
Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una
inecuación puesto que no tiene incógnitas.
VALOR OBSOLUTO
La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para
nombrar al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que
el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la magnitud
numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo.
Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto de +5 (5
positivo) como de -5 (5 negativo). El valor absoluto, en definitiva, es el mismo en el
número positivo y en el número negativo: en este caso, 5. Cabe destacar que el
valor absoluto se escribe entre dos barras verticales paralelas; por lo tanto, la
notación correcta es |5|.
La definición del concepto indica que el valor absoluto siempre es igual o mayor
que 0 u nunca es negativo. Por lo dicho anteriormente, podemos agregar que el
valor absoluto de los números opuestos es el mismo; 8 y -8, de este modo,
comparten el mismo valor absoluto | |.
También se puede entender el valor absoluto como la distancia que existe entre el
número y 0. El número 563 y el número -563 están, en una recta numérica. A la
distancia del 0. Este, por lo tanto, es el valor absoluto de ambos: | |
Desigualdad con valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
↔
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es * | + .

9. Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | < b,
entonces a < b Y a > - b
Ejemplo:| |
Sume 7 en cada expresión
La grafica se vería así: ↔
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
↔
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es * | +
Cuando se resuelven desiguales de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | > b,
entonces a > b O a < - b.
Ejemplo: | |
Separar en dos desiguales
O
Restar 2 de cada lado en cada desigual

10. O
La grafica se vería así: ↔
PLANO NUMERICO
Se conoce como plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano,
a dos rectas numéricas perpendiculares, una horizontal y otra vertical, que se
cortan en un punto llamado origen o punto cero.
La finalidad del plano cartesiano es describir la posición o ubicación de un punto
en el plano, la cual está representada por el sistema de coordenadas.
El plano cartesiano también sirve para analizar matemáticamente figuras
geométricas como la parábola, la hipérbole, la línea, la circunferencia y la elipse,
las cuales forman parte de la geometría analítica.
El nombre del plano cartesiano se debe al filósofo y matemático francés René
Descartes, quien fue el creador de la geometría analítica y el primero en utilizar
este sistema de coordenadas.
Partes del plano cartesiano
Los elementos y características que conforman el plano cartesiano son los ejes
coordenados, el origen, los cuadrantes y las coordenadas. A continuación, te
explicamos cada uno.
Ejes coordenados: Se llaman ejes coordenados a las dos rectas perpendiculares
que se interconectan en un punto del plano. Estas rectas reciben el nombre de
abscisa y ordenada.
 Abscisa: el eje de las abscisas está dispuesto de manera horizontal y se
identifica con la letra “x”.
 Ordenada: el eje de las ordenadas está orientado verticalmente y se
representa con la letra “y”.
Origen o punto 0: Se llama origen al punto en el que se intersecan los ejes “x” y “y”,
punto al cual se le asigna el valor de cero (0). Por ese motivo, también se conoce como
punto cero (punto 0). Cada eje representa una escala numérica que será positiva o
negativa de acuerdo a su dirección respecto del origen.
Así, respecto del origen o punto 0, el segmento derecho del eje “x” es positivo,
mientras que el izquierdo es negativo. Consecuentemente, el segmento
ascendente del eje “y” es positivo, mientras que el segmento descendente es
negativo.

11. Cuadrantes del plano cartesiano: Se llama cuadrantes a las cuatro áreas que se
forman por la unión de las dos rectas perpendiculares. Los puntos del plano se describen
dentro de estos cuadrantes.
Los cuadrantes se enumeran tradicionalmente con números romanos: I, II, III y IV.
 Cuadrante I: la abscisa y la ordenada son positivas.
 Cuadrante II: la abscisa es negativa y la ordenada positiva.
 Cuadrante III: tanto la abscisa como la ordenada son negativas.
 Cuadrante IV: la abscisa es positiva y el ordenada negativa.

12. Ejercicios:
Operaciones Conjugadas:
○
1 Dados los conjuntos * + y * +, determinar la unión de ambos
conjuntos
Solución: La unión será * + y su representación será (en diagrama
de Venn)
AUB
○
2 Datos dos conjuntos * + y * +, hallar la
intersección de estos
Solución: La intersección de estos conjuntos será * + y en el diagrama de
Venn se representa de la siguiente manera:

13. Números reales desiguales:
○
1 Encontrar la solución y la gráfica de la siguiente inecuación
( ) ( )
0 1 +
○
2 Encontrar la solución y su grafica de la siguiente inecuación
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
Por lo tanto la solución o el intervalo serán 0 1
0 ¼ +
Valor absoluto
○
1 Calcular el valor absoluto de | |
| |

14. ○
2 Calcular el valor absoluto de | |
El valor absoluto de es porque siempre es mayor o igual que
1.
| |
Desigualdades con valor absoluto:
○
1 Calcular la desigualdad | |
O
O
O
La solución de la inecuación es 0 1 , -
○
2 Calcular | |
( )
○
1 ○
2
Lado ○
1 Lado○
2
La desigualdad es siempre verdadera como la solución de la inecuación
debe cumplir ambas, es , -
Plano numérico:
Cónicas:
○
1 Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene de centro el punto C (-2,3) y
de radio r= 4. ¿Pertenecen los puntos A (2,3), B (1,5) a la circunferencia?

15. El Centro ( ) ( ) ( )
El Radio Ec. De la circunferencia
Solución: ( ) ( )
Sustituyendo x por 2 e y por 3
( ) Circunferencia
Probando el punto B (-4,3)
( ) ( )
( ) Circunferencia
○
2 Calcular los puntos de corte de la siguiente parábola con los ejes de
coordenadas:
Solución:
(
Puntos de corte
( )
Las soluciones son y , lo cual los puntos de corte son ( ) y ( )
( ) El punto es ( )
Hallar el vértice, se aplica la formula
. / . / . /
. /

16. El vértice es:
( ) ( )
La grafica es: y
0,6
0,4
0,2
X
-0,5 0,5 1 1,5
-0,2