1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Poder Popular Para La Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto-Edo-Lara
Informe
Alumno: Fabiana Colina
José Segueri
Sección: IN0124
Docente: Douglas Nelo
Suma de expresión algebraica:
2. Para sumar expresiones algebraicas, hay en cuenta dos cosas, las sumas de dos
términos semejante se pueden reducir a un solo termino, si tales términos son diferentes
ante una suma, simplemente el resultado se deja expresado tal cual es sin cambiar los
signos de los términos. Generalmente en algebra elemental realizamos las operaciones
en polinomios donde se suele usar los signos de agrupación.
Ejercicios:
(4x) + (3y) = 4x+3y
(3m) + (-6n) = 3m-6n
3a2
+ 4a + 6b –5c – 8b2
con c + 6b2
–3a + 5b
Suma de monomios:
Sumar los monomios 4z, 2s y 3p. Ya que el orden de los sumandos no altera la suma,
el resultado pude ser:
4z + 2s + 3p
2s + 4z + 3p
3p + 2s + 4z
Sumar los monomios 3a, 4ab y 2a. Como se puede observar es posible agrupar 3a y
2a, no es posible agrupar 4ab ya que el termino no tiene de incógnita las mismas
letras (en este caso se tiene la letra b de más). El resultado sería:
3a + 4ab + 2a = 5a + 4ab
Sumar y restar monomios es muy común y normalmente se suele incluir dentro de un
paréntesis el sumando el negativo, por ejemplo: sumar los monomios 3a + 6b y -2a.
3a + 6b (-2a) = 3a + 6b – 2a = a + 6b
Ejercicios:
A) 7a + 5ab + 7a = 14a + 5ab
B) 2a + 7 + 12ab = 2a + 12ab + 7
C) 5ab + 2bc + 3ab = 8ab + 2bc
D) 2a + 4a – 4a = 2ª
Suma de polinomios:
3. Para una mejor representación de la suma de polinomios es recomendable
incluir cada polinomio dentro de paréntesis.
Sumar los polinomios a + 3b, 2a + 3ab y 4b + 2ab.
(a + 3b) + (2a + 3b) + (4b + 2ab) = a + 3b + 2a + 3b + 4b + 2ab
Ahora se debe simplificar la anterior expresión algebraica, como resultado
será:
3a + 7b + 5ab
Sumar los polinomios 3a + 2b y 4b – 2a
(3a + 2b) + (4b – 2a) = 3a + 2b + 4b – 2a
Simplificando la anterior expresión, el resultado será:
a + 6b
Recomendación para la suma de polinomios
Si se quiere realizar la suma de muchos polinomios lo recomendable es
poner los polinomios uno debajo de los otros de modo que los términos
semejantes queden en columna, empleando el ejemplo de a + 3b, 2a +
3ab y 4b + 2ab se tendría el siguiente acomodo:
a + 3b2a + 3ab 4b + 2ab 3a + 7b + 5ab
Ejercicios:
A) (15ba + 3a) + (12a + 3b) = 15a + 3b + 15ba
B) (9c – 3a) + (3a + 9b) = 9c + 9b
C) (a – b) + (b – a) = 0
D) (b + 12) + (b – 12c) = 2b – 12c + 12
Resta de expresión algebraica:
Consiste en establecer la diferencia existente entre dos elementos: gracias a la resta, se
puede saber cuándo le falta a un elemento para resultar igual a otro. Se dice que la resta
algebraica. Lo que permite la resta es encontrar las cantidades conocidas que, cuando se
suma al sustraendo (el elemento que indica cuando hay que restar), da como resultado el
mismo elemento que disminuye en la operación. A demás de todos los datos apreciados
hasta el momento hasta la citada resta algebraica que nos ocupa, se hace necesario
conocer otros igualmente pues permitirán encontrarlos mucho mejor.
Ejemplo:
4. Resta de monomios
(4a) – (-2a) – (-3b) – (5b) – (2c) – (c)
Eliminamos los paréntesis
4a + 2a + 3b + 5b + 2c + c
Recurriendo términos semejantes
6a + 8b – 3c
Resta de monomios y polinomios:
La resta o sustracción de monomios y polinomios es una operación en la cual se quiere
encontrar la diferencia entre en minuendo y el sustraendo. En la resta de monomios en
realidad cosiste en cambiar signo del sustraendo, es recomendable analizar con
paréntesis ya q en la resta de polinomios el signo de la resta afecta a todo el sustraendo,
´por lo tanto, se estaría empleando el mismo método realizado.
Ejercicios:
(8m + 6n) – (2m – 5n) – (-p)
Eliminamos paréntesis y se cambian los signos
2m – 5n – 2m + 5n y – p a
8m + 6m – 2m + 5n + p
Reduciendo términos semejantes
6m + 11n + p
8a – 3a = 5a
-5b – (-7a) = 7a – 5b
8x – 3x2
= 8x – 3x2
4a – 2a = 2ª
Valor numérico de expresión algebraica:
Es una expresión algebraica o una fórmula matemática es el número que se obtiene al
quitar las letras o sustituir por números y realizar las operaciones indicadas. Valor
5. numérico es valor obtenido al sustituir las variables por números y desarrollar las
operaciones.
El valor numérico de una expresión algebraica es el número que se obtiene al sustituir las
letras de la expresión por números determinados y realizar las operaciones
correspondientes que se indican en tal expresión. para realizar las operaciones debes
seguir un orden de jerarquía de las operaciones.
1. se resuelven las operaciones entre paréntesis.
2. potencias y radicales
3. multiplicaciones y divisiones
4. sumas y restas.
Ejercicios:
Calcular el valor numérico para:
X + 15 cuando x = 2
Sustituimos en la expresión:
X + 15 = 2 + 15 = 17
El valor numérico de la expresión es 17
Calcular el valor numérico para:
X – 8 cuando X = 10
Sustituimos en la expresión:
X – 8 = 10 – 8 = 2
El valor numérico de la expresión es 2
Calcular el valor numérico para:
x2
– x - 10 cuando x = 5
Sustituimos en la expresión:
x2
– x – 10 = 52
– 5 – 10 = 25 – 5 – 10 = 10
El valor numérico de la expresión es 10
Multiplicación de expresión algebraica:
La multiplicación de las expresiones algebraicas es otra expresión algebraica, en otras
palabras, es una operación matemática que consiste en obtener un resultado llamado
producto a partir de los factores algebraicos llamada multiplicado y multiplicación.
La multiplicación entre expresiones es independiente de la existencia de términos
semejantes, esto solo es aplicable cuando tratamos con la suma y resta algebraica.
6. Para las multiplicaciones entre polinomios, se usan las 3 principales leyes de potenciación
que son:
Multiplicación de potencia de bases iguales
an
. am
= an+m
Potencia de un producto
(ab)n
= an
. bn
Potencia de potencia
(an
)m
= anm
Multiplicación entre monomios:
1) Primero multiplicaremos los coeficientes de cada monomio.
2) Luego multiplicamos la parte literal, esto es, las variables según las leyes de los
exponentes.
3) Aplicamos la ley distributiva.
4) Por último, aplicamos finalmente las leyes de los signos.
Ejercicios:
Tanto los signos de agrupación como el punto, indican que los factores se están
multiplicando siempre y cuando no exista algún operador entre los factores:
Multiplicar 3x2
y 4x4a
Solución:
(-2y3
) (3y4
) = (-2.3) (y3
. y4
)
= (-6)(y3+4
)
= 12x7
Multiplicar -2y3
y 3y4
Solución:
(-2y3
) (3y4
) = (-2 . 3) (y3
. y4
)
= (-6) (y3+4
)
= -6y7
Multiplicar -3a2
y a2
Solución:
(-3a2
) (a2
) = (-3 . 1) (a2
. a2
)
= (-3) (a2+2
)
= -3a4
Multiplicación de monomio por un polinomio:
Para realizar la multiplicación de un monomio por un polinomio, aplicaremos la ley
distributiva, esto es, se multiplica el monomio a cada término del polinomio, luego, realizar
el proceso de multiplicación entre monomios que ya explicamos anteriormente.
7. Este tipo de multiplicación tiene la siguiente forma a (b + c) = ab + ac (b + c) = ab + ac,
donde a, b y c son monomios, veamos algunos ejemplos aclaratorios.
Ejercicios:
Multiplicar 4x y x + 2
Solución:
4x (x + 2) = 4x . x + 4x . 2
= 4x2
+2x
Multiplicar 5xy y x2
y + xy
Solución:
5xy (x2
y + xy) = 5xy . x2
+ 5xy . xy
= 5x3
y2
+ 5x2
y2
Multiplicar 2x y x +1
Solución:
2x (x + 1) = 2x . x + 2x . 1
= 2x2
+ 2x
Multiplicación entre polinomios:
La forma más básica o reducida de la multiplicación entre dos polinomios es de la
forma (a + b) (c + d) = ac + bc + ad + bd, esto es, la multiplicación entre dos binomios, su
prueba es muy sencilla, es tan solo aplicando la propiedad distributiva. Veamos, la
propiedad nos dice que x(y + z) = xy + xz, si suponemos que x = a + b, y = c y z = d,
remplazando en la propiedad, tenemos:
(a + b) (c + d) = (a + b)c + (a + b)d = ac + bc + ad + bd
Por lo general, llamamos multiplicado al factor de la izquierda a + b y multiplicador al
factor de la derecha c + d, esto es:
(a + b) (c + d)
Los siguientes ejemplos te ayudarán como resolver los productos entre polinomios y esto
lo veremos tanto del método horizontal como el vertical, este último es un método clásico
y que seguro lo habrás visto en el libro de álgebra de Baldor.
Ejercicios:
Método horizontal:
Multiplicar: (? - 3) (? + 4)
Solución:
(x - 3) (x + 4) = x . x + x . 4 + (-3) . x + (-3) . 4
= x2
+ 4x + (-3x) + (-12)
= x2
+ 4x – 3x -12
= x2
+ x -12
8. Multiplicar: (? + 1) (? + 4)
Solución:
(x + 1) (x + 4) = x . x + x .4 + 1 . x + 1 . 4
= x2
+ 4x + x + 4
= x2
+ 5x + 4
Método vertical:
Este es un método clásico donde los factores de multiplican colocando el desarrollo
verticalmente y no de manera horizontal o lineal para todo el desarrollo, veamos el
siguiente ejercicio para la multiplicación de los siguientes polinomios ?2
+ 5 ? + 7, 4?2
+
3? + 2.
X2
+ 5x + 7
4x2
+ 3x + 2
4x2
(x2
+ 5x + 7) 4x2
+ 20x3
+ 28x2
3x (x2
+ 5x + 7) + 3x3
+ 15x2
+ 21x
2 (x2
+ 5x + 7) + 2x2
+ 10x + 14
4x2
+ 23x3
+ 45x2
+ 31x + 14
División de expresión algebraica:
Es una operación entre dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor para
obtener otra expresión llamado cociente por medio de un algoritmo. Cuando se trabaja
con polinomios debemos tener en cuenta un punto importante: el mayor exponente de
algún término del dividendo debe ser mayor o igual al mayor exponente de algún término
del divisor.
Esta expresión se le conoce como identidad de la división y literalmente nos dice que: El
dividendo es igual al divisor por el cociente, más el residuo. De aquí se puede extraer dos
tipos de división.
División exacta:
Esta división se define cuando el residuo R es cero, entonces:
D = dq + 0 D = q
d
División inexacta:
Esta división se define cuando el residuo R es diferente de cero. De la identidad,
dividiendo entre el divisor d, tenemos:
D = dq + R D = q + R
d d d d
Significa que la división es inexacta ya que existe un término adicional R
d
División de polinomios:
9. Hay 3 método para dividir dos polinomios, una de ellas es la división clásica que es la
forma generalizada de la división larga de la aritmética, luego el método de Horner y un
caso particular llamada método de Ruffini. Antes de contemplar estos métodos, es
necesario saber cómo se realiza una división entre dos monomios y es lo que
explicaremos a continuación.
División entre monomios:
Las reglas que debemos seguir para dividir dos monomios son las siguientes:
Primero se divide los coeficientes aplicando la ley de los signos
Luego dividimos las partes literales (variables) de los monomios según la ley de
exponentes.
Una forma generalizada de la división de monomios de una sola variable es:
axm
= a xm-n
bxn
b
Tenga en cuenta que m - n es mayor e igual a cero, ya que estamos considerando que la
división entre dos monomios es otro monomio.
Ejercicio:
18x4
= (18) (x4
) = 3x4-2
= 3x2
6x2
(6) (x2
)
División de un polinomio entre un monomio:
Esta es una división muy sencilla, su residuo es siempre cero, simplemente tenemos que
usar la propiedad distributiva para realizar esta división. Simplemente dividimos a cada
término del polinomio por el monomio. La propiedad distributiva prosigue de la siguiente
manera:
1 (a + b + c) = 1 ⋅ a + 1 ⋅ b + 1 ⋅ c
m m m m
Obteniendo el mismo resultado:
a + b + c = a + b + c
m m m m
Ejercicio:
Dividir 14x20
+ 21x16
+ 28x10
y 7x8
Solución:
14x20
+ 21x16
+ 28x10
= 14x20
+ 21x16
+ 28x10
7x8
7x8
7x8
7x8
= 14 x20-8
+ 21 x16-8
+ 28 x10-8
7 7 7
= 2x12
+ 3x8
+ 4x2
10. Productos notables de expresión algebraica:
Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran
frecuentemente y que es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad
de hacerlo paso a paso.
Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son
muy utilizados en los ejercicios.
Cuadro de suma de dos cantidades o binomios cuadrado:
a2
+ 2ab + b2
= (a + b)2
El cuadro de suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, mas el
doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, mas el cuadrado de la segunda
cantidad.
1 2 1 2 3 4
(a + b)2
= (a + b) (a + b) = a2
+ ab + ab + ab2
3 4
= a2
+ 2ab + b2
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de forma a2
+ 2ab + b2
debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factorizarla como (a + b)2
Cuadro de la diferencia de dos cantidades:
a2
– 2ab + b2
= (a - b)2
El cuadro de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadro de la primera cantidad,
menos al doble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, mas el cuadro de la
segunda cantidad
(a - b)2
= (a - b) (a - b) = a2
+ b2
- ab – ab = a2
+ b2
- 2ab = a2
– 2ab + b2
Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una
expresión de forma a2
– 2ab + b2
debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factorizarla como (a - b)2
.
Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de
dos binomios conjugados):
11. (a + b) (a - b) = a2
– b2
El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la
primera cantidad, menos, al cuadro de la segunda.
1 2 1 2 3 4
(a + b) (a - b) = a2
+ ab - ab + b2
3 4
= a2
– b2
Entonces, para entender de lo que estamos hablando, cuando nos encontramos con una
expresión de forma (a + b) (a - b) debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factorizarla como a2
– b2
.
Producto de dos binomios con un termino común, de la forma:
x2
(a + b)x + ab = (x + a) (x + b)
Veamos un ejemplo explicativo: tenemos la expresión algebraica.
x2
+ 9x + 14
obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7) ¿Cómo llegamos a la expresión?
El cuadrado del término común es (x) (x) = x2
La suma de términos no comunes multiplicada por el termino común es (2 + 7)x =
9x
El producto de los términos no comunes es (2) (7) = 14
Ejemplo:
x2
+ 9x + 14 = (x +2) (x + 7)
Entonces, para entender de lo que estamos hablando, cuando nos encontramos con una
expresión de forma x2
+ (a + b)x + ab debemos saber identificarla de inmediato y saber si
se puede factorizar como (x + a) (x+ b).
Producto de dos binomios con un termino común, de la forma:
x2
+ (a - b)x – ab = (x + a) (x - b)
Entonces para entender de que estamos hablando, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma x2
+ (a - b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factorizarla como (x + a) (x - b).
Producto de dos binomios con un termino común, de la forma
x2
– (a + b)x + ab = (x - a) (x - b)
12. Entonces para entender de que estamos hablando, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma x2
– (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que
podemos factorizarla como (x - a) (x - b).
Producto de dos binomios con un término común, de la forma:
mnx2
+ ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b)
En este caso vemos que el termino común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio
(mx y nx).
Entonces para entender de que estamos hablando, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma mnx2
+ ab + (mb + na)x debemos identificarla de inmediato y saber
que podemos factorizarla como (mx + a) (nx + b).
Cubo de una suma (cubo de binomio):
a3
+ 3a2
b 3ab2
+ b3
= (a + b)3
Entonces para entender de que estamos hablando, cuando nos encontramos con una
expresión de la forma a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
debemos identificarla de inmediato y saber si
podemos factorizarla como (a + b)3
.
Factorización:
Es una técnica que consiste en la descomposición en factores de expresión algebraica
(que puede ser un número, una suma o una resta, una matriz, un polinomio, etc) en forma
de producto. Existen distintos métodos de factorización, dependiendo de los objetos
matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos
de <bloques fundamentales>, que reciben el nombre de factores, como por ejemplo el
número en número primos, o un polinomio irreducible.
Lo contrario de la factorización de polinomios de la expansión, la multiplicación de los
factores juntos polinómicos a un polinomio “ampliado”, escrito como una simple suma de
términos.
Factorización de monomios:
Un monomio es una expresión que es el producto de constante y potencias enteras no
negativas de x, 3x2
.
13. Un polinomio es una suma de monomio como:
3x2
+ 6x -1.
Factorización de polinomio:
La factorización de polinomios o factorización polinómicas se refiere a factorizar un
polinomio con coeficientes en un campo dado o en los números enteros en factores
irreducibles con coeficientes en el mismo dominio.
Ejercicio:
P(x) = 2x3
– 14x – 12
P(x) = 2 . (x + 1) . (x + 2) . (x – 3)
