algebra lineal

1. invariancia
Sea T: VV el operador lineal sobre el espacio vectorial V.
Si W es un subespacio de V, se dice que W es invariante por T, si T(W) ⊂W.
esto es, si par todo vector v ∈ W el vector T(v) esta en W.
En tal caso, T induce un operador lineal T:WW definido por T(W)=T(W) para todo w ∈
W.

2. Por ejemplo:
Tenemos que 𝑇 𝑤1 ⊂
𝑤1,entonces 𝑤1es invariante por
T. pero también se cumple: 𝑇 𝑤2
⊂ 𝑤2 , entonces 𝑤2 es invariante
por T.
Cuando V es de dimensión finita ,
la invariancia de W por T tiene
una interpretación matricial
simple, muy interesante que la
mencionamos en el siguiente
teorema :
Supongamos que W es un subespacio
invariante de T:VV. entonces T tiene
una representación matricial por
bloques
𝑏 𝑐
0 𝑑
, donde B es una
representación matricial de
restricción T de T en W.
TEOREMA

3. EJEMPLO:
Sea la matriz donde la traz(A)=4 y det(A)=-5
a) El polinomio característico de A es: p(x) = 𝑥2
− (𝑡𝑟𝑎𝑧 𝐴)𝑥 + 𝑑𝑒𝑡 𝐴
p(x) = 𝑥2
− 4𝑥 − 5
p(x) = (x-5)(x+1)
b) Los valores propios de la matriz a 𝑥1 = 5 𝑦 𝑥2 = −1 se obtienen resolviendo las ecuaciones homogéneas.
• Vector propio asociado a 𝑥1 = 5
RESOLVER: ( A – 5I ) U = 0
el subespacio propio asociado al valor propio 𝑥1 = 5 es:
es una recta en que pasa por el origen (1,1) y es el vector d
𝐴 =
1 4
2 3

4. • Vector propio asociado a 𝑥2 = −1 El subespacio propio asociado al valor propio 𝑥2 = −1 es:
RESOLVER: ( A + I ) V = 0
esta es una recta en que pasa por el
origen y (2,-1) es el vector director

5. i) eligiendo el polinomio lineal g(x) = x - 5 se obtiene:
 El operador g(T) = T - 5I
 La matriz g(A) = A - 5I =
−4 4
2 −2
Eligiendo cualquier vector 𝛼 ∈ ℝ2 se cumple la
siguiente propiedad:
g(T)𝛼 esta en 𝑤2 = 𝑠
2
−1
, 𝑠 ∈ ℝ
esta propiedad nos indicara que:
“el T-conductor de 𝛼 en 𝑤2 es el polinomio Mónico
g(x) = x – 5”
ii) eligiendo el polinomio lineal g(x) = x + 1 se obtiene:
 El operador h(T) = T + I
 La matriz h(A) = A + I =
2 4
2 4
Eligiendo cualquier vector 𝛼 ∈ ℝ2
se cumple la
siguiente propiedad:
h(T)𝛼 está en 𝑤2 = 𝑡
1
−1
, 𝑡 ∈ ℝ
esta propiedad nos indicara que:
“el T-conductor de 𝛼 en 𝑤1 es el polinomio Mónico
h(x) = x + 1”