Geometrías de la imaginación: Diseño e iconografía de Querétaro
Greco R Jose Matematicas.pdf
1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
Barquisimeto-Edo Lara
Plano Numérico
Integrante
José R. Greco
Cedula de Identidad
31.007.239
Sección
0124
Unidad II
Matemáticas
30/01/2023
2. Plano Numérico.
Plano Numérico o plano cartesiano, está formado por dos rectas numéricas
perpendiculares, una horizontal y otra vertical que se cortan en un punto. La
recta horizontal es llamada eje de las abscisas o de las equis (x), y la vertical,
eje de las ordenadas o de las yes, (y); el punto donde se cortan recibe el
nombre de origen.
El plano cartesiano tiene como finalidad describir la posición de puntos, los
cuales se representan por sus coordenadas o pares ordenados.
Distancia.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta
paralela a ese eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto
de la diferencia de sus abscisas.
Ejemplo: La distancia entre los puntos (-4,0) y (5,0) es 4 + 5 = 9 unidades.
Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje y o en una recta
paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto
de la diferencia de sus ordenadas. Ahora si los puntos se encuentran en
cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada
por la relación:
3. Ejemplo:
Demostrar que los puntos: A(3,8); B(-11,3) y C(-8,-2) son vértices de un
triángulo isósceles.
Como AB = AC es diferente de BC; el triángulo es isósceles.
Punto Medio.
El punto medio, es el punto que se encuentra a la misma distancia de otros dos
puntos cualquiera o extremos de un segmento. Si es un segmento, el punto
medio es el que lo divide en dos partes iguales.
Sean A (x1, y1,z1) y B (x2,y2,z2) los extremos de un segmento, el punto medio
del segmento viene dado por:
4. Ecuaciones.
Tiene la forma y = mx + b; donde m es la pendiente (ángulo de inclinación de la
recta con respecto al eje x) y b es el intercepto donde la recta corta al eje y.
Cuando se tiene una línea recta que pasa por dos puntos P (x1; y1) y Q (x2;
y2) se cumple que la pendiente m es constante, donde m se define como:
Ecuaciones Punto.
Si se conoce un punto P (x1; y1) por el que pasa una recta y su pendiente m,
es factible definir la ecuación de la recta.
Se puede calcular la pendiente de la recta en base al punto conocido P(x1; y1)
y al punto genérico Q(x ; y):
m=(y-y1) / (x-x1) Ecuación Punto -Pendiente.
Otra forma de presentar la ecuación de la recta es:
y-y1=m (x-x1) Ecuación Punto –Pendiente
Trazado de Circunferencias.
Una circunferencia es todos los puntos en un plano que son una distancia dada
del punto central. Al usar un compás para dibujar una circunferencia, es el
punto del compás el centro de la circunferencia, y la aguja marca los puntos
que sean la misma distancia del centro.
Una circunferencia queda determinada cuando conocemos:
a) Tres puntos de la misma, equidistantes del centro
b) El centro y el radio.
c) El centro y un punto en ella.
d) El centro y una recta tangente a la circunferencia.
5. Parábolas.
Una parábola es la sección cónica de excentricidad igual a 1, resultante de
cortar un cono recto con un plano cuyo ángulo de inclinación respecto al eje de
revolución del cono sea igual al presentado por su generatriz.
El plano resultará por lo tanto paralelo a dicha recta. Se define también como el
lugar geométrico de los puntos de un plano que equidistan de una recta
llamada directriz y un punto exterior a ella llamado foco. En geometría
proyectiva, la parábola se define como la curva envolvente de las rectas que
unen pares de puntos homólogos en una proyectividad semejante o
semejanza.
La parábola aparece en muchas ramas de la ciencia aplicada debido a que su
forma se corresponde con las gráficas de las ecuaciones cuadráticas. Por
ejemplo, son parábolas las trayectorias ideales de los cuerpos que se mueven
bajo la influencia exclusiva de la gravedad.
Elipses.
La elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de las
distancias a los dos focos (puntos interiores fijos F1 y F2) es constante. Es
decir, para todo punto a de la elipse, la suma de las distancias d1 y d2 es
constante
También podemos definir la elipse como una cónica, consecuencia de la
intersección de un cono con un plano oblicuo que no corta la base.
Elementos de una Elipse.
Los elementos más importantes de la elipse son:
a) Focos: son los puntos fijos F1 y F2 que generan la elipse. La suma de las
dos distancias de cualquier punto de la elipse a los dos focos (d1 y d2) es
constante.
6. b) Distancia Focal (2c): distancia entre los dos focos. F1F2 = 2c. c es la semi-
distancia focal.
c) Centro: es el punto medio de los dos focos (O).
d) Semieje mayor: longitud del segmento OI o OK (a). La longitud es mayor a
la del semieje menor. La suma de las distancias de cualquier punto de la
elipse a los focos es constante y ésta es igual a dos veces el semieje
mayor.
Hipérbola.
Es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya diferencia de distancias a
dos puntos fijos llamados focos es constante:
Elementos de la Hipérbola:
1) Focos: Son los puntos fijos F y F´.
2) Eje principal o real: Es la recta que pasa por los focos.
3) Eje secundario o imaginario: Es la mediatriz del segmento FF´.
4) Centro: Es el punto de intersección de los ejes.
5) Vértices: Los puntos A y A’ son los puntos de intersección de la hipérbola
con el eje focal.
6) Radios vectores: Son los segmentos que van desde un punto de la
hipérbola a los focos: PF y PF´.
7) Distancia focal: Es el segmento de longitud 2c.
8) Eje mayor: Es el segmento de longitud 2ª.
9) Eje menor: Es el segmento de longitud 2b.
10) Ejes de simetría: Son las rectas que contienen al eje real o al eje
imaginario.
7. Representar gráficamente ecuaciones cónicas.
Ejercicio sin resolver.
EJERCICIO 1
Determina la distancia entre los puntos (3, 2) y (6, 6) en el plano cartesiano.
EJERCICIO 2
¿Cuál es la distancia entre los puntos (-1, -3) y (5, 7)?
