Modelos univariados de series temporales
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Este documento resume los modelos univariados de series temporales, incluyendo procesos estocásticos, funciones de autocovarianza y autocorrelación, procesos de ruido blanco y paseo aleatorio, y procesos AR, MA y ARMA. Explica cómo estimar los momentos muestrales de una serie temporal y analizar las propiedades de estacionariedad y linealidad de diferentes procesos estocásticos.
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Modelos univariados de series temporales
- 1. Capitulo 9: Modelos unívariados de series temporales Procesos estocásticas Función de autocovarianza, autocorrelación y autocorrelación parcial. Procesos de ruido blanco y paseo aleatorio Teorema de Wold Procesos AR(p) Procesos MA(q) Procesos ARMA(p,q) Procesos ARIMA(p,d,q)
- 2. Procesos estocásticos • Definición: Un proceso estocástico es una sucesión de variables aleatorias ordenadas en el tiempo (en el caso de series temporales). • Definición: Una serie temporal es una realización del proceso estadístico, es decir, es una observación de T variables aleatorias ordenadas en el tiempo.
- 3. Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso. Restricciones de Estacionaridad • Definición: Un proceso estocástico es estacionario en sentido estricto o fuerte cuando la distribución de probabilidad conjunta de cualquier parte de la secuencia de variables aleatorias es invariante del tiempo. ),...,,(),...,,( 11 τττ +++++++ = ktttkttt xxxFxxxF
- 4. Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso. • Definición: Un proceso estocástico es estacionario en sentido débil si los momentos del primero y segundo orden de la distribución (esperanzas, varianzas, covarianzas) son constantes a largo del tiempo. • para todos los . • para todos y . ∞<=− ∞<= 22 )( ,)( σµ µµ tt t xE xE ( )( )[ ] ∞<=−− ++ ττττ γγµµ ,tttt xxE t τt
- 5. Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso. • Restricciones de memoria del proceso, ergodicidad. • La relación entre dos variables aleatorios de un proceso es más débil cuando las variables son más lejanas en el tiempo. • Al aumentar el número de observaciones de la serie temporal aumenta el número de covarianzas, pero no el número de parámetros de estimar. 0lim = ∞→ τ τ γ
- 6. Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso. • Definición: Homogenización de una serie temporal es cuando a través de una transformación el serie temporal es estacionar. • Queremos tener una serie temporal con una media y varianza (más o menos) constante a largo del tiempo.
- 7. Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso. • Transformación Box-Cox: = ≠ − = 0ln 0 1 )( λ λ λ λ λ six si x x t t t
- 8. Restricciones a la heterogeneidad temporal del proceso. Para conseguir una media constante a largo del tiempo se puede aplicar operadores de diferencia, . , donde es el operador de retardo. . Una media estacionaria se puede conseguir a través diferenciaciones sucesivas.
- 9. Las funciones de autovarianza y autocorrelación • Funciones de autocorrelación miden la relación lineal entre variables aleatorias de procesos separadas de una cierta distancia en el tiempo. • Estimación de estas funciones permiten determinar la forma del procesos estocástico.
- 10. Las funciones de autovarianza y autocorrelación • La función de autocovarianza Si el proceso es estacionario, su esperanza es constante a largo del tiempo, y la función de autocovarianza no depende del momento en tiempo, sólo la distancia temporal. ,...1,0,1..., )])([(),(, −= −−== +++ τ µµγ ττττ ttttttt xxExxCov )])([( µµγ ττ −−= +tt xxE
- 11. Las funciones de autovarianza y autocorrelación • Para cada retardo hay un valor diferente para la función de autocovarianzas, autocovarianza de orden . • Función de autocorrelación simple (FAS), τ 22 , , )()( )])([( ττ ττ τ τ τ µµ µµ γγ γ ρ ++ ++ + −− −− == tttt tttt tt t t xExE xxE
- 12. Las funciones de autovarianza y autocorrelación • Si el proceso es estacionario, los momentos de segunda orden no depende de . • Una correlograma enseña la FAS en función de . t 2 0 )( )])([( µ µµ γ γ ρ ττ τ − −− == + t tt xE xxE τ
- 13. Las funciones de autovarianza y autocorrelación • La función de autocorrelación parcial (FAP) enseña la relación lineal cuando se ha eliminado la correlación que estas variables tienen con otras variables. ),...,|,( 11 +−−−= kttkttkk xxxxCorrφ
- 14. Las funciones de autovarianza y autocorrelación • Se puede obtener los coeficientes de FAS a través regresiones. • Nota: Si la esperanza de no es cero, hay que añadir una constante en cada regresión. )ˆ()ˆ( ))ˆ(),ˆ(( ktkttt ktkttt kk xxVarxxVar xxxxCov −− −− −− −− =φ ++++= ++= += −−− −− − tktkktktkt tttt ttt vxxxx vxxx vxx φφφ φφ φ ...2211 222121 111 tx
- 15. Las funciones de autovarianza y autocorrelación • Se puede demostrar que los coeficientes de FAS se pueden escribir como una función de coeficientes de FAP. Esta relación se llama el sistema de ecuaciones de Yule-Walker.
- 19. Estimación de los momentos muéstrales • Para un proceso estocástico estacionario con ergodicidad, con una sola serie temporal, podemos estimar; Media ( ) ( ) Varianza ( ) Autocovarianzas ( ) Autocorrelaciones ( ) Autocorrelaciones parciales ( )
- 20. La función de autocovarianza • La función de autocovarianza se puede estimar a través de la función de autocovarianza muestral: ))((ˆ 1 1 xxxxT t T t t −−= + − = − ∑ τ τ τγ
- 21. Función de autocorrelacion simple • Función de autocorrelacion simple muestral, 2 1 1 0 )( ))(( ˆ ∑ ∑ = + − = − −− === T t t t T t t xx xxxx r τ τ τ ττ γ γ ρ
- 22. Función de autocorrelacion simple Si el proceso es a) estacionario gaussiano (normal) y b) para , se puede estimar la varianza de con esta formula, +≅ ∑ − = 1 1 2 21 1 )( τ τ i ir T rV Se puede usar la varianza para contrastar la . donde es el error estándar. Rechazamos la hipótesis si es fuera del intervalo ( ).
- 23. función de autocorrelación parcial • Para hacer la función de autocorrelación parcial muestral se puede aplicar MCO. +++++= +++= ++= −−− −− − tktkktktkt tttt ttt vxxxcx vxxcx vxcx φφφ φφ φ ...2211 222121 111 Donde son estimaciones consistentes de la FAP. Bajo los supuestos que el proceso es gaussiano (normal) y que , se puede estimar la varianza con, de manera que si está fuera del intervalo ( ) rechazamos la hipótesis que .
- 24. Procesos de ruido blanco Definición: • es un proceso estocástico de ruido blanco si; • Es un proceso con media = 0, varianza constante, y sin autocorrelación. No se puede predecir a partir de su pasado. { }T tt 1= ε ≠== == = + 00)( )()( 0)( 22 τγεε σεε ε ττ ε yttodosparaE ttodosparaVE ttodosparaE tt tt t
- 25. Procesos de paseo aleatorio Definición (18) • Un proceso estocástico sigue un paseo aleatorio si; • El valor en un momento es el valor del periodo anterior más un efecto aleatorio ruido blanco. blancoruidoesdonde xx t ttt ε ε+= −1 ttttt xLxxx ε=−=∆=− − )1(1
- 26. Procesos de paseo aleatorio
- 27. Procesos de paseo aleatorio • Se puede generalizar el modelo e incorporar una deriva. ttt tt xx x εδ εδ ++= +=∆ −1
- 28. Procesos de paseo aleatorio • Memoria permanente; todo los efectos aleatorios tienen un efecto permanente. • es una pendiente de una tendencia determinista. • está formado por la suma de todo las perturbaciones pasadas. ∑ − = − −−− ++= =++++=++= 1 0 0 121 ...)( t j jt tttttt tx xxx εδ εδεδεδ δ tx
- 29. Procesos de paseo aleatorio • El primero momento; • Si el proceso no es estacionario en media. txtxExE t j jtt δεδ += ++= ∑ − = − 0 1 0 0)( 0≠δ
- 30. Procesos de paseo aleatorio • La varianza; • No es estacionario en varianza; tiene una tendencia (incrementa linealmente). Paseo aleatorio tiene una tendencia en varianza o tendencia estocástica. t EE ExExE t j jt t jj jj jtjt t j jt t j jtttt 2 1 0 2 1 ' 0', ' 1 0 2 2 1 0 2 0, )(2 ))(( εσ εεεε εγ = = += =−= ∑∑∑ ∑ − = − − < = −− − = − − = − es ruido blanco, y
- 31. Procesos de paseo aleatorio • Otra manera de llegar al mismo resultado;
- 32. Procesos de paseo aleatorio • Autocovarianza; • La autocovarianza tampoco es constante [ ] )( )( ))())((( 2 1 0 2 1 0 1 0 , τσ εεε γ ε ττ τ τττ −= = = −−= ∑∑∑ −− = − −− = −− − = − −− t EE xExxExE t j jt t j jt t j jt ttttt
- 33. Procesos de paseo aleatorio • Conclusión: Paseo aleatorio no es estacionar. Esto complica la inferencia. De todos modos, hay un camino definida de variación a largo del tiempo.
- 34. Procesos de paseo aleatorio • Si transformamos el proceso a través de una diferencia, la transformación sería estacionaria. ttt xw εδ +=∆= es estacionario; es un ruido blanco alrededor de la media, .
- 35. Procesos de paseo aleatorio • Es importante detectar si un serie está generada por un pasea aleatorio. • 1) La función de autocorrelación simple puede dar una indicación. • Una correlograma presentará los primeros coeficientes muy cerca de 1, y esta va decreciendo suavemente. ttt t tt t tt t t τ τ τ τσσ τσ γγ γ ρ εε ε τ τ τ −= − − = − − == − 1 )( )( )( )( 22 2 0,0, , ,
- 36. Procesos de paseo aleatorio • La FAP, resultaría en un primero coeficiente significativo y cerca de uno, mientras los siguientes coeficientes serán cero. +++++= +++= ++= −−− −− − tktkktktkt tttt ttt uxxxcx uxxcx uxcx φφφ φφ φ ...2211 222121 111
- 37. Procesos de paseo aleatorio • Normalmente un FAS que está decreciendo muy lento con un primer FAP cerca uno y los restos cero, indica que podemos diferenciar para conseguir un serie temporal estacionario.
- 38. Procesos de paseo aleatorio • Otra manera para saber si se debe diferenciar una serie temporal son los contrastes de raíces unitarias. • Constaste de raíces unitarias. “unit roots”. Estima la ecuación; ttt xx εδφ ++= −1 Y contrastar si
- 39. Procesos lineales • Definición: Un proceso estocástico es lineal cuando lo podemos escribir como una función de una combinación lineal (posiblemente infinita) de variables aleatorios de ruido blanco. { }T tt 1= ε ∑ ∞ = − −− = +++= 0 2211 ... j jtj ttttx εψ εψεψε
- 40. Procesos lineales • Hay tres tipos de procesos estocásticos lineales; • Autoregresivas (AR) • Media móvil (MA) • ARMA (la combinación de AR y MA) qtqttptptt qtqtttt tptpttt xxxqpARMA xqMA xxxxpAR −−−− −−− −−− −−−+++= −−−−= ++++= εθεθεφφ εθεθεθε εφφφ ......);,( ...);( ...);( 1111 2211 2211 es un término aleatorio, independiente e idénticamente distribuido (“ruido blanco”).
- 41. Procesos lineales • Se puede introducir una constante para tener procesos con una media . • Se puede expresar los procesos con un polinomio de operadores de retardos. El operador de retardos L esta definido por; • Este operador retarda la serie tantas periodos como el exponente indica. 0≠ δ ktt k tt xxL xLx − − = = 1 k
- 42. Procesos lineales • Utilizando el operador de retardos y la generalización con el constante, , podemos escribir los procesos: • Se puede transformar procesos AR y ARMA en procesos MA. δ tqtp tqt ttp LxLqpARMA LxqMA xLpAR εθδφ εθδ εδφ )()();,( )();( )();( += += += móvilmediapolinomioLLLL sivoautoregrespolinomioLLLL q qp p pp θθθθ φφφφ −−−−= −−−−= ...1)( ...1)( 2 21 2 21
- 43. Procesos lineales Teorema de Wold. Cualquier proceso estocástico estacionario se puede representar con una suma de dos procesos. Donde es linealmente determinista y es un proceso : Donde es ruido blanco. ttt udx += td tu )(∞MA ∑ ∞ = − ∞= 0 )( j jtj tt Lu εψ εψ tε
- 44. Procesos lineales • El proceso se puede aproximar a través modelos lineales, cuando el polinomio infinito se puede aproximar bien con un cociente de dos polinomios en • Transformaciones puede hacer series estacionarios y la teorema permite crear modelos relativamente sencillas a partir de modelos lineales. )(∞MA )(L∞ψ )( )( )(: L L LL p q φ θ ψ ≅∞
- 45. Procesos autoregresivos (AR) • Un proceso autoregresivo se puede escribir, εφφφδ εδφφφ εδφ +−−−+= +=−−−− += −−− ptpttt tt p p ttp xxxx xLLL xL ... )...1( )( 2211 2 21
- 46. Procesos autoregresivos (AR) • Para que un proceso AR sea estacionario el polinomio en el operador de retardos asociados al proceso tiene que ser estable, es decir, al calcular las raíces del polinomio, estas tienen de caer fuera del círculo unidad. Los valores de que satisfacen esto cumple . )(Lpφ 0)...1()( 2 21 =−−−−= p pp LLLL φφφφ L 1>L
- 47. Procesos autoregresivos (AR) • Si hay alguno raíz igual a 1 (raíz unitario) el proceso AR no es estacionario, y no se pueden expresar como procesos . Si hay alguna raíz inferior a 1 el proceso será explosivo y tampoco estacionario. )(∞MA
- 48. Procesos autoregresivos (AR) • Las condiciones para estacionariedad son: • (necesaria, pero no suficiente): • (suficiente, pero no necesario): 1 1 <∑= p j jφ 1 1 <∑= p j jφ
- 49. Procesos autoregresivos (AR) • AR(1) estacionariedad • Condición necesaria y suficiente: tt ttt xL xx εδφ εφδ +=− ++= − )1( 11 1<φ
- 50. Procesos autoregresivos (AR) • Un proceso estacionario se puede escribir como un proceso . • Se puede llegar a la misma solución a través de substitución recursiva. )1(AR )(∞MA jt j j t t t LL L x − ∞ = ∑+ − = ++++= − + = εφ φ δ εδφφ φ εδ 0 22 1 )...)(1( )1( .1 ttt xx εφδ ++= −
- 51. Procesos autoregresivos (AR) • La solución se usa para calcular los momentos del proceso. También se puede usar para enseñar el siguiente resultado, valido por .0>h 0... 1 )( 2 2 1 = ++++ − = +−−+ htttthtt ExE εεφφεε φ δ ε Dado que para todos .
- 52. Procesos autoregresivos (AR) • El momento de primer orden es; • Con estacionariedad tenemos el mismo resultado; φ δ εφ φ δ µ − = + − == − ∞ = ∑ 11 )( 0 jt j j t ExE ))()(( 1 µ== −tt xExE 1 1 )1()()( − − −=+=++== φδφµδεφδµ ttt xExE
- 53. Procesos autoregresivos (AR) • La varianza del proceso es; • También se puede llegar a este resultado a través; 2 2 2 0 2 2 0 2 0 1 )( φ σ σφεφµγ ε ε − == =−= ∑∑ ∞ = − ∞ = j j jt j j t ExE 1222 0 2 10 )1()()( − − −=+=++== φσσγφεφδγ εεttt xVxV
- 54. Procesos autoregresivos (AR) • La autocovarianza del proceso es, donde; indica la desviación con respecto a la media. tx~ 01 0 2 12122 01111 )~)~(()~~( )~)~(()~~( )~)~(()~~( γφφγεφγ γφφγεφγ φγεφγ τ ττττ ==+== ==+== =+== −−− −−− −−− ttttt ttttt ttttt xxExxE xxExxE xxExxE
- 55. Procesos autoregresivos (AR) • La función de autocorrelación simple es; • y tiene un decrecimiento exponencial. • FAP, al otro lado, sólo tiene un coeficiente diferente de cero. Se puede demostrar con las ecuaciones de Yule-Walker. ττ τ φ γ γ ρ == 0
- 57. Procesos autoregresivos (AR) • AR(2): • Al calcular las raíces del polinomio tendríamos dos soluciones y hay los siguientes requisitos (simultáneamente) para tener un polinomio estable. )1()( )( )1( 2 212 2 2 21 2211 LLLdonde xL xLL xxx tt tt tttt φφφ εδφ εδφφ εφφδ −−= += +=−− +++= −− 0)1( 2 21 =−− LL φφ 1 1 1 2 12 12 < <+ <− φ φφ φφ
- 58. Procesos autoregresivos (AR) • Los resultados para la covarianza de AR(1) se puede generalizar.
- 60. Procesos media móviles (MA(q)) • Un proceso media móvil de orden q; • Estos procesos siempre son estacionarios (los momentos de primer y segundo orden son siempre finitas y constantes a largo del tiempo). • Una condición (que hay que comprobar) para estos procesos es que son invertibles. tq qtqtttt L x εθδ εθεθεθεδ )( ...2211 += −−−−+= −−−
- 61. Procesos media móviles (MA(q)) • Esta condición implica que las raíces del polinomio están fuera del círculo de unidad. Los procesos MA no invertibles no permiten una representación autoregresiva convergente. )(Lqθ
- 62. Procesos media móviles (MA(1)) • MA(1): • La condición de invertibilidad es para un proceso MA(1) es . • Esperanza: 11 −−+= tttx εθεδ 1<θ δεθεδµ =−+== − )()( 11 ttt ExE
- 63. Procesos media móviles (MA(1)) • Varianza: • Autocovarianza: ( ) 22 1 11 2 1 2 1 22 11 2 0 1 )(2)()()()( εσθ εεθεθεεθεµγ += −+=−=−= −−− ttttttt EEEExE [ ] [ ] [ ] [ ] 20 0))(())(( ))(())(( 3121122 2 12111111 ≥∀= =−−=−−= −=−−=−−= −−−− −−−− τγ εθεεθεµµγ σθεθεεθεµµγ τ ε tttttt tttttt ExxE ExxE
- 64. Procesos media móviles (MA(1)) • FAS es: • La FAP presenta un decrecimiento exponencial; • Se puede llegar a este resultado general con las ecuaciones de Yule-Walker. ≥ = + − = 20 1 )1( 2 1 1 τ τ θ θ ρτ )1(2 1 2 11 1 )1( + − − −= k k kk θ θθ φ
- 65. Procesos media móviles (MA(1)) 6 1 4 1 2 1 3 1 2 2 1 1 3 2 1 1 2 1 3 1 2 2 2 12 2 1 3 2 121 2 21 3 13 33 4 1 2 1 2 1 2 1 2 12 22 2 1 1 11 1 1 21 1 21221 2 11 1 θθθ θ θ θ θ θ ρ ρ ρρρρ ρρρρρρρρ φ θθ θ ρ ρρ φ θ θ ρφ +++ = + −− + − = − −= −−+ −−++ = ++ −= − − = + −==
- 66. Procesos media móviles (MA(1))
- 67. Procesos media móviles (MA(2)) • Calcular las raíces del polinomio. 0)1( 2 11 =−− LL θθ
- 68. Procesos media móviles (MA(2)) • Para tener un modelos estable;
- 69. Procesos media móviles (MA(2))
- 70. Procesos media móviles (MA(2))
- 71. Procesos media móviles (MA(2)) • Función de autocorrelación simple
- 72. Procesos media móviles (MA(2))
- 73. Procesos media móviles (MA(2))
- 74. Procesos media móviles (MA(q)) • MA(q) con deriva: • (el mismo resultado) δεθεθεθεδµ =−−−−+== −−− )()( 2211 qtqtttt ExE ( ) 222 2 2 1 2 2211 2 0 1 )()( εσθθθ εθεθεθεµγ q qtqtttt ExE ++++= =−−−−=−= −−−
- 75. Procesos media móviles (MA(q)) [ ] [ ] > ≤+++− = −−−−−−−−=−−= −+ −−−−−−−−−−− qsi qsi ExxE qq qtqtttqtqttttt τ τσθθθθθ εθεθεθεεθεθεθεµµγ ετττ τττττ 0 )( ))(())(( 2 11 121122111
- 76. Procesos media móviles (MA(q))
- 77. Procesos autoregresivos media móviles (ARMA(p,q)) • Un modelo autoregresivo media móvil (ARMA(p,q)) sigue la forma; • Es decir, tiene una parte autoregresivo y otra parte media móvil.
- 78. Procesos autoregresivos media móviles (ARMA(p,q)) • Debemos comprobar si la parte autoregresiva es estacionaria y la parte media móvil es invertible. • Si la parte AR es estacionario, se puede escribir como un )(∞MA
- 79. Procesos autoregresivos media móviles (ARMA(p,q)) • Si la parte MA es invertible, se puede expresarlo como un )(∞AR
- 80. Procesos autoregresivos media móviles (ARMA(p,q)) • Los procesos ARMA tienen un FAS como la de su parte AR y una • FAP como su parte MA. • ARMA tiene FAS y FAP que decrecen exponencialmente en valor absoluta hacia cero. • No se puede determinar el orden.
- 81. Procesos autoregresivos media móviles (ARMA(p,q))
- 82. ARMA(1,1) • FAS: 111 −− −++= tttt xx εθεφδ δφµ 1 1)1( − −= 2 2 1 2 111 0 1 21 εσ φ θθφ γ − +− = > = +− −− = − 1 1 21 ))(1( 11 2 111 1111 τρφ τ θθφ θφθφ ρ τ τ
- 83. ARMA(1,1)
- 84. ARMA(p,q) • Representar con : δφµ 1 )1( − = p )(∞MA t j jtjt Lx εψµεψµ )( 0 ∞ ∞ = − +=+= ∑ ∑ ∞ = =−= 0 222 0 )( j jtxE ψσµγ ε
- 85. Procesos autoregresivos integrados media móvil; ARIMA(p,d,q) • Procesos ARIMA presentan raíces unitarias en el polinomio autoregresivo; no son estacionarios. Se puede factorizar a partir de las raíces unitarias. Podemos escribir; • Donde no incluye raíces unitarias y es el número de raíces unitarias. )(* Lrφ )()1()(* LLL dr d r −−= φφ )(* Ldr−φ d
- 86. Procesos autoregresivos integrados media móvil; ARIMA(p,d,q) • Recuerda el operador de diferencias;
- 87. ARIMA(p,d,q) • Por ejemplo, ARIMA(0,1,0) es un paseo aleatorio.
- 88. ARIMA(p,d,q) • Si una serie presenta un correlograma como un AR(1) con ; FAS está muy cerca 1, y no caen rápidamente. 1=φ
- 89. ARIMA(p,d,q) • Si aplicamos el operador de diferencia cuando no es necesario (sobre- diferenciar), tendremos un MA(1) que no es invertible. • Por ejemplo: Ruido blanco;
- 90. ARIMA(p,d,q) • Cuando el orden de diferencia se ha decidido , se puede escribir un procesos ARIMA como o un .)(∞AR )(∞MA
- 91. Procesos estaciónales • Si tenemos datos con información de varias ocasiones durante un año, podemos observar estacionalidad, es decir, un comportamiento económico que depende del tiempo durante un año. (Ejemplos; temperaturas, vacaciones, movimientos turísticos). Los procesos anteriores están pensados para series con sólo una observación cada año, o series sin estacionalidad. • El numero de estaciones durante el año llamamos s. Por ejemplo, S=12 para datos mensuales, o 4 para trimestrales. Se puede generalizar los procesos explicas arriba para captar estacionalidad.
- 95. Procesos estaciónales • Una serie temporal con estacionalidad puede tener una estructura de dependencia estacional y otra parte regular (no estacional) que sigue un • Normalmente estos partes pueden interactuar en una especificación multiplicativa. Este es un modelo
- 96. Procesos estaciónales • En estos modelos hay “efectos satélites”. • Por ejemplo • Nota el término que se nota en FAP y FAS asociados los retardos próximos a los múltiples de S, pero esto no significa que tengamos procesos adicionales de MA(0,1) y SMA(0,1).
- 97. Procesos estaciónales • FAS: Se reproduce la parte regular de la FAS alrededor de los coeficientes estaciónales. • FAP: Se reproduce la parte regular de la FAS a la izquierda de los coeficientes estaciónales y la parte de FAP a la derecha. • Signos: – En FAS se multiplica el signo del coeficientes estacional por el de regular. – En FAP, si el signo del coeficiente estacional es positivo se inversa el signo a la parte derecha (FAP regular) mientras si es negativo, se inversa el de la izquierda (FAS regular).