analisis de esfuerzos

1. Mecánica de Materiales II:Análisis de Esfuerzos Andrés G. Clavijo V., Universidad Simón Bolívar

3. Supongamos una barra sometida a carga axial únicamente y x z

4. Con los planos utilizados y analizando solo un pequeño fragmento de la viga, podemos concluir que todos los puntos están sometidos a tracción Al hacer Zoom en el círculo señalado se tiene: y sz x z sz

5. Supongamos ahora una barra apoyada en sus extremos y sometida a una carga cortante. y x z

7. Orientación del propio esfuerzoLos esfuerzos normales se identifican según la orientación del eje sobre el cual se producen

11. Del plano que pasa por dicho puntoM o z x

13. Esfuerzo tangencialt T n sn S El vector esfuerzo surge de la generalización del concepto de presión en Mecánica de los fluidos (Cauchy, 1822). Tal y como se presenta acá se debe al Ingeniero Saint-Venant Augustine-Louis Cauchy (1789-1857) Barré de Saint-Venant (1797-1886)

14. Volvamos al caso de la barra sometida a carga axial únicamente y utilicemos un plano inclinado para seccionar la viga y x z sn n T t

15. Son aquellas cuya magnitud es proporcional a la masa contenida en el volumen ocupado por el sólido q Q1 DV W DF P G Q2 y r Q3 M o z x

16. Planos: se consideran positivos, si su normal (saliente del elemento de volumen) apunta a la dirección positiva de un eje coordenado. Esfuerzos normales: se considera positivo si es de tracción y negativo si es de compresión. Esfuerzos tangenciales: son positivos si, actuando en un plano positivo (o negativo), apunta en la dirección positiva (o negativa) de un eje coordenado. El caso contrario, son negativos

17. Al aislar el cubo y definir un sistema de coordenadas en el origen, se obtiene el vector esfuerzo para cada cara Veamos de nuevo el caso general: q Q1 T(r,k) z T(r,j) G Q2 W W- W+ T(r,i) y Q3 x S M

18. z T(r,k) sz tzy tyz tzx txz sy tyx txy sx y T(r,j) T(r,i) x

19. z C T(r,n) n g T(r,-i) b a y B T(r,-j) P A x T(r,-k)

20. z sn C T(r,n) q n t B y A x

21. Una vez conocidos los esfuerzos en un punto a través de la matriz de esfuerzos, es necesario compararlo con una Teoría de falla (como veremos más adelante en el curso) La mayoría de dichas teorías basan su formulación en el conocimiento de los valores extremos del esfuerzo normal, es decir valores máximos y mínimos.

22. Generalmente, el vector esfuerzo no es perpendicular al plano o paralelo a la normal n. Sin embargo, existe la posibilidad en que el vector esfuerzo tenga la dirección de la normal. Recordemos la viga a tracción: y x z n T

23. Cuando el vector esfuerzo es perpendicular al plano, la componente tangencial desaparece, en ese momento, el vector esfuerzo se convierte en un esfuerzo principal y x z n T

24. Por definición: z sz I1, I2, I3son los invariantes de la matriz de esfuerzos 3 tzy tyz tzx donde: txz 2 s1 sy g3 g2 tyx txy b3 n3 n2 sx y b2 a3 g1 s2 a2 n1 b1 x a1 s3 1

25. Dado un estado principal de esfuerzos, vamos a calcular el vector esfuerzo y sus componentes: 3 C n s1 g T(r,n) b a s2 B 2 P A s3 1 Christian Otto Mohr (1835-1918)

26. t tmax r2 r3 s1 s3 s2 s c2 c3 c1 r1

28. Se dibujan los círculos cuyos centros y radios se calculan con:

29. Por el punto P1 trazamos una recta inclinada formando un ángulo a con respecto a la vertical

30. Esta recta se intersecta con el círculo P1P2 en el punto A y con P1P3 en el punto B

31. Con centro en c1, se traza el arco de circunferencia que une los puntos A y B

32. Por el punto P3 se traza una recta inclinada formando un ángulo g, que se intersecta con los círculos P2P3 en C y P1P3 en D. Con centro en c3 se traza el arco que une los puntos C y D

33. Los arcos AB y CD se intersectan en el punto P cuyas coordenadas nos dan las componentes tangencial y normal del Vector esfuerzo del plano estudiadoD B P t C A g a P1 P3 P2 s 2 sn c2 c3 c1 r3 r1 n T(r,n) s1 r2 g s2 b a sn 1 t s3

35. Análogamente, con centro en c3 y radio c3P se traza el arco que pase por los puntos C y D. Luego se traza una recta que intersecte los puntos C, D y P3. El ángulo que forme con la vertical g es el mismo que forma la normal del plano con el eje principal I1

36. Con centro en c1 y radio c1P, se traza el arco que intersecta el circulo P1P2 en el punto A y con el circulo P1P3 en el punto B

37. Conocidos a y g, el ángulo b se calcula de la siguiente manera:

38. Para resolver el problema inverso, el cual consiste en determinar el plano donde actúan los esfuerzos tangenciales y normales

39. Se traza una recta que intersecte los puntos A, B y P1. El ángulo que forme con la vertical a es el mismo que forma la normal del plano con el eje principal I1D B P t C A g a P1 P3 P2 s c2 c3 c1 r3 r1 s1 r2 s2 sn s3

41. Se dibujan los círculos cuyos centros y radios se calculan con:

42. Por el punto P1 trazamos una recta inclinada formando un ángulo a con respecto a la vertical

43. Esta recta se intersecta con el círculo P1P2 en el punto A y con P1P3 en el punto B

44. Con centro en c1, se traza el arco de circunferencia que une los punto A y B

45. Por el punto P2 se trazan dos rectas inclinadas formando un ángulo b, que se intersecta con los círculos P2P3 en F y P1P2 en E. Con centro en c2 se traza el arco que une los puntos E y F

46. Los arcos AB y EF se intersectan en el punto P cuyas coordenadas nos dan las componentes tangencial y normal del Vector esfuerzo del plano estudiadoB P t F E A b a b s 2 sn P1 P3 c1 P2 c2 c3 r3 r1 s1 n T(r,n) r2 g s2 b a sn 1 t s3

47. y y n T(r,n) T(r,n) n tyx txy x1 tyz sn txy tzy t sn sy b T(r,-k) t sz sy b sx sx a=q y1 tx1y1 txz tzx sx1 g a txy T(r,-i) q x x z z T(r,-j)

48. Viste desde el plano XY, se tiene: y x1 txy y1 Para el sistema de la figura, la matriz de esfuerzos es: Pero también pudiera presentar la siguiente forma dependiendo del sistema: txy sx1 sy sx tx1y1 q x

50. Los esfuerzos normales y tangenciales en un plano perpendicular al plano XY son las coordenadas en un punto sobre la circunferencia de Mohr

51. Los ejes X y Y se representan en el círculo de Mohr como radios

52. En el plano XY, los angulos son positivos cuando se miden en sentido anti horario. En el diagrama de Mohr son positivos si se miden en sentido horariot y1 y2 (sx,txy) (sx,txy) Px1(sx1,tx1y1) 2.f Px2(sx2,tx2y2) 2.q x C sn (s2) (s1) y x2 x1 q (sy,-txy) (sy,-txy) f x

54. Con centro en C y radio CPx, se traza la circunferencia de radio R

55. Se ubican los puntos Px(sx,txy) y Py(sy,-txy) y se traza una recta que intersecta el eje de las abscisas en el punto C.

56. Si queremos determinar los esfuerzos sx1 y tx1y1 en un plano cuya normal forma un ángulo f en sentido anti horario con el eje x, medimos un ángulo 2f en sentido horario en el círculo de Mohr

57. La circunferencia se intersecta con el eje de las abscisas P1 y P2 que corresponden a los esfuerzos principales s1 y s2t y1 Px(sx,txy) Px1(sx1,tx1y1) 2.f R x C sn P2(s2) P1(s1) x1 Py(sy,-txy) f

58. y sy x1 txy txy txy txy sx1 sy q y1 sx sx tx1y1 x z