2. Katiuska dese construir un cartel de
forma triangular, donde dos de sus
lados midan 60 cm. Si uno de sus
ángulos iguales es 30°. ¿Cuál será
el área que ocupa el cartel?
A. 𝟗𝟎𝟎 𝟑 𝐜𝐦𝟐
B. 𝟒𝟎𝟎 𝟑 𝐜𝐦𝟐
C. 𝟓𝟎𝟎 𝟑 𝐜𝐦𝟐
D. 𝟔𝟎𝟎 𝟑 𝐜𝐦𝟐
E. 𝟕𝟎𝟎 𝟑 𝐜𝐦𝟐 𝐴 =
60 3 30
2
60 60
30°
30°
𝟑𝟎
𝟑𝟎 𝟑 𝟑𝟎 𝟑
𝐴 = 30 3 30
𝑨 = 𝟗𝟎𝟎 𝟑 𝒄𝒎𝟐
3. Hallar la ecuación de una elipse
cuyo centro es (3, 4). la longitud de
su eje mayor es 18 y la longitud de
su eje menor es 10, y su eje focal es
paralelo al eje de abscisas.
A. 𝒙𝟐
B. (𝒙 − 𝟏)𝟐
+𝒚𝟐
= 𝟏
C. 𝒙 + 𝟑 𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝟏
D.
(𝒙−𝟑)𝟐
𝟖𝟏
+
(𝒚−𝟒)𝟐
𝟐𝟓
= 𝟏
E.
𝒙𝟐
𝟐
+ 𝒚 = 𝟏
* Centro de la elipse (h. k) = (3,4)
* Como la longitud del eje mayor es 18 entonces:
2a = 18 ……… a = 9
* Como la longitud del eje menor es 10 entonces:
2b = 10 ……… b = 5
* Como el eje focal es paralelo al eje X, entonces la
ecuación de la elipse es
(x − 3)2
92
+
(y − 4)2
52
= 1
(𝒙 − 𝟑)𝟐
𝟖𝟏
+
(𝒚 − 𝟒)𝟐
𝟐𝟓
= 𝟏
4. La ecuación de una elipse es
𝟒 𝒙 + 𝟐 𝟐
+ 𝟗 𝒚 − 𝟏 𝟐
= 𝟑𝟔 . Hallar
las coordenadas del vértice de la
elipse.
A. −𝟓; 𝟏 , 𝟏; 𝟏
B. 𝟒; 𝟎 , 𝟎; 𝟎
C. 𝟓; 𝟎 , 𝟎; 𝟎
D. 𝟑; 𝟏 , 𝟏; 𝟏
E. 𝟓; 𝟏 , 𝟏; 𝟏
4 x + 2 2
+ 9 y − 1 2
= 36
a2
= 9 a = 3
b2
= 4 b = 2
𝐂𝐞𝐧𝐭𝐫𝐨 (−𝟐; 𝟏)
x + 2 2
9
+
y − 1 2
4
= 1
h = −2 y k = 1
V1 = h − a; k y V2 = h + a; k
V1 = −2 − 3; 1 = −5; 1
𝐕𝟐 = −𝟐 + 𝟑; 𝟏 = 𝟏; 𝟏
5. Hallar las coordenadas de los
vértices Y la longitud del lado recto
de la elipse si se tiene la siguiente
ecuación: 𝟏𝟔𝒙𝟐
+ 𝟐𝟓𝒚𝟐
= 𝟒𝟎𝟎.
A. 𝐕𝟏 −𝟓; 𝟏 , 𝐕𝟐 𝟏; 𝟏 𝐲 𝐋𝐑 = 𝟐𝟐
B. 𝐕𝟏 −𝟓; 𝟎 , 𝐕𝟐 𝟓; 𝟎 𝐲 𝐋𝐑 = 𝟑𝟐/𝟓
C. 𝐕𝟏 𝟓; 𝟏 , 𝐕𝟐 −𝟏; 𝟏 𝐲 𝐋𝐑 = 𝟐𝟐
D. 𝐕𝟏 𝟏; 𝟏 , 𝐕𝟐 𝟏; 𝟑 𝐲 𝐋𝐑 = 𝟐𝟐/𝟑
E. 𝐕𝟏 −𝟐; 𝟏 , 𝐕𝟐 −𝟏; 𝟏 𝐲 𝐋𝐑 = 𝟐𝟐
16x2
+ 25y2
= 400
𝒙2
25
+
𝒚2
16
= 1
a2
= 25 a = 5
b2
= 16 b = 4
)
𝐂𝐞𝐧𝐭𝐫𝐨 (0; 0
LR =
2b2
a
=
2(16)
5
=
32
5
V1 = −a; 0 = −5; 0
𝐕𝟐 = 𝐚; 𝟎 = 𝟓; 𝟎
6. En un conjunto habitacional en forma de
elipse con ecuación:
𝒙𝟐
𝟗
+
𝒚𝟐
𝟒
= 𝟏, se va a
construir un edificio en un área
triangular ubicada entre un lado recto y
el centro de la elipse. ¿Qué superficie
ocupará el edificio?
A. 𝟑 𝟓 𝒖𝟐
B. 𝟓 𝟓𝒖𝟐
C.
𝟒
𝟑
𝟓𝒖𝟐
D. 𝟕 𝟓𝒖𝟐
E.
𝟖
𝟓
𝟓𝒖𝟐
De la ecuación deducimos:
𝒂𝟐
= 𝟗 → 𝒂 = 𝟑 𝒚 𝒃𝟐
= 𝟒 → 𝒃 = 𝟐
A =
1
2
8
3
5
Luego el área será:
𝐀 =
𝟒
𝟑
𝟓𝐮𝟐
Por la relación pitagórica: 𝒂𝟐
= 𝒃𝟐
+ 𝒄𝟐
𝟗 = 𝟒 + 𝒄𝟐
→ 𝒄 = 𝟓
También se sabe: 𝑳𝑹 =
𝟐𝒃𝟐
𝒂
=
𝟐(𝟒)
𝟑
=
𝟖
𝟑
8. Hallar la ecuación de la elipse
inscrita en el rectángulo ABCD A
(-6,3), B (6,3) y C (6,-3)
A. 𝒙𝟐
+ 𝟒𝒚𝟐
= 𝟑𝟔
B. 𝒙𝟐+
𝒚𝟐
= 𝟏
C. 𝟐𝒙𝟐
+ 𝒚 = 𝟎
D. 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝟐𝟎
E. 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
= 𝟏𝟎
Del gráfico observamos:
* Centro (0,0)
* Ecuación
𝑥2
62 +
𝑦2
32 = 1
𝒙𝟐
+ 𝟒𝒚𝟐
= 𝟑𝟔
* Eje mayor = 2a =12 ----- a=6
* Eje menor = 2b = 6 ----- b=3
* Eje focal coincide con el eje X
9. La ecuación de una elipse es
𝟏𝟔𝒙𝟐
+ 𝟐𝟓𝒚𝟐
+ 𝟑𝟐𝒙 − 𝟏𝟎𝟎𝒚 − 𝟐𝟖𝟒 =
𝟎 E1 otra elipse tiene por
ecuación 𝒙𝟐
+ 𝟒𝒚𝟐
− 𝟖𝒙 − 𝟖 = 𝟎 E2
Hallar la distancia entre sus
centros.
A. 11
B. 29
C. 30
D. 5
E. 2
(*) Sabes por teoría: que si la ecuación de la elipse es:
AX2
+ CY2
+ DX + EY + F = 0 Centro −
𝐃
𝟐𝐀
; −
𝐄
𝟐𝐂
(*) Ecuación 16x2
+25y2
+32x-100y-284=0 …… E1
A C D E F
Centro: −
32
32
; −
−100
50
= (-1;2)
(*) Ecuación E2: x2
+ 4y2
− 8x − 8 = 0
Centro −
−8
2
; −
0
2
= (4; 0)
(*) Distancia entre centros:
(−1 − 4)2+(2 − 0)2= 𝟐𝟗
10. El siguiente gráfico representa un complejo
recreacional en forma de elipse, con una
piscina circular de centro “O” y el resto del
área está dedicada a otras actividades de
esparcimiento, siendo 𝑭𝟏 y 𝑭𝟐 los focos de la
elipse , “P y “Q” son puntos de tangencia. Si
𝑷(𝟎; 𝟒), hallar el área de la región sombreada.
A. 𝟏𝟔𝝅( 𝟑 − 𝟏)
B. 𝟏𝟔𝝅( 𝟐 − 𝟏)
C. 𝟒𝝅( 𝟐 − 𝟏)
D. 𝟖𝝅(𝟐 𝟐 − 𝟏)
E. 𝟖𝝅(𝟐 𝟑 − 𝟏)
Completando el esquema:
Para la elipse se tiene que su área es: Ae = πab
Del gráfico se deduce que: b = 4 y c = 4
Luego la relación pitagórica: a2
= 42
+ 42
= 2(42
)
Entonces: a = 4 2
Para la circunferencia: r = 4 → Ac = π42
= 16π
Finalmente, el área sombreada:
S = Ae − Ac = π 4 2 4 − 16π
𝐒 = 𝟏𝟔𝛑( 𝟐 − 𝟏)
11. Los focos de una elipse están en la recta
𝑳𝟏: 𝟑𝒙 − 𝟓𝒚 + 𝟏𝟐 = 𝟎 y 𝑳𝟐: 𝟐𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟔 = 𝟎
el eje focal es la recta 𝑳𝟑: 𝒙 − 𝟔 = 𝟎 .Hallar
la ecuación de la elipse si su eje menor
mide 6 unidades.
A.
𝒙−𝟔 𝟐
𝟗
+
𝒚−𝟐 𝟐
𝟐𝟓
= 𝟏
B.
𝒙−𝟔 𝟐
𝟏𝟔
+
𝒚+𝟏 𝟐
𝟕
= 𝟏
C.
𝒙−𝟒 𝟐
𝟔
+
𝒚+𝟏 𝟐
𝟕
= 𝟏
D.
𝒙−𝟏 𝟐
𝟏𝟓
+
𝒚+𝟏 𝟐
𝟏𝟒
= 𝟏
E.
𝒙−𝟏 𝟐
𝟕
+
𝒚+𝟏 𝟐
𝟗
= 𝟏
Los focos son:L1 ∩ L3 Y L2 ∩ L3
Calculamos: L1 ∩ L3 = F1
3x − 5y = −12
x − 6 = 0
F1(6; 6)
Calculamos: L2 ∩ L3 = F2
2x + 3y = 6
x = 6
F2(6; −2)
Por tanto:
Centro=
6;−2 + 6;6
2
C(6; 2)
Distancia focal= 8 = 2𝐶
c = 4
a2
= b2
+ c2
a = 5
𝐱 − 𝟔 𝟐
𝟗
+
𝐲 − 𝟐 𝟐
𝟐𝟓
= 𝟏
Eje menor = 6 = 2b
b = 3
12. Un satélite se mueve alrededor de la
tierra describiendo una órbita elíptica,
siendo la tierra un foco y la
excentricidad igual a
𝟏
𝟑
. Si se sabe que
la distancia más corta del satélite a la
tierra es 450 km, determine la distancia
más larga.
A. 100
B. 200
C. 900
D. 4000
E. 5000
Ubicamos la elipse en forma adecuada
𝐂𝐞𝐧𝐭𝐫𝐨(0; 0)
Como la tierra es un foco:
OT = c y TV1 = 450
e =
c
a
=
1
3
V1 V2
0
C
T
Y
C X
450 450
De la figura se deduce:
a = c + 450
c
c + 450
=
1
3
3c = c + 450
2c = 450
TV2 = 2c + 450
450 + 450 = 𝟗𝟎𝟎
13. La ecuación de una elipse es
𝟕 𝒙 − 𝟏 𝟐
+ 𝟏𝟔 𝒚 + 𝟏 𝟐
= 𝟏𝟏𝟐, hallar la
ecuación de la recta tangente que
pasa por uno de los extremos del
lado recto, intercepta al eje y en
𝟎; 𝒑 , 𝒑 > 𝟎 y su pendiente es
positiva.
A. 𝟑𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟗 = 𝟎
B.𝟑𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟕 = 𝟎
C.𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 = 𝟎
D.𝟕𝒙 + 𝟒𝒚 + 𝟗 = 𝟎
E.𝟓𝒙 − 𝟒𝒚 + 𝟗 = 𝟎
7 x − 1 2
+ 16 y + 1 2
= 112
𝒙 − 1 2
16
+
𝒚 + 1 2
7
= 1 h = 1 y k = −1
𝐂𝐞𝐧𝐭𝐫𝐨(1; −1)
a2
= 16 a = 4
b2
= 7 b = 7
c2
= a2
− b2
c2
= 16 − 7
c2
= 9 c = 3
F1
p
Punto de tangencia es “P”
LR =
2b2
a
=
)
2(7
4
=
7
2
PF1 =
7
4
Observamos que: F1(−2; −1)
La ordenada de P es: −1 +
7
4
=
3
4
7(−2 − 1)(x − 1) + 16
3
4
+ 1 y + 1 = 112
−21x + 21 + 28y + 28 = 112
−21x + 28y − 63 = 0
3x − 4y + 9 = 0
14. En la trayectoria elíptica de un asteroide, este
chocará inexorablemente con la tierra; los
científicos de la NASA han ubicado dos cañones
laser de alto poder para bombardearlo ubicados
en los focos de la trayectoria elíptica, éstos
dispararán a un mismo punto y al mismo tiempo;
si el eje menor mide 8 000 km y la distancia focal
6 000 km, ¿cuál es la suma de las distancias de
los cañones al punto de disparo?
A.12 000 km
B.15 000 km
C.13 000 km
D.18 000 km
E.10 000 km
Del gráfico se deduce:
Los cañones ubicados en los focos hacen el
disparo hacia el punto “P”.
Por dato la distancia focal:
d F1; F2 = 2c = 6 000 km → c = 3 000 km.
Eje normal:
d B1; B2 = 2b = 8 000 km → b = 4 000 km.
Por la relación pitagórica se cumple:
𝐚2
= 𝐛2
+ 𝐜2
→ 𝐚 = 3 000 2 + 4 000 2 → 𝐚
= 5 000 𝐤𝐦
Luego la distancia solicitada es:
D = d F1; P + d F2; P = 2a
D = 2 5 000
𝐃 = 𝟏𝟎 𝟎𝟎𝟎 km.
15. Indicar el valor de L en el siguiente
enunciado:
𝐋 =
𝐬𝐞𝐧𝟏𝟎° + 𝐬𝐞𝐧𝟐𝟎° + 𝐬𝐞𝐧𝟑𝟎° + ⋯ + 𝐬𝐞𝐧𝟖𝟎°
𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎° + 𝐜𝐨𝐬𝟐𝟎° + 𝐜𝐨𝐬𝟑𝟎° + ⋯ + 𝐜𝐨𝐬𝟖𝟎°
A. 1
B. 3
C. 4
D.7
E. 9
L =
sen10°+sen20°+sen30°+⋯+sen80°
cos10°+cos20°+cos30°+⋯+cos80°
L =
cos80°+cos70°+cos60°+⋯+cos10°
cos10°+cos20°+cos30°+⋯+cos80°
Ordenando:
𝐋 =
𝐜𝐨𝐬𝟖𝟎°+⋯+𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎°
𝐜𝐨𝐬𝟖𝟎°+⋯+𝐜𝐨𝐬𝟏𝟎°
= 𝟏
16. Si la 𝒕𝒈 𝟏𝟖𝒙 − 𝟐𝟕° . 𝒄𝒕𝒈 𝟖𝒙 + 𝟏𝟑° − 𝟏 = 𝟎
Hallar el valor de “x”.
A. 1°
B. 3°
C. 2°
D. 4°
E. 5°
𝑡𝑔 18𝑥 − 27° . 𝑐𝑡𝑔 8𝑥 + 13° − 1 = 0
𝑡𝑔 18𝑥 − 27° . 𝑐𝑡𝑔 8𝑥 + 13° = 1
Por razones trigonométricas recíprocas:
18𝑥 − 27° = 8𝑥 + 13°
10𝑥 = 40°
𝒙 = 𝟒°
17. Siendo el 𝒔𝒆𝒏 𝟔𝒙 + 𝟐𝟎° . 𝒔𝒆𝒄 𝟒𝒙 − 𝟏𝟑𝟎° = 𝟏
Hallar el valor de “x”
A. 10”
B. 20”
C. 30”
D.40”
E. 50”
𝑠𝑒𝑛 6𝑥 + 20° . sec 4𝑥 − 130° = 1
6𝑥 + 20° + 4𝑥 − 130° = 90°
𝑠𝑒𝑛 6𝑥 + 20° =
1
sec 4𝑥 − 130°
𝑠𝑒𝑛 6𝑥 + 20° = 𝑐𝑜𝑠 4𝑥 − 130°
Por razones trigonométricas complementarias:
10𝑥 = 200°
𝒙 = 𝟐𝟎°
22. Hallar el valor de “J” si el
𝐬𝐞𝐧 𝐱 − 𝟏𝟎° . 𝐬𝐞𝐧 𝐲 + 𝟔𝟎° =
𝐜𝐨𝐬 𝐲 + 𝟔𝟎° . 𝐜𝐨𝐬 𝐱 − 𝟏𝟎° , siendo
𝒙 − 𝟏𝟎° ; 𝒚 + 𝟔𝟎° ángulos agudos.
)
𝐉 = 𝐭𝐠 𝐱 + 𝐲 + 𝟑𝟓° + 𝐬𝐞𝐧 𝐱 + 𝟐𝟎° − 𝐜𝐨𝐬(𝐲 + 𝟑𝟎°
A. 𝟐
B. 𝟐 + 𝟑
C. 𝟐 + 𝟑
D. 𝟐 − 𝟑
E. 𝟐 − 𝟑
sen x − 10° . sen y + 60° = cos y + 60° . cos x − 10°
sen x − 10°
cos x − 10°
=
cos y + 60°
sen y + 60°
Por razones trigonométricas complementarias.
Por datos:
𝐱 − 10° + 𝐲 + 60° = 90°
𝐱 + 𝐲 = 40°
Reemplazamos:
)
J = tg x + y + 35° + sen x + 20° − cos(y + 30°
)
J = tg 75° + sen x + 20° − cos(y + 30°
𝑥 + 20° + 𝑦 + 30° = 90°
Por tanto
sen x + 20° = cos(y + 30°)
𝐉 = 𝐭𝐠𝟕𝟓° = 𝟐 + 𝟑
tg x − 10° = ctg y + 60°
23. Hallar el valor de “M” Si 𝒕𝒈𝟒𝜶. 𝒕𝒈 𝟒𝜷 + 𝟏𝟎°
= 𝟏, 𝟒𝜶 𝒚 𝟒𝜷 + 𝟏𝟎°
son ángulos agudos , calcule el valor de la
expresión:
𝐌 = 𝟒𝐜𝐨𝐬 𝛂 + 𝛃 + 𝟒𝟎° + 𝐜𝐭𝐠 𝟐𝛂 + 𝟐𝛃 + 𝟓°
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
𝐭𝐠𝟒𝛂. 𝐭𝐠 𝟒𝛃 + 𝟏𝟎° = 𝟏
𝐌 = 𝟒𝐜𝐨𝐬 𝛂 + 𝛃 + 𝟒𝟎° + 𝐜𝐭𝐠 𝟐𝛂 + 𝟐𝛃 + 𝟓°
𝐭𝐠𝟒𝛂. 𝐜𝐭𝐠 𝟖𝟎° − 𝟒𝛃 = 𝟏
𝟒𝛂 = 𝟖𝟎° − 𝟒𝛃
𝟒𝛂 + 𝟒𝛃 = 𝟖𝟎°
𝛂 + 𝛃 = 𝟐𝟎°
𝐌 = 𝟒𝐜𝐨𝐬 𝟔𝟎° + 𝐜𝐭𝐠 𝟒𝟓°
𝐌 = 𝟒
𝟏
𝟐
+ 𝟏
𝐌 = 𝟑
