2. Definición de con juntos
Un conjunto es una colección de elementos. Normalmente están caracterizados por compartir
alguna propiedad. Para que un conjunto esté bien definido debe ser posible discernir si un
elemento arbitrario está o no en él. Los conjuntos pueden definirse de manera explícita, citando
todos los elementos de los que consta entre llaves,
A={1,2,3,4,5},
o implícita, dando una o varias características que determinen si un elemento dado está o no en el
conjunto.
A={ números naturales del 1 al 5}
Los elementos de un conjunto no están ordenados, aunque vengan especificados como una lista, por
tanto A={3,1,2,5,4} En una definición explícita no se pueden repetir elementos, así que {1,1,2,3,4,5} sería una
manera incorrecta de expresar el conjunto A.
3. Operaciones con conjuntos
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten
realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con
conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y
complemento.
Unión o reunión de conjuntos
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que
contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un
conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos
los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se
usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para
representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo.
Luego se escribe por fuera la operación de unión.
4. Ejemplo
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
También se puede graficar
del siguiente modo:
5. Ejercicios 2:
Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será
A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
6. Números Reales
Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen expansión decimal
periódica o tienen expansión decimal no periódica. Por ejemplo,
a) 3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….
b) ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
c) 1/3 es un número real ya que 1/3 = 0,3333333333333….
d) 2es un número real ya que 2=1,4142135623730950488016887242097….
e)0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un número real.
f)1,01001000100001000001000000100000001….
g) Π también es real.
7. Como puede verse algunos tienen expansión decimal periódica a, b y c y otros tienen expansión
decimal no periódica d, e, f y g. Los números que tienen expansión decimal periódica se llaman
números Racionales (denotados por Q) y los números que tienen expansión decimal no periódica
se llaman Irracionales (denotados por I). En consecuencia a, b y c son números racionales y d, e,
f y g son números irracionales
Claramente, la propiedad de tener expansión decimal periódica para los racionales y la propiedad
de tener expansión decimal no periódica para los irracionales define dos tipo de números muy
distintos. Lo que significa que un número real es racional o irracional, nunca ambos
8. Desigualdades
La desigualdad matemática es aquella proposición que relaciona dos expresiones algebraicas
cuyos valores son distintos. Se trata de una proposición de relación entre dos elementos
diferentes, ya sea por desigualdad mayor, menor, mayor o igual, o bien menor o igual. Cada una
de las distintas tipologías de desigualdad debe ser expresada con diferente signo (> o <, etcétera)
y tendrá una reacción a operaciones matemáticas diferente según su naturaleza.
Por lo tanto, si queremos explicar cuál es la finalidad de este concepto con el menor número de
palabras posibles diremos que; el objetivo de la desigualdad matemática es mostrar que dos
sujetos matemáticos expresan valores diferentes.
1. Desigual a: ≠ 4. Mayor que: >
2.Menor que: < 5. Mayor o igual que: ≥
3. Menor o igual que: ≤
9. Valor Absoluto
El valor absoluto de un número, en otras palabras, es el valor que resulta de eliminar el signo
correspondiente a este. Para verlo en términos más formales, tenemos las siguientes condiciones
que deben cumplirse, donde el x entre dos barras significa que estamos hallando el valor
absoluto de x: |x|=x si x≥ 0
|x|=-x si x<0
Es decir, el valor absoluto de un número positivo es este mismo número. En cambio, el valor
absoluto de un número negativo es igual a este número, pero con un signo negativo delante. Es
decir, multiplicado por -1.
Asimismo, el valor absoluto de -10 es -(-10)=10. Así, debemos destacar que el valor absoluto
siempre es positivo.
10. Desigualdades con Valor Absoluto
Una desigualdad de Valor Absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor absoluto con una
variable dentro.
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es
11. Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b , entonces a < b Y a > - b .
Ejemplo:
Resuelva y grafique:
| x – 7| < 3
12. Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad
compuesta.
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
