Vectores

Vectores
Omar Ortiz Diaz
Universidad de La Sabana
Facultad de Ingeniería
29 de enero de 2018
Omar Ortiz Diaz (Física mecánica) Vectores 29 de enero de 2018 1 / 1

Cantidades físicas
Cantidad vectorial y escalar
cantidad que solo necesita del valor en múltiplos o submúltiplos
del patrón, o sea la magnitud, se llama escalar. Ejemplos: masa,
temperatura
cantidad que necesita la magnitud, pero además la orientación y
sentido, se llama vectorial
para describir con modelos matemáticos a las cantidades
vectoriales y su comportamiento, se inventaron los vectores. Las
propiedades matemáticas y las operaciones se desarrollaron para
describir el comportamiento de las cantidades vectoriales

Vectores
Definición geométrica
A
Punto inicial
Punto final
segmento de recta orientado, esto es, una linea con una flecha en
uno de sus extremos, la cual señala el sentido
la longitud de la flecha en determinada escala, es proporcional a
la magnitud del vector
magnitud y dirección quedan determinados por los extremos
inicial y final del vector

Vectores
Símbolo para magnitudes escalares y vectoriales
cantidades físicas se simbolizan con letras inclinada, mayúsculas
o minúsculas y eventualmente por letras griegas
si son vectoriales se escriben en negrilla o con una ﬂecha sobre
la letra
el símbolo A indica un vector que tiene longitud A en una escala
determinada; A representa la magnitud del vector
el símbolo del vector también se escribe A
la magnitud del vector A = A también se simboliza
A = |A| = |A|

Propiedades de los vectores
Igualdad de vectores
A
B
los vectores A y B tienen la misma magnitud
tienen la misma orientación y sentido
se dice que A es igual a B y se representa como
A = B

Vectores paralelos y antiparalelos
entenderemos por paralelos a dos vectores que tiene la misma
orientación y sentido
si tienen sentidos opuestos aunque las rectas que los contienen
sean paralelas, se dice que los vectores son antiparalelos
A A
B
B
paralelos: tienen
igual orientación y sentido
antiparalelos: tienen
igual orientación, pero
sentidos contrarios

Vectores perpendiculares
entenderemos por perpendiculares a dos vectores cuando las
rectas que los contienen son perpendiculares
A ⊥ B
A
B
perpendiculares: las
rectas que los contienen
son perpendiculares

Vector opuesto
el opuesto del vector A, simbolizado por −A, es el vector que
tiene la misma magnitud y orientación que A pero apunta en
sentido contrario, o sea, es antiparalelo a A
A
−A

Suma de vectores
Si A y B son dos vectores, podemos deﬁnir un vector R, llamado
el vector resultante o vector suma de los otros dos vectores, como
R = A + B.
se aprecia que la operación es conmutativa

Asociatividad de la suma
los vectores se pueden asociar de diferentes maneras al sumarlos
(A + B) + C = A + (B + C) = A + B + C.
A
C
B
A
+
B C
(A + B) + C
B
+
C
A
A + (B + C)

Resta de vectores
Este vector se obtiene como la adición de A con el opuesto de B,
es decir,
A − B = A + (−B);
un caso especial de resta de vectores es el vector nulo, deﬁnido
como
A − A = 0,
con magnitud cero y sin orientación deﬁnida.

Multiplicación de un vector por un escalar
Es el vector que resulta del producto de un número real por un
vector
El resultado de esta operación es un vector, con magnitud igual a
la del número real multiplicada por la del vector original, paralelo a
este, si el escalar es positivo o antiparalelo si el escalar es
negativo.
si c es un número real y A un vector, lo que se deﬁne con este
producto es un nuevo vector
B = cA.

Multiplicación de un vector por un escalar
El producto de A con el escalar 2 es el vector 2A es de magnitud
doble y paralelo a A;
el producto con el escalar −1
2, produce un vector antiparalelo con
magnitud 1
2A.

Propiedad distributiva
Con la introducción de esta operación resultan dos nuevas
propiedades llamadas distributivas, que se expresan como
c(A + B) = cA + cB;
(c + d)A = cA + dA,
donde c y d son escalares reales.

Vectores unitarios
Deﬁnición
Un vector unitario es un vector con magnitud 1 y una orientación
determinada.
El símbolo usado para representarlo es una letra con un acento
circunﬂejo o sombrero.
A, , n
todos en común que la magnitud es 1
|A| = 1, || = 1, |n| = 1

Vectores unitarios
Deﬁnición
A partir de un vector A cualquiera puede obtenerse un vector
unitario al multiplicarlo por el inverso de su magnitud, esto es,
A =
A
A
.
De manera equivalente, puede obtenerse un vector al multiplicar
un vector unitario determinado por un escalar cuyo modulo es la
magnitud del vector resultante, es decir,
A = AA.

Vectores unitarios
Vectores unitarios cartesianos
Existe un conjunto especial de tres vectores unitarios
simbolizados por ı, , κ, los cuales apuntan en dirección positiva
de los ejes cartesianos x, y, z, respectivamente.

Productos entre vectores
El producto escalar o producto punto
El ángulo que forma el vector B, respecto al vector A, es el que
se barre al rotar desde el vector A hacia el B, en sentido
contrario al de las manecillas del reloj
Ese sentido se escoge como positivo para los ángulos

El producto escalar de los vectores A y B es un escalar, se
simboliza como A · B y está deﬁnido como el producto de sus
magnitudes multiplicado por el coseno del ángulo entre los dos
vectores, es decir,
A · B = AB cos θ

si los vectores son paralelos, θ = 0, cos θ = 1 y por lo tanto
A · B = AB.
Como caso particular se tiene A · A = A2, o sea, la magnitud del
vector al cuadrado
si los vectores son perpendiculares cos θ = 0 y A · B = 0.
El primer ejemplo de vectores perpendiculares entre sí son ı, , κ
si los vectores son antiparalelos, cos θ = −1 y A · B = −AB.

Como ejemplo de las propiedades del producto, tenemos las
relaciones siguientes entre los vectores unitarios ı, , κ:
ˆı · ˆı = 1
ˆ · ˆ = 1
ˆκ · ˆκ = 1
ˆı · ˆ = ˆ · ˆı = 0
ˆı · ˆκ = ˆκ · ˆı = 0
ˆ · ˆκ = ˆκ · ˆ = 0

El producto vectorial o producto cruz
Si A y B son vectores y θ el ángulo entre ellos, se deﬁne un
tercer vector C, llamado el producto vectorial entre A y B, como
C = A × B = AB sen θ n
El vector unitario n, es perpendicular a A y a B. Su sentido lo
determina la regla de la mano derecha

Al deﬁnir el sentido de A × B con la regla de la mano derecha lo
que se está deﬁniendo es un eje de rotación, por lo cual el
producto vectorial es un vector axial

Para representar vectores perpendiculares a un plano, se usan
las notaciones si el vector sale del plano y si entra al plano.
Esto se ve en la ﬁgura y, también, que el producto vectorial es
anticonmutativo (A × B = −B × A)

si el ángulo entre los dos vectores es θ = π/2, sen θ = 1 y por lo
tanto
|A × B| = AB;
si los vectores son paralelos o antiparalelos sen θ = 0 y entonces
A × B = 0.

El producto cruz para los vectores cartesianos unitarios, cumple
ı × ı =  ×  = κ × κ = 0
ı ×  = κ
ı × κ = −
 × κ = ı
κ × ı = .

Descomposición de vectores
Vector como combinación lineal
Un vector R puede formarse como la suma de otros vectores. Si
se tienen por ejemplo tres vectores unitarios A1, A2, A3 tales que
R = a1A1 + a2A2 + a3A3,
se dice que el vector R es una combinación de los vectores
unitarios A1, A2 y A3
los escalares a1, a2 y a3 son las magnitudes de las componentes,
o simplemente las componentes, de R con respecto al conjunto
de vectores {A1, A2, A3}.

Vector como combinación lineal
Lo más práctico es buscar el conjunto {A1, A2, A3} de tal forma
que los tres vectores sean linealmente independientes, esto es,
que ninguno pueda formarse como combinación de los otros dos.
El ejemplo más conocido de un conjunto de estas características
es {ı, , κ}; con estos vectores cualquier vector R puede
formarse como
R = Rx ı + Ry  + Rz κ.

Componentes cartesianas de un vector
Los coeﬁcientes Rx, Ry, Rz, son las componentes de R respecto
al conjunto {ı, , κ} y se llaman componentes cartesianas del
vector R.
el vector R puede escribirse como una combinación lineal del
conjunto de vectores {ı, , κ}
Los tres vectores que forman al vector R son paralelos a cada
uno de los ejes cartesianos y Rx, Ry, Rz son las proyecciones del
vector a lo largo de cada uno de los ejes cartesianos.

Ejemplo: si un vector r, tiene punto inicial en el origen y punto
ﬁnal en las coordenadas (x, y, z), tendrá las componentes
Rx = x, Ry = y, Rz = z, por lo que se expresa
r = xı + y + zκ.

Los tres vectores o componentes que forman a un vector R
cualquiera son las proyecciones del vector sobre el respectivo eje.
las magnitudes de estas proyecciones se obtienen al realizar el
producto escalar entre el vector dado y el vector unitario en la
dirección de cada eje.
Si se llaman α, β, γ a los ángulos que forma R con los vectores
unitarios ı, , κ, respectivamente, resulta entonces
Rx = R · ı = R cos α;
Ry = R ·  = R cos β;
Rz = R · κ = R cos γ.
Los ángulos α, β, γ se llaman ángulos directores del vector R

Descomposición de vectores en 2D
Componentes cartesianas de un vector 2D
Para un vector en el plano xy, todo lo anterior se simpliﬁca
los ángulos directores son α = θ y β = (90◦ − θ). Entonces
Rx = R · ı = R cos θ;
Ry = R ·  = R cos(π/2 − θ) = R sen θ

Componentes cartesianas de un vector 2D
Así, un vector bidimensional sobre el plano xy, R, que forma
ángulo θ con el eje x, queda expresado como combinación lineal
de ı y  como
R = R cos θ ı + R sen θ .

Ejemplo
Un vector A tiene magnitud 3.42 y forma un ángulo de 133 grados
con el eje x. Las componentes de este vector serán, entonces
Rx = 3.42 cos 133◦
= −2.33,
Ry = 3.42 sen 133◦
= 2.50,
R = −2.33 ı + 2.50 
1
2
3
−1
−2
1 2 3 4−1−2
y
x
θ = 133◦
R

Ejemplo
La suma de A = Ax ı + Ay y B = Bx ı + By , será equivalente a
R = Ax ı + Ay + Bx ı + By 
R = (Ax + Bx) ı + (Ay + By)

Suma de vectores
Forma analítica, caso 3D
Se tienen los vectores
A = Ax ı + Ay  + Az κ,
B = Bx ı + By  + Bz κ;
la suma de estos dos vectores se escribe
A + B = (Ax ı + Ay  + Az κ) + (Bx ı + By  + Bz κ).
Si aplicamos las propiedades distributiva y conmutativa, resulta
A + B = (Ax + Bx) ı + (Ay + By)  + (Az + Bz) κ

Suma de vectores
Esta es la forma analítica de sumar vectores: primero, se hallan
las componentes cartesianas de los vectores a sumar; segundo,
se agrupan cada una de las componentes para sumarlas y
obtener el vector resultante,
es decir, las componentes del vector resultante son
Rx = Ax + Bx,
Ry = Ay + By,
Rz = Az + Bz.

Suma de vectores
A = 3 ı − 2  + 5 κ
B = −2 ı + 2  + 5 κ.
La suma des estos vectores es
A + B = (3 − 2) ı + (−2 + 2)  + (5 + 5) κ = ı + 10 κ
y la resta A − B es
A − B = (3 + 2) ı + (−2 − 2)  + (5 − 5) κ = 5 ı − 4 .

El producto escalar
A = Ax ı + Ay  + Az κ
B = Bx ı + By  + Bz κ.
El producto escalar es
A · B = (Ax ı + Ay  + Az κ) · (Bx ı + By  + Bz κ)
A · B = AxBx + AyBy + AzBz.
o sea,
A · B = AB cos θ = AxBx + AyBy + AzBz.

El producto escalar
El producto escalar de un vector por si mismo es, entonces
A · A = A2
x + A2
y + A2
z.
que es la magnitud al cuadrado, o sea, la magnitud de un vector
3D es
A = A2
x + A2
y + A2
z.

El producto vectorial
A = Ax ı + Ay  + Az κ
B = Bx ı + By  + Bz κ.
El producto vectorial es
A × B = (Ax ı + Ay  + Az κ) × (Bx ı + By  + Bz κ)
A × B = (AyBz − AzBy) ı − (AxBz − AzBx)  + (AxBy − AyBx) κ

El producto vectorial
con la deﬁnición de un determinante 2 × 2, lo anterior puede
escribirse en la forma
A × B = ı
Ay Az
By Bz
− 
Ax Az
Bx Bz
+ κ
Ax Ay
Bx By
.
Esto se parece al desarrollo de un determinante 3 × 3, por lo que
es usual escribir el producto vectorial como si fuera un
determinante de la forma
A × B =
ı  κ
Ax Ay Az
Bx By Bz
.

Vectores 3D
Ejemplo
A = 2 ı − 3  + 5 κ
B = −2 ı − 2  + 3 κ.
calculen (A + B) y (A − B)
calculen las magnitudes de A; B; (A + B) y (A − B)
calculen A · B; A × B
calculen el coseno del ángulo que forman los dos vectores

Derivación de vectores
Vectores como función del tiempo
Si un vector A es función del tiempo, se puede deﬁnir la derivada
del vector con respecto al tiempo
Si el vector tiene componentes respecto a una base {e1, e2, e3},
donde e1, e2, e3 pueden ser por ejemplo los tres vectores
cartesianos unitarios, la dependencia respecto al parámetro
puede estar en:
1 la magnitud de las componentes,
2 en los vectores unitarios
3 o en ambos: componentes y vectores unitarios, esto debido a que
los vectores unitarios pueden ser ﬁjos o variables.

Si los vectores unitarios son ﬁjos, las que dependen del tiempo
son las componentes, o sea, para un tiempo t cualquiera
A(t) = A1(t) e1 + A2(t) e2 + A3(t) e3,
para el tiempo posterior (t + ∆t) será
A(t + ∆t) = A1(t + ∆t) e1 + A2(t + ∆t) e2 + A3(t + ∆t) e3.
La derivada de A con respecto al tiempo se deﬁne como
dA
dt
≡ l´ım
∆t→0
A(t + ∆t) − A(t)
∆t

al descomponer el límite en componentes, resulta
dA
dt
=
dA1
dt
e1 +
dA2
dt
e2 +
dA3
dt
e3.
MORALEJA: si los vectores unitarios son ﬁjos, las componentes
de la derivada del vector son las derivadas de cada componente
los vectores unitarios cartesianos son un ejemplo de vectores
ﬁjos, respecto a un sistema cartesiano

Vectores en componentes cartesianas
si se tiene en sistema cartesiano un vector
r(t) = rx ı + ry  + rz k
su derivada temporal será
dr
dt
=
drx
dt
ı +
dry
dt
 +
drz
dt
k.

Vectores en componentes cartesianas, ejemplo
Sea el vector
r = 3 cos 5t ı + 3 sen 5t  + 0.5e−0.1t
k.
se encontrará la primera y la segunda derivada del vector r y las
magnitudes de r y estas derivadas.
primero se identiﬁcan las componentes cartesianas del vector r,
en función del tiempo:
rx = 3 cos 5t,
ry = 3 sen 5t,
rz = 0.5e−0.1t
,

se calculan las respectivas derivadas primeras con respecto al
tiempo, de estas componentes:
drx
dt
= −15 sen 5t,
dry
dt
= 15 cos 5t,
drz
dt
= −0.05e−0.1t

las segundas derivadas de esas componentes son
d2rx
dt2
= −75 cos 5t,
d2ry
dt2
= −75 sen 5t,
d2rz
dt2
= 0.005e−0.1t
.

Con las componentes ya derivadas las correspondientes
derivadas del vector r son
dr
dt
= −15 sen 5t ı + 15 cos 5t  − 0.05e−0.1t
k,
d2r
dt2
= −75 cos 5t ı − 75 sen 5t  + 0.005e−0.1t
k.

Las magnitudes de r y cada una de sus derivadas se determinan
como
r = 9 cos2 5t + 9 sen2 5t + 0.25e−0.2t
= 9 + 0.25e−0.2t,
dr
dt
= 152 sen2 5t + 152 cos2 5t + 0.052e−0.2t
= 225 + 0.052e−0.2t,
d2r
dt2
= 752 cos2 5t + 752 sen 5t + 0.0052e−0.2t
= 5625 + 0.0052e−0.2t.

Referencias
openStaX collegeTM, College physics, Rice university (2013)
descargarlo de: college physics
Serway Raymond, Jeweet John. Física para ciencias e ingeniería,
volumen 1, Cengage Learning, novena edición.
Sears, Semanski, Física Universitaria, volumen 1, Pearson, 13
edición.
W. Bauer, G. D. Westfall, Física para ingeniería y ciencias,
Volumen 1, Mc Graw Hill, (2011)
D. Kleppner, R. J. Kolenkow, An introduction to mechanics,
McGraw Hill, 1973

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