Presentación realizada por la Alumna Camila

1. GRUPOS GEOMETRICOS
Alumnos: Sanchez Camila,
Acosta Ariana
Profesor: Moreira Jorge 1

2. INDICE
• Cuerpos geométricos (concepto básico ) Pág. 4
• Teoría geométrica de grupos Pág. 5
• Grafo de Cayley Pág. 6
• Teoría geométrica en ramas Pág. 7
• Cuerpos geométricos y sus elementos Pág. 8
• Cuerpos poliedros Pág. 9
• Clasificación de los cuerpos geométricos Pág. 10
• Cuerpos redondos Pág. 11
• Cuerpos geométricos reales o ideales Pág. 12
• Los poliedros o cuerpos planos Pág. 13
• Área de cuerpos geométricos Pág. 14
• Formula ( área prisma ) Pág. 15
• 1º y 2º ( calculo área basal y lateral ) Pág. 16
• 1º y 2º ( área basal y lateral ) Pág. 17
• Cuerpos poliedros Pág. 18
• Definición de los cuerpos geométricos Pág. 19
• Historia de los poliedros Pág. 20
2

3. • Tiempos modernos de los poliedros Pág. 21
• Los poliedros en el neolítico Pág. 22
• Imágenes Pág. 23
• Los poliedros en el tiempo de Platón Pág. 24
• Poliedros regulares Pág. 25
• Platón ( base Pitágoras ) Pág. 26
• Construcción Pitágoras Pág. 27
• Estudio aplicado a los poliedros Pág. 28
• Los poliedros en el Renacimiento Pág. 29
• Estudio completo por Piero Pág. 30
• La cosmología poliédrica de Kepler Pág. 31
• Los poliedros en los tiempos modernos Pág. 32
• Los poliedros en el Arte del siglo xx Pág. 33
• Poliedros en la Sagrada Familia Pág. 34
• El mágico universo poliédrico de Escher Pág. 35
• El misticismo poliédrico en la creatividad de Dalí Pág. 36
• Conclusión Pág. 37
• Bibliografía Pág. 38
• Anexo Pág. 39
3

4. • CUERPOS GEOMÉTRICOS
• (CONCEPTOS BÁSICOS)
Los cuerpos geométricos ocupan un lugar en el espacio. 9
Hay cuerpos de forma regular, en los que pueden medirse 3
dimensiones: largo, ancho y alto. Con estas se puede
calcular el volumen del mismo cuerpo geométrico. Otros
cuerpos geométricos son de forma irregular y necesitan
otro método para determinar su volumen. 9 Los cuerpos de
forma regular pueden tener superficies planas o curvas. 9
Los cuerpos se clasifican en:
• Poliedros Aquellos cuerpos geométricos totalmente
limitados por polígonos, como por ejemplo, el prisma, la
pirámide; etc.
• Cuerpos redondos Cuerpos geométricos engendrados por
la rotación de una figura plana alrededor de su eje, como la
esfera, el cilindro, etc. 4

5. La teoría geométrica de grupos es un área de las
matemáticas que se dedica al estudio de los grupos
finitamente generados mediante las exploraciones
entre las propiedades de tales grupos y las
propiedades topológicas o geométricas de los
espacios donde estos grupos actúan (esto es,
cuando los grupos en cuestión son realizados como
simetrías geométricas o transformaciones continuas
de algunos espacios).
5

6. Esto es usualmente hecho mediante el estudio del grafo de
Cayley del grupo, en el cual, además de la estructura de
grafo, están adosadas con una de espacio métrico, dada
por la llamada word metric longitud de palabra.
grafo de Cayley
La teoría de grafos (también llamada teoría de las gráficas) es
un campo de estudio de las matemáticas y las ciencias de la
computación, que estudia las propiedades de
los grafos (también llamadas gráficas, que no se debe
confundir con las gráficas que tienen una acepción muy
amplia)
6

7. La teoría geométrica de los grupos, como una rama
distinta de las matemáticas, es relativamente
nueva, y ha devenido claramente identificable como
una parte de las matemáticas desde finales de los
1980's. La teoría geométrica de los grupos
interactúa cercanamente con la topología de
dimensiones bajas, la geometría hiperbólica,
la topología algebraica, la teoría computacional de
grupos y el análisis geométrico.
7

8. CUERPOS GEOMETRICOS Y SUS ELEMENTOS
Cuerpos geométricos
-Los cuerpos geométricos ocupan un lugar en el
espacio.
-Hay cuerpos de forma regular, en los que pueden
medirse 3 dimensiones: largo, ancho y alto. Con
estas se puede calcular el volumen del mismo
cuerpo geométrico. Otros cuerpos geométricos. Son
de forma irregular y necesitan otro método para
calcular su volumen.
8

9. Cuerpos poliedros
Los cuerpos poliedros se distinguen por tener todas
sus superficies
planas. En cualquier cuerpo poliedro podemos
observar cuatro
elementos básicos: caras, aristas, vértices y
diagonales.
9

10. Clasificación De Los Cuerpos Geométricos
Los cuerpos geométricos se pueden clasificar en poliedros y
cuerpos geométricos redondos o no poliedros.
[editar]Poliedros
Los poliedros o cuerpos planos, son cuerpos geométricos
cuyas caras son todas figuras geométricas planas
exclusivamente.1 Entre los más conocidos:
* Sólidos platónicos
* Pirámides
* Prismas
10

11. Los cuerpos redondos son aquellos que tienen, al
menos, una de sus caras o superficies de forma
curva.
1 Entre los más conocidos:
* Esferas
* Cilindros
* Toro
* Cono
11

12. Los cuerpos geométricos son los elementos que, ya
sean reales o ideales — que existen en la realidad o
pueden concebirse mentalmente — ocupan un
volumen en el espacio desarrollándose por lo tanto
en las tres dimensiones de alto, ancho y largo; y
están compuestos por figuras geométricas.
12

13. Los poliedros o cuerpos planos, son cuerpos
geométricos cuyas caras son todas figuras
geométricas planas exclusivamente.
1 Entre los más conocidos:
* Sólidos platónicos
* Pirámides
* Prismas
13

14. • Área de cuerpos geométricos
• Cuerpos poliedros
• El área es la medida de una región interior,
entonces, para obtener el área de cualquier
poliedro deberemos calcular la medida de todas sus
caras.
Una forma práctica para obtener áreas es calcular
su área basal, su área lateral, y luego la suma de
ambos, nos dará el área total.
14

15. Aplicaremos nuestra fórmula para calcular el área de
un prisma.
Calculemos el área total del siguiente prisma:
15

16. • 1º Cálculo del área basal: el polígono de la base es un
rectángulo de 12 cm de largo y 5 cm de ancho. Para
calcular el área de este polígono aplicaremos la fórmula
b x h, donde b es la base y h es la altura. Como es un
rectángulo, b será el largo y h el ancho.
b x h = área basal
12 x 5 = 60 cm2
2º Cálculo del área lateral: nuestro prisma tiene 4 caras
laterales que también son rectángulos. Hay 2 rectángulos
que miden 12 cm de largo y 10 cm de ancho. Aplicamos la
fórmula para su área y obtenemos:
16
Área lateral 1 = 12 x 10 x 2
Área lateral 1 = 240 cm2

17. 1º Obtenemos el área basal: corresponde al área del
cuadrado de 4 cm por lado.
Área basal = 4 x 4
Área basal = 16 cm2
2º Calculamos el área lateral: se necesita el área de los 4
triángulos. Todos son congruentes, entonces su área será :
17

18. Cuerpos poliedros
Los cuerpos poliedros se distinguen por tener todas sus
superficies planas. En cualquier cuerpo poliedro podemos
observar 4 elementos básicos:
• caras: bases y caras laterales
• aristas
• vértices
• diagonales
1. Caras de un poliedro. Son las superficies planas que forman
el poliedro; corresponden siempre a polígonos. En un
poliedro encontramos caras basales o bases y caras
laterales. Las basales (bases) son las superficies que sirven
para apoyar al cuerpo en un plano. Las caras laterales
quedan en dirección oblicua o perpendicular a una cara
basal. 18

19. • ¿Qué son los cuerpos geométricos?
• Definición Los cuerpos geométricos son regiones
cerradas del espacio.
• Una caja de tetrabrik es un ejemplo claro de la figura que en
matemáticas se conoce con el nombre de paralelepípedo. Esta figura
tiene dos elementos: la base (generalmente un rectángulo o un
cuadrado) y la altura. De la misma forma, la lata ejemplifica a la figura
denominada cilindro. Éste tiene los siguientes elementos: generatriz,
eje, base y el radio del círculo que forma la base. El gorro de
nazareno tiene forma de la figura conocida como cono. Sus
elementos son: generatriz, altura -que es también el eje-, la base y el
radio del círculo que forma la base.
• Los cuerpos geométricos se dividen en dos grandes grupos, los
poliedros, aquellos en los que las superficies que los delimitan son
planas, y los cuerpos redondos, en los que algunas de las superficies
que los delimitan son curvas. 19

20. Los Sólidos Platónicos: Historia de los Poliedros
Regulares
• Pitágoras investigó los teoremas de un modo inmaterial e intelectual y
descubrió la dificultad de los números irracionales y la construcción de las
figuras cósmicas [poliedros]».
PROCLO DE LICIA. Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides.
• «Hace falta explicar qué propiedades deberían tener los cuerpos más
bellos, [...], deben tener la propiedad de dividir en partes iguales y
semejantes la superficie de la esfera en que están inscritos».
PLATÓN.
«La culminación de Los Elementos de Euclides con la
construcción de los poliedros responde al interés especial
que mostraban los filósofos griegos por todo lo que atañe
a los cuerpos regulares».
F.KLEIN. Matemática elemental desde un punto de vista
superior. Vol. II. Geometría. Biblioteca Matemática. Dtor:
J.Rey Pastor. Madrid, 1931.
20
Estudios de Leonardo da Vinci (1513) sobre la Geometría de los poliedros con especial énfasis en el Cubo y
el Icosaedro. Códice Atlántico (f. 518r).

21. En los tiempos modernos los poliedros han sido un
importante nexo que vincula cuestiones de Matemática
superior (Topología algebraica, Teoría de Grupos, …) con la
resolución de ecuaciones algebraicas y la Cristalografía,
pero también, por su belleza y misterio, una fuente
inagotable de inspiración que enciende la fantasía de
creadores, diseñadores y artistas, entre los que sobresale la
espectacularidad de los impresionantes trabajos de
aplicación de los poliedros en Gaudí, Escher y Dalí, que
como sus antepasados, geómetras y artistas, imputan a su
geometría funciones de orden estético, cosmológico,
científico, místico y teológico.
21

22. • Los poliedros en el Neolítico
Los poliedros regulares son sólidos limitados por idénticos
polígonos regulares, en los que concurren en cada vértice
igual número de caras.
El significado simbólico, místico y cósmico de los poliedros
regulares se remonta a los primeros estadios de la
Civilización. Critchlow (1979) da una prueba fehaciente de
que ya eran conocidos por los pueblos neolíticos y por las
primeras culturas históricas europeas, como muestran las
siguientes ilustraciones:
Sólidos regulares neolíticos de Escocia (Ashmolean Museum de Oxford). Según Critchlow
(1979), «lo que tenemos son objetos que indican claramente un grado de dominio de
las matemáticas que hasta la fecha todo arqueólogo o historiador de la matemática le
había negado al hombre neolítico».
22

23. 23
•Esfera tetraédrica neolítica (Keith
Critchlow: Time Stands Still).
•Dodecaedro etrusco (500 a.C. Landes-Museum.
Mainz, Alemania).
Icosaedro romano (Rheinisches Landes-
Museum. Bonn).

24. • Los Poliedros en El Timeo de Platón
• Aunque lo aseguren las fuentes mencionadas, la crítica histórica
considera improbable que Pitágoras hubiera planteado la
cosmogonía descrita (Heat, 1956, 1981), ya que, por una parte,
fue Empédocles de Agrigento el primero que distinguió
explícitamente los cuatro elementos primarios (fuego, tierra,
aire y agua), y por otra, según parece, los primeros pitagóricos
habrían reconocido sólo el tetraedro, el cubo y el dodecaedro,
atribuyéndose el octaedro y el icosaedro a Teeteto (Heat, 1981),
brillante matemático de La Academia (realizó importantes
aportaciones sobre los irracionales) y amigo de Platón, que le
honró dando nombre a uno de sus Diálogos, Teeteto (Sobre la
Ciencia).
24

25. Los poliedros regulares se llaman, a veces, «Cuerpos
Platónicos» por el papel prominente que juegan en el
famoso Dialogo de Platón sobre la
Naturaleza, Timeo (Platón, 1969), que es, sin duda, el
más profundamente pitagórico de su obra. En él
expone, de forma mística (Vera, 1970), la asociación
que presuntamente habría hecho Pitágoras entre el
tetraedro, el cubo, el octaedro y el icosaedro y los
cuatro elementos naturales primarios, que Empédocles
había vinculado con la constitución de toda la materia;
mientras que la veneración pitagórica por el
dodecaedro conduce a Platón, fascinado por todo lo
pitagórico, a considerar a este sólido como
la quintaesencia, el quinto elemento, la sustancia de los
cuerpos celestiales, el símbolo místico del Cosmos.
25

26. • Platón construye, con base en Pitágoras y con el auxilio de
Teeteto, una de las primeras teorías matemáticas completas:
una definición general junto con una completa clasificación
de los objetos que la satisfacen. La definición es: un sólido es
regular si «tiene la propiedad de dividir en partes iguales y
semejantes la superficie de la esfera en que está inscrito»
(Timeo 55a). A continuación Platón estudia la generación y
composición de los poliedros mediante elementos
geométricos que son triángulos rectángulos con la hipotenusa
doble de un cateto para el caso del tetraedro, octaedro e
icosaedro y triángulos rectángulos isósceles para el caso del
cubo (Fowler1999). El dodecaedro es mencionado sólo al final
del pasaje con una críptica sentencia de corte pitagórico:
«Quedaba aún una sola y única combinación; el Dios se sirvió
de ella para el Todo cuando esbozó su disposición final»
(Timeo 55c). Enseguida Platón argumenta la identificación de
cada poliedro (de acuerdo con sus cualidades) con cada uno
de los elementos primarios para concluir (Timeo 55d): 26

27. • La construcción pitagórica de los poliedros regulares
pudo ser una generalización evidente al espacio de
los mosaicos del plano ya que a juzgar por un
testimonio de Proclo, los pitagóricos descubrieron
que los únicos polígonos regulares que podían
recubrir un plano (a modo de mosaico) son el
triángulo, el cuadrado y el hexágono, según el
gráfico siguiente:
27

28. • Este estudio aplicado a los mosaicos puede aplicarse a los
poliedros con la necesaria modificación de que la
concurrencia de m polígonos regulares de n lados en un
vértice da un ángulo sólido, de modo que la suma de los
ángulos de los polígonos concurrentes no debe ser mayor
de 360º, es decir: <360º (EuclidesXI.21).
28

29. • . Los Poliedros en el Renacimiento. Della
Francesca, Luca Pacioli y Durero
Los llamados artistas matemáticos del Renacimiento
manifestaron gran interés por los poliedros,
propiciado, por una parte, por los estudios
platónicos sugeridos por la reaparición de ciertos
manuscritos con las obras de Platón, y por otra,
debido a que estos sólidos servían como excelentes
modelos en los estudios sobre Perspectiva (Pedoe,
1979).
29

30. El estudio más completo fue realizado hacia 1480 por Piero
della Francesca en su obra Libellus De Quinque Corporibus
Regularibus. Aparte de los tópicos euclídeos sobre
poliedros, en esta obra se redescubren gradualmente los
llamados sólidos arquimedianos o poliedros semi
rregulares. Son trece cuerpos igualmente inscriptibles en
una esfera con caras polígonos regulares de dos o tres
tipos, siendo iguales los polígonos que resultan de unir
puntos medios de aristas que concurren en un vértice.
Pappus de Alejandría (1982), que atribuye su invención a
Arquímedes, da una descripción de estos sólidos en el
apartado V.19 de su obra La Colección Matemática e indica,
además, para cada sólido, el número de caras, aristas y
vértices.
30

31. La Cosmología poliédrica de Kepler
Kepler fue de tal modo seducido por la cosmogonía pitagórico-
platónica que elaboró una Cosmología basada en los cinco
sólidos regulares, en la creencia de que estos serían la clave
utilizada por el creador para la construcción de la estructura del
Universo. En la época de Kepler sólo se conocían seis planetas,
Mercurio, Venus, la Tierra, Marte. Júpiter y Saturno. Mientras
que hay infinitos polígonos regulares sólo existen cinco
poliedros regulares. No podía ser una casualidad, la mano del
Dios geómetra no improvisa. Según Koestler (1985), Kepler
pensó que los dos números estaban vinculados: «hay sólo seis
planetas porque hay sólo cinco poliedros regulares» y da una
visión del sistema solar que consiste en sólidos platónicos
inscritos, encajados o anidados unos dentro de otros,
relacionando los radios de las esferas concéntricas circunscritas
que intervienen con las órbitas de los planetas. Al creer que
había reconocido el esqueleto invisible del Universo en esas
estructuras perfectas que sostenían las esferas de los seis
planetas, llamó a su revelación El Misterio Cósmico.
31

32. Los poliedros en los tiempos modernos
La famosa Fórmula de Euler que relaciona caras, vértices y aristas de un sólido
platónico: «en todo poliedro convexo, el número de vértices menos el número de
aristas más el número de caras es igual a dos» (V – A + C = 2), es posible que fuera
conocida por Teeteto y por Arquímedes, pero es Descartes quien primero la
establece hacia 1635, aunque este hecho no fue conocido hasta 1860 con la
publicación de sus Oeuvres inédites por P.Tannery. Euler la obtuvo de nuevo de
forma independiente en 1752, dando una sencilla prueba inductiva. Hoy se estudia
como un invariante topológico y es uno de los tópicos más representativos de la
moderna Topología Algebraica, en relación con la Característica de Euler-
Poincaré de una superficie.
32

33. • Los Poliedros en el Arte del siglo XX: Gaudí, Escher y Dalí
Las formas poliédricas en el Arte de Gaudí
Gaudí desarrolló una capacidad casi milagrosa de utilizar todas las
formas geométricas y no sólo como nueva morfología estética sino
como componente estructural desde la perspectiva gravitatoria de las
cargas, es decir, la estética al servicio de la estática. Se definía así
mismo como geómetra («yo soy geómetra que quiere decir hombre
de síntesis») y al considerar la naturaleza como fuente de inspiración
de muchas de sus formas geométricas, Gaudí escribía: «en la
naturaleza está el principio y el fin de todas las formas». No es
extraño, pues, que las formas poliédricas fueran un tópico habitual
para el genio.
33

34. En los pináculos de los campanarios la Sagrada Familia, tanto en la fachada del
Nacimiento como en la de la Pasión, aparecen complejas formas resultantes de la
intersección de diversos poliedros (sobre todo cubos y octaedros) con esferas
provistas de vaciados cilíndricos funcionales que crean espacios donde situar la
original iluminación. En los cuatro pináculos de los campanarios de la fachada de la
Gloria están presentes dodecaedros regulares.
34

35. El mágico universo poliédrico de Escher
Escher estaba fascinado por la misteriosa regularidad de las
formas minerales con las que debía tener frecuente
contacto al tener un hermano que era geólogo de
profesión: «hay algo de estremecedor en las leyes que
gobiernan las formaciones cristalinas». De ahí nace su
interés por los poliedros, cuyas formas utilizará con
asiduidad en los múltiples modelos de diversos materiales y
en numerosos grabados donde los dibuja en diversas
posiciones. Con el fin de tenerlos siempre presentes,
Escher construyó con hilo y alambre un modelo de los cinco
cuerpos platónicos, inscritos unos en otros, que le
acompañaba siempre.
35

36. • El misticismo poliédrico en la creatividad de Dalí
Para Dalí, como para otros muchos artistas, la Geometría
proporciona importantes argumentos en las reflexiones teóricas
previas a la obra de arte. En particular la Divina Proporción y los
poliedros regulares, además de las implicaciones estéticas
acreditadas por su presencia en algunos de sus cuadros,
asumen una función de orden cosmológico, científico, teológico
y simbólico. En la aplicación constante de la Matemática a su
pintura, Dalí sintetiza siglos de tradición simbólica pitagórica
(González Urbaneja, 2001).
Dalí se había interesado en los años 30 del pasado siglo por las
investigaciones de M. Ghyka acerca de la sección áurea, la
geometría y la numerología pitagóricas, lo que deja una huella
en su arte que adquiere una estrecha relación entre Ciencia y
Religión (Weyers, 2000).
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37. CONCLUSION:
Este trabajo trata de los grupos geométricos y de lo importante que es.
Explica la teoría de las propiedades (tecnológicas y geométricas) que se
dedica finitamente.
También trata que es el Grafo, que estudia las graficas atreves de las
matemáticas y las ciencias de computación.
Indica los elementos de los cuerpos geométricos y como están
integrados.
Los cuerpos poliedros que se distingue, por tener todas sus superficies
planas.
Explica las áreas de cuerpos geométricas que es la medida interior.
Indica el área basal y el área lateral.
Relata las historia de los grupos geométricos, de las Pitágoras y quienes
los investigan.
37

38. BIBLIOGRAFIA:
.ES.WIKIPEDIA.ARG
.WWW.BUENES TAREAS.COM
.WWW.IARITO.COM
.CAM.EDUCACION DIGITAL.NET
.WWW.EDUCAREX.ES
.DIVULGAMAT2.EHU.ES
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