1. ภาคตัดกรวย (Conic Section)
Amazing Conic Section
(Circle & Ellipse)
Apollonius of Perga
262 – 290 B.C.
การศึกษาเกี่ยวกับภาคตัดกรวยเริ่มต้นมานานแล้ว อะพอลโลเนีย
สแห่งเพอร์กา (Apollonius of Perga) ซึ่งมีชีวิตอยู่ในช่วง 262-
190 ปีก่อนคริสต์ศักราช เป็นผู้หนึ่งที่ศึกษาภาคตัดกรวยและค้นพบสมบัติ
บางประการที่น่าสนใจของภาคตัดกรวย
ภาคตัดกรวยเป็นเส้นโค้งที่เกิดจากรอยตัดของระนาบกับกรวยกลม
ซึ่งกรวยกลมมีลักษณะดังรูป ลักษณะของเส้นโค้งดังกล่าว จะอยู่ในรูปวงกลม
(Circle) พาราโบลา (Parabola) วงรี (Ellipse) หรือไฮเปอร์โบลา
(Hyperbola)
ภาคตัดกรวย (Conic Section
จุดยอด เส้นประกอบรูป
By กรวย
แกน
000
Jiraprapa Suwannajak

2. วงกลม (circle)
วงกลม เกิดจากการใช้ระนาบตัด
กรวยกลมในแนวตั้งฉากกับแกนของ บทนิยามเชิงเรขาคณิตของวงกลม
กรวย วงกลม (circle) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบที่ห่าง
จากจุดจุดหนึ่งที่ตรึงอยู่กับที่เป็นระยะทางคงตัว จุดที่ตรึงอยู่กับที่นี้
เรียกว่า จุดศูนย์กลาง (center) ของวงกลม และระยะทางคง
ตัวดังกล่าวเรียกว่า รัศมี (radius) ของวงกลม
Y
วงรี เกิดจากการใช้ระนาบตัดกรวย
กลม โดยระนาบไม่ตั้งฉากกับแกนของกรวย
และไม่ขนานกับเส้นประกอบรูปกรวย
จากรูปแสดงกราฟของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ C  h , k  และ
รัศมีเท่ากับ r เราจะหาสมการที่มีกราฟเป็นวงกลมรูปนี้โดย สมมุติว่า
  x , y  เป็นจุดใดๆ บนวงกลม เนื่องจากระยะทางระหว่าง   x , y  และ
C  h , k  เท่ากับ r นั่นคือ  C  r ดังนั้น จากสูตรระยะทางระหว่างจุดสอง
จุด จะได้
 x  h yk  r
2 2
นั่นคือ x  h
2
yk  r
2 2
เป็นสมการของวงกลมที่ต้องการ

3. รูปสมการของวงกลม รูปทั่วไปของวงกลม
1. สมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (0, 0 ) ความยาวรัศมี r เมื่อนารูปแบบมาตรฐานของวงกลม ( x
-
2
h +) -(
2
=
y
2
k )
หน่วย คือ มากระจายจะได้
2 2
x + y = r
2 2
x + y + ( - 2h )x + ( - 2k)y + (h 2 + k
2
-
2
r )= 0
2. สมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h, k) ความยาวรัศมี r
หน่วย คือ สังเกตว่า - 2h, - 2h, ( h
2
+ k
2
- r )
2
ต่างเป็นค่าคงตัว เมื่อเขียนแทน
ด้วย A, B, C ตามลาดับ จะได้รูปสมการใหม่เป็น
2 2
(x - h) + (y - k) = r
x
2
+ y
2
+ Ax + By + C = 0 ซึ่งเรียกรูปแบบนี้ว่า “รูปแบบทั่วไปของ
รูปแบบมาตรฐานของวงกลม สมการวงกลม” รูปทั่วไปของความสัมพันธ์ซึ่งมีกราฟเป็นวงกลม
สมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h , k ) ความยาวรัศมี r 2 2
{( x, y)R ´ R x + y + Ax + By + C = 0}
หน่วย คือ (x - h)
2
+ (y -
2
k) = r
2
เมื่อ A, B, C เป็นจานวนจริงใด ๆ
ซึ่งสมการนี้เป็นรูปแบบมาตรฐานของสมการวงกลม ถ้าสมการของวงกลมอยู่ในรูปแบบทั่วไป เราสามารถเขียนสมการ
วงกลมที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิดและมีรัศมี r = 1 เรียกว่า ใหม่ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้ โดยใช้การทาเป็นกาลังสองสมบูรณ์
วงกลมหนึ่งหน่วย และมีสมการเป็น x
2
+
2
y = 1 ดังรูป
ข้อสังเกต
1) ถ้า A 2 + B 2 – 4C > 0 จะได้กราฟวงกลม มีจุดศูนย์กลางที่
 A B 1
  ,  และรัศมียาว A  B
2 2
 4C
 2 2 2
 A B
2) ถ้า A 2 + B 2 – 4C = 0 จะได้กราฟเป็นจุด   , 
 2 2
3) ถ้า A 2 + B 2 – 4C < 0 จะไม่มีกราฟ

4. ตัวอย่างที่ 1 จงหาสมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0, 0 ) และรัศมี การเขียนกราฟของวงกลมขันแรก ลงจุดศูนย์กลางที่จุด
้ (1, 2 )
เท่ากับ 4 หน่วยพร้อมทั้งเขียนกราฟวงกลมด้วย เนื่องจาก รัศมีของวงกลมเท่ากับ 3 หน่วย ลงจุดอีก 4 จุดห่างไปจากจุด
วิธีทา สมการวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ (0, 0 ) และ r = 4 คือ ศูนย์กลางไปทางด้านซ้าย ทางด้านขวา ทางด้านล่าง และทางด้านบน 4
2 2
x + y = 16 หน่วย แล้ววาดวงกลมผ่านจุด 4จุดนี้จะได้กราฟของวงกลม ดังแสดงในรูป
ตัวอย่างที่ 2 จงเขียนกราฟของสมการ (x  1) 2  ( y  2 ) 2  9
ตัวอย่างที่ 3 จงหาจุดศูนย์กลาง และความยาวรัศมีของวงกลม ซึ่งมีสมการ
2 2
วิธีทา คือ x + y + 6x – 4y – 3 = 0
การเขียนกราฟของสมการวงกลม ต้องทราบจุดศูนย์กลางและรัศมี วิธีทา 1
ของวงกลม ซึ่งจากรูปแบบมาตรฐานของวงกลม สมการของวงกลมที่มีจุด
การเขียนกราฟของสมการวงกลม ต้องทราบจุดศูนย์กลางและรัศมี
ศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h , k ) ความยาวรัศมี r หน่วย คือ ของวงกลม ถ้าสมการของวงกลมอยู่ในรูปแบบทั่วไปเราสามารถเขียนสมการ
(x - h)
2
+ (y -
2
k) = r
2
ใหม่ให้อยู่ในรูปแบบมาตรฐานได้ โดยใช้การทาเป็นกาลังสองสมบูรณ์
2 2
เทียบกับสมการ (x - 1)
2
+ (y -
2
2) = 9 จากสมการของวงกลม x + y + 6x – 4y – 3 = 0
จะได้ h = 1, k = 2 และ r = 3 นั่นคือวงกลมมีจุด จะได้ x
2
+ 6x + y 2 – 4y = 3
ศูนย์กลางที่จุด (1, 2 ) รัศมียาว 3 หน่วย ทาให้เป็นกาลังสองสมบูรณ์

5. x
2
+ 6x + (3) 2 + y 2 – 4y + (2) 2 = 3 + (3) 2 + (2) 2 การเขียนกราฟโดยใช้เครื่องคิดเลขกราฟิก (Graphic Calculator)
( x + 3 ) 2 + ( y – 2 ) 2 = (4) 2
เมื่อเทียบกับสมการมาตรฐาน ( x - h ) + ( y - k ) = r จะได้
2 2 2
เราจะต้องเขียนสมการในรูปแบบ y  (นิพจน์ของ x )
h   3, k  1 และ r  4 คือวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุด ( -3 , 2 ) จากสมการของวงกลม เราต้องแก้สมการเพื่อหาค่า y จากตัวอย่างที่ 2 จะ
ได้
และมีรัศมียาว 4 หน่วย
( x  1)  ( y  2 )  9
2 2
วิธีทา 2 ( y  2 )  9  ( x  1)
2 2
 D E
เนื่องจากจุดศูนย์กลางของวงกลมอยู่ที่  ,  y  2   9  ( x  1)
2
 2 2
y  2   9  ( x  1)
2
(4) 
แทนค่าจะได้จุดศูนย์กลางอยู่ที่  6
  ,  = ( -3 , 2 )
 2 2 
y  2 9  ( x  1)
2
เนื่องจากรัศมีของวงกลม = 1
D
2
E
2
 4F
แล้วใช้เครื่องคิดเลขกราฟิกเขียนกราฟของสมการ
2
แทนค่า = 1
(6)
2
 (4)
2
 4 (  3) y  2 9  ( x  1)
2
2
ดังนั้น จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด ( -3 , 2 ) และรัศมียาว 4 หน่วย และสมการ
y  2 9  ( x  1)
2
ตัวอย่างที่ 4 จงหาสมการของวงกลมซึ่งมีจุด A( -1 , 3 ) และ B( 5 , 7 ) เป็น ทาให้ได้กราฟของวงกลม ดังรูป นอกจากนี้การกาหนดสเกลบนแกน  และ
จุดปลายของเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม แกน Y ควรกาหนดให้เหมือนกัน มิฉะนั้นเครื่องคิดเลขกราฟิกจะแสดงรูปที่
วิธีทา ขาดหายไป
จุดศูนย์กลางของวงกลม เป็นจุดกึ่งกลางของ AB
 1 5 3  7
จะได้ จุดศูนย์กลาง C =  ,  = (2,5)
 2 2 
รัศมี (r) = AC = (  1  2 ) 2  (3  5 ) 2 = 9  4 = 13
ดังนั้น สมการของวงกลม คือ ( x – 2 ) 2 + ( y – 5 ) 2 =  13 2
x– 4x + 4 + y 2 – 10y + 25 = 13
2
2 2
x + y – 4x – 10y + 16 = 0

6. ตัวอย่างที่ 5 จงหาสมการของเส้นสัมผัสของวงกลม x  y 5 0
2 2
ที่ ตัวอย่างที่ 6 จงหาสมการของเส้นสัมผัสของวงกลม
จุด (1, 2 ) ( x  1)  ( y  2 )  10
2 2
ที่จุด ( 4 ,1)
วิธีทา Y วิธีทา วงกลมมีจุดศูนย์กลางที่ C(1, 2)
y 2  y1 Y
จากสูตรความชัน m 
x 2  x1
2 1 1
m   
1 4 3
X
เส้นตรง 1 ซึ่งผ่านจุด (1, 2 )
จะมีความชัน 3
20
ความชันของรัศมีที่ผ่านจุด (1, 2 ) คือ m   2 เส้นสัมผัสของ
1 0
วงกลมที่ผ่านจุด (1, 2 ) เป็นเส้นตรงที่ตั้งฉากกับรัศมีของวงกลม จากสูตร สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด ( x1 , y 1 ) และมีความชัน m
ดังนั้นความชันของเส้นสัมผัสคือ 
1 สมการของเส้นสัมผัสของ คือ y  y 1
 m ( x  x1 )
2
วงกลมที่ผ่านจุด (1, 2 ) คือ ดังนั้นสมการเส้นตรง l คือ y  1  3( x  4 ) หรือ
3 x  y  11  0
1
y2   ( x  1)
2
2y  4  x 1
x  2y  5  0
ดังนั้นสมการเส้นสัมผัสของวงกลม x  y 5 0
2 2
ที่จุด (1, 2) คือ
x  2y  5  0

7. สาระหน้ารู้ วงกลมกับชีวิตประจาวัน
วงกลมกับอวกาศ เอราโตสเทเนส (Eratosthenes, 275-194 BC) ชาว
กรีกโบราณสามารถใช้ความรู้ทางเรขาคณิตประกอบกับเทคโนโลยีง่ายๆ ใน
สมัยนั้นคิดคานวณหาความยาวเส้นรอบโลกได้อย่างใกล้เคียงความเป็นจริงเมื่อ
เทียบกับปัจจุบัน ข้อมูลที่ใช้ในการคานวณคือ ในยุคสมัยแรกใช้ค่า  ประมาณเท่ากับ 3 ชาวอียิปต์ใช้ค่า
25
   3 .1 2 5
8
จากการค้นพบแผ่น Papyrus ที่บันทึกวิชาคณิตศาสตร์สมัยอียิปต์ เมื่อราว
2
8
1650 ก่อนคริสตกาล กาหนดค่า  ไว้เท่ากับ 4  
25
 3.16
9 8
วงกลมกับตรีโกณมิติ จากความคิดในเรื่องส่วนโค้งของวงกลมและรัศมี ทา
ให้การคิดคานวณหาค่าของสัดส่วนทางตรีโกณมิติ ในเวลาต่อมาในรูปของ
ด้านของสามเหลี่ยมมุมฉาก ซึ่งก็คือสัดส่วนของด้านต่างๆ และพิจารณา
เฉพาะสามเหลี่ยมมุกฉากเท่านั้น ทาให้วิชาตรีโกณมิติสมัยใหม่จึงเน้นเฉพาะ
รูปสามเหลี่ยม ซึ่งมีสัดส่วนที่สาคัญ เช่นเดียวกับ หลักการทางด้านวงกลม
1. ระยะทางระหว่าจุดสองจุดบนโลก(Alexandria and Syene)
และส่วนโค้ง คือ
2. มุมที่ดวงอาทิตย์ตอนเที่ยงกระทากับเส้นดิ่งที่ลากจากจุดศูนย์กลางของ
โลกผ่านจุดทั้งสอง
3. ดวงอาทิตย์ตอนเที่ยงอยู่ตรงเหนือศีรษะที่เมือง
4. อุปกรณ์วัดมุมที่ดวงอาทิตย์กระทากับแนวดิ่ง
ค่าของ sin คือ อัตราส่วนระหว่างด้านตรงข้ามมุมกับด้านตรงข้ามมุมฉาก
วงกลมกับอัตราส่วน ตั้งแต่สมัยบาบิโลเนียประมาณ 950 ก่อนคริสตกาล
ค่าของcosin คือ อัตราส่วนระหว่างด้านประชิดมุม กับด้านตรงข้ามมุมฉาก
นักคณิตศาสตร์สมัยนั้นให้ความสาคัญและสนใจค่าของ ซึ่งค่าของ นิยามจาก
ค่าของtangent คือ อัตราส่วนระหว่างด้านตรงข้ามมุม กับด้านประชิดมุม
อัตราส่วนระหว่างเส้นรอบวงต่อเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม

8. แบบฝึกหัดที่ 1 6. จงหาสมการเส้นสัมผัสของวงกลมที่มีสมการเป็น x  y  10 x  0 2 2
ณ จุดที่วงกลมตัดเส้นตรง 4 x  3 y  20
1. จงหาจุดศูนย์กลาง ความยาวรัศมีของสมการวงกลมต่อไปนี้ 7. จงหาพื้นที่ของบริเวณที่อยู่นอกวงกลม x + y - 2 x - 2 y = 0 2 2
สมการ จุดศูนย์กลาง รัศมี แต่อยู่ภายในวงกลม x
2
+ y
2
+ 2x - 4y - 11 = 0
2 2
x + y - 4x + 6y - 3 = 0
8. จงหาจุดตัดของกราฟ x y 1 และ x  y  x  3y  0
2 2
2 2
9. จงเขียนกราฟของอาณาบริเวณซึ่งกาหนดโดยเซตต่อไปนี้
2 x + 2 y + 12 x - 4 y - 20 = 0
2 2
(1)   x , y  / x  y  4
2 2
  x , y  / x  y  9
x + y + 2x - 4y + 5 = 0
(2) 2 2
2 2
x + y + 10 x - 2 y + 42 = 0
2 2
x + y - 2x + 2y + 2 = 0
2. จงหาสมการในรูปแบบทั่วไปของวงกลมที่สอดคล้องกับเงื่อนไขต่อไปนี้
พร้อมทั้งเขียนกราฟของสมการของสมการวงกลม
2.1 มีจุดศูนย์กลางที่จุด ( 0, 0) และ สัมผัสกับเส้นตรง 4x + 3y = 10
ลองทำดู คุณทำได้
2.2 มีจุดศูนย์กลางที่จุด (1, 2) และ สัมผัสกับเส้นตรง 3x - 4 y = 15
3. จงหาสมการของวงกลมเมื่อมีเส้นผ่านศูนย์กลางเป็นเส้นตรงที่เชื่อม
ระยะห่างระหว่างจุด ( 4, - 5) และ ( - 6, 3)
4. จงหาสมการของวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกับวงกลม
x
2
+ y
2
+ 6x - 4y - 3 = 0 และสัมผัสกับเส้นตรง 4x + 3y + 1= 0
5. จงหาสมการวงกลม ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่   1,1  และสัมผัสกับ
เส้นตรงซึ่งมีสมการเป็น 3 x  2 y  18  0

9. วงรี (Ellipse)
วงรีเป็นโค้งรูปไข่ที่เสมือนการยืดวงกลมให้ยาวขึ้นตามแนวเส้นผ่าน
.
P(x,y )
ศูนย์กลางเส้นใดเส้นหนึ่ง บทนิยามในเชิงเรขาคณิตของวงรี คือ .
F1 (  C,0 ) O
.
F2 (C,0 )
บทนิยามเชิงเรขาคณิตของวงรี
วงรี (circle) คือเซตของจุดทั้งหมดในระนาบซึ่งผลบวก
ของระยะทางจากจุดใด ๆ ไปยังจุด F1 และ F2 ที่ตรึงอยู่กับที่มีค่าคง
ตัว โดยค่าคงตัวนี้มีค่ามากกว่าระยะห่างระหว่างจุดที่ตรึงอยู่กับที่ทั้ง เพื่อความสะดวก ให้ผลบวกของระยะทางจากจุดใด ๆ บนวงรีถึงจุด
สอง จุดสองจุดที่ตรึงอยู่กับที่นี้เรียกว่า โฟกัส (focus) ของวงรี โฟกัสทั้งสองเท่ากับ 2a โดยที่ a > c จะได้ว่า ถ้า P ( x, y) เป็นจุดใด ๆ บน
วงรีแล้ว
.P
1
.P 2 P F1 + P F 2 = 2a
จากสูตรระยะทาง จะได้
. .
F
(x + c)
2
+ y
2
+ (x - c)
2
+ y
2
= 2a
F1 2
หรือ (x - c)
2
+
2
y = 2a - (x + c)
2
+ y
2
ยกกาลังสองทั้งสองข้าง จะได้
2 2 2 2 2 2 2 2
x - 2cx + c + y = 4a - 4a ( x + c) + x + 2cx + c + y
P1 F1 + P2 F2 = เป็นค่าคงตัว
P 2 F1 + P2 F2
หรือ 4a ( x + c)
2
+ y
2
= 4a
2
+ 4cx
ในการหาสมการรูปแบบอย่างง่ายของวงรี จะต้องสร้างระบบพิกัด หารด้วย 4 แล้วยกกาลังสองทั้งสองข้างของสมการ จะได้
ฉากให้โฟกัสอยู่บนแกน X ที่ F ( - C, 0) และ F (C, 0) จุดกาเนิดอยู่
1 2 a ( x  c)  y
2 2
2

 a  cx
2
 2
กึ่งกลางระหว่างโฟกัส ดังรูป 2
a x
2
+ 2a cx
2
+
2
a c
2
+
2 2
a y = a
4
+ 2a cx
2
+ c x
2 2

10. (a
2
-
2
c )x
2
+
2
a y = a (a
2 2 2
-
2
c ) (1) ทานองเดียวกัน ให้ x = 0 จะได้ y = ± b ดังนั้นวงรีตัดแกน
เนื่องจาก a > c ดังนั้น a
2
- c
2
> 0 เมื่อหาร (1) ด้วย 2
a (a
2

2
c ) Y ที่จุด (0, - b ) และ (0, b ) ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดทั้งสองนี้เรียกว่า
จะได้ แกนโท (minor axis) ของวงรี ความยาวของแกนโทเท่ากับ 2b หน่วย
x
2
+
y
2
= 1 (2) จะเห็นว่า 2a > 2b ดังนั้นแกนเอกยาวกว่าแกนโท ดังรูป
2 2 2
a a - c
Y
ให้ 2
b = a
2
- c
2
(โดยที่ b > 0 )
เนื่องจาก จะได้ว่า และสมการสุดท้ายเป็น
.
2 2
b < a b < a
(0 , b )
2 2
y
x
2
+ 2
= 1 เมื่อ a > b
a b b
สมการนี้เป็นสมการของวงรี . . X
.
(  a,0 ) (  c,0 ) O c ( c ,0 ) (a ,0 )
ในการเขียนกราฟของวงรีรูปนี้ จะต้องทราบระยะตัดแกน X และ
ระยะตัดแกน Y
2
(0 ,  b )
ให้ y  0 จะได้ x = 1
2
a
2 2
ถ้าสร้างระบบพิกัดฉากให้จุดโฟกัสของวงรีอยู่บนแกน Y ที่จุด
x = a
(0, ± c) ดังแสดงในรูป จะได้ วงรีในแนวตั้งและสมการของวงรีเป็น
x = ±a
2 2
y
x
2
+ 2
= 1 เมื่อ a > b
b a
ดังนั้นวงรีตัดแกน X ที่จุด ( - a, 0) และ (a , 0) จุดทั้งสองนี้
เรียกว่า จุดยอด (vertrices) ของวงรี (vertrices คือ รูปพหูพจน์ (0 , a )
ของ vertex) ส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดเรียกว่า แกนเอก (major (0 , c ) .
axis) ของวงรี ความยาวของแกนเอกเท่ากับ หน่วย จุดกึ่งกลางของ
.
2a c
แกนเอกเรียกว่า จุดศูนย์กลาง (center) ของวงรี วงรีรูปนี้มีจุด ( b,0 ) O b ( b,0 ) X
ศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิด
(0 ,  c ) .
(0 ,  a )

11. ข้อสรุปเกี่ยวกับวงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิดและแกนเอกอยู่บน ข้อสรุปเกี่ยวกับวงรีทมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิดและแกนเอกอยู่บน
ี่
แกนพิกัดแกน X สรุปได้ดังนี้ แกนพิกัดแกน Y สรุปได้ดังนี้
วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิดและแกนเอกอยู่บนแกนพิกัด วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกาเนิดและแกนเอกอยู่บนแกนพิกัด
2 2
สมการรูปแบบมาตรฐาน
2
x + y = 1, a > b > 0
สมการรูปแบบมาตรฐาน
2
x y
2
+ 2
= 1, a > b > 0 2 2
a b b a
จุดยอด (± a , 0 ) จุดยอด (0, ± a )
แกนเอก อยู่บนแกน X มีความยาว 2a หน่วย แกนเอก อยู่บนแกน Y มีความยาว 2a หน่วย
แกนโท อยู่บนแกน Y มีความยาว 2b หน่วย แกนโท อยู่บนแกน X มีความยาว 2b หน่วย
โฟกัส (± c, 0 ), c = a - b
2 2 2
โฟกัส 2
(0, ± c ), c = a - b
2 2
เลตัสเรกตัมยาว 2b
2
กราฟ
.
a
กราฟ a
(0, c) .
b . b
. O
. b
a
. . a (0,  c) .
.
( c,0 ) O (c,0 )
 b
. a

12. ตัวอย่างที่ 1 วงรีรูปหนึ่งมีสมการเป็น 25 x
2
+
2
4 y = 100 จงหาโฟกัส Y
จุดยอด ความยาวของแกนเอกและแกนโท พร้อมทั้งเขียนกราฟของวงรี
วิธีทา จัดสมการให้ขวามือของเครื่องหมายเท่ากับเป็น 1
2 2
25 x + 4 y = 100
นา 100 หารทั้งสองข้างของสมการ
X
2 2
25 x 4y
+ = 1
100 100
2 2
x y
+ = 1
4 25
2 2
x y
2
+ 2
= 1
2 5
เนื่องจากตัวหารของ y
2
มากกว่าตัวหารของ x
2
ดังนั้นวงรีมีแกน
ตัวอย่างที่ 2 จงหาสมการของวงรีซึ่งมีจุดโฟกัสอยู่ที่ (- 3, 0 ) และ
เอกอยู่บนแกน Y
(3, 0 ) จุดยอดจุดหนึ่งอยู่ที่ (5, 0 )
วิธีทา เนื่องจากโฟกัสอยู่ที่ (- 3, 0 ) และผ่านจุด (2, 1 )
จากสมการของวงรีรูปนี้ 2
a = 5
2
และ 2
b = 2
2
2 2
y
เพราะว่า 2
c = a
2
- b
2
จึงได้ 2
c = 25 - 4 = 21
ดังนั้นสมการวงรีอยู่ในรูป x
2
+ 2
= 1
a b
ดังนั้น a = 5, b = 2 และ c = 21 จุดยอดจุดหนึ่งอยู่ที่ (5, 0 ) ดังนั้น a = 5
โฟกัสของวงรีคือ (0, ± 21 ) เนื่องจาก c = 3, a = 5 และ 2
b = a - c
2 2
จุดยอดคือ (0, ± 5 ) 2
b = 25 - 9 = 16
2
ความยาวแกนเอกเท่ากับ 10 ดังนั้นสมการของวงรีคือ x
2
+
y
= 1
25 16
ความยาวแกนโทเท่ากับ 4

13. Y Y
X
ตัวอย่างที่ 3 จงหาโฟกัสและเขียนกราฟของวงรีที่มีสมการเป็น
2 2
โฟกัสของวงรีคือ ( ± 5, 0)
4x + 9y - 36 = 0
การเขียนกราฟต้องทราบจุดยอดของวงรี
วิธีทา จัดสมการให้ขวามือของเครื่องหมายเท่ากับเป็น 1
จุดยอดคือ ( ± 3, 0)
2 2
4x + 9 y = 36
ความยาวแกนเอกเท่ากับ 6
นา 36 หารทั้งสองข้างของสมการ ความยาวแกนโทเท่ากับ 4
2 2
x y
+ = 1
9 4
2 2
เนื่องจากตัวหารของ x มากกว่าตัวหารของ y ดังนั้นวงรีมีแกน
เอกอยู่บนแกน X
จากสมการของวงรีรูปนี้ 2
a = 3
2
และ 2
b = 2
2
เพราะว่า 2
c = a
2
- b
2
จึงได้ 2
c = 9- 4 = 5 ดังนั้น
a = 3, b = 2 และ c 2
= 5

14. วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด( h , k ) และแกนเอกอยู่บนแกนพิกัด วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด( h , k ) และแกนเอกอยู่บนแกนพิกัด
วงรีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h, k) และแกนเอกขนานกับแกน X วงรีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด (h, k) และแกนเอกขนานกับแกน X
สมการรูปแบบมาตรฐาน สมการรูปแบบมาตรฐาน
2 2 2 2
(x - h) (y - k) (x - h) (y - k)
+ = 1, a > b > 0 2
+ 2
= 1, a > b > 0
2 2
a b b a
จุดยอด (h ± a, k) จุดยอด (h, k ± a)
โฟกัส (h ± c, k) , c = a
2 2
- b
2
โฟกัส ( h, k ± c) , c = a
2 2
- b
2
ความยาวของไดเรกตริกซ์
2
ความยาวของไดเรกตริกซ์
2
2b 2b
a a
กราฟ กราฟ
V2 ( h , k  a )

 F2 ( h , k  c )
B2 (h,k  b)

B 1 ( h  b, k )

O ( h , k ) 
B 2 ( h  b, k )
F1 ( h  c, k ) F2 ( h  c, k )
    
V1 ( h  a, k ) O(h,k) V2 ( h  a, k )
 F1 ( h , k  c )

 V1 ( h , k  a )
B1 ( h , k  b )
O
O