2. Plano numérico
El plano cartesiano, coordenadas cartesianas o sistema cartesiano es una forma de
ubicar puntos en el espacio, habitualmente en los casos bidimensionales.
El plano cartesiano tuvo su origen de la mano de René Descartes (1596-1650). René
Descartes conocido filósofo e influyente matemático fue el fundador de la geometría
analítica. Una disciplina que se utiliza mucho, aunque de forma superficial, en las
representaciones gráficas de los análisis de teoría económica.
Distancia
A partir de conocer la ubicación de dos puntos en el plano cartesiano, es posible
determinar la distancia que hay entre éstos. Cuando algún punto se encuentra en el
eje de las x o de las abscisas o en una recta paralela a éste eje, la distancia entre los
puntos corresponde al valor absoluto de las diferencia de sus abscisas. (x 2 – x 1 ).
Ejemplo:
La distancia entre los puntos (–4, 0) y (5, 0).
Donde (-4) = x 1 ; 5 = x 2. Aplicando la fórmula es 5 – (–4) = 5 +4 = 9 unidades.
Punto medio
Punto medio en matemática, es el punto que se encuentra a la misma distancia de
otros dos puntos cualquiera o extremos de un segmento.
Más generalmente punto equidistante en matemática, es el punto que se encuentra a
la misma distancia de dos elementos geométricos, ya sean puntos, segmentos, rectas,
etc.
3. Circunferencia
Un circunferencia es todos los puntos en un plano que son una distancia dada del
punto central. Al usar un compás para dibujar un circunferencia, es el punto del
compás el centro del circunferencia, y la aguja marca todos los puntos que sean la
misma distancia del centro.
El centro circunferencia es el punto de el cual todos los puntos del circunferencia son
equidistantes.
Un radio de un circunferencia es una recta segmento del centro del circunferencia a
uno de los puntos en el circunferencia.
Un diámetro de un circunferencia es recta segmento a partir de un punto en el
circunferencia al lado opuesto a través del centro del circunferencia. La longitud de un
diámetro es dos veces la longitud de un radio (d = 2r).
La circunferencia de un circunferencia es el borde del circunferencia. La circunferencia
puede también referir a la longitud del borde del circunferencia.
Un cuerda de un circunferencia es una recta segmento de cualquier punto en el
circunferencia a cualquier otro punto en el circunferencia. Vea el cuerda.
Un arco es una porción de la circunferencia del circunferencia.
4. Definición y elementos de la parábola
Una parábola queda definida por el conjunto de los puntos del plano que equidistan de
una recta fija y un punto fijo:
D (p,d) = d (p,f)
Foco: Es el punto fijo F.
Directriz: Es la recta fija D.
Parámetro:Ala distancia entre el foco y la directriz de una parábola sele llama
parámetro p.
Eje: La recta perpendiculara la directriz y que pasa por el focorecibe el nombre de
eje. Es el eje de simetría de la parábola.
Vértice: Es el punto medio entre el foco y la directriz. Tambiénse puede ver como el
punto de interseccióndel eje con la parábola.
Radio vector: Es el segmentoque une un punto cualquiera de la parábola con el
foco.
5. Elipse
Una elipse es una curva plana, simple y cerrada con dos ejes de simetría que resulta
al cortar la superficie de un cono por un plano oblicuo al eje de simetría con ángulo
mayor que el de la generatriz respecto del eje de revolución. Una elipse que gira
alrededor de su eje menor genera un esferoide achatado, mientras que una elipse que
gira alrededor de su eje principal genera un esferoide alargado. La elipse es también la
imagen afín de una circunferencia.
Elementos
La elipse es una curva plana y cerrada, simétrica respecto a dos ejes perpendiculares
entre sí:
El semieje mayor (el segmento C-a de la figura), y
El semieje menor (el segmento C-b de la figura).
Miden la mitad del eje mayor y menor respectivamente.
Puntos de un elipse
Los focos de la elipse son dos puntos equidistantes del centro, F1 y F2 en el eje
mayor. La suma de las distancias desde cualquier punto P de la elipse a los dos focos
es constante, e igual a la longitud del diámetro mayor (d(P,F1)+d(P,F2)=2a).
Por comodidad denotaremos por PQ la distancia entre dos puntos P y Q.
Si F1 y F2 son dos puntos de un plano, y 2a es una constante mayor que la distancia
F1F2, un punto P pertenecerá a la elipse si se cumple la relación:
Pf1 + Pf2 = 2ª
donde a es la medida del semieje mayor de la elipse.
Ejes de una elipse
El eje mayor, 2a, es la mayor distancia entre dos puntos opuestos de la elipse. El
resultado de la suma de las distancias de cualquier punto a los focos es constante y
equivale al eje mayor. El eje menor 2b, es la menor distancia entre dos puntos
opuestos de la elipse. Los ejes de la elipse son perpendiculares entre sí.
6. hipérbola
Una hiperbola se define como el lugar geométrico de los puntos del plano en el que la
diferencia de distancias a dos puntos fijos denominados focos, F y F', es siempre
constante.
Las líneas azules constituyen lo que se conoce como una hipérbola. Observa sus
focos F y F'. Estos puntos son muy importantes ya que la diferencia de la distancia
entre cada punto P(x,y) y estos puntos es siempre constante.
Por tanto, debes tener en cuenta que para cualquier punto de la hipérbola siempre se
cumple que:
|d(P,F)−d(P,F')|=2⋅a
Donde d(P,F) y d(P,F') es la distancia de un punto genérico P de la hipérbola al foco F
y al foco F' respectivamente. Y donde 2a es una constante
Elementos de la hipérbola
En las hipérbolas podemos distinguir ciertos elementos comunes que se detallan a
continuación:
Focos (F y F'). Puntos fijos en los que la diferencia de distancia entre ellos y
cualquier punto de la hipérbola es siempre la misma.
Eje focal, principal o real. Recta que pasa por los focos.
Eje secundario o imaginario. Mediatriz del segmento que une los dos focos.
Centro (O). Punto de intersección de los ejes focal y secundario.
Semidistancia focal (c). La mitad de la distancia entre los dos focos F y F'. Su
valor es c.
Distancia focal (2c). Distancia del segmento que une los dos focos F y F'. Su
longitud es 2c.
Los vértices (Ay A'). Puntos de la hipérbola que cortan al eje focal
Semieje real (a). Segmento que va desde el origen O hasta cuaqluiera de los
vertices A o A'. Su longitud es a.
Semieje imaginario (b). b= √c2−a2−−
7. Ecuación de la hipérbola
De manera general podemos encontrarnos dos tipos de hipérbolas, aquellas en las
que el eje focal se encuentra horizontal o vertical. De este modo podemos definir dos
tipos de ecuaciones.
Hipérbola de eje focal horizontal centrada en un punto P(x0,y0) cualquiera
La ecuación de una hipérbola de eje focal horizontal viene dada por:
(x−x0)2 - (y−y0) =1
a2 b2
Donde:
x0 , y0 : Coordenadas x e y del centro de la hipérbola
a : Semieje real
a : Semieje real
