DERIVADAS PARCIALES, PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL

1. UNIVERSIDAD AUTÓNOMA DEL ESTADO DE MÉXICO
FACULTAD DE QUÍMICA
P.E.L: INGENIERO QUÍMICO
U.A: CÁLCULO AVANZADO
Unidad II
Cálculo Diferencial de Funciones de Varias Variables
Material didáctico
Modalidad: Solo visión proyectable (diapositivas)
Responsable de la Elaboración:
DRA. SANDRA LUZ MARTÍNEZ VARGAS
Septiembre de 2015

2. “OBJETIVO DE LA UA DE CÁLCULO
AVANZADO”
Aplicar elementos de funciones y de cálculo de diversas variables
para describir modelos matemáticos, que permitan plantear, analizar
y solucionar problemas matemáticos –en forma analítica y utilizar
TIC y software especializado-, para el entendimiento posterior de
modelos de ciencias, entre otros; caracterizando el trabajo en equipo
bajo un marco de identidad profesional, propiciando la equidad de
género y buenas prácticas en el desarrollo de proyectos y en la
solución de problemas.

3. “GUÍA PARA LA UTILIZACIÓN DEL
MATERIAL DEAPOYO”
• Este paquete contiene 97 diapositivas que tienen como propósito
que los estudiantes de la UA de Cálculo Avanzado, cuenten con un
material de apoyo para la Unidad II Cálculo Diferencial de Funciones
de Varias Variables, para facilitar la comprensión de los temas de
dicha unidad.
• En este material se incluyen los temas que corresponde a lo
propuesto en el programa de la UA, con la extensión que se solicita
en éste. En cada tema se incluyen las definiciones correspondientes y
se incluyen además los axiomas y ecuaciones correspondientes,
favorecer el entendimiento de los temas.
• El material que se presenta constituye un apoyo para el docente que
tenga la oportunidad de impartir la unidad de aprendizaje de Cálculo
Avanzado.

4. Contenido
• Conceptos Básicos
• Función de varias variables
• Dominio y rango
• Representación gráfica de una función de varias variables
• Curva de nivel y superficie de nivel
• Límite y Continuidad
• Derivación
• Diferenciales
• Derivadas Direccionales
• Valores Extremos

5. Funciones deVariasVariables
Introducción
• En muchos problemas aparecen varias variables
independientes en una función, estas funciones tienen
muchas aplicaciones en la ingeniería química. Por
ejemplo, la temperatura de un punto P en el espacio,
esta depende de tres coordenadas rectangulares x,y,z
del punto P; la transferencia de calor en un plano; el
movimiento de un fluido; la velocidad de descarga de
un fluido de un recipiente.

6. Funciones deVariasVariables
Función f de dos variables
Regla que asigna a cada par ordenado de números reales
(x,y) de un conjunto D un número real único que se
denota como f(x,y). El conjunto D es el dominio de f y
su rango es el conjunto de valores que toma f.
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟗 − 𝒙𝟐 − 𝒚𝟐

7. Funciones de más de una
variable
Espacio numérico n-dimensional. Es el
conjunto de todas las n-adas ordenadas de
números reales y se denota por Rn.
Función de n variables es el conjunto de pares
ordenadas de la forma (P,w) en el que dos
pares ordenadas distintas cualesquiera NO
TIENEN el mismo primer elemento P.
Si n = 1 P = x
n = 2 P = (x,y)
n = 3 P = (x, y, z)

8. Dominio
Conjunto de valores de x y y [variables independientes]
para los cuales existe la función.
Rango
Conjunto de valores que toma f(x,y) [variable
dependiente]
Es decir, el conjunto de todos los puntos P admisibles
recibe el nombre de dominio de la función y el conjunto
de todos los valores resultantes de w se denomina
contradominio de la función.

9. Ejemplo
Determinar y graficar el dominio de la función.
𝐴) 𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑦
El dominio esta definido por:
2𝑥 − 𝑦 ≥ 0 o 𝑦 ≤ 2𝑥
Entonces el Dominio de F es:
(𝑥, 𝑦)|𝑦 ≤ 2𝑥
𝑦 = 2𝑥

10. 𝐵)𝑓 𝑥, 𝑦 = ln 9 − 𝑥2
− 9𝑦2
El dominio de la función está definido por:
9 − 𝑥2 − 9𝑦2 > 0
1
9
𝑥2 + 𝑦2 < 1
Dominio:
(𝑥, 𝑦)|
1
9
𝑥2 + 𝑦2 < 1
1
9
𝑥2 + 𝑦2 < 1

11. C) Sea la función f, de las dos variables x, y y, el conjunto de
todos los pares ordenados de la forma (P,z) tales que
Determine dominio y contradominio
Dominio (x2 + y2)  25
Contradominio   z  
2
2
25 y
x
z 



12. D) Sea
Encontrar el dominio D de f, esquematizar D y representar los
números f(2,5), f(1,2) y f(-1.2) sobre un eje w.
Solución: El dominio D es el conjunto de todos los pares (x,y)
tales que: y – x2 > 0
y > x2
2
2
5
x
y
xy
y
x
f



)
,
(
.

13. Ejercicios
Determina y grafiqua el dominio de la función y determina
su contradominio
𝐴)𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥 − 𝑦
𝐵)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 + 𝑦
𝐶)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦
𝐷)𝑓 𝑥, 𝑦 = ln(9 − 𝑥2 − 9𝑦2)
𝐸)𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑦 − 𝑥2
1 − 𝑥2

14. Grado de una función polinomial
Una función polinomial de las variables x y y es una función f
tal que f(x,y) es la suma de términos c xn ym
DONDE
c: número real
n y m: enteros no negativos.
El grado de una función polinominal está determinado por la
MAYOR SUMA de los exponentes de x y y que se tienen en los
términos de la función.
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
+ 𝑦3
𝑥 + 𝑦 + 𝑥3
𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑢𝑎𝑡𝑟𝑜
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3𝑦2 + 𝑦3 + 𝑥2 + 𝑦4 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑐𝑖𝑛𝑐𝑜

15. Representación gráfica de una
función de dos variables
Si f es una función de DOS VARIABLES, la
gráfica de f es el conjunto de todos los puntos
(x, y, z) de 𝑅3
para los cuales (x,y) es un
punto del dominio de f y z= f(x,y) y (x,y) esta
en D.

16. Ejemplo
• Gráficar la siguiente función:
𝑓 𝑥, 𝑦 = 4 − 4𝑥2 − 𝑦2
𝑧2
+ 4𝑥2
+ 𝑦2
= 4
𝑥2 +
𝑧2
4
+
𝑦2
4
= 1
𝑧 ≥ 0

17. 𝑧 = 𝑥2
+ 𝑦2
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥𝑦

18. 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝐶𝑜𝑠(𝑥)
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2 + 𝑦2

19. 𝑥2+
𝑦2
+ 𝑧2
= 4

20. Ejercicios
Trace la gráfica de la función
𝐴)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦2
+ 1
𝐵)𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑥2
+ 𝑦2
+ 1
𝐶)𝑓 𝑥, 𝑦 = 16 − 𝑥2 − 16𝑥2
𝐷)𝑓 𝑥, 𝑦 = 3 − 𝑥2
− 𝑦2
𝐸)𝑥 + 𝑦2
− 3𝑧2
= 1

21. Curvas de Nivel
Son las curvas cuyas ecuaciones son f(x,y)=K donde K es una
constante (en el rango de f).
Señala donde tiene una altura k la gráfica de f.

22. Superficies de nivel
• El conjunto de puntos (x,y,z) en el espacio donde una
función de tres variables independientes tiene un valor
constante f(x,y,z)=c.

23. En el estudio de la ingeniería
química es frecuente el uso de
curvas y superficies de nivel,en
diseño de experimentos,
isobaras,isotermas,etc.

24. Por ejemplo,una Isoterma de
adsorción describe el equilibrio
de la adsorción de un material
en una superficie a temperatura
constante.

25. Ejemplo
Dibujar un mapa de curvas de nivel 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦2 − 𝑥2
𝑦2
− 𝑥2
= 𝑘2
𝑦2 − 𝑥2 = (1)2
𝑦2
− 𝑥2
= (2)2
𝑦2 − 𝑥2 = (3)2

26. Ejercicios
Describa la superficie de nivel y dibuje un mapa de curvas de
nivel
𝐴)𝑓 𝑥, 𝑦 = (𝑦 − 2𝑥)2
𝐵)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦2 + 𝑥2
𝐶)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
− 𝑦2
𝐷)𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2
− 𝑦2
− 𝑧2
𝐸) = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 36 − 9𝑥2 − 4𝑦2

27. Función Compuesta de n
Variables
Si f es función de una variable y g una función de n variables,
entonces la función compuesta f o g es la función de n variables
definida por
𝑓𝑜𝑔 𝑥1, 𝑥2 … … . 𝑥𝑛 = 𝑓(𝑔 𝑥1, 𝑥2 … … . 𝑥𝑛 )
Ejemplo
𝐹 𝑥 = 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝐺 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2
𝐹 𝑜 𝐺 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝐹(𝐺 𝑥, 𝑦, 𝑧 ) = 𝐶𝑜𝑧( 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2

28. Límite de una función de n
variables
En el estudio de la ingeniería química es importante comprender el
concepto de límite y de diferenciales, para el estudio de los
fenómenos de transporte y de las reacciones químicas. Por ejemplo,
si se considera una lámina de metal plana con forma de la región D y
cada punto (x,y) que se mide con un termómetro, se representa en
el eje w.
Entonces, cuando el punto (x,y) se mueve dentro de la lámina la
temperatura aumenta, disminuye o permanece constante y (x,y) en el
eje w se mueve a la parte positiva negativa o permanece constante
.

29. Límite de una función de n
variables
Cuando la temperatura f(x,y) se acerca a un valor fijo L cuando (x,y)
se aproxima cada vez más a un punto fijo (a,b), entonces, esto se
denota como sigue:
El límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (,b) es L.
Si
.
1


)
,
(
lim )
,
(
)
,
(
y
x
f
b
y
x 










L
y
x
f
entonces
b
y
x
)
,
(
)
(
)
( 2
2
0

30. Límite de una función de n
variables
Definición de Límite: Bola abierta en Rn si A es un punto de Rn y r es un número
positivo, entonces la bola abierta B(A;r) es el conjunto de todos los puntos P de
Rn tales que
𝑃 − 𝐴 < 𝑟
Bola cerrada en Rn si A es un punto de Rn y re es un número positivo, entonces
la bola cerrada B(A;r) es el conjunto de todos los puntos P de Rn tales que
𝑃 − 𝐴 ≤ 𝑟
𝑥 − 𝑎 = 𝑥 − 𝑎
𝑥, 𝑦 − (𝑥0, 𝑦0) = 𝑥, 𝑥0
2 + 𝑦 − 𝑦0
2
P-A Distancia entre PY A
𝑃_𝐴 = (𝑥1 − 𝑎1)2+(𝑥2 − 𝑎2)2+ ⋯ + (𝑥𝑛 − 𝑎𝑛)2
Límite. Sea f una función de n variables definida en alguna bola abierta B(A:r),
excepto posiblemente en el punto A. Entonces, el límite de f(P) conforme P
tienda a A es L, lo cual se denota por:
lim
𝑝→𝐴
𝑓 𝑝 = 𝐿

31. Límite de una función de dos
variables
Sea f una función de DOS VARIABLES con dominio D que
contiene, entre otros puntos arbitrariamente cercanos a (a,b).
El límite de f(x,y) cuando (x,y) tiende a (a,b) es L por lo que
se escribe:
𝐥𝐢𝐦
(𝐱,𝐲)→(𝒂,𝒃)
𝐟 𝐱, 𝐲 = 𝐋
Si para cada número:
𝜺 > 𝟎 existe un número
𝜹 > 𝟎 tal que
Si (x,y) 𝟎 < (𝒙 − 𝒂)𝟐+(𝒚 − 𝒃)𝟐< 𝜹
en este caso ∣ 𝒇 𝒙, 𝒚 − 𝑳 ∣< 𝜺

32. Teoremas de Límites
Los teoremas de límites del funciones con una variable se aplican para
funciones con varias variables independientes
A) 𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)
𝒇 𝒙, 𝒚 + 𝒈 𝒙, 𝒚 = 𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)
𝒇 𝒙, 𝒚 + 𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)
𝒈 𝒙, 𝒚
B) 𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)
𝒇(𝒙,𝒚)
𝒈(𝒙,𝒚)
=
𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)
𝒇 𝒙,𝒚
𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)
𝒈 𝒙,𝒚
𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)
𝒈 𝒙, 𝒚 ≠ 𝟎
C) 𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)
𝒇 𝒙, 𝒚 si 𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)
𝒇 𝒙, 𝒚 > 0

33. Existencia de un límite
•Regla de dos trayectorias: Si dos
trayectorias que llevan a un punto
(a,b) producen dos valores límites
diferentes para la función f, el límite
no existe.

34. Ejemplo
• Evaluar los siguientes límites, si existen
𝑐) lim
(𝑥.𝑦)→(0,0)
𝑥4 − 4𝑦2
𝑥2 + 2𝑦2
𝑓 𝑥, 0 =
𝑥4
𝑥2 = 𝑥2
𝑥 ≠ 0 𝑓 𝑥, 0 → 0
𝑓 0, 𝑦 =
−4𝑦2
2𝑦2 = −2
𝑓 𝑥, 𝑦 → −2
El límite no existe

35. 𝐷) lim
(𝑥.𝑦)→(0,0)
𝑥2 + 𝑦2
𝑥2 + 2𝑦2 + 1 − 1
lim
(𝑥.𝑦)→(0,0)
𝑥2
+ 𝑦2
𝑥2 + 𝑦2 + 1 − 1
𝑥2 + 𝑦2 + 1 + 1
𝑥2 + 𝑦2 + 1 + 1
lim
(𝑥.𝑦)→(0,0)
𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 + 𝑦2 + 1 + 1
𝑥2 + 𝑦2
lim
(𝑥.𝑦)→(0,0)
𝑥2 + 𝑦2 + 1 + 1 =2

36. Ejemplo:
Utilizar el último teorema para demostrar que el
límite de f(x,y), cuando este tiende a (0,0) no existe,
si la función está definida por:
Solución: La función f(x,y) está definida para todos
los puntos en R2 excepto en (0,0). Aplicando el
teorema se puede establecer que:
Si (x,y) tiende a (0,0) a lo largo del eje x entonces
la coordenada y siempre será cero y la función
f(x,y) se reduce a
2
2
2
2
y
x
y
x



37. Si f(x,y) tiende a (0,0) a lo largo del ejeY entonces
la coordenada x siempre será cero y la función
f(x,y) se reduce a:
Como se obtienen dos valores diferentes por la
Regla de dos Trayectorias, el límite no existe.

38. Ejercicios
Determine el límite si es que existe:
𝐴) lim
(𝑥.𝑦)→(1,2)
(5𝑥2 − 𝑥2𝑦2)
𝐵) lim
(𝑥.𝑦)→(1,2)
4 − 𝑥𝑦
𝑥2 + 3𝑦2
𝐶) lim
(𝑥.𝑦)→(1,2)
𝑥𝑦
𝑥2 + 𝑦2
𝐷) lim
(𝑥.𝑦,𝑧)→(1,2)
𝑒−𝑥𝑦
𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑧/2)
E) lim
(𝑥.𝑦)→(1,2)
𝑥2𝑦𝑒𝑦
𝑥4 + 4𝑦2

39. Continuidad de una función de
dos variables
Una función de don variables es continua en (a,b) si:
lim
(𝑥,𝑦)→(𝑎,𝑏)
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓(𝑎, 𝑏)
f es continua en D si f es continua en todos los puntos
(a,b) de D
Se dice que f es continua en el punto A sí y sólo si se satisfacen las
tres condiciones siguientes:
1. 𝑓 𝑎 esta definida (a esta en el dominio de f)
2. 𝒍𝒊𝒎
𝐱→𝒂
𝒇 𝒙 existe
3. 𝒍𝒊𝒎
𝐱→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝐟(𝐚)

40. Ejemplo
• Determinar el conjunto de puntos en los que las siguientes
funciones son continuas:
𝑩)𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝟏 + 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
𝟏 − 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐
𝑥, 𝑦 | − 𝑥2 − 𝑦2 ≠ 0 = 𝑥, 𝑦 |𝑥2 + 𝑦2 ≠ 1
A)𝑮 𝒙, 𝒚 = 𝒍𝒏(𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
− 𝟒)
𝑥2
+ 𝑦2
= 4 es continua en 𝑅2
ln 𝑡 es continua cuando 𝑡 > 0
Dominio
𝑥, 𝑦 |𝑥2 + 𝑦2 − 4 > 0 = 𝑥, 𝑦 |𝑥2 + 𝑦2 > 4

41. Ejercicios
𝐴)𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥 − 𝑦
1 + 𝑥2 + 𝑦2
𝐵)𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑆𝑒𝑛(𝑥𝑦)
𝑒𝑥 − 𝑦2
𝐶)𝑓 𝑥, 𝑦 = arctan 𝑥 + 𝑦
𝐷)𝑔 𝑥, 𝑦 = ln(𝑥2
+ 𝑦2
− 4)
𝐸)𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥2𝑦3
2𝑥2 + 𝑦2 𝑠𝑖(𝑥, 𝑦) ≠ 0
1 𝑠𝑖 𝑥, 𝑦 = 0

42. Derivación
Sea f una función de n variables x1,x2,...,xn. Entonces la derivada
parcial de f con respecto a xk es la función denotada por Dkf, tal
que su valor de función en cualquier punto P del dominio de f
está dado por
• Sea f una función de dos variables. Las primeras derivadas
parciales de f con respecto a x y a y son las funciones fx y fy
definidas por:
k
n
n
k
k
x
x
x
x
f
x
x
y
x
x
f
k 






)
,...,
(
)
...,
,...,
,
(
lim 2
1
2
1
0
x
x
x
x
f
x
x
x
f
D
k
n
k ,...,
,
(
)
,...,
,
( 2
1
2
1



h
y
x
f
y
h
x
f
y
x
f
h
x
)
,
(
)
,
(
lim
)
,
(
0




h
y
x
f
h
y
x
f
y
x
f
h
y
)
,
(
)
,
(
lim
)
,
(
0





43. Derivadas de funciones deVarias
variables
SI f es una función de dos variables sus derivadas
parciales son las funciones 𝒇𝒙 𝑦 𝒇𝒚.
𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚)
• Para determinar 𝑓𝑥, conserva a y constante y
deriva 𝑓 𝑥, 𝑦 con respecto a x.
• Para determinar 𝑓𝑦, conserva a x constante y
deriva 𝑓 𝑥, 𝑦 con respecto a y.

44. Notación para derivadas
parciales
Si 𝑧 = 𝑓(𝑥, 𝑦)
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑥
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= 𝑓1 = 𝐷1𝑓
= 𝐷𝑥𝑓
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕
𝜕𝑦
𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= 𝑓2 = 𝐷2𝑓
= 𝐷𝑦𝑓

45. Derivadas parciales
Los teoremas de derivación de una función de una
variable se pueden tomar como base para derivar una
función de n variables.
• Derivación de una suma
• Derivación de un producto
• Derivación de un cociente
• Regla de la cadena, etc

46. Derivadas parciales
La interpretación geométrica de una derivada parcial
de una función de dos variables es semejante a la de una
función de una variable. Si se considera a y constante:
y = yo, la ecuación de la superficie es z=(x,yo) y esta
representa la ecuación de una traza de esta superficie en
el Plano yo.Ya que la curva es la intersección de estas dos
superficies. Ahora fx(x,y) es la pendiente de la recta
tangente a la curva representada por ambas ecuaciones.

47. Por ejemplo, si u = f(x,y) y  = g(x,y), entonces la
Regla del Producto y la Regla del Cociente y la Regla
de la Potencia, se definen como:
2







)
(
)
(
)
(
,
)
( x
u
x
u
u
dx
dx
u
dx
u
u
dx












x
u
u
u
dx 


 1



)
(

48. Ejemplos
𝑨)𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒚𝟓
− 𝟑𝒙𝒚
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 0 − 3𝑦
𝑓𝑦(𝑥, 𝑦) = 5𝑦4
− 3𝑥
𝐁)𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝒙
𝒚
= 𝑥𝑦−1
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑦−1
=
1
𝑦
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = −𝑥𝑦−2
= −
𝑥
𝑦2
Calcular las primeras derivadas parciales

49. Ejemplos
Obtener
Solución: w=xy2exy = (xy2) (exy)
=(xy2) (xexy) + (exy) (2xy)
= xyexy (xy + 2)
•
xy
e
xy
paraw
y
w 2




50. Ejercicios
• Calcule las derivadas parciales de las siguientes funciones:
𝐴) 𝑧 = (2𝑥 + 3𝑦)10
𝐵)𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑥 − 𝑦
𝑥 + 𝑦
𝐶)𝑤 = 𝑠𝑒𝑛 𝑎 cos 𝑏
𝐷)𝑓 𝑟, 𝑠 = 𝑟 𝑙𝑛(𝑟2 + 𝑠2)
𝐸)𝑢 = 𝑡𝑒𝑤/𝑡

51. Ejemplo
Determine la diferencia de la función
𝐴)𝑧 = 𝑥3 ln 𝑦2
𝐵)𝑚 = 𝑝5
𝑞3
𝐶)𝑅 = 𝑎𝐵2 𝐶𝑜𝑠 𝛾
𝐷)𝑇 =
𝑣
1 + 𝑢𝑣𝑤
𝐶)𝑤 = 𝑥𝑦𝑒𝑥𝑧

52. Segundas Derivadas Parciales
(𝑓𝑥) 𝑥
= 𝑓𝑥𝑥 = 𝑓11 =
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑥2
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑥2
(𝑓𝑥) 𝑦
= 𝑓𝑥𝑦 = 𝑓12 =
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕2𝑓
𝜕𝑦𝜕𝑥
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑦𝜕𝑥
(𝑓𝑦)
𝑥
= 𝑓𝑦𝑥 = 𝑓21 =
𝜕
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕2𝑦
𝜕𝑥𝜕𝑦
=
𝜕2𝑧
𝜕𝑥𝜕𝑦
(𝑓𝑦)
𝑦
= 𝑓𝑦𝑦 = 𝑓22 =
𝜕
𝜕𝑦
𝜕𝑓
𝜕𝑦
=
𝜕2
𝑦
𝜕𝑦2
=
𝜕2
𝑧
𝜕𝑦

53. Ejemplo
Determine las segundas derivadas parciales
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝟑
𝒚𝟓
+ 𝟐𝒙𝟒
𝒚
𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 3𝑥2𝑦5 + 8𝑥3𝑦
𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 5𝑥3𝑦4 + 2𝑥4
𝑓𝑥𝑥 𝑥, 𝑦 = 6𝑥𝑦5 + 24𝑥2𝑦
𝑓𝑥𝑦 𝑥, 𝑦 = 15𝑥2𝑦4 + 8𝑥3
𝑓𝑦𝑥 𝑥, 𝑦 = 15𝑥2
𝑦4
+ 8𝑥3
𝑓𝑦𝑦 𝑥, 𝑦 = 20𝑥3
𝑦3

54. Ejemplo
Encuentre la derivada
𝜕3𝑤
𝜕𝑧𝜕𝑦𝜕𝑥
y
𝜕3𝑤
𝜕𝑥2𝜕𝑦
de la función:
𝑤 =
𝑥
𝑦+2𝑧
= 𝑥(𝑦 + 2𝑧)
−1
𝜕𝑤
𝜕𝑥
= (𝑦 + 2𝑧) −1
𝜕𝑤
𝜕𝑦
= 𝑥 −1 𝑦 + 2𝑧
−2
1 = −𝑥 𝑦 + 2𝑧
−2
𝜕2𝑤
𝜕𝑦𝜕𝑥
= − 𝑦 + 2𝑧
−2
1 = − 𝑦 + 2𝑧
−2
𝜕3𝑤
𝜕𝑧𝜕𝑦𝜕𝑥
= −(−29 𝑦 + 2𝑧
−3
2 = 4 𝑦 + 2𝑧
−3
𝜕2𝑤
𝜕𝑥𝜕𝑦
= 𝑦 + 2𝑧
−2 𝜕3𝑤
𝜕𝑥2𝜕𝑦
= 0

55. Ejercicios
Determine las segundas derivadas parciales
𝐴)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥3
𝑦5
+ 2𝑥4
𝑦
𝐵)𝑤 = 𝑢2 + 𝑣2
𝐶)𝑧 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛
𝑥 + 𝑦
1 − 𝑥𝑦
Encuentra las derivada parcial indicada
𝐷)𝑓 𝑥, 𝑦 = 3𝑥𝑦4 + 𝑥3𝑦2 𝑓𝑥𝑥𝑦 𝑓𝑦𝑦𝑦
Y compruebe que 𝑓𝑥𝑦=𝑓𝑦𝑥
𝐸)𝑓 𝑥, 𝑡 = 𝑥2𝑒−𝑐𝑡 𝑓𝑡𝑡𝑡 𝑓𝑡𝑥𝑥

56. Regla de la cadena
Suponga que n es una función diferenciable de n
variables 𝑥1, 𝑥2, … … 𝑥𝑛 y cada 𝑥𝑗 es una función
diferenciable de las m variables 𝑡1, 𝑡2, … 𝑡𝑚.
Entonces 𝑢 es una función de 𝑡1, 𝑡2, … 𝑡𝑚 y
𝜕𝑢
𝜕𝑡𝑖
=
𝜕𝑢
𝜕𝑥1
𝜕𝑥1
𝜕𝑡𝑖
+
𝜕𝑢
𝜕𝑥2
𝜕𝑥2
𝜕𝑡𝑖
+ ⋯ +
𝜕𝑢
𝜕𝑥𝑛
𝜕𝑥𝑛
𝜕𝑡𝑖
Para cada i=1,2,….,m

57. Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 en una función de x y y diferenciable,
donde 𝑥 = 𝑔 𝑡 y 𝑦 = ℎ(𝑡) son funciones de t
diferenciables. Entonces z es una función de t
diferenciable y
𝒅𝒛
𝒅𝒕
=
𝝏𝒇
𝝏𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝝏𝒇
𝝏𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝒅𝒛
𝒅𝒕
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒕

58. Ejemplo
Aplicar la regla de la cadena para hallar
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝐳 = 𝟏 + 𝐱𝟐 + 𝐲𝟐 𝐱 = 𝐥𝐧 𝐭 𝐲 = 𝐜𝐨𝐬(𝐭)
𝑑𝑧
𝑑𝑡
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑑𝑥
𝑑𝑡
+
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑑𝑦
𝑑𝑡
=
1
2
(1 + 𝑥2 + 𝑦2)−
1
2 2𝑥
1
𝑡
+
1
2
(1 + 𝑥2 + 𝑦2)−
1
2 2𝑦 −𝑆𝑖𝑛 𝑡
=
1
1 + 𝑥2 + 𝑦2
𝑥
𝑡
− 𝑦𝑠𝑖𝑛 𝑡

59. Si 𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 en una función diferenciable de x
y y donde 𝑥 = 𝑔 𝑠, 𝑡 y 𝑦 = ℎ(𝑠, 𝑡) son
funciones diferenciables de s y t, entonces
𝝏𝒛
𝝏𝒔
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
𝝏𝒙
𝝏𝒔
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
𝝏𝒚
𝝏𝒔
𝝏𝒛
𝝏𝒕
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
𝝏𝒙
𝝏𝒕
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
𝝏𝒚
𝝏𝒕

60. Ejemplo
Calcular
𝜕𝑧
𝜕𝑠
y
𝜕𝑧
𝜕𝑡
𝑧 = 𝑥2𝑦3 𝑥 = 5 cos 𝑡 𝑦 = 5 sin 𝑡
𝜕𝑧
𝜕𝑠
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑠
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑠
= 2𝑥𝑦3𝑐𝑜𝑠𝑡 + 3𝑥2𝑦2 sin 𝑡
𝜕𝑧
𝜕𝑡
=
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝜕𝑥
𝜕𝑡
+
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝜕𝑦
𝜕𝑡
= 2𝑥𝑦3 −𝑠𝑆𝑖𝑛 𝑡 + 3𝑥2𝑦2 𝑠𝐶𝑜𝑠 𝑡
= −2𝑠𝑥𝑦3
sin 𝑡 + 3𝑠𝑥2
𝑦2
𝐶𝑜𝑠(𝑡)

61. Ejercicios
• Aplicar la regla de la cadena para hallar
𝑑𝑧
𝑑𝑡
𝑦
𝑑𝑤
𝑑𝑡
𝐴) 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑥𝑦 𝑥 = 𝑆𝑒𝑛 𝑡 𝑦 = 𝑒𝑡
𝐵)𝑧 = 1 + 𝑥2 + 𝑦2 𝑥 = ln 𝑡 𝑦 = 𝐶𝑜𝑠(𝑡)
• Mediante la regla de la cadena encontrar
𝜕𝑧
𝜕𝑠
𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑡
𝐶)𝑧 = 𝑥2𝑦3 𝑥 = 𝑠 𝐶𝑜𝑠 𝑡 𝑦 = 𝑠 𝑆𝑒𝑛 (𝑡)
𝐷) 𝑧 = 𝑆𝑒𝑛 𝜃 𝐶𝑜𝑠 ∅ 𝜃 = 𝑠𝑡2 ∅ = 𝑠2𝑡
𝐸)𝑧 = 𝑒𝑟 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑟 = 𝑠𝑡 𝜃 = 𝑠2 + 𝑡2

62. Derivación implícita
Una ecuación de la forma F(x,y)=0 define a y de forma implícita
como una función diferenciable de x.
𝒅𝒙
𝒅𝒙
= 𝟏 de este modo si
𝝏𝑭
𝝏𝒚
≠ 𝟎 se determina
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝜕𝐹
𝜕𝑥
= −
𝐹𝑥
𝐹𝑦
𝝏𝑭
𝝏𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒙
+
𝝏𝑭
𝝏𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 0
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= −
𝜕𝐹
𝜕𝑥
𝜕𝐹
𝜕𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= −
𝜕𝐹
𝜕𝑦
𝜕𝐹
𝜕𝑧

63. Ejemplo
• Calcular
𝒅𝒚
𝒅𝒙
de 𝒚𝑪𝒐𝒙 𝒙 = 𝒙𝟐
+ 𝒚𝟐
𝐹 𝑥, 𝑦 = 𝑦𝐶𝑜𝑠 𝑥 − 𝑥2 − 𝑦2 = 0
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= −
𝐹𝑥
𝐹𝑦
= −
−𝑦𝑆𝑖𝑛 𝑥 − 2𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥 − 2𝑦
=
2𝑥 + 𝑦𝑆𝑖𝑛(𝑥)
𝐶𝑜𝑠 𝑥 − 2𝑦
• Calcular
𝝏𝒛
𝝏𝒙
y
𝝏𝒛
𝝏𝒚
de 𝒙𝟐 + 𝟐𝒚𝟐 + 𝟑𝒛𝟐 − 𝟏 = 𝟎
𝜕𝑧
𝜕𝑥
= −
𝐹𝑥
𝐹𝑧
= −
2𝑥
6𝑧
=
𝑥
3𝑧
𝜕𝑧
𝜕𝑦
= −
𝐹𝑦
𝐹𝑧
= −
4𝑦
6𝑧
= −
2𝑦
3𝑧

64. Ejercicios
• Mediante derivación implícita determine
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
𝐴)𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 = 3𝑥𝑦𝑧
𝐵)𝑧 − 𝑥 = arctan 𝑦𝑧
𝐶)𝑦𝑧 = ln 𝑥 + 𝑧
𝐷)𝑠𝑒𝑛 𝑥𝑦𝑧 = 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧
𝐸)𝑒𝑧
= 𝑥𝑦𝑧

65. Diferencial Total de una función
de n variables
Si f es una función de las n variables
x1,x2,x3,...,xn y f es diferenciable en P,
entonces la diferencia total de f es la
función 𝑑𝑓 que tiene valores de función
determinados por:
𝑑𝑓 =
𝜕𝑦
𝜕𝑥1
𝑑𝑥1 +
𝜕𝑓
𝜕𝑥2
𝑑𝑥2 + ⋯ +
𝜕𝑓
𝜕𝑥𝑛
𝑑𝑥𝑛

66. Ejercicio
Determinar la diferencial de la función
𝑧 = 𝑒−2𝑥
𝐶𝑜𝑠2𝜋t
𝑑𝑧 =
𝜕𝑧
𝜕𝑥
𝑑𝑥 +
𝜕𝑧
𝜕𝑡
𝑑𝑡
= 𝑒−2𝑥 −2 𝐶𝑜𝑠2𝜋𝑡 𝑑𝑥 + 𝑒−2𝑥 −𝑆𝑖𝑛2𝜋𝑡 2𝜋 𝑑𝑡
= −2𝑒−2𝑥
Cos2π𝑡𝑑𝑥 − 2𝜋𝑒−2𝑥
𝑆𝑖𝑛2𝜋𝑡 𝑑𝑡

67. Ejercicio
Sea
Encuentre dw y úsela para calcular aproximadamente el
cambio en w cuando (x,y) varia de (2,2) a (2.01, 1.98).
Solución:
= (8x – 5y) dx + (-5x+2y)dy
Sustituyendo x = 2, y = 2, dx = x = 0.01,
dy = y = - 0.02
.
2
2
5
4 y
xy
x 



dy
y
dx
dx
d









68. Ejercicio
Continua Solución:
Gráficamente
representa un cambio o incremento en el contradominio de la función
)
.
)(
(
)
.
)(
( 02
0
4
10
01
0
10
16 






d
)
.
)(
(
)
.
)(
( 02
0
6
01
0
6 




d
06
0.


d

d


69. Derivada Direccional
Permite calcular la razón de cambio de una función de dos
o mas variables en cualquier dirección.
Si f es una función diferenciable de x y de y, entonces f
tiene una derivada direccional en la dirección de cualquier
vector unitario 𝑢 =< 𝑎, 𝑏 >, o bien
Definiendo a la derivada direccional como:
𝑫𝒖𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 𝒂 + 𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 𝒃
U=cosi+senj

70. Ejemplo
• Calcular la derivada direccional de la función en el punto dado en la
dirección del vector.
𝑨)𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒆𝒙𝑺𝒊𝒏 𝒚 𝟎,
𝝅
𝟑
𝒗 = −𝟔, 𝟖
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥𝑆𝑖𝑛 𝑦 , 𝑒𝑥𝐶𝑜𝑠 𝑦
𝛻𝑓 0,
𝜋
3
=
3
2
,
1
2
𝑢 =
1
(−6)2+(8)2
−6,8 =
1
10
−6,8 = −
3
5
,
4
5
𝐷𝑢𝑓 0,
𝜋
3
= 𝛻𝑓 0,
𝜋
3
𝑢 =
3
2
,
1
2
−
3
5
,
4
5
=
4 − 3 3
10

71. 𝑩)𝐠 𝐩, 𝐪 = 𝒑𝟒
− 𝒑𝟐
𝒒𝟑
𝟐, 𝟏 𝒗 = 𝒊 + 𝟑𝒋
𝛻𝑔 𝑝, 𝑞 = 4𝑝3
− 2𝑝𝑞3
+ −3𝑝2
𝑞2
𝑗
𝛻𝑔 2,1 = 28𝑖 − 12𝑗
𝑢 =
1
1 2 + 3 2
𝑖 + 3𝑗 =
1
10
𝑖 + 3𝑗
𝐷𝑢𝑔 2,1 = 𝛻𝑔 2,1 𝑢 = 28𝑖 − 12𝑗
1
10
𝑖 + 3𝑗
=
1
10
28 − 36 = −
8
10

72. Ejercicios
• Calcule la derivada direccional de la función en el punto dado
en la dirección del vector v
𝐴)𝑓 𝑥, 𝑦 = 1 + 2𝑥 𝑦 3,4 𝑣 = 4, −3
𝐵)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑙𝑛 𝑥2
+ 𝑦2
2,1 𝑣 = −1,2
𝐶)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑝4
− 𝑝2
𝑞3
2,1 𝑣 = 𝑖 + 3𝑗
𝐷)𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥2 + 𝑦2 −1,1 𝑣 = 3𝑖 − 4𝑗
𝐸)𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 2𝑦2 − 3𝑧2 1,1,1 𝑣 = 𝑖 + 𝑗 + 𝑘

73. Vector Gradiente
Producto punto de dos vectores
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 𝑎 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑏
= 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑏 ∗ 𝑎, 𝑏
= 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 + 𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 𝑏 ∗ u
Si f es una función de dos variables x y y entonces la gradiente
de f es la función vectorial 𝛻𝑓 definida por
𝛁𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 + 𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 𝒃 =
𝝏𝒇
𝝏𝒙
𝒊 +
𝝏𝒇
𝝏𝒚
𝒋
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝛁𝒇 𝒙, 𝒚 𝒖

74. Vector Gradiente para tres variables
𝛁𝒇 = 𝒇𝒙, 𝒇𝒚, 𝒇𝒛 =
𝝏𝒇
𝝏𝒙
𝒊 +
𝝏𝒇
𝝏𝒚
𝒋 +
𝝏𝒇
𝝏𝒛
𝒌
La derivada direccional para tres variables
se expresa:
𝐷𝑢𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝛁𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 ∗ 𝒖

75. Maximización de la derivada
direccional
Suponga que f es una función diferenciable
de dos o tres variables.
El valor máximo de la derivada direccional
𝑫𝒖𝒇(𝒙) es |𝜵𝒇(𝒙)| y se representa cuando
u tiene la misma dirección que el vector
gradiente 𝜵𝒇 𝒙 .

76. Ejemplo
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 2𝑥 + 3𝑦 𝑃 −6,4 𝑢 =
1
2
( 3𝑖 − 𝑗)
A)Determine el gradiente de f
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝑖 +
𝜕𝑓
𝜕𝑦
𝑗 = Cos 2𝑥 + 3𝑦 ∗ 2 𝑖 + = Cos 2𝑥 + 3𝑦 ∗ 3 𝑗
= 2 Cos 2𝑥 + 3𝑦 𝑖 +3Cos 2𝑥 + 3𝑦 𝑗
B)Evalué el gradiente en el punto P
𝛻𝑓 −6,4 = 2𝐶𝑜𝑠 0 𝑖 + 3𝐶𝑜𝑠 0 𝑗 = 2𝑖 + 3𝑗
C) Encuentre la razón de cambio de f en P en la dirección del vector P.
𝐷𝑢𝑓 −6,4 = 𝛻𝑓 −6,4 𝑢 = 2𝑖 + 3𝑗 ∗
1
2
3𝑖 − 𝑗
=
1
2
2 3 − 3 = 3 −
3
2

77. Ejemplo
• Determina la máxima razón de cambio de la función f en el
punto dado y la dirección en la cual se presenta.
𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑦 𝑥 4,1
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦 = 4𝑦
1
2
𝑥−
1
2 , 4 𝑥 =
2𝑦
𝑥
, 4 𝑥
Dirección de la máxima razón de cambio:
𝛻𝑓 4,1 = 1,8
La máxima razón de cambio:
𝛻𝑓(4,1) = 1 + 64 = 65

78. Ejercicios
A) Determine el gradiente de f. B) Evalué el gradiente en el punto P. C)
Encuentre la razón de cambio de f en P en la dirección del vector P.
𝐴)𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑦2
𝑥
𝑃 1,2 𝑢 =
1
3
2𝑖 + 5𝑗
𝐵)𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑒2𝑦𝑧
𝑃 3,0,2 𝑢 =
2
3
, −
2
3
,
1
3
𝐶)𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦𝑧 𝑃 1,3,1 𝑢 =
2
7
,
3
7
,
6
7
𝐷)𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2
𝑦𝑧 − 𝑥𝑦𝑧3
𝑃 2, −1,1 𝑢 = 0,
4
5
,
3
5
𝐸)𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦2
𝑒𝑥𝑦𝑧
𝑃 0,1, −1 𝑢 =
3
13
,
4
13
,
12
13

79. Ejercicios
• Determine la máxima razón de cambio de función dada en el
punto señalado y la dirección en la cual se presenta.
𝐴)𝑓 𝑥, 𝑦 =
𝑦2
𝑥
2,4
𝐵)𝑓 𝑝, 𝑞 = 𝑞𝑒−𝑝
+ 𝑝𝑒−𝑞
0,0
𝐶)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥𝑦 1,0
𝐷)𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 =
(𝑥 + 𝑦)
𝑧
1,1, −1
𝐸)𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = tan 𝑥 + 2𝑦 + 3𝑧 (−5,1,1)

80. Plano tangente y vector normal a
una superficie
Vector normal
• Un vector ortogonal a un vector tangente de toda curva
C que pase por un punto Po de una superficie S, se
denomina vector normal a S en el punto Po.
• Si una ecuación de una superficie S es F(x,y,z) = 0 y si F
es diferenciable y Fx, Fy y Fz no son todas cero en el
punto Po(xo,yo,zo) es un vector normal a S en Po.
Plano tangente
• Si una ecuación de una superficie S es F(x,y,z) = 0 y F
satisface la hipótesis anterior entonces el plano tangente
de S en el punto Po(xo,yo,zo) es el plano que pasa por Po y
tiene f (xo,yo,zo) como un vector normal.

81. Plano tangente y vector normal a
una superficie
Una ecuación del plano tangente de la ecuación
anterior es
Fx(xo,yo,zo) (x-xo) + Fy(xo,yo,zo) (y-yo) + Fz(xo,yo,zo) (z.zo) = 0
o bien,
f (xo,yo,zo)  (x-xo) i + (y-yo)j + (z-zo)k  = 0
La ecuación anterior puede reescribirse como:
 - o = fx (xo,yo)(x-xo) + fy(xo,yo)(y-yo)
considerando que  = f(x,y) en el punto (xo,yo,zo)
de una superficie S es F(x,y,z) = 0

82. PlanoTangente y vector normal
a una superficie
Es decir, si una ecuación de una superficie S es
F(x,y,z) = 0 y F satisface la hipótesis anterior entonces
el plano tangente de S en el punto Po(xo,yo,zo) es el
plano que pasa por Po y tiene f (xo,yo,zo) como un
vector normal.
𝐹𝑥 𝑥0, 𝑦0,𝑧0 𝑥 − 𝑥0 + 𝐹𝑦 𝑥0, 𝑦0,𝑧0 𝑦 − 𝑦0 + 𝐹𝑧 𝑥0, 𝑦0,𝑧0 𝑧 − 𝑧0 = 0

83. Vector normal
Además, un vector ortogonal a un vector tangente de toda
curva C que pase por un punto Po de una superficie S se
denomina vector normal a S en Po.
Si una ecuación de una superficie S es F(x,y,z) = 0 y si F es
diferenciable y Fx, Fy y Fz no son todas cero en el punto
Po(xo,yo,zo) es un vector normal a S en Po.
Ecuaciones Simétricas
(𝑥 − 𝑥0)
𝐹𝑥 𝑥0, 𝑦0,𝑧0
=
(𝑦 − 𝑦0)
𝐹𝑦 𝑥0, 𝑦0,𝑧0
=
(𝑧 − 𝑧0)
𝐹𝑧 𝑥0, 𝑦0,𝑧0

84. Ejemplo
𝒙𝒚𝒛𝟐
= 𝟔 (𝟑, 𝟐, 𝟏)
A) Determinar la ecuación del plano tangente
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦𝑧2
, 𝑥𝑧2
, 2𝑥𝑦𝑧
Es un vector normal para el plano de la tangente a (3,2,1)
𝛻𝑓 3,2,1 = 2,3,12
La ecuación del plano tangente es:
2 𝑥 − 3 + 3 𝑦 − 2 + 12 𝑧 − 1 = 0
2𝑥 + 3𝑦 + 12𝑧 = 24
B) Determinar la ecuación de la recta normal de la superficie en el punto
dado
La normal 2,3,12 cuyas ecuaciones paramétricas son:
𝑥 = 3 + 2𝑡 𝑦 = 2 + 3𝑡 𝑧 = 1 + 12𝑡
Ecuación Simétrica
𝑥 − 3
2
=
𝑦 − 2
3
=
𝑧 − 1
12

85. Ejercicios
A) Determine la ecuación del plano tangente. B) Determine la
ecuación de la recta normal de la superficie en el punto dado
𝐴)2(𝑥 − 2)2+(𝑦 − 1)2+(𝑧 − 3)2= 10 3,3,5
𝐵)𝑦 = 𝑥2
− 𝑧2
(4,7,3)
𝐶)𝑦𝑧 = ln 𝑥 + 𝑧 (0,0,1)
𝐷)𝑥2 − 2𝑦2 + 𝑧2 + 𝑦𝑧 = 2 2,1, −1
𝐸)𝑥 − 𝑧 = 4 arctan 𝑦𝑧 (1 + 𝜋, 1,1)

86. Valores Extremos:Máximos y
Mínimos
Una función de dos variables tiene un máximo relativo en 𝑎, 𝑏
• Si 𝒇(𝒙, 𝒚) ≤ 𝒇 𝒂, 𝒃 cuando (𝒙, 𝒚) esta cerca de 𝒂, 𝒃
El numero 𝒇 𝒂, 𝒃 recibe el nombre de valor máximo relativo
• Si 𝑓(𝑥, 𝑦) ≥ 𝑓 𝑎, 𝑏 cuando (𝑥, 𝑦) esta cerca de 𝑎, 𝑏 , entonces
𝑓 𝑎, 𝑏 es un mínimo relativo en 𝑎, 𝑏
El número de 𝒇 𝒂, 𝒃 es un valor mínimo relativo.
Si las desigualdades de la definición 1se
cumplen para todos los puntos (𝒙, 𝒚)
en el dominio de f, entonces f tiene
un máximo absoluto o un mínimo
absoluto en 𝐚, 𝐛 .

87. Prueba de la segunda derivada
𝐷 = 𝐷 𝑎, 𝑏 = 𝑓𝑥𝑥 𝑎, 𝑏 𝑓𝑦𝑦 𝑎, 𝑏 − [𝑓𝑥𝑦(𝑎, 𝑏)] 2
a) Si 𝐷 > 0 𝑦 𝑓𝑥𝑥 𝑎, 𝑏 > 0, entonces 𝑓(𝑎, 𝑏) es un mínimo relativo
b) Si 𝐷 > 0 𝑦 𝑓𝑥𝑥 𝑎, 𝑏 < 0, entonces 𝑓(𝑎, 𝑏) es un máximo
relativo
c) Si 𝐷 < 0, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑓 𝑎, 𝑏 [(a,b) se llama PUNTO SILLA] no
es ni un máximo relativo ni un mínimo relativo.
d) Si 𝐷 = 0 la prueba no proporciona información: f podría tener
un máximo relativo o un mínimo relativo en (a,b) o bien (a,b)
podría ser un punto silla de f
𝐷 =
𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑥𝑦
𝑓𝑦𝑥 𝑓𝑦𝑦
= 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦)2

88. Ejemplo
Calcular los máximos y mínimos locales y el punto o puntos
de silla de la función.
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒚𝟑 + 𝟑𝒙𝟐𝒚 − 𝟔𝒙𝟐 − 𝟔𝒚𝟐 + 𝟐
𝑓𝑥 = 6𝑥𝑦 − 12𝑥
𝑓𝑦 = 3𝑦2
+ 3𝑥2
− 12𝑦
𝑓𝑥𝑥 = 6𝑦 − 12
𝑓𝑥𝑦 = 6𝑥
𝑓𝑦𝑦 = 6𝑦 − 12
Si 𝑓𝑥 = 0
6𝑥𝑦 − 12𝑥 = 0
1
6
𝑥 𝑦 − 2 = 0 𝑦 = 2 𝑥 = 0

89. Si 𝑓𝑦 = 0
(3𝑦2
+ 3𝑥2
− 12𝑦 = 0)
1
3
𝑥2 + 𝑦 𝑦 − 4 = 0
OBTENER PUNTOS CRÍTICOS
Si X=0
(0)2
+𝑦 𝑦 − 4 = 0 → 𝑦 𝑦 − 4 = 0
𝑦 = 4 y = 0
𝑆𝑒𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑛 0,0 𝑦 (0,4)
SIY=2
𝑥2 + 2 2 − 4 = 0 → 𝑥2 = 4
𝑥 = ±2
𝑆𝑒𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 𝑢𝑛 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑟í𝑡𝑖𝑐𝑜 𝑒𝑛 (±2,2)

90. 𝐷 0,0 = 144 > 0
𝑓𝑥𝑥 0,0 = −12 < 0
𝑓 0,0 = 2
Máximo local
𝐷 0,4 = 144 > 0
𝑓𝑥𝑥 0,4 = 12 > 0
𝑓 0,4 = −30
Mínimo Local
𝐷 ±2,2 = 0 0 − ±12 2 = −144
< 0
Puntos Silla

91. Ejercicios
Calcule los máximos y mínimos relativos y el punto o puntos de
silla de la función.
𝐴)𝑓 𝑥, 𝑦 = 9 − 2𝑥 + 4𝑦 − 𝑥2 − 4𝑦2
𝐵)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒4𝑦−𝑥2𝑦2
𝐶)𝑓𝑥, 𝑦) = 2𝑥3
+ 𝑥𝑦2
+ 5𝑥2
+ 𝑦2
𝐷)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑒𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑦
𝐸) = 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑦2
− 2𝑦𝐶𝑜𝑠 𝑥 1 ≤ 𝑥 ≤ 7

92. Valores máximos y mínimos
absolutos
Para calcular los valores absolutos máximos y mínimos de
una función continua f en un conjunto cerrado y acotado D:
I Se calculan los valores de f en los puntos críticos de
f en D.
II Se determinan los valores extremos de f en el limite
de D
El más grande de los valores de los pasos 1 y II es el valor
máximo absoluto; el más pequeño de estos valores es el
valor mínimo absoluto.

93. Ejemplo
Determinar el valor máximo y mínimo absoluto de f en el conjunto D
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
+ 𝑦2
− 2𝑥, D es la región triangular 2,0 0,2 𝑦 0, −2
𝑓𝑥 = 2𝑥 − 2
𝑓𝑦 = 2𝑦
Punto crítico 1,0
𝑓 1,0 = −1
Para 𝑓𝑦
2𝑦 = 0
𝑦 = 0
Para 𝑓𝑥
2𝑥 − 2 = 0
𝑥 = 1

94. • En L1 x=0
𝑓 0, 𝑦 = 𝑦2 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 2 ≤ 𝑦 ≤ 2
Tiene un mínimo en y=0
DONDE 𝑓 0,0 = 0 y este es un máximo en 𝑦 ± 2. Donde 𝑓 0, ±2 = 4
• En L2 𝒚 = 𝒙 − 𝟐
Para 0 ≤ 𝑥 ≤ 2 y 𝑓 𝑥, 𝑥 − 2 = 2𝑥2 − 6𝑥 + 4 = 2 𝑥 −
3
2
2
−
1
2
que tiene
su mínimo en 𝑥 =
3
2
DONDE 𝑓
3
2
,
1
2
=
1
2
donde 𝑓 0, −2 = 4
• En L3 x=0
𝑦 = 2 − 𝑥 0 ≤ 𝑥 ≤ 2
𝑓 𝑥, 2 − 𝑥 = 2𝑥2 − 6𝑥 + 4 = 2(𝑥 −
3
2
)
2
−
1
2
Alcanza un mínimo en 𝑥 =
3
2
Donde 𝑓
3
2
,
1
2
= −
1
2
y este es un máximo en 𝑥 = 0 Donde 𝑓 0,2 = 4
El máximo absoluto de f en D es 𝒇 𝟎, ±𝟐 = 𝟒 y el mínimo absoluto
es 𝒇 𝟏, 𝟎 = −𝟏

95. Ejercicios
Determine el valor máximo y mínimo absoluto de f en el conjunto D
𝐴)𝑓 𝑥, 𝑦 = 1 + 4𝑥 − 5𝑦 , D es la región triangular cerrada con
vértices 0,0 2,0 𝑦 (0,3)
𝐵)𝑓 𝑥, 𝑦 = 3 + 𝑥𝑦 − 𝑥 − 2𝑦 , D es la región triangular cerrada
1,0 5,0 𝑦 (0,3)
𝐶)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑥2
𝑦 + 4
𝐷 = 𝑥, 𝑦 𝑥 ≤ 1, 𝑦 ≤ 1
𝐷)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥4
+ 𝑦4
− 4𝑥𝑦 + 2
𝐷 = 𝑥, 𝑦 |0 ≤ 𝑥 ≤ 3, 0 ≤ 𝑦 ≤ 2
𝐸)𝑓 𝑥, 𝑦 = 2𝑥3
+ 𝑦4
𝐷 = 𝑥, 𝑦 |𝑥2 + 𝑦2 ≤ 1

96. Método de los Multiplicadores
de Lagrange
Para determinar los valores máximos y mínimos de f(x,y,z)
sujeta a la restricción g(x,y,z)=k
[Suponiendo que estos valores existan y que 𝜵𝒈 ≠ 𝟎 se
encuentra la superficie g(x,y,z)=k]
1- Determine todos los valores de x, y, z y 𝝀 tal que:
𝛻𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = λ𝛻𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧
𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘
II- Evalué f en todos los puntos (x,y,z) que resulten del paso (I).
El más grande de estos valores es el valor máximo de f; el más
pequeño es el valor mínimo de f.

97. Ejemplo
Encontrar los valores de f sujetos a ambas restricciones.
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 2𝑦 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 𝑦2
+ 𝑧2
= 4
𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 2𝑦
𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
ℎ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑦2
+ 𝑧2
= 4
𝛻𝑓 = 1,2,0 λ𝛻𝑔 = λ, λ, λ μ𝛻ℎ = 0.2μ𝑦, 2μ𝑧
Entonces
1 = λ → 2 = λ + 2μ𝑦 → 0 = λ + 2μ𝑧 → μ𝑦 =
1
2
= −μ𝑦
𝑦 =
1
2μ
→ z = −
1
2μ
𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1
𝑥 = 1 → 𝑦2
+ 𝑧2
= 4 → μ = ±
1
2 2
Los posibles puntos son:
1 ± 2, ± 2
El valor máximo es
𝑓 1, 2, − 2 = 1 + 2 2
El valor mínimo es
𝑓 1, − 2, 2 = 1 − 2 2

98. Dos restricciones
Si desea calcular los valores máximos y mínimos de una
función 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 sujeta a dos restricciones (condiciones
colaterales) de la forma 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 y ℎ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘.
Esto quiere decir que esta buscando los valores
extremos de la función f cuando 𝑥, 𝑦, 𝑧 esta restringida
a quedar en la curva de intersección C de las superficies
de nivel 𝑔 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘 y ℎ 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑘.
𝛻𝑓 𝑥𝑜, 𝑦𝑜, 𝑧𝑜 = λ𝛻𝑔 𝑥𝑜, 𝑦𝑜, 𝑧𝑜 + μ𝛻ℎ 𝑥𝑜, 𝑦𝑜, 𝑧𝑜

99. Ejemplo
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
+ 𝑦2
𝑥𝑦 = 1
𝛻𝑓 = λ𝛻𝑔
2𝑥, 2𝑦 = λ𝑦, λ𝑥
2𝑥 = λ𝑦 → 2𝑦 = λ𝑥 → 𝑥𝑦 = 1
𝑥 ≠ 0 𝑦 𝑦 ≠ 0
2𝑥 = λ𝑦 λ =
2𝑥
𝑦
Sustituyendo
2𝑥 =
2𝑥
𝑦
𝑥 → 𝑦2
= 𝑥2
→ 𝑦 ∓ 𝑥
Como 𝑥𝑦 = 1 → 𝑥 = 𝑦 = ∓1
Los posibles puntos de los valores extremos de f son 1,1 𝑦 −1, −1
𝑥𝑦 = 1
𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
+ 𝑦2
puede ser arbitrariamente grande.
Valor mínimo es 𝑓 1,1 = 𝑓 −1, −1 = 2

100. Ejercicios
• Mediante multiplicadores de Lagrange encuentre los valores
máximos y mínimos de la función sujetas a las restricciones
dadas.
𝐴)𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥2
𝑦 𝑥𝑦 = 1
𝐵)𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 2𝑥 + 6𝑦 + 10𝑧 𝑥2
+ 𝑦2
+ 𝑧2
= 35
𝐶)𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥𝑦𝑧 𝑥2
+ 2𝑦2
+ 3𝑧2
= 6
𝐷)𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 𝑥4 + 𝑦4 + 𝑧4 = 1
𝐸)𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 = 𝑥 + 2𝑦 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 𝑦2
+ 𝑧2
= 4

101. Bibliografía
• James Stewart, L. Calculo Trascendentes tempranas, Ed.
Cengage Learning. 2008
• Thomas, L. CalculoVariasVariables, Ed. PEARSON, 2005.
• Swokowsky, Earl W. Calculo con Geometría Analítica, Ed.
Iberoamericana, 2008.
• Leithold, L., El Cálculo, Ed. Oxford University Press, 2012.
• Zill D. G. Calculo de varias variables, Ed. McGraw-Hill, 2011
• Smith, R.T. Cálculo Tomo 2; McGraw-Hill; Colombia; 2001
• Dominio y rango de una función: Disponible en:
http://jvcontrerasj.com/documents/DOMINIOYRANGODEUN
AFUNCION.pdf [En línea] 31/Agosto/2015
• http://www.geogebra.org/ [En línea] 31/Agosto/2015
• MacKichan Software, 2009, Scientific WorkPlace, v 5.5, [software
de computadora]