Matematica 3 Derivada direccional concepto y ejemplos

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del poder popular para la Educación
Instituto Universitario Politécnico “Santiago Mariño”
Derivada Direccional
Alumno: Jesús Obeyeiro Sánchez Dávila
C.I.:27.094.327
Profesor: Cristóbal Espinoza

2. Índice
• Introducción……………………………………………………3
• Derivada direccional………………………………………..4
• Definición solo en la dirección de un vector…….6
• Demostración………………………………………………….7
• Propiedades…………………………………………………….9
• Campos vectoriales……………………………………….10
• Funcionales y diagrama de curvas…………………11
• Ejemplo…………………………………………………………12
• Conclusión…………………………………………………….13
• Bibliografía…………………………………………………….14

3. Introducción
Cuando se define la derivada en una dimensión su interpretación geométrica es
sencilla: la derivada de una función en un punto es igual a la pendiente de la
tangente a la gráfica de la función en dicho punto.
Sin embargo, no es posible intentar extender esa interpretación a campos
dependientes de dos o tres coordenadas. Consideremos por ejemplo una función
h(x,y) que representa la altura de los puntos de una montaña. Si nos situamos en
un punto de la ladera, ¿qué significa la "pendiente" de la montaña? Hay no una,
sino infinitas pendientes, dependiendo de si miramos hacia la cima, o hacia los
puntos situados a la misma altura que en el que estamos, o en cualquier dirección
intermedia.
La cosa es aun más complicada para campos escalares, dependientes de las tres
coordenadas, ya que en ese caso ni siquiera podemos imaginar qué significa una
pendiente.
Por ello, la extensión del concepto de derivada a campos escalares debe hacerse
de una forma específica. Podemos definir una derivada a lo largo de una dirección
determinada, pero nada más.

4. Derivada Direccional
En análisis matemático, la derivada direccional (o
bien derivada según una dirección) de una función
multivariable, en la dirección de un vector dado,
representa la tasa de cambio de la función en la dirección
de dicho vector. Este concepto generaliza las derivadas
parciales, puesto que estas son derivadas direccionales
según la dirección de los respectivos ejes coordenados.

5. La derivada direccional de una función real de n variables:
F(x)= f(x₁,x₂,…,x ̯) En la derivación del vector v=(v₁,v₂,…,v ̯) Es la
función definida por el limite
Si la función es diferenciable, puede ser escrita en término de
su gradiente h → Donde “." denota
el producto escalar o producto punto entre vectores. En
cualquier punto x, la derivada direccional de f representa
intuitivamente la tasa de cambio de f con respecto al tiempo
cuando se está moviendo a una velocidad y dirección dada por
en dicho punto.

6. Definición solo en la dirección de un vector
Algunos autores definen la derivada direccional con respecto al
después de la normalización, ignorando así su magnitud. En este caso:
Si la función es diferente, entonces:
Esta definición tiene algunas desventajas: su aplicabilidad está limitada a un
vector de norma definida y no nula. Además es incompatible con la notación
empleada en otras ramas de la matemática, física e ingeniería por lo que debe
utilizarse cuando lo que se quiere es la tasa de incremento de f por unidad de
distancia.int a,b,c; a+b=c
Restricción al vector unitario: Algunos autores restringen la definición de la
derivada direccional con respecto a un vector unitario. Con esta restricción, las
dos definiciones anteriores se convierten en una misma.

7. Demostración
El caso más sencillo de la derivada direccional se da en el espacio
tridimensional. Supóngase que existe una función diferenciable z = ƒ(x,y). La
derivada direccional según la dirección de un vector unitario
es:
El primero de estos límites puede calcularse mediante el cambio
lo cual lleva, por ser diferenciable la función f, a:

8. Procediendo análogamente para el otro límite se tiene que:
Resultado que trivialmente coincide con el producto escalar del gradiente por el vector
Notaciones alternas: La derivada direccional puede ser denotada mediante los símbolos:
Donde V es la parametrización de una curva para la cual V es tangente y la cual determina su magnitud

9. Propiedades
Muchas de las propiedades conocidas de las derivadas se mantienen en las
derivadas direccionales. Estas incluyen, para cualquier pareja de funciones ƒ y g
definidas en la vecindad de un punto p, donde son diferenciables:
Regla de la suma:
Regla del factor constante: donde c es cualquier
constante.
Regla del producto (o regla de Leibniz):
Regla de la cadena: Si g es diferenciable en el punto p y h es diferenciable en
g(p), entonces:

10. Campos vectoriales
El concepto de derivada direccional no se puede generalizar a funciones de
en , del tipo:
En este caso la derivada direccional de modo idéntico a como se hacía con
funciones de una variable:
Una diferencia con el caso de funciones de reales de una variable es que la existencia
de derivadas direccionales según todas las direcciones no implica necesariamente
que una función sea diferenciable. Si la función es diferenciable resulta que la
aplicación:
Es lineal y se cumple además es expresable en términos del jacobiano:

11. Funcionales
La derivada funcional, definida como derivada de Gâteaux, es de hecho una
derivada direccional definida en general sobre un espacio vectorial de
funciones.
Un diagrama de curvas de nivel de la ecuación
mostrando el vector gradiente en negro, y el vector unitario escalado
por la derivada direccional en la dirección de en anaranjado. El
vector gradiente es más largo porque apunta en la dirección de la mayor
tasa de incremento de una función.

12. Derivada direccional ejemplo

13. Conclusión
De todo lo anterior se concluye principalmente que funciones reales
de tres o más variables reales son las que más aparecen en ingeniería.
Además, los conceptos son más fáciles de interpretar en el espacio
tridimensional ordinario, lo que hace didácticamente aconsejable dentar
la atención sobre las funciones reales de tres variables reales. Pero los
resultados son validos para cualquier número de variables.
Cada vector del espacio ordinario tiene un módulo y una dirección.
Cuando se fija un vector dr =(dx,dy,dz) = dxi + dyj + dzk dando valores
concretos a dx,dy,dz , se fija su módulo y su dirección. Cada valor de la
diferencial de la función f en un punto (x, y,z) es el producto escalar de su
gradiente en ese punto por un vector dr, es decir,
En cada punto (x, y,z)el gradiente ∇f es fijo, tiene un valor concreto; pero
el vector dr puede ser cualquiera; puede tener cualquier módulo y
cualquier dirección.

14. Bibliografía
• https://es.slideshare.net/YeniferPernia/deriva
da-direccional-77894710
• https://es.wikipedia.org/wiki/Derivada_direcci
onal
• http://laplace.us.es/wiki/index.php/Derivada_
direccional
• http://electricidad.usal.es/Principal/Circuitos/
Comentarios/Temas/ConceptoGradiente.pdf