Resumen Unidad 3

1. Métodosde EliminaciónGaussiana:transformala matrizde coeficientesenunamatriz
triangularsuperior,mediante el intercambiode filas, intercambiode columnas,multiplicación
de filaso columnasporconstantes, operacionesconfilasocolumna.Existenvariosproblemas
hay realizareste métodounosde estosseriaal dividirentre unnúmeromuypequeñoyaque si
no hacemoscorrectamente el redondeolosresultadosmásadelantesnosdaríanerróneos.
Este métodopropone laeliminaciónde variablesen el sistemade ecuaciones,hastatenersólo
una ecuaciónconuna incógnita.Una vezresueltaesta,se procede porsustituciónregresiva
hasta obtenerlosvaloresde todaslasvariables.
El métodode Gauss-Jordánesunmétodocomputacionalmentebuenocuandotenemosque
resolvervariossistemasconlamismamatrizX, ya que soloharíamos un procesode
eliminaciónenlamatrizyla resoluciónde unsistemaconestamatrizes muyfácil.Un ejemplo
enel que se suele usarGauss-Jordánesenel cálculodelamatrizinversa,yaque calcularla
inversade A,escalcular N sistemascolamismamatriz.
DescomposiciónLU: esuna formade factorizaciónde unamatrizcomo el productode una
matriztriangularinferioryunasuperior.Este métodoesmuyinestabledebidoa que debe
tenerse encuentaalgunoscasosespeciales,porejemplo,si unoovarioselementosde la
diagonal principal de lamatriza factorizarescero, esnecesariopre multiplicarlamatrizpor
una o variasmatriceselementalesde permutación.
Factorización de Cholesky:Es la matrizque igual a su TranspuestaA=At
. Ellosofrecen ventajas
computacionalesyaque sólose necesitalamitadde almacenamientoy,en lamayoría de los
casos,sólose requiere lamitaddel tiempode cálculopara su solución. Ladescomposiciónde
Choleskyse usaprincipalmenteparahallarlasoluciónnuméricade ecuacioneslinealesAx =b.
Si A es simétricaypositivadefinida,entoncesse puedesolucionarAx =b calculandoprimerola
descomposiciónde CholeskyA =LLT, luegoresolviendoLy= b para y, y finalmente resolviendo
LTx = y para x.
Factorización de QR, Householder:Estafactorizaciónse usa ampliamente enlosprogramasde
computadorapara determinarvalorespropiosde unamatriz,para resolversistemaslineales.
La Factorización QR consiste endescomponerlamatrizAmxn enel productode dosmatrices,
una matrizortogonal (Q) y una matrizTriangularSuperior(R).Paraencontrarlas matricesQy
R se utilizaunmétodobasadoenTransformacionesSucesivasde Householder.
SoluciónDe SistemasLinealesUtilizandoMétodosIterativos:El métodode Gaussy sus
variantessonconocidoscomométodosdirectospararesolverel problemainicial Ax =b. Se
hace atrevesde unespecíficode pasos para llegara unasoluciónXque daría un resultado
exactosi no fuerapor losredondeosLosmétodositerativostienenladesventajade que nose
puedenaplicar,porlomenosde formaelemental,acualquiersistemade ecuacionesAx=By
tienenlaventajade que sonmáseficacespara sistemascuyoordenessuperiora1000.
En contraste,un métodoiterativodalugara unasucesiónde vectoresque idealmente
converge a lasolución.El cálculose detiene cuandose cuentaconuna soluciónaproximada
con ciertogrado de precisiónespecificadode antemanoo despuésde ciertonúmerode
iteraciones.Losmétodosindirectossoncasi siempre iterativos.Unmétodoiteradode

2. resolucióndel sistemaAx =besaquel que genera,apartir de un vectorinicialx0,unasucesión
devectoresx1,x2,. . .xn...
Métodode Jacobi: transformaunamatriz simétricaenunamatrizdiagonal al eliminarde
formasimétricaloselementosque estánfuerade ladiagonal.Este métodorequiere de un
númerode pasosinfinitos
Si A es diagonalmente dominante,entonceslasucesiónque resultade laiteraciónde Jacobi
converge a lasoluciónde Ax = b para cualquiervectorinicialXo.