CALCULO I

1. 1
1
RECTAS
UNIVERSIDAD NACIONAL DE FRONTERA SULLANA
FACULTAD DE INGENIERIA DE INDUSTRIAS ALIMENTARIAS
CALCULO I
Docente: Mg. Daniel Francisco
Castro Navarrete

2. 2
CONTENIDO
1. Introducción.
2. Rectas paralelas.
3. Rectas perpendiculares.
4. Sistemas de ecuaciones lineales.
Solución método gráfico.
Solución método algebraico.
Igualación.
Sustitución.
Eliminación.
5. Generalidades
6. Problemas de aplicación

3. 3
Ecuaciones que representan en el plano cartesiano una recta:
A + B = C A, B, C
A y B no simultáneamente igual a 0
x y  
General ó estándar
c c
x    Recta vertical
 
x x y y
1 1
m    Punto-pendiente
b b
y    Recta horizontal
m b m,b
y x
    Pendiente-ordenada al origen

4. 4
Representación gráfica de rectas
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4

5. 5
PENDIENTE
Dados dos puntos cualesquiera en el plano
x x
2 1
0
m=

desplazamiento vertical
m=
desplazamiento horizontal
   
1 1 2 2
, ,
P x y Q x y
  2 1
2 1
m=
y y
x x


Rectas no verticales
Rectas verticales
La pendiente no está definida
Rectas horizontales
La pendiente es cero
y y
2 1
m=
0


6. 6
Comparando dos rectas
1. Rectas que nunca se cortan. 2. Rectas que se cortan:
3. Casos especiales
Coincidentes
Paralelas Secantes
Perpendiculares.

7. 7
Rectas Paralelas
Dos rectas no verticales con pendientes
son paralelas si y sólo si sus pendientes son iguales, es decir:
1 2
L L
y 1 2
m m
y
2
1 m
m 
1
L 2
L
En la gráfica mostrada,
la pendiente de las
rectas es:
2
1 L
L y
m  3
Las rectas son paralelas.
Conclusión:
/ /
L L m m
 
1 2 1 2
Si

8. 8
Ejemplo 1:
Verifique que la recta que une los puntos (-3,-5 ) y (2,3 )
es paralela a la recta que une a (0,-5 ) y (5,3 )
-3 -2 -1 1 2 3 4 5
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
y
m 
8
5
m 
8
5
Las rectas son paralelas

9. 9
Ejemplo 2: Determinar la ecuación de una recta L que
pasa por el punto (-3, 3) y es paralela a la recta:
10y-8x=7.
Escribimos la ecuación de la recta dada de la forma y=mx+b:
10
7
5
4

 x
y
Como las rectas son paralelas tienen la misma pendiente.
Utilizando la forma pendiente-ordenada al origen:
b
x
y 

5
4 Como (-3,3) es un punto de la recta,
satisface su ecuación. Sustituimos el punto
y encontramos b:
 
5
27
3
5
4
3 



 b
b Por lo tanto la
recta pedida es: 5
27
5
4

 x
y
m 
4
5

10. 10
Ejemplo:3
Encuentre una recta paralela que pase únicamente por
el primer y tercer cuadrante.
Dada la recta y x
 
3
8
4
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-4
-2
2
4
6
8
10
x
y
Recta paralela
I
III
Únicamente en I y III
cuadrante
Esta recta cumple la
condición
b=0 y x

3
4
II
IV

11. 11
Rectas Perpendiculares
Dos rectas no verticales con pendientes
son perpendiculares si y sólo si el producto de sus
pendientes es -1, es decir,
1 2
L L
y 1 2
m m
y
  1
1 2
m m o, de manera equivalente,  
1
2
1
m
m
2
L
1
L
En la gráfica:
2
3

1
m
3
2


2
m
  1
1 2
m m
Las rectas son perpendiculares.
Si:
_
L L m m
  
1 2 1 2 1

12. 12
Hallar la ecuación de una recta T que es perpendicular a
2x+3y=12 y tiene el mismo punto de corte con el eje y.
Escribimos la ecuación de la recta dada de la forma y=mx+b:
4
3
2


 x
y
Las rectas son perpendiculares, el producto de sus pendientes es -1.
4
2
3

 x
y
m 
2
3
2
Para la recta pedida: y
m m
  
1 2 1
Ejemplo 4:
m  
1
2
3
b  4
m
 
   
 
 
2
2
1
3
m 
2
3
2
b  4

13. 13
           











13
4
3
2


 x
y
4
2
3

 x
y
Representación gráfica:
Continuación
Recta dada:
Recta
perpendicular a la
recta dada, con el
mismo intercepto:

14. 14
Ejemplo 5:
Encuentre la recta que es perpendicular a la recta que une los
puntos (1,-2 ) con (-2,3 ) y que pasa por el origen
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Pendiente recta dada:
y y
x x
2 1
2 1
m=


;
 
m
 

 
2 3
1 2
; m  
5
3
Pendiente recta perpendicular:
;
m
m
 
1
1
m  

1
1
5
3
; m 
1
3
5
Pasa por el origen: b=0 y x

3
5

15. 15
Sistema de ecuaciones lineales
Una solución del sistema consiste en los valores comunes
que pueden tomar las variables para hacer verdadera
cada una de las ecuaciones que conforman el sistema.
Es una reunión de 2 o mas ecuaciones en 2 o mas variables
de grado uno.
Representación:
Ax By C
Dx Ey F
 
 
A,B,C,D,E,F  

16. 16
INTERSECCIÓN DE RECTAS EN EL
PLANO CARTESIANO
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Dada la ecuación de la recta ,
2
3 
 x
y
ordenadas ( x1 , y1 )que satisfacen la ecuación de la recta:
Existen infinitas parejas
Para la recta 3
2 

 x
y
( x2 , y2 )que satisfacen la
ecuación de la recta
Para las dos rectas, existe un
solo punto ( x , y ) tal que:
x1 = x2 y y1=y2
x
y
Para las rectas dadas el
punto ( x , y ): es ( 1,1 )
( 1,1 )
Dos rectas con diferente pendiente se intersectan en un punto
Existen infinitas parejas ordenadas

17. 17
INTERSECCIÓN DE RECTAS EN EL PLANO CARTESIANO
Encontrar gráficamente la
intersección del siguiente
par de rectas
3
3
2


 x
y
2
3
2


 x
y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Las rectas tienen la misma
pendiente.
No existe una pareja
ordenada ( x , y ) que
satisfaga la ecuación de
las dos rectas
Las rectas paralelas no se
intersectan

18. 18
INTERSECCIÓN DE RECTAS EN EL PLANO CARTESIANO
Encontrar gráficamente la
intersección del siguiente
par de rectas
 
1
4
y x
 
4 y x
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
x
y
Las rectas son idénticas.
Existen infinitas parejas
ordenadas ( x , y ) que son
solución de las dos
ecuaciones
Una recta se intersecta a
si misma en infinitos
puntos
 
1
4
y x

19. 19
Ejemplo 6:
Resolver el siguiente sistema
lineal de ecuaciones
gráficamente
   5
x y
   
1
2
2
x y
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
x
y
  5
y x
   2
2
x
y
Aparentemente, la
solución es (-2 , 3 )
Verificación:
  5
y x   
3 2 5

3 3
   2
2
x
y ( )
   
1
3 2 2
2

3 3

20. 20
RESUMIENDO
Encontrar la solución al sistema, es determinar las
coordenadas del punto de intersección de las rectas.
Se puede encontrar tres tipos de solución:
Única solución Sin solución Infinitas soluciones

21. 21
Para obtener con exactitud la solución de un sistema de
ecuaciones se tienen varios métodos ALGEBRÁICOS:
MÉTODOS ALGEBRAICOS PARA DAR SOLUCIÓN A
LOS SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
SUSTITUCIÓN.
IGUALACIÓN
ELIMINACIÓN (reducción).

22. 22
1. Método de igualación
Para las dos rectas,
existe un solo punto
( x , y ) tal que:
x1 = x2 y1=y2
Dadas las rectas:
2
5 1
1 
 x
y
1
3 2
2 

 x
y
y
Se tiene: y1=y2
2
5 1
1 
 x
y
2
5 1 
x =
1
3 2
2 

 x
y
1
3 2 
 x
x1 = x2
1
3
2
5 


 x
x Ecuación lineal en una
variable
3
8 
x
8
3

x
2
5 
 x
y
2
8
3
5 


y
8
1


y
Solución: 






8
1
8
3
,

23. 23
Ejemplo 7:
Resolver el siguiente
sistema lineal de
ecuaciones
84
2 


 y
x
42

 y
x
84
2 

 x
y
x
y 
 42
Igualando las ecuaciones
84
2 

 x
y
84
2 
 x
x
y 
 42
x

 42
42


 x
42

x
Sustituyendo: x
y 
 42
42
42 

y
0

y
Solución
 
0
42,

24. 24
2. Método de sustitución:
Dadas las rectas:
1
1 2
5
4 y
x 

4
3 2
2 
 x
y
Para las dos rectas,
existe un solo punto
( x , y ) tal que:
x1 = x2 y1=y2
y
Se tiene:
Ecuación lineal en una
variable
y1=y2
1
1 2
5
4 y
x 

2
1 2
5
4 y
x 


2
5
4 1 
 x
4
3 2
2 
 x
y

4
3 2 
x
x1 = x2  
4
3
2
5
4 

 x
x
8
6
5
4 

 x
x
x


 4
4

x
4
3 
 x
y
4
4
3 


y
8

y
Solución
 
8
4,
Sustituimos y2

25. 25
Resolver el siguiente
sistema lineal de
ecuaciones
Ejemplo 8:
3
7 
 y
x
6
2
14 


 y
x
x
y 7
3 

Sobre la segunda ecuación 6
2
14 


 y
x
Sustituimos y de la primera   6
7
3
2
14 



 x
x
6
14
6
14 



 x
x
0
0  Identidad
Infinitos puntos de intersección
Las dos ecuaciones representan una misma recta

26. 26
3. Método de eliminación:
Dadas las rectas:
x y
 
1 1
3 4 18
x y
 
2 2
2 1
Para las dos rectas, existe un
solo punto ( x , y ) tal que:
x1 = x2 y y1=y2
Se tiene: x y
x y
 
 
3 4 18
2 1
Se multiplica una de las ecuaciones
por una constante que sea el
opuesto aditivo del coeficiente de la
misma variable en la otra ecuación
Se elige multiplicar por 4 a la segunda ecuación
 
x y
x y
 
 
3 4 18
4 2 1
x y
x y
 
 
3 4 18
8 4 4
Se suman las ecuaciones
+
x 
11 22 Ecuación lineal
x  2
( ) y
 
3 2 4 18 y  3
Solución
(2,-3)

27. 27
Ejemplo 9:
Resolver el siguiente
sistema lineal de
ecuaciones
x y
x y
 
  
2 3 5
6 9 12
x y
x y
 
  
2 3 5
6 9 12
Se multiplica por 3 a la primera ecuación
( )
x y
x y
 
  
3 2 3 5
6 9 12
Coeficientes opuestos
Se suman las ecuaciones
+
x y
x y
 
  
6 9 15
6 9 12

0 27
El sistema no tiene solución Rectas paralelas
y x
 
2 5
3 3
y x
 
2 4
3 3
FALSO

28. 28
GENERALIDADES DE LOS SISTEMAS DE
ECUACIONES
Tiene infinitas soluciones es
Cuando un sistema de ecuaciones :
No tiene solución se dice que es
Tiene una única solución se dice que es
consistente.
consistente
las ecuaciones son dependientes.
inconsistente.

29. 29
Ejemplo 9:
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
En un corral hay gallinas y borregos. Los animales en total,
tienen 60 cabezas y 150 patas.
¿Cuántas gallinas y cuántos borregos hay en el corral?
g=cantidad de gallinas
b=cantidad de borregos
Todos los animales tienen una cabeza 60

 b
g
Las gallinas tienen dos patas y los
borregos tienen cuatro
150
4
2 
 b
g

30. 30
Continuación:
60

 b
g
Sistema lineal de
ecuaciones
150
4
2 
 b
g
b
g 
 60
Sobre la segunda ecuación, sustituimos
150
4
2 
 b
g
b
g 
 60
  150
4
60
2 

 b
b
150
4
2
120 

 b
b
30
2 
b
15

b 15 borregos
b
g 
 60
15
60 

g 45

g 45 gallinas

31. 31
PROBLEMAS DE APLICACIÓN
Ejemplo 10:
El precio de admisión a una obra de teatro fue de $3,00 para
estudiantes y $4,50 para el público en general. Si se vendieron
450 boletos para un total de $1.555,50.
¿Cuántos estudiantes entraron a la obra?
e=cantidad de estudiantes que entraron a la obra
p=cantidad de personas del público que entró a la obra
Total de asistentes a la obra es igual al
número de boletos vendidos: e p
  450
Total de dinero es igual al recaudo por
las boletas de estudiante mas el
recaudo por las boletas del público
, ,
e p
 
3 4 5 1555 50

32. 32
, ,
e p
 
3 4 5 1555 50
Continuación:
Sistema lineal de
ecuaciones
e p
  450
Por eliminación, multiplicamos la primera ecuación por -3
 
, ,
e p
e p
  
 
3 450
3 4 5 1555 5 , ,
e p
e p
   
 
3 3 1350
3 4 5 1555 5
Se suma
+
, ,
p 
1 5 205 5
,
,
p 
205 5
1 5
p  137
Del público
entraron 137
personas
Cantidad de estudiantes e  
450 137
Estudiantes 313