1. LINEARNE NEJEDNAČINE
Linearne nejednačine rešavamo slično kao i jednačine (vidi linearne jednačine) koristeći
ekvivalentne transformacije. Važno je reći da se smer nejednakosti menja kada celu
nejednačinu množimo (ili delimo) negativnim brojem.
Primer:
2 x 10 2 x 10
10 Pazi: delimo sa (-2), moramo okrenuti smer nejednakosti
x 10
2 x
x5 2
x 5
Naravno i ovde se može deliti da nejednačina ima rešenja, nema rešenja ili ih pak ima
beskonačno mnogo (u zavisnosti u kom skupu brojeva posmatramo datu nejednačinu)
1) Reši nejednačinu:
3( x 2) 9 x 2( x 3) 8 → oslobodimo se zagrada
3x 6 9 x 2 x 6 8 → nepoznate na jednu, poznate na drugu stranu
3x 9 x 2 x 6 8 6
10 x 20
20
x
10
x2
Uvek je ‘’problem’’ kako zapisati skup rešenja?
Možemo zapisati x R x 2 a ako je potrebno to predstaviti i na brojevnoj pravoj:
- x (, 2)
8
8
2
Pazi:
Kad i uvek idu male zagrade ()
Kod znakova < i > male zagrade i prazan kružić
Kod < , > idu srednje zagrade i pun kružić
Male zagrade nam govore da ti brojevi nisu u skupu rešenja, dok , govore da su i
ti brojevi u rešenju.
www.matematiranje.com
1
2. 2a 1 3a 2
2) Reši nejednačinu: 1
3 2
2a 1 3a 2
1 → celu nejednačinu pomnožimo sa 6 (NZS za 3 i 2)
3 2
2(2a 1) 3(3a 2) 6
4a 2 9a 6 6
4 a 9 a 6 2 6
5a 14 → pazi: delimo sa (-5) pa se znak okreće
14
a
5
4
a 2
5
4
U skupu R su rešenja a , 2
5
PAZI: Da nam npr. traže rešenja u skupu N (prirodni brojevi), onda bi to bili samo {1,2}
3) Reši nejednačinu: 2 x a ax 3
2 x a ax 3 → nepoznate na jednu, poznate na drugu stranu
2 x ax 3 a
x ( 2 a ) 3 a
Kako sad?
Da li je izraz 2 a pozitivan ili negativan, ili možda nula? Moramo ispisati sve 3
situacije!!!
x(2 a) 3 a
2a 0 2a 0 2a 0
a2 a2 a2
3 a okreće se
x znak 0 x 3 0
2a
3 a
x 0 x 3
2a
Ovde je svaki
x R rešenje
www.matematiranje.com
2
3. Rešenje bi zapisali:
3 a
Za a 2 x ,
2a
Za a 2 x R
3 a
Za a 2 x ,
2a
4) Rešiti nejednačine:
a) ( x 1) ( x 4) 0
b) ( x 3) ( x 5) 0
Kod ovog tipa nejednačina koristićemo da je:
A B 0 ( A 0, B 0) v ( A 0, B 0)
A B 0 ( A 0, B 0) v ( A 0, B 0)
A A
Naravno iste ‘’šablone’’ koristimo i za znakove > i < a za 0 i 0
B B
gde još vodimo računa da je B 0 .
a) ( x 1)( x 4) 0
( x 1 0, x 4 0) v ( x 1 0, x 4 0)
( x 1, x 4) v ( x 1, x 4)
Sada rešenja ‘’spakujemo’’ na brojevnoj pravoj!!!
x (4, ) x (,1)
Rešenje je x (,1) (4, )
www.matematiranje.com
3
4. b) ( x 3) ( x 5) 0
( x 3 0, x 5 0) v ( x 3 0, x 5 0)
( x 3, x 5) v ( x 3, x 5)
x 3,5 prazan skup
Dakle, konačno rešenje je x 3,5
6 x
5) Reši nejednačinu 2
3 x
6 x PAZI: Da bi koristili ‘’šablon’’ na desnoj strani mora da
2 je nula, pa ćemo zato -2 prebaciti na levu stranu!!!
3 x
6 x
20
3 x
6 x 2(3 x)
0
3 x
6 x 6 2x
0
3 x
12 3x
0 → sad može ‘’šablon’’
3 x
(12 3x 0 3 - x 0) ili (12 3x 0 3 - x 0)
(3 x 12 -x< 3) (3 x 12 -x 3)
( x 4, x 3) ili ( x 4, x 3)
x (3, 4) →konačno rešenje prazan skup
6) Rešiti nejednačinu: (po n )
n 1
3 5
n 1
Ovde moramo rešiti 2 nejednačine, pa ćemo ‘’upakovati’’ njihova rešenja.
4
5. Prva nejednačina:
n 1
n 1 Ili 0 3
3 n 1
n 1
n 1 3n 3
0
n 1
4n 2
0
n 1
4n 2
Dakle: 0
n 1
(4n 2 0 n 1 0) ili (4n 2 0 n 1 0)
1 1
(n n 1) ili (n n 1)
2 2
1
n , n ,1
2
1
Za I deo rešenje je n , 1 ,
2
Druga nejednačina:
n 1 n 1 n 1 5n 5
5 5 0 0
n 1 n 1 n 1
4n 6
Dakle: 0
n 1
(4n 6 0 n 1 0) ili (4n 6 0 n 1 0)
3 3
(n n 1) ili (n n 1)
2 2
www.matematiranje.com
5
6. 3
n , n 1,
2
3
Za II deo rešenje je n , 1,
2
‘’Upakujmo’’ sada I i II rešenje da bi dobili konačno rešenje ove dvojne nejednačine:
Rešenje prve nejednačine smo šrafirali udesno, a druge ulevo …Na taj način vidimo gde
se seku, odnosno gde je konačno rešenje…
Dakle, konačno rešenje je:
3 1
n , ,
2 2
NAPOMENA:
Umesto šablona ovde smo mogli koristiti i ‘’tablično’’ rešavanje koje je detaljno
objašnjeno u delu kvadratne nejednačine.
www.matematiranje.com
6