Clase introductoria de Geometría Analítica

3. Geometría Analítica Desde la antigüedad, el Álgebra y la Geometría, se desarrollaron en forma independiente. En 1 637 el matemático y filósofo René Descartes publicó su obra "LA GEOMETRÍE" , en la cual unificaba ambas ramas por medio de un sistema coordenado rectangular con el que se establecía una correspondencia biunívoca entre puntos y números reales. Lo anterior introdujo la aplicación de los métodos del análisis en la geometría, es por ello que surge la Geometría Analítica, también llamada Geometría de Coordenadas o Cartesiana, que permite el empleo de métodos algebraicos para resolver problemas geométricos, así como la representación geométrica de ecuaciones lineales y de segundo orden. La aplicación de la Geometría Analítica en problemas geométricos implica la utilización de un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas (algunas veces coordenadas polares), al que se traslada la condición o condiciones geométricas que deben satisfacerse. INTRODUCCIÓN

4. Geometría Analítica ORIGENES Para los griegos, la Geometría era inseparable de las figuras. Plantearse un problema en el que intervinieran planos, rectas o figuras más complejas se hacía siempre con la ayuda de dibujos. Con la Geometría Analítica este tipo de problemas se puede resolver “a ciegas”, constituyendo así una herramienta que se muestra especialmente eficaz en aquellos problemas en los que la intuición geométrica es más un estorbo que una ayuda. Las figuras geométricas están formadas por puntos. La posibilidad de asignar números a estos puntos de manera única, hace posible que los problemas de Geometría se conviertan en problemas de Álgebra. Esto se consigue definiendo un sistema de coordenadas con uno, dos o tres números, según que estemos trabajando en la recta, el plano o el espacio, respectivamente.

5. Geometría Analítica ORIGENES En el siglo XVII, el francés René Descartes (1596-1650) decía al respecto: “Solo se puede ejercer el raciocinio y resolver determinados problemas, a condición de fatigar enormemente la imaginación”. Para él eran necesarios nuevos métodos, métodos más potentes que los que, hasta entonces, se manejaban. De esta manera, y casi al unísono, René Descartes y Pierre Fermat desarrollaron una idea genial: el Método de Coordenadas. La idea fundamental consistía en transformar los problemas geométricos en problemas algebraicos mediante la introducción de los sistemas de coordenadas. Descartes quedó profundamente impresionado por la potencia de este método. Tanto es así, que él mismo decía: “El álgebra mecaniza el pensamiento y así se pueden conseguir resultados que, de otro modo, son casi imposibles de establecer”.

6. Geometría Analítica ORIGENES En esencia, la idea de este método consiste en expresar las rectas y curvas mediante ecuaciones. Su tratamiento algebraico permite obtener propiedades y resultados interpretables geométricamente. Muchos problemas de origen físico, como la trayectoria de la luz al cambiar de medios, el movimiento de proyectiles, etc., pudieron resolverse con esta nueva herramienta matemática. A partir del siglo XVII, el desarrollo de la matemática se hace espectacular. La aritmética, la geometría y el álgebra, se unen para dar lugar a resultados inesperados que, de otro modo, habría sido imposible conseguir.

7. Geometría Analítica DEFINICIÓN La geometría analítica es la rama de la geometría en la que las líneas rectas, las curvas y las figuras geométricas se representan mediante expresiones algebraicas y numéricas usando un conjunto de ejes y coordenadas. Cualquier punto del plano se puede localizar con respecto a un par de ejes perpendiculares dando las distancias del punto a cada uno de los ejes. La geometría analítica, se encarga del estudio de las figuras a partir de un sistema de coordenadas, utilizando los métodos propios del análisis matemático y del álgebra. La geometría analítica pretende obtener la ecuación de los sistemas de coordenadas a partir de su lugar geométrico. Por otra parte, esta disciplina permite determinar el lugar geométrico de los puntos que forman parte de la ecuación del sistema de coordenadas.

9. Geometría Analítica DISTANCIA ENTRE DOS PUNTOS Sean las coordenadas de dos puntos cualesquiera A(x 2 ; y 2 ) y B(x 1 ; y 1 ), la distancia entre ellos es igual a la longitud del segmento AB. Así: X Y x 2 y 2 B A y 1 x 1

10. Geometría Analítica DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN DADA Si A(x 2 ; y 2 ) y B(x 1 ; y 1 ) son los extremos de un segmento de recta, es posible encontrar las coordenadas de un punto P(x; y) que divida al segmento AB en una razón dada por la expresión , así:

11. Geometría Analítica PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO El punto medio del segmento AB es el punto M(x; y), que divide en dos segmentos AM y MB de igual longitud. Así:

12. Geometría Analítica PENDIENTE DE UN SEGMENTO El ángulo de inclinación (α) de un segmento es el ángulo que forma el segmento (o su prolongación) con el eje X, medido en sentido anti-horario y considerando al eje X como lado inicial. La pendiente (m) es la tangente del ángulo de inclinación. X Y x 2 y 2 B A y 1 x 1 α

14. Geometría Analítica LUGAR GEOMÉTRICO En las secciones anteriores hemos estudiado el primer problema. En esta sección estudiaremos el segundo. Aclaremos que la determinación de la ecuación de un lugar geométrico implica la determinación de una ecuación que es satisfecha por todos los puntos que pertenecen al lugar geométrico y que no es satisfecha por los puntos que no están en el lugar geométrico. No hay ningún método general que se pueda dar para resolver este problema. Sin embargo, puede ser útil en la mayoría de los casos comenzar con un croquis, hecho en base a las condiciones geométricas que definen al lugar geométrico dado, donde se situará un punto genérico P(x; y) del lugar. Luego se expresarán analíticamente las condiciones geométricas dadas y se tratará de determinar una ecuación que relaciones las coordenadas x e y del punto genérico P.