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▲✐t❡r❛t✉r❡ ❘❡✈✐❡✇ ♦♥
❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r② ✲ ❏✳❱✐❞❛✉rr❡ ◆♦✇✱ t❤❡ ❥♦✐♥t s✉r♣❧✉s ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ❧♦♦❦s ❧✐❦❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣✿ maxli,ti U(l1, t1) + µu(l2, t2) . . . i = 1, 2 s✉❜❥❡❝t t♦ t❤❡ r❡s♦✉r❝❡ ❝♦♥str❛✐♥ts✿l1 +l2 = ˆl1 +ˆl2 = 1 ❛♥❞ t1 +t2 = ˆt1 +ˆt2 = 1✳ ❍❡r❡ µ ❝❛♥ r❡♣r❡s❡♥t ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ str❡♥❣t❤s ♦r t❤❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ r❡s❡r✈❛t✐♦♥ ✉t✐❧✐t② ❧❡✈❡❧s ¯U ❛♥❞ ¯u✳ ❋✐rst ♦r❞❡r ❝♦♥❞✐t✐♦♥s ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ s♦❧✉t✐♦♥✿ Ul + µul = 0 = Ut + µut ✇❤✐❝❤ ✐♠♣❧②✿ Ul Ut = ul ut ❚❤✉s✱ t❤❡ ♠❛r❣✐♥❛❧ r❛t❡s ♦❢ s✉❜st✐t✉t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ ♠♦♥❡② ❛♥❞ ❧❡✐s✉r❡ ❢♦r ❜♦t❤ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧s ❛r❡ ❡q✉❛❧✐③❡❞ ❛♥❞ ✇❡ ❛❝❤✐❡✈❡ ❥♦✐♥t s✉r♣❧✉s ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥✳ ❇✉t✱ ✇❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ✐❢ t❤❡s❡ r❛t✐♦s ❛r❡ ♥♦t ❡q✉❛❧❄ ❚❤❡r❡ ❝❛♥ ❜❡ ❣❛✐♥s ❢r♦♠ tr❛❞❡ ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❡♠♣❧♦②❡r ❛♥❞ ❡♠♣❧♦②❡❡ ❛r❡ ❣❡tt✐♥❣ ♠♦r❡ ♦r ❧❡ss r❡❧❛t✐✈❡ ✉t✐❧✐t② ❡✐t❤❡r ❢r♦♠ ❡♠♣❧♦②❡❡✬s t✐♠❡ ♦r ❢r♦♠ ♠♦♥❡②✿ Ul Ut > ul ut ❍♦✇ t❤❡ ❣❛✐♥s ❛r❡ s❤❛r❡❞ ✐s ❣♦✐♥❣ t♦ ❜❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜②µ✳❚❤❡ ❤✐❣❤❡st ✉t✐❧✐t② t❤❛t ❡❛❝❤ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❝♦✉❧❞ ❣❡t ✐s ❣✐✈❡♥ ❜② t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ t♦ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♦♣t✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ❢♦r t❤❡ ❡♠♣❧♦②❡❡ ❛♥❞ t❤❡ ❡♠♣❧♦②❡r r❡s♣❡❝t✐✈❡❧②✿ maxl2,t2 u(l2, t2) subject to U(1 − l2, 1 − t2) ≥ ¯U maxl1,t1 U(l1, t1) subject to u(1 − l1, 1 − t1) ≥ ¯u ■♥ t❤✐s ❝❛s❡ ✇❡ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ❞✐✈✐s✐♦♥ ♦❢ t❤❡ s✉r♣❧✉s ❝❛♥ ❜❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡❞ ❜② t❤❡ ❣✐✈❡♥ µ ♦r ❜② ❛❞❥✉st✐♥❣ ¯U ❛♥❞✴♦r ¯u t♦ ❤✐❣❤❡r ♦r ❧♦✇❡r ❧❡✈❡❧✳ ❚❤✐s ❛♥❛❧②s✐s ✐s ✐❧❧✉str❛t✐✈❡ ❜✉t ❡①tr❡♠❡❧② ♥❛✐✈❡ ✇❤❡♥ ❝♦♠♣❛r❡❞ t♦ ♣r❛❝t✐❝❛❧ s✐t✉❛t✐♦♥s✳ ■t ❞♦❡s ♥♦t ❝♦♥s✐❞❡r ❝♦♠♣❧✐❝❛t✐♦♥s t❤❛t ❝❛♥ ❛r✐s❡ ❢r♦♠ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥❛❧ ♣r♦❜❧❡♠s✱ ✐t ❞♦❡s ♥♦t r❡✢❡❝t t❤❡ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣r♦❝❡ss t❤❛t ❤❛♣♣❡♥s ❜❡❢♦r❡ ❛ ❝♦♥tr❛❝t ✐s s✐❣♥❡❞✱ t❤❡ t❡❝❤♥♦❧♦❣② ♦❢ tr❛❞❡ ✭❤♦✇ t❤❡ ♣❛rt✐❡s ✐♥t❡r❛❝t ❜❡❢♦r❡ ❛♥❞ ❛❢t❡r t❤❡ ❝♦♥tr❛❝t ✐s s✐❣♥❡❞ ✐♥ ♦r❞❡r t♦ ❞❡❧✐✈❡r ✐t✮ ♦r t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❡♥❢♦r❝❡♠❡♥t ♦❢ t❤❡ ❝♦♥tr❛❝t ✐ts❡❧❢ ✭s✐♥❝❡ tr❛♥s❛❝t✐♦♥s ❛r❡ ♥♦t ❣♦✐♥❣ t♦ ❜❡ ♣❡r❢❡❝t❧② s✐♠✉❧t❛♥❡♦✉s✱ t❤❡ ♣r❡s❡♥❝❡ ♦❢ ❛♥ ❡♥❢♦r❝❡♠❡♥t ♠❡❝❤❛♥✐s♠ ❝♦✉❧❞ ❣✉❛r❛♥t❡❡ ❣❛✐♥s ❢r♦♠ tr❛❞❡✮✳ ■♥ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ s❡❝t✐♦♥s✱ ■ ♣r❡s❡♥t s❤♦rt ✈❡rs✐♦♥s ♦❢ ♠♦❞❡❧s ❞❡✈❡❧♦♣❡❞ ❜② ❞✐✛❡r❡♥t ❛✉t❤♦rs ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡② ❡①♣❧♦r❡ t❤❡ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❛t✐♦♥ ♦❢ s♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❜❧❡♠s ♠❡♥t✐♦♥❡❞ ❛❜♦✈❡✳ ✺
6.
▲✐t❡r❛t✉r❡ ❘❡✈✐❡✇ ♦♥
❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r② ✲ ❏✳❱✐❞❛✉rr❡ ✸✳ ▼♦❞❡❧✐♥❣ t❤❡ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❈♦♥tr❛❝ts ✸✳✶✳ ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ P♦t❡♥t✐❛❧ ❛♥❞ ❚❡❝❤♥♦❧♦❣② ♦❢ ❚r❛❞❡✳ ❚❤❡ ✜rst ✐❞❡❛ ■ ♣r❡s❡♥t ❞❡❛❧s ✇✐t❤ t❤❡ ✐♥t❡r❛❝t✐♦♥ ❜❡t✇❡❡♥ t❤❡ ❛❣❡♥ts ❛♥❞ t❤❡ t✐♠✐♥❣ ❛♥❞ ♥❛t✉r❡ ♦❢ t❤❡ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss✳ ❏♦❡❧ ❲❛ts♦♥ ✭✷✵✵✼✮ ❝❛❧❧s t❤✐s ♣r♦❝❡ss ✏❚❡❝❤♥♦❧♦❣② ♦❢ ❚r❛❞❡✑ ❛♥❞ ❜❡❧♦✇ ✐s ❛ s❤♦rt ✈❡rs✐♦♥ ♦❢ ❤✐s ♠♦❞❡❧✳ ❚r❛❞❡ ❛❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ✭✐✳❡✳ ✐♥✈❡st♠❡♥t✮ ♦r ♣✉❜❧✐❝ ✭✉♥❞❡r t❤❡ s✉♣❡r✈✐s✐♦♥ ♦❢ ❛♥ ❡♥❢♦r❝❡r ❞✉r✐♥❣ t❤❡ tr❛❞❡✲❡♥❢♦r❝✐♥❣ ❢❛❝❡✮✳ ❚❤❡ ❦❡② ✐ss✉❡ ✐s t❤❛t ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❛❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ♣✉❜❧✐❝ ❛❝t✐♦♥s ✐❢ t❤❡ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss ❤❛♣♣❡♥s ✐♥ t❤❡ ✐♥t❡r✐♠ st❛t❡ ✭❛❢t❡r t❤❡ st❛t❡ ✐s r❡❛❧✐③❡❞ ❜✉t ❜❡❢♦r❡ s❡♥❞✐♥❣ t❤❡ ♠❡ss❛❣❡ t♦ t❤❡ ❡♥❢♦r❝❡r✮✳ ❚❤✐s ✇❛②✱ t❤❡ ♠❡ss❛❣❡s s❡♥t ♦✉t ❛r❡ ♠❛♥✐♣✉❧❛t❡❞ ✐♥ s✉❝❤ ❛ ✇❛② t❤❛t t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ♣✉❜❧✐❝ ❛❝t✐♦♥ ✐s ❝❛❧❝✉❧❛t❡❞ t♦ ❜❡ ♠❛①✐♠✐③❡❞✳ ❖♥ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛♥❞✱ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ❡①✲♣♦st ❝❛♥ ❜❡ ❛ ✇❛② t♦ ❛❧s♦ ❛❝❤✐❡✈❡ ❡✣❝✐❡♥❝② ❜❡❝❛✉s❡ t❤❡ ❛❣❡♥ts ❦♥♦✇ t❤❡ ❡♥❢♦r❝✐♥❣ ♦✉t❝♦♠❡ ❛♥❞ ❝❛♥ r❡♥❡❣♦t✐❛t❡ ♦✈❡r t❤❡ s✉r♣❧✉s✳ ❚❤✉s✱ ✇❡ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ❛❣❡♥ts ❝❛♥ ✉s❡ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❛❝t✐♦♥s ♣❧✉s tr❛♥s❢❡rs ✭❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ s❡♥t ♠❡ss❛❣❡s✮ ♦r ❡①✲♣♦st r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ♣❧✉s ❢♦r❝✐♥❣ ❝♦♥tr❛❝ts ❛s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✇❛②s t♦ ♦❜t❛✐♥ ❡✣❝✐❡♥t r❡s✉❧ts✳ ❚❤❡ t✐♠✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♣r♦❝❡ss ✐s ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ❉❛t❡ ❊✈❡♥t P❛②♦✛ ❘❡❧❡✈❛♥t ❈♦♠♣♦♥❡♥ts ✶ ❈♦♥tr❛❝t ✕ ✷ ❯♥✈❡r✐✜❛❜❧❡ ❊✈❡♥ts ❙t❛t❡ ♦❢ ❘❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣ θǫΘ ❛s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❛❝t✐♦♥s ❛♥❞ r❛♥❞♦♠ ♦❝❝✉rr❡♥❝❡s✳ ✸ P♦ss✐❜❧❡ ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ❊①✲❆♥t❡ ✹ ❙❡♥❞ ▼❡ss❛❣❡s m = (m1ǫM1, m2ǫM2) ✺ P♦ss✐❜❧❡ ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ❊①✲P♦st ✻ ❚r❛❞❡ ❆❝t✐♦♥s a = (a1, a2) aǫA ≡ A1xA2 ✼ P♦ss✐❜❧❡ ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ❊①✲P♦st ✉♥❞❡r ❋♦r❝✐♥❣ ❙t❛❣❡ ✽ ❊♥❢♦r❝✐♥❣ ❋❛❝❡ ❚r❛♥s❢❡rs t = (t1, t2), t1 + t2 ≤ 0, t = y(m, a)✳ ❚❤✐s ✐s ❤♦✇ t❤❡ ❡♥❢♦r❝❡r ✇♦r❦s✳ ❆❣❡♥ts tr② t♦ ♠❛①✐♠✐③❡ t❤❡ ✉t✐❧✐t② t❤❡② ♦❜t❛✐♥ ❢r♦♠ t❤❡ r❡❛❧✐③❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ❛♥❞ t❤❡✐r ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❛❝t✐♦♥s✿ MaxaǫAU1(a, θ) + U2(a, θ) s♦ t❤❡② ♠❛♥✐♣✉❧❛t❡ t❤❡ ♠❡ss❛❣❡s t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ♠❛①✐♠✉♠ U(a, θ) + t s✐♥❝❡ t❤❡ tr❛♥s❢❡r ✐s ❣♦✐♥❣ t♦ ❜❡ ❞❡t❡r♠✐♥❡❞ ❜② t❤❡ ❡♥❢♦r❝❡r ❛❝❝♦r❞✐♥❣ t♦ t❤❡ ♠❡ss❛❣❡s t❤❡② s❡♥❞✳ ❆t ❞❛t❡ ✸✱ t❤❡ ❛❣❡♥ts ❝❛❧❝✉❧❛t❡ t❤❡✐r ❡①♣❡❝t❡❞ ♣❛②♦✛ ❢r♦♠ t❤❡ r❡❛❧✐③❡❞ st❛t❡ ❛♥❞ ❛❝t✐♦♥s ❛♥❞ ❞❡t❡r♠✐♥❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛❜❧❡ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✉♥❞❡r t❤❡ ♣r❡s❡♥t ❝✐r❝✉♠st❛♥❝❡s✳ ❚❤❡ ♠❛✐♥ ❡①❡r❝✐s❡ ❢♦r t❤❡ ♣❧❛②❡rs ✐s t♦ ❞❡t❡r♠✐♥❡ ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐♥❝❡♥t✐✈❡ t♦ ✐♥✈❡st t❤❛t ✇♦✉❧❞ ❛❧❧♦✇ t❤❡♠ t♦ ❝❤♦♦s❡ ❛ ❜❡tt❡r ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❢❡❛s✐❜❧❡ s❡t ✉♥❞❡r t❤❡ ♣r♦s♣❡❝t ❢♦r r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ❡①✲❛♥t❡✳ ✻
7.
▲✐t❡r❛t✉r❡ ❘❡✈✐❡✇ ♦♥
❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r② ✲ ❏✳❱✐❞❛✉rr❡ ❋✐rst✱ ✐❢ ✇❡ ❛♥❛❧②③❡ ♦♥❧② t❤❡ ❙t❛t❡ ❈♦♥t✐♥❣❡♥t P❛②♦✛ ✭❜❛s❡❞ ❥✉st ♦♥ t❤❡ tr❛❞❡ ❢❛❝❡ ❢r♦♠ ❞❛t❡ ✻✮ ♠❡ss❛❣❡s ❜❡❝♦♠❡ ✐rr❡❧❡✈❛♥t ❜❡❝❛✉s❡ ✇❡ ❝❛♥ ♠❛♣ t❤❡ ♣❛②♦✛s ❞✐r❡❝t❧② ❢r♦♠ t❤❡ ❛❝t✐♦♥s✱ ˆy : A → R2✱ s✐♥❝❡ t❤❡s❡ ❛r❡ ❥✉st ❢✉♥❝t✐♦♥s ♦❢ t❤❡ r❡❛❧✐③❡❞ st❛t❡ ✭❛ss✉♠✐♥❣ t❤❛t t❤❡ ♣❛rts ❛❝t ♦♣t✐♠❛❧❧② ❢♦r t❤❡ tr✉❡ st❛t❡✮✿ w(θ) ≡ u(ˆa(θ), θ) + ˆy(ˆa(θ)) ✇❤❡r❡ w(θ)✐s t❤❡ ❙t❛t❡ ❈♦♥t✐♥❣❡♥t P❛②♦✛ ❋✉♥❝t✐♦♥✳ ❚❤✉s✱ ✇❡ ❝❛♥ ❢♦r♠❛❧❧② ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❙t❛t❡ ❈♦♥t✐♥❣❡♥t P❛②♦✛ ❋✉♥❝t✐♦♥ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ W ≡ {w : Θ → R2 /functions ˆy and ˆa exist such that, for every θ ǫ Θ, the State Contingent Payoff Function holds and ˆa(θ) is a Nash Equilibrium of the game < A, u(•, θ) + ˆy(•) >} ❍♦✇ ✇♦✉❧❞ t❤✐s s❝❡♥❛r✐♦ ❝❤❛♥❣❡ ✐❢ t❤❡ ❡♥❢♦r❝❡r ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ ✐♠♣♦s❡ ❛♥ ❊♥❢♦r❝✐♥❣ ❈♦♥tr❛❝t t❤❛t ✐♠♣♦s❡s ❛ ♣❛rt✐❝✉❧❛r ❛❝t✐♦♥ r❡❣❛r❞❧❡ss ♦❢ t❤❡ st❛t❡ ❜② ✉s✐♥❣ ♣❡♥❛❧t✐❡s❄ ❍❡ ✇♦✉❧❞ ♥❡❡❞ t♦ ✐♠♣♦s❡ ❛ ♣❡♥❛❧t② ✏L✑ t❤❛t ❣♦❡s ❢r♦♠ t❤❡ ♣❧❛②❡r ✇❤♦ ❜r❡❛❝❤❡s t❤❡ ❝♦♥tr❛❝t t♦ t❤❡ ♦t❤❡r ♣❧❛②❡r s✉❝❤ t❤❛t L > Supa,θUi(a, θ) − Infa,θUi(a, θ)✳ ❚❤✐s ♣❡♥❛❧t② ❛❧❧♦✇s t♦ ❡♥❢♦r❝❡ a∗ ❛♥❞ t∗ ✐♥ ❡✈❡r② st❛t❡ θ✳ ■❢ ♣❧❛②❡r ✐ ❞❡✈✐❛t❡s ❛♥❞ ♣❧❛②❡r ❥ ♣❧❛②s t❤❡ ❡♥❢♦r❝✐♥❣ ❛❝t✐♦♥✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦r❝✐♥❣ tr❛♥s❢❡r ❢✉♥❝t✐♦♥s ˆyi(ai, a∗ j ) ≡ t∗ i − L ❛♥❞ ˆyj(ai, a∗ j ) ≡ t∗ i + L✳ ❲❡ ❝❛♥ ❢♦r♠❛❧❧② ❞❡✜♥❡ t❤❡ P❛②♦✛ ❋♦r❝✐♥❣ ❋✉♥❝t✐♦♥ ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ WF ≡ {w : Θ → R2 /there exists a∗ ǫ A and t ǫ R2 such that w(θ) ≡ u(a∗ , θ) + t∗ , for all θ ǫ Θ} ❚❤✉s✱ r❡str✐❝t✐♥❣ ♦✉r ❛tt❡♥t✐♦♥ t♦ t❤❡ s✉❜s❡t WF ♦❢ W ✐s ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ tr❡❛t✐♥❣ tr❛❞❡ ❛❝t✐♦♥s ❛s ♣✉r❡❧② ♣✉❜❧✐❝✳ ◆♦✇✱ ✇❡ ❝❛♥ ✐♥tr♦❞✉❝❡ t❤❡ ♣♦ss✐❜✐❧✐t② ♦❢ ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥✳ ❆❣❡♥ts ✇✐❧❧ tr② t♦ ♠❛♥✐♣✉❧❛t❡ t❤❡ r❡s✉❧t ❛♥❞ ♠❛❦❡ ✐t ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ t❤❡ ❙t❛t❡ ❈♦♥t✐♥❣❡♥t ♦♥❡ ❜② ❝❤♦♦s✐♥❣ ❛❝t✐♦♥s t❤❛t ✇♦✉❧❞ ♠❛♣ ✐♥t♦ s✐♠✐❧❛r ♣❛②♦✛s✳ ❲❡ ❞❡✜♥❡ t❤❡ ❖♣t✐♠❛❧ ❚r❛❞❡ ❆❝t✐♦♥s ❢✉♥❝t✐♦♥✿ γ(θ) = MaxaǫA[U1(a, θ) + U2(a, θ)] ❑♥♦✇✐♥❣ t❤❡ ❡♥❢♦r❝❡r ✇♦✉❧❞ ❧✐❦❡ t♦ ✐♠♣♦s❡ ❛ s♣❡❝✐✜❝ ♦✉t❝♦♠❡✱ t❤❡ ❛❣❡♥ts ❝❛♥ ✉s❡ ♦♣t✐♠❛❧ tr❛❞❡ ❛❝t✐♦♥ r❡s✉❧ts t❤❛t ✇♦✉❧❞ ❛❧❧♦✇ t❤❡ ❛❜♦✈❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ t♦ ❜❡ ❡①♣r❡ss❡❞ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ ♣✉❜❧✐❝ ❛❝t✐♦♥ ♣❛②♦✛s✿ γ(θ) = MaxwǫWF [w1(θ) + w2(θ)] ✇❤✐❝❤ r❡♣r❡s❡♥ts ❡✣❝✐❡♥t ♣❛②♦✛s ✇ ✐♥ ❡❛❝❤ st❛t❡ θ✳ ■❢ t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ ✐s ✐♥❡✣❝✐❡♥t✱ ✇❡ ❝❛♥ ✐♥tr♦❞✉❝❡ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ t♦ r❡❛❧❧♦❝❛t❡ t❤❡ s✉r♣❧✉s r(w, θ) ≡ γ(θ) − w1(θ) − w2(θ) ✇❤✐❝❤ r❡♣r❡s❡♥ts ❛♥ ❡✣❝✐❡♥t ♠❛♣♣✐♥❣ Θ → R2✳ ❚❤✉s✱ ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ✐♥❡✣❝✐❡♥t ♦✉t❝♦♠❡ w✱ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ❛❧❧♦✇s t♦ ♦❜t❛✐♥ t❤❡ ♥❡✇ ♣❧❛②❡r ✐✬s ❡✣❝✐❡♥t ♦✉t❝♦♠❡✿ ✼
8.
▲✐t❡r❛t✉r❡ ❘❡✈✐❡✇ ♦♥
❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r② ✲ ❏✳❱✐❞❛✉rr❡ w′ i(θ) = wi(θ) + πir(w, θ) . . . . . . πi represents bargaining weight ✸✳✶✳✶✳ ■♥t❡r✐♠ ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥✿ ▲❡t✬s ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡r❡ ✐s ❛ s❡t ♦❢ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛❜❧❡ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s V n✱ ♦♥❡ ❢♦r ❡❛❝❤ st❛t❡✱ ❛♥❞ t❤❛t t❤❡ ♣✉♥✐s❤♠❡♥t ❢♦r ✉♥❡q✉❛❧ ♠❡ss❛❣❡s (θ, θ ′ ) ✐s ❜✐❣ ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ r❡❧② ♦♥ t❤❡ r❡✈❡❧❛t✐♦♥ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ✭(θ, θ) ✐s t❤❡ ◆❛s❤ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❢♦r θ✮✳ ■♥t❡r✐♠ ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ✭❉❛② ✸✮ ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ♥❡✇ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥ ν t❤❛t ✐s ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛❜❧❡ ❛♥❞ ❡✣❝✐❡♥t ♦♥❧② ✐❢ t❤❡ ♠❡ss❛❣❡ ❣❛♠❡ ❧❡❛❞s t♦ t❤❡ ✐♥❡✣❝✐❡♥t ♦✉t❝♦♠❡ ν′ ǫ V n s✉❝❤ t❤❛t✿ ν(θ) = ν′ (θ) + πr(ν′ , θ) ❚❤✉s✱ ν ǫ V I✭s❡t ♦❢ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛❜❧❡ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✇✐t❤ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥✮ ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ν ǫ V N ❛♥❞ ν1(θ) + ν2(θ) = γ(θ)✳ ❲❡ s❡❡ t❤❛t P✉❜❧✐❝ ❆❝t✐♦♥s ❛♥❞ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❆❝t✐♦♥s ❝❛♥ ❜❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t ✐♥ t❤❡ s❡tt✐♥❣ ♦❢ ✐♥t❡r✐♠ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥✳ ✸✳✶✳✷✳ ❊①✲P♦st ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥✿ ❇❡t✇❡❡♥ ♣❧❛②✐♥❣ t❤❡ ♠❡ss❛❣❡ ❣❛♠❡ ❛♥❞ t❤❡ ❡♥❢♦r❝❡♠❡♥t ♣❤❛s❡✱ ❊①✲ P♦st ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ✭❉❛② ✺✮ ❝❛♥ ❧❡❛❞ t♦ ❡✣❝✐❡♥t ♦✉t❝♦♠❡s ✐♥ ❡✈❡r② st❛t❡✳ ❚❤❡ s❡t ♦❢ ♣♦ss✐❜❧❡ ❊①✲P♦st ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ♦✉t❝♦♠❡s ✐s✿ Z ≡ {z : Θ → R2 /there exists an outcome w ǫ W such that z(θ) ≡ w(θ) + πr(w, θ) for all θ ǫ Θ} ❚♦ ❞❡✜♥❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛❜❧❡ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✉♥❞❡r ❊①✲P♦st ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ♣❧❛②✐♥❣ t❤❡ ◆❛s❤ ❊q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ♠❡ss❛❣❡s ❧❡❛❞s t♦ ν(θ)✳ ❚❤✉s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ νǫV EP ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✿ (i) ν1(θ) + ν2(θ) = γ(θ) for every θ ǫ Θ, and (ii) for every θ, θ′ ǫΘ, there is ˆzǫZ such that ν1(θ) + ν2(θ′ ) ≥ ˆz1(θ) + ˆz2(θ′ ) ❚❤❡ ❧❛st ❝♦♥❞✐t✐♦♥ r❡❢❡rs t♦ t❤❡ ❢❛❝t t❤❛t r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ❝❛♥ ♥♦t ♦✉t❞♦ ♣✉♥✐s❤♠❡♥t✳ ✸✳✶✳✸✳ ❊①✲P♦st ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ❞✉r✐♥❣ t❤❡ ❋♦r❝✐♥❣ P❤❛s❡✿ ❚❤❡ ❞✐✛❡r❡♥❝❡ ✇✐t❤ r❡s♣❡❝t t♦ t❤❡ ♣r❡✈✐♦✉s ❝❛s❡ ✐s t❤❛t t❤❡ ❛❣❡♥ts ✇✐❧❧ r❡♥❡❣♦t✐❛t❡ ♦♥❧② ❛❢t❡r t❤❡ ❡♥❢♦r❝❡r ✐♠♣♦s❡s t❤❡ ♦✉t❝♦♠❡ ♦❢ t❤❡ ❝♦♥tr❛❝t ✭✐✳❡✳ ❚❤❡ ●♦✈❡r♥♠❡♥t ❦♥♦✇s t❤❡ st❛t❡✱ ❢♦r❝❡s ❝♦♥tr❛❝ts ✇❤✐❝❤ ❧❡❛❞ t♦ ν(θ) ❛♥❞ ♦♥❧② t❤❡♥ ✜r♠s ✇✐❧❧ ♥❡❣♦t✐❛t❡✮✳ ❚r❛♥s♣♦s✐♥❣ t❤❡ ✐❞❡❛ ❢r♦♠ ❛❜♦✈❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡✿ ZF ≡ {z : Θ → R2 /there exists an outcome w ǫ WF such that z(θ) ≡ w(θ) + πr(w, θ) for all θ ǫ Θ} ❚❤✉s✱ ✇❡ ❤❛✈❡ νǫV EPF ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢✿ (i) ν1(θ) + ν2(θ) = γ(θ) for every θ ǫ Θ, and ✽
9.
▲✐t❡r❛t✉r❡ ❘❡✈✐❡✇ ♦♥
❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r② ✲ ❏✳❱✐❞❛✉rr❡ (ii) for every θ, θ′ ǫΘ, there is ˆzǫZF such that ν1(θ) + ν2(θ′ ) ≥ ˆz1(θ) + ˆz2(θ′ ) ❲❡ s❡❡ t❤❛t t❤❡ ❛♥❛❧②s✐s ♣r❡s❡♥t❡❞ ❛❜♦✈❡ s❤♦✇s t❤❡ t❤r❡❡ ❞✐✛❡r❡♥t ♣♦ss✐❜✐❧✐t✐❡s ❢♦r r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ t❤❛t ❝❛♥ ❧❡❛❞ t♦ ❡✣❝✐❡♥t ♦✉t❝♦♠❡s ❢♦r t❤❡ ❛❣❡♥ts✳ ■♥ ❣❡♥❡r❛❧ ✇❡ s❡❡ t❤❛t ✐❢ t❤❡ ❡♥❢♦r❝❡r ✉s❡s ♣✉♥✐s❤♠❡♥t ❛s ❛ t♦♦❧ t♦ ♣r❡✈❡♥t ❞❡✈✐❛t✐♦♥ ❢r♦♠ t❤❡ tr✉❡ st❛t❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡✿ V EPF ⊆ V EP ⊆ V I ⊆ V N ❆❧s♦✱ ♣✉r❡❧② P✉❜❧✐❝✲❆❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧s ❢❛✐❧ t♦ ❝❤❛r❛❝t❡r✐③❡ t❤❡ s❡t ♦❢ ✐♠♣❧❡♠❡♥t❛❜❧❡ ✈❛❧✉❡ ❢✉♥❝t✐♦♥s ✐❢ ✇❡ ❝♦♥s✐❞❡r ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ tr❛❞❡ ❛❝t✐♦♥ ✭❛r❣✉❛❜❧② ❛ s❤♦rt❢❛❧❧ ♦❢ ▼❡❝❤❛♥✐s♠ ❉❡s✐❣♥✮✳ ■♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧s ✇✐t❤ ❊①✲P♦st ❘❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ❝❛♥ ❜❡ ❡q✉✐✈❛❧❡♥t t♦ ♣✉❜❧✐❝✲❛❝t✐♦♥ ♠♦❞❡❧s ✇✐t❤ ■♥t❡r✐♠ ❘❡♥❡✲ ❣♦t✐❛t✐♦♥ ❜✉t t❤✐s ✐s ♥♦t ❛❧✇❛②s t❤❡ ❝❛s❡✳ V EP = V I ✐❢ ❛♥❞ ♦♥❧② ✐❢ ❢♦r ❛❧❧ θ, θ′ǫΘ ❛♥❞ ˆwǫWF t❤❡r❡ ✐s ˆzǫZ s✉❝❤ t❤❛t ˆz1(θ) + ˆz2(θ′) ≤ ˆw1(θ) + ˆw2(θ′) ✭✇❡ ❛r❡ ❢♦r❝✐♥❣ t❤❡ V I r❡s✉❧t ✈✐❛ ♣✉♥✐s❤♠❡♥ts s♦ V EP = V I✮ ✭❙❡❡ Pr♦♦❢ ❢♦r ❚❤❡♦r❡♠ ✸ ♦♥ ❲❛ts♦♥ ✭✷✵✵✼✮✮✳ ❚❤❡ ✉s❡❢✉❧♥❡ss ♦❢ ❡①♣❧✐❝✐t❧② ❛❝❝♦✉♥t✐♥❣ ❢♦r t❤❡ ❚❡❝❤♥♦❧♦❣② ♦❢ ❚r❛❞❡ ✐s t♦ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ t❛❦❡ ✐♥t♦ ❛❝❝♦✉♥t t❤❡ ❡✛❡❝t ♦❢ ✐♥❞✐✈✐❞✉❛❧ ❛❝t✐♦♥s ♦♥ t❤❡ ✜♥❛❧ ♦✉t❝♦♠❡ ♦❢ ❛ ❝♦♥tr❛❝t ❛♥❞ ❢♦r t❤❡ ❡♥❢♦r❝❡r t♦ ❜❡ ❛❜❧❡ t♦ ❤❛✈❡ ❛ ♠♦r❡ ❝♦♠♣r❡❤❡♥s✐✈❡ ✉♥❞❡rst❛♥❞✐♥❣ ♦❢ ❝♦❧❧✉s✐✈❡ ❜❡❤❛✈✐♦r t❤❛t ❝❛♥ ❞✐st♦rt t❤❡ ❞❡s✐r❡❞ ❡✛❡❝t ♦♥ ❣r♦✉♣ ✇❡❧❢❛r❡✳ ✸✳✷✳ ❙✐♠♣❧❡ ❈♦♥tr❛❝ts ❛♥❞ ❊✣❝✐❡♥t ❖✉t❝♦♠❡s✳ ❚❤✐s s❡❝t✐♦♥ ✐s ❜❛s❡❞ ♦♥ ❘♦❜❡rt ❊✈❛♥✬s ✷✵✵✽ ♣❛♣❡r ✏❙✐♠♣❧❡ ❊✣❝✐❡♥t ❈♦♥tr❛❝ts ✐♥ ❈♦♠♣❧❡① ❊♥✈✐r♦♥♠❡♥ts✑ ✐♥ ✇❤✐❝❤ t❤❡ ❛✉t❤♦r ❡①♣❧♦r❡s t❤❡ ❤♦❧❞✉♣ ♣r♦❜❧❡♠ ✭t❤❡ ✐❞❡❛ t❤❛t ✷ ❛❣❡♥ts ❝❛♥ ❛❝❤✐❡✈❡ ❤✐❣❤❡r ❡✣❝✐❡♥❝② ❜② ❝♦♦♣❡r❛t✐♥❣ ❜✉t t❤❡② r❡❢r❛✐♥ ❢r♦♠ ❞♦✐♥❣ s♦ ❜❡❝❛✉s❡ ✐♥ t❤❡ ♣r♦❝❡ss✱ t❤❡② ♠❛② ✐♥❝r❡❛s❡ t❤❡ ♦t❤❡r ♣❛rt②✬s ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣♦✇❡r✮ ❛♥❞ ❤♦✇ ❛♥ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ❝♦♥tr❛❝t ❞❡s✐❣♥ ❝❛♥ s♦❧✈❡ ✐t✳ ❘❡❛❧ ✇♦r❧❞ ❝♦♥tr❛❝ts ❛r❡ ✈❡r② s✐♠♣❧❡ ❛♥❞ ♠❛♥② t✐♠❡s ❛❝❤✐❡✈❡ ❡✣❝✐❡♥t ♦✉t❝♦♠❡s✳ ■❢ t❤❡ ❛❣❡♥ts ❛r❡ ❣✐✈❡♥ ❡♥♦✉❣❤ t✐♠❡ t♦ r❡♥❡❣♦t✐❛t❡✱ ❡✣❝✐❡♥t ✐♥✈❡st♠❡♥ts ❛r❡ ♥♦ ❧♦♥❣❡r ❛♥ ✐ss✉❡ ❜❡❝❛✉s❡ ✐♥ ❢❛❝t✱ t❤❡ ❛❣❡♥ts ❡①♣❡❝t t♦ ❛❝❤✐❡✈❡ t❤❡ ❜❡st ♦✉t❝♦♠❡ ♣♦ss✐❜❧❡✳ ❚❤✐s ♣♦✐♥t ✐s s❤♦✇♥ ❜❡❧♦✇ ✉s✐♥❣ ❛ s✐♠♣❧❡ s❡tt✐♥❣✿ ❆ ❜✉②❡r ❛♥❞ ❛ s❡❧❧❡r✱ ❡❛❝❤ ✇✐t❤ ✐♥✈❡st♠❡♥t ♦♣♣♦rt✉♥✐t✐❡s ✉♥❞❡r ♥♦♥✲❝♦♦♣❡r❛t✐✈❡ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥✳ ❙✐♥❝❡ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❢✉t✉r❡ ❝♦♥t✐♥❣❡♥❝✐❡s ❛r❡ ♥♦t ❢✉❧❧② ❞❡s❝r✐❜❛❜❧❡ ❡①✲❛♥t❡✱ ♦♥❡ ♣❛rt② ❤❛s t❤❡ ❛✉t❤♦r✐t② t♦ ❞❡s❝r✐❜❡ t❤❡ t❡r♠s ♦❢ tr❛❞❡ ❡①✲♣♦st ❛♥❞ t❤❡ ♦t❤❡r ❤❛s t❤❡ ♥♦♥✲❡①♣✐r✐♥❣ ♦♣t✐♦♥ ✇❤❡t❤❡r t♦ tr❛❞❡ ♦r ♥♦t✳ ❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t t❤❡ ❜✉②❡r s♣❡❝✐✜❡s t❤❡ t❡r♠s ❡①✲♣♦st ❛♥❞ ❜❛s❡❞ ♦♥ t❤❡ ❝✉rr❡♥t ❝♦♥tr❛❝t ❛♥❞ ❛♥② ✐♥✈❡st♠❡♥t ♠❛❞❡✱ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ❡✣❝✐❡♥t ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✳ ❚❤❡ s❡❧❧❡r✱ ❤❛✈✐♥❣ t❤❡ ♦♣t✐♦♥ t♦ ❞♦ s♦✱ ❝❛♥ r❡❥❡❝t t❤❡ ♦✛❡r ❛♥❞ ❜❛r❣❛✐♥ ❢♦r ❛ ♥❡✇ ❝♦♥tr❛❝t t❤❛t✱ s✐♥❝❡ t❤❡r❡ ❛r❡ ♠✉❧t✐♣❧❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐❛ ✐♥ t❤❡ ♥❡✇ ❣❛♠❡✱ ✇✐❧❧ ❜❡ ❜❛s❡❞ ♦♥ ✐♥✐t✐❛❧ ✐♥✈❡st♠❡♥ts ❣✐✈✐♥❣ t❤❡ ♣❧❛②❡rs ❛♥ ✐♥❝❡♥t✐✈❡ t♦ ✐♥✈❡st ❡✣❝✐❡♥t❧②✳ ■❢ t❤❡ ❜✉②❡r ♦✛❡rs ✐♥❝♦rr❡❝t ♦r ✐♥❡✣❝✐❡♥t t❡r♠s✱ ❤❡ ❝❛♥ ❜❡ ♣✉♥✐s❤❡❞ ❜② s❡❧❡❝t✐♥❣ t❤❡ ❛♣♣r♦♣r✐❛t❡ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠✳ ❲❡ ♥♦t✐❝❡ t❤❛t ✐♥❝♦♠♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝ts ❝❛♥ ❜❡ ♦♣t✐♠❛❧ ✇❤❡♥ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ✐s ♣r❡s❡♥t s✐♥❝❡ t❤❡② ❛❧❧♦✇ ❢♦r t❤❡ ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥ ♦❢ ❡✣❝✐❡♥t ✐♥✈❡st♠❡♥t ❧❡✈❡❧s ❛♥❞ ❞♦ ♥♦t t✐❡ t❤❡ ❛❣❡♥ts t♦ ♦♥❧② ♦♥❡ ♦✉t❝♦♠❡ ♦♥❝❡ t❤❡ st❛t❡ ✐s r❡❛❧✐③❡❞✳ ❆❧s♦✱ ✐t ✐s ♦♣t✐♠❛❧ t♦ ❣✐✈❡ ❛✉t❤♦r✐t② t♦ t❤❡ ♣❛rt② t❤❛t ❤❛s r❡❧❛t✐✈❡❧② ❤✐❣❤ ✾
10.
▲✐t❡r❛t✉r❡ ❘❡✈✐❡✇ ♦♥
❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r② ✲ ❏✳❱✐❞❛✉rr❡ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❝♦st ♦r ❧♦✇ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣♦✇❡r✳ ❚❤✐s ✇❛②✱ t❤❡ ♣❛rt② ✇✐t❤ ❤✐❣❤ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ♣♦✇❡r ❤❛s ❛♥ ✐♥❝❡♥t✐✈❡ t♦ ✐♥✈❡st ❡✛❡❝t✐✈❡❧② ✐♥ t❤❡ r❡❧❛t✐♦♥s❤✐♣✳ ❚❤❡ s❡t ✉♣ ❡①♣❧❛✐♥❡❞ ❛❜♦✈❡ ✐s ❡♥♦✉❣❤ t♦ ❝❛st ❞♦✉❜t ♦♥ t❤❡ ❝❧❛ss✐❝❛❧ ❛r❣✉♠❡♥t t❤❛t t❤❡ ❤♦❧❞✲✉♣ ♣r♦❜❧❡♠ ❞♦❡s ♥♦t ❛❧❧♦✇ ❢♦r ❡✣❝✐❡♥t ❝♦♥tr❛❝t✐♥❣✳ ❚♦ ❡①♣❧❛✐♥ ❢♦r ❡✣❝✐❡♥❝② ❢❛✐❧✉r❡s ✇❡ ♠❛② ❧♦♦❦ ✐♥ t❤❡ ❞✐r❡❝t✐♦♥ ♦❢ ❛s②♠♠❡tr② ♦❢ ✐♥❢♦r♠❛t✐♦♥ ❛♥❞✴♦r ❢❛✐❧✉r❡s ♦❢ ❡①✲♣♦st ✈❡r✐✜❛❜✐❧✐t②❬✶✸❪✳ ✸✳✷✳✶✳ ❚❤❡ ▼♦❞❡❧✿ ❲❡ ❛ss✉♠❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣❛r❛♠❡t❡rs✿ ❆ ❜✉②❡r ✭❇✮ ❛♥❞ ❛ s❡❧❧❡r ✭❙✮ ✇✐t❤ ✐♥✈❡st✲ ♠❡♥ts iS, iB ǫ [0, ∞ > ✇✐t❤ ❝♦st ψS(iS) ❛♥❞ ψB(iB) ✱ ❛ st❛t❡ θǫΘ✇❤✐❝❤ ✐s r❡❛❧✐③❡❞ ❛❢t❡r ✐♥✈❡st✲ ♠❡♥ts ❛r❡ ♠❛❞❡✱ ❛♥❞ ❛ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❧❡✈❡❧ ✇❤✐❝❤ ❤❛♣♣❡♥s ❛❢t❡r t❤❡ ✐♥✈❡st♠❡♥ts ❛♥❞ st❛t❡ ❛r❡ ♦❜s❡r✈❡❞ aǫA(iS, iB, θ)✳ ❙ ✇✐❧❧ ♣r♦❞✉❝❡ aǫA(iS, iB, θ) ❛♥❞ ❇ ✇✐❧❧ ♣❛② p t♦♣ ❙ ✇❤✐❝❤ ♣r♦❞✉❝❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♣❛②♦✛s✿ B : V (iS, iB, θ, a) − p − ψB(iB) S : P − C(iS, iB, θ, a) − ψS(iS) ❚❤✉s✱ a ❤❛s t♦ ❜❡ t❤❡ s♦❧✉t✐♦♥ ❢♦r✿ MaxaǫA(iS, iB, θ) V (iS, iB, θ, a) − C(iS, iB, θ, a) ❙✐♥❝❡ a ✐ts❡❧❢ ✐s ❛ ❢✉♥❝t✐♦♥ ♦❢ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❧❡✈❡❧ ❛♥❞ t❤❡ st❛t❡✱ ✇❡ ❤❛✈❡ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ♥♦t❛t✐♦♥ ❢♦r t❤❡ s✉r♣❧✉s✿ σ(iS, iB, θ) = V (a(iS, iB, θ)) − C(a(iS, iB, θ)) ❚❤❡ ♠❛①✐♠✐③❛t✐♦♥ ♣r♦❜❧❡♠ ✐♥ t❡r♠s ♦❢ t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ s✉r♣❧✉s ❜❡❝♦♠❡s✿ MaxiSǫR+, iBǫR+ Eθσ(iS, iB, θ) − ψS(iS) − ψB(iB) ❚❤✉s✱ t❤❡r❡ ✐s ❛♥ ♦♣t✐♠❛❧ ❧❡✈❡❧ ♦❢ ✐♥✈❡st♠❡♥ts i∗ S, i∗ B t❤❛t ❣✐✈❡ t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ✉t✐❧✐t② U∗ > 0✳ ✸✳✷✳✷✳ ❚❤❡ ❆r❣✉♠❡♥t✿ ❚❤❡ ♠♦❞❡❧ ♣r❡s❡♥t❡❞ ❛❜♦✈❡ ❤❛s t♦ ❜❡ s✉♣♣♦rt❡❞ ❜② t❤❡ s♣❡❝✐✜❝❛t✐♦♥ ♦❢ ✇❤❛t ❝♦♥tr❛❝ts ❛r❡ ❡♥❢♦r❝❡❛❜❧❡✱ t❤❡ ❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ♣r♦❝❡ss ❛♥❞ t❤❡ ❞❛t❡s ❢♦r ❞❡❧✐✈❡r② ♦❢ t❤❡ ♣r♦❞✉❝ts ✭✇❡ ❝♦✉❧❞ ❥✉st ✐♥❝❧✉❞❡ ❛ ❞✐s❝♦✉♥t ❢❛❝t♦r δ ✐♥t♦ ♦✉r ❝❛❧❝✉❧❛t✐♦♥s ❢♦r t❤❡ ❡①♣❡❝t❡❞ s✉r♣❧✉s✮✳ ❚♦ ♠❛❦❡ s✉r❡ t❤❛t t❤❡ ❜✉②❡r ❛❧✇❛②s ✐♥✈❡sts t❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ❛♠♦✉♥t ❛♥❞ ❞♦❡s ♥♦t tr② t♦ ❝❤❡❛t ❜② ✉♥❞❡r✲✐♥✈❡st✐♥❣✱ ✇❡ ❛ss✉♠❡ t❤❛t ❢♦r ❛♥ ε > 0 ❛♥❞ iB ≤ i∗ B Eθσ(i∗ S, i∗ B, θ) − ψS(i∗ S) − ψB(i∗ B) > 1 2 Eθσ(i∗ S, iB, θ) − ψB(iB) + ε t❤❡r❡❢♦r❡ t❤❡ t♦t❛❧ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ s✉r♣❧✉s ❡①❝❡❡❞s ✇❤❛t t❤❡ ❜✉②❡r ❝❛♥ ❣❡t ❜② ✐♥✈❡st✐♥❣ ❛ ❧♦✇❡r ❛♠♦✉♥t ❛♥❞ ❣❡tt✐♥❣ ❤❛❧❢ ♦❢ t❤❡ ❣r♦ss s✉r♣❧✉s✳ ❚❤❡ t✐♠✐♥❣ ♦❢ t❤❡ ♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ✐s ❛s ❢♦❧❧♦✇s✿ ✶✵
11.
▲✐t❡r❛t✉r❡ ❘❡✈✐❡✇ ♦♥
❈♦♥tr❛❝t ❚❤❡♦r② ✲ ❏✳❱✐❞❛✉rr❡ • ■♥ P❡r✐♦❞ ✵ ✭✉♥❞❡r ❛♥ ❛❝t✐✈❡ ❝♦♥tr❛❝t α0✮✿ ❇ ❛♥❞ ❙ ❝❤♦♦s❡ t❤❡ ❧❡✈❡❧s ♦❢ iS, iB ǫ [0, ∞ >✱ θ ✐s r❡❛❧✐③❡❞ ❛♥❞ ♦❜s❡r✈❡❞ ❜② ❜♦t❤ ♣❧❛②❡rs✱ ❇ ❝❤♦♦s❡s ❛ ♣✉❜❧✐❝ ♠❡ss❛❣❡ ❢r♦♠ ❛ s❡t M(iS, iB, θ)✱ ❙ ♣r♦♣♦s❡s ❛ ❝♦♥tr❛❝t ❢r♦♠ ❛ s❡t C ♦r ♠❛❦❡s ♥♦ ♣r♦♣♦s❛❧✱ ❇ ❛❝❝❡♣ts ♦r r❡❥❡❝ts ❙✬s ♣r♦♣♦s❛❧✱ ❙ ♣r♦❞✉❝❡s ❛♥❞ tr❛❞❡s a ♦r ❡❧s❡ ❝❤♦♦s❡s ♥♦t t♦ ♣r♦❞✉❝❡✳ Pr♦❞✉❝t✐♦♥ ❡♥❞s t❤❡ ❣❛♠❡✳ ■❢ ♥♦t✱ ✐t ❝♦♥t✐♥✉❡s t♦ t❤❡ ♥❡①t ♣❡r✐♦❞✳ • ■♥ P❡r✐♦❞ ✶✿ ❇ ♣r♦♣♦s❡s ❛ ❝♦♥tr❛❝t ❢r♦♠ C✱ ❙ ❛❝❝❡♣ts ♦r r❡❥❡❝ts✱ ❛♥❞ t❤❡♥ ❙ ❝❤♦♦s❡s t♦ ♣r♦❞✉❝❡ ♦r ♥♦t✳ ■❢ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥✱ t❤❡ ❣❛♠❡ ✇✐❧❧ ❝♦♥t✐♥✉❡ ✇✐t❤ ❛ ❞✐✛❡r❡♥t ♣r♦♣♦s❡r ❡❛❝❤ t✐♠❡ ✉♥t✐❧ ❙ ♣r♦❞✉❝❡s t❤❡ ❣♦♦❞ ❛♥❞ t❤❡ ❣❛♠❡ ❡♥❞s✳ ■♥ ❡❛❝❤ ♣❡r✐♦❞ t❤❡ r✉❧✐♥❣ ❝♦♥tr❛❝t ✐s ❡✐t❤❡r α0 ♦r t❤❡ ❧❛t❡st ❛❝❝❡♣t❡❞ ✈❡rs✐♦♥✳ ❚❤❡ ❝♦✉rt ♦❜s❡r✈❡s t❤❡ ♠❡ss❛❣❡ ❛♥❞ ✇❤❡t❤❡r ❙ ❤❛s ♣r♦❞✉❝❡❞ ♦r ♥♦t ✐♥ ❡❛❝❤ ♣❡r✐♦❞✳ ✸✳✷✳✸✳ ❚❤❡ ♦♣t✐♠❛❧ ❈♦♥tr❛❝t✿ ■♥ ❡❛❝❤ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ♣❤❛s❡✱ t❤❡ ♣❛rt✐❡s ❛r❡ ❛❧❧♦✇❡❞ t♦ ♣r♦♣♦s❡ ❛ ❝♦♥✲ tr❛❝t ♦❢ t❤❡ ❢♦❧❧♦✇✐♥❣ ❢♦r♠✿ ✏ ■❢ ❙ ♣r♦❞✉❝❡s ❣♦♦❞ ˆa ✐♥ t❤✐s ♣❡r✐♦❞✱ t❤❡♥ ❇ ♠✉st ♣❛② p t♦ ❙❀ ✐❢ ❙ ❞♦❡s ♥♦t ♣r♦❞✉❝❡ ✐♥ t❤✐s ♣❡r✐♦❞✱ t❤❡♥ ❙ ♠✉st ♣❛② P − p t♦ ❇✑✳ P ✐s t❤❡ ✉♣♣❡r ❜♦✉♥❞ ♦❢ σ + c ✭t❤✐s ✇❛②✱ ✇❤❛t ❙ ✐s ♣❛②✐♥❣ ❇ ✐s t❤❡ r❡♣❛r❛t✐♦♥ ❢♦r ❤✐s ❧♦st ❣❛✐♥✮✳ ❚❤❡ ♠❡ss❛❣❡s s❡♥t ❜② ❇ ✇✐❧❧ ❜❡ ♦❢ t❤❡ ❢♦r♠ (a, p)✳ ◆♦✇✱ ✐❢ ✇❡ ✐♥❝❧✉❞❡ ❛ ❞✐s❝♦✉♥t ❢❛❝t♦r✱ s✐♥❝❡ ♣r♦❞✉❝t✐♦♥ ❝❛♥ t❛❦❡ ♣❧❛❝❡ ❛t ❛♥② ♣❡r✐♦❞ t✱ ❙ ❣❡ts t❤❡ ♣❛②♦✛ −c(a)δt − ψS(iS) ❛♥❞ ❇ ❣❡ts v(a)δt − ψB(iB) ✭t❤❡s❡ ♣❛②♦✛s ❞♦ ♥♦t ✐♥❝❧✉❞❡ tr❛♥s❢❡rs ②❡t✮✳ ❋♦r t❤✐s ❣❛♠❡ g(αo) ✇❡ ❝❛♥ ❝r❡❛t❡ ❛ s✐♠♣❧❡ ❝♦♥tr❛❝t ˜α0 t❤❛t ❝♦♠❜✐♥❡s ❛♥ ♦♣t✐♦♥ ❝♦♥tr❛❝t ❢♦r ❙ ✇✐t❤ ❛ ♣❛rt✐❛❧ ❛✉t❤♦r✐t② ❝♦♥tr❛❝t ❢♦r ❇✿ ❉❡✜♥✐t✐♦♥✿ ˜α0✿ ❆t st❡♣ ✸ ♦❢ ♣❡r✐♦❞ ✵ ✭✐✳❡✳ ❛❢t❡r ❧❡❛r♥✐♥❣ θ✮✱ ❇ ♥♦♠✐♥❛t❡s ❛ ❣♦♦❞ ab ❛♥❞ ❛ ♣r✐❝❡ p✳ ■❢ ❛t ❛♥② s✉❜s❡q✉❡♥t t✐♠❡✱ ❙ ♣r♦❞✉❝❡s t❤❡ ❣♦♦❞✱ t❤❡♥ ❇ ♠✉st ♣❛② p t♦ ❙✳ ■❢ ❙ ♣r♦❞✉❝❡s ❛ ❞✐✛❡r❡♥t ❣♦♦❞ ♦r ♥♦ ❣♦♦❞✱ t❤❡r❡ ❛r❡ ♥♦ ♣❛②♠❡♥t ❞✉❡ ❜② ❡✐t❤❡r ♣❛rt②✳ ■❢ t❤❡r❡ ✐s ♥♦ ♣r❡✲❡①✐st✐♥❣ ❝♦♥tr❛❝t✱ ♦♥❝❡ t❤❡ ❣♦♦❞ ❤❛s ❜❡❡♥ ❛❝❝❡♣t❡❞✱ ❙ s❤♦✉❧❞ ♣r♦❞✉❝❡ r✐❣❤t ❛✇❛② ❜❡❝❛✉s❡ P − p ❝❛♥ ♦✉t✇❡✐❣❤ ❛♥② ❢✉t✉r❡ ❜❡♥❡✜ts✳ ❚❤✉s✱ t❤❡ r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ♣r♦♣♦s❛❧ r❡♣r❡✲ s❡♥ts ❥✉st ❛ r❡❛❧❧♦❝❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ s✉r♣❧✉s✳ ❙♦✱ ❛t ♣❡r✐♦❞ ✵✱ ❇ ♥♦♠✐♥❛t❡s a(iS, iB, θ) ❛♥❞ p = c(a(iS, iB, θ)) + bσ(iS, iB, θ) ✭t❤❡ ♣r✐❝❡ ❣✐✈❡s ❙ ❛ s❤❛r❡ b ♦❢ t❤❡ ❛✈❛✐❧❛❜❧❡ s✉r♣❧✉s✮✳ ❙ ✇✐❧❧ ❜❡ ❜❡tt❡r ♦✛ ❜② ✇❛✐t✐♥❣ ❢♦r r❡♥❡❣♦t✐❛t✐♦♥ ✐♥ s✉❜s❡q✉❡♥t ♣❡r✐♦❞s ✐❢ b < δ2 (1+δ) ✳ ■♥ t❤✐s ❝❛s❡✱ t❤❡ ♣r♦❝❡ss ✐s r❡❞✉❝❡❞ t♦ ❛ st❛♥❞❛r❞ ❘✉❜✐♥st❡✐♥ ❜❛r❣❛✐♥✐♥❣ ❣❛♠❡✳ ❇✉t ✐❢ t❤❡r❡ ✐s ❛ ♣r❡✲❡①✐st✐♥❣ ❝♦♥tr❛❝t✱ ❛♥❞ b ✐s ❛❞❥✉st❡❞ t♦ t❤❡ r✐❣❤t ❧❡✈❡❧✱ ✐t ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ♠❛❦❡ ❙ ❛❧✇❛②s ❡①❡r❝✐s❡ t❤❡ ♦♣t✐♦♥ ✐❢ ❤❡ ❣❡ts ❛t ❧❡❛st b s❤❛r❡s ♦❢ t❤❡ s✉r♣❧✉s✳ ❙♦✱ b ❝❛♥ ❜❡ ✉s❡❞ t♦ ❣✐✈❡ t❤❡ r✐❣❤t ✐♥❝❡♥t✐✈❡ ✐♥ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❢r♦♠ t❤❡ ♦✛s❡t✳ ■♥ ❝♦♥❝❧✉s✐♦♥✱ ✇❡ s❡❡ t❤❛t ❛ s✐♠♣❧❡✱ ❡✣❝✐❡♥t ❝♦♥tr❛❝t ❝❛♥ s♣❡❝✐❢② t❤❡ s❤❛r✐♥❣ ♦❢ t❤❡ s✉r♣❧✉s ✐♥ s✉❝❤ ❛ ✇❛② t♦ ✐♥❞✉❝❡ t❤❡ ❡q✉✐❧✐❜r✐✉♠ ❧❡✈❡❧s ♦❢ ✐♥✈❡st♠❡♥t ❛♥❞ t❤❡ ❝♦♥t✐♥✉❛t✐♦♥ ♦❢ t❤❡ ✐♥✐t✐❛❧ ❝♦♥tr❛❝t α0 ❢♦r ❛♥② st❛t❡ θ✳ ❚❤✐s ♠❡❛♥s✿ Eθ(1 − b)σ(i∗ S, i∗ B, θ) − ψB(i∗ B) > δ 1 + δ Eθσ(i∗ S, iB, θ) − ψB(iB) ✸✳✸✳ ■♥❝♦♠♣❧❡t❡ ❈♦♥tr❛❝t✐♥❣✳ ❖♥❡ ♦❢ t❤❡ ♠❛✐♥ t♦♣✐❝s ✇✐t❤✐♥ t❤❡ ❚❤❡♦r② ♦❢ ❈♦♥tr❛❝ts ✐s ✏✐♥❝♦♠✲ ♣❧❡t❡ ❝♦♥tr❛❝t✐♥❣✑ ❛♥❞ t❤❡ ❞❡✈❡❧♦♣♠❡♥t ♦❢ t❤❡ t❤❡♦r❡t✐❝❛❧ ❢r❛♠❡✇♦r❦ t❤❛t ❝❛♥ ♣r♦✈✐❞❡ ♠♦r❡ r✐❣♦r♦✉s ❢♦✉♥❞❛t✐♦♥s t♦ t❤✐s s✉❜❥❡❝t✳ ✶✶
12.
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