2. Llamamos funciones racionales a las funciones
cuya formula es una expresión racional:
EJEMPLO: 3/x es
una expresión
racional, porque
el numerador
P(x)= 3 es un
polinomio y el
denominador
G(X)=x también
es un polinomio
no nulo
3.
4.
5.
6. El dominio en una función racional es el
conjunto de todos los valores de la
variable que no anulan al denominador
EJEMPLO: Consideremos la función j(x)= x2
– 1
x3
+ 3x2
– x – 3
Para indicar su dominio, factorizamos el denominador:
x3
+ 3x2
– x – 3= (x+3)(x-1)(x+1)
Raíces del denominador: x1= 3 x2= -1 x3= 1 Dom j: {3;1}
7. Al trabajar con funciones racionales nos resultara
conveniente simplificar sus formulas, es decir, sus
expresiones racionales. Es posible simplificarlas cuando
existen factores comunes al numerador y al
denominador; de lo contrario, la expresión racional es
irreducible
Consideremos la función j(x) de la diapositiva anterior. Una vez factorizados su
numerador y su denominador, podemos expresar su formula así:
j(x)= (x-1)(x+1)
(x+3)(x-1)(x+1)
Simplificando los factores comunes:
j(x)= (x-1)(x+1) = 1 (x 1; x -1)
(x+3)(x-1)(x+1) x+3
Las dos expresiones anteriores son equivalentes. Es mas sencillo trabajar con la
irreducible, pero sin perder de vista que el dominio de la función es el que
quedo determinado a partir de la expresión original
8. La intersección
del grafico de
una función f(x)
con el eje y se
produce cuando
la variable x se
anula. Esto es
posible
únicamente si
x=0 pertenece al
dominio de f(x);
en caso
contrario, no hay
intersección
EJEMPLO: Consideremos la funcion f(x)= x2
x2
-1
Nos preguntamos: ¿ x = 0 pertenece al dominio de f?... Si;
entonces, calculamos f(0) = )= 02
= 0 La
02
-1
interseccion del grafico de f con el eje y es el punto (0;0)
9. Las intersecciones del grafico de una función racional f(x)
con el eje x se producen para los valores de x que anulan la
función, es decir, para aquellos que anulan al numerador y
que pertenecen al dominio de f. esos valores de x, si existen,
son los ceros de f(x).
EJEMPLO: Hallemos los ceros de la función f(x)= x+1
x -1
Para hallar los ceros, resolvemos la ecuación: x+1=0 x= -1
Como x = -1 pertenece al dominio de f, el conjunto de ceros de f(x) es:
Cª={-1}
-1
10. A medida que x
toma valores cada
vez mas próximos a
0 por la derecha, los
valores de f(x) son
cada vez mayores:
Si x tiende a 0+
f(x) tiende a +
infinito
F(x)= 1
x
A medida que x toma
valores cada vez mas
proximos a 0 por la
izquierda, los valores
de f(x) son cada vez
menores:
Si x tiende a 0-
f(x)
tiende a - infinito
F(x)= 1
x
Si el denominador
de la formula de
una función
racional no tiene
ceros, esa función
no tiene asíntotas
verticales. En
cambio, si a es
cero del
denominador y no
anula al
nominador, la
recta de ecuación
x = a es una
asíntota vertical
11. A medida que x toma
valores cada vez mayores,
los valores de f(x) están
cada vez mas próximos a 0
Si x tiende a + infinito f(x)
tiende a 0
Amedida que x toma valores
cada vez menores, los valores
de f(x) están cada vez mas
próximos a 0
Si x tiende a + infinito f(x)
tiende a 0
12.
13. Ejemplo analizado 1:
Analizar y representar la función f(x)=x3
/(x2
-1)
a) Dominio: La función no esta definida para
x2
-x-6=0 -> x=-2, x=3. Df=R- {-1,1}
b) Simetría: La función es Impar pues f(-x)=-
f(x), por lo que es simétrica respecto del
origen (0,0)
c) Cortes con los ejes:
Eje X: f(x)=0 <-> x3
=0 -> x=0
Eje Y: f(0)=0 -> y=0
