Hablando francamente, la suma y resta de fracciones algebraicas suele ser muy molesto. Eso porque la realización de una sola suma puede requerir muchos pasos. Sin embargo, la lógica en la que cada paso se fundamenta, se entiende fácilmente relacionándola con los pasos análogos que se efectúan al sumar fracciones “normales”.

1. James Smith http://quelamatenotemate.webs.com/
1 de 11
Cómo sumar
fracciones algebraicas
ablando francamente, la suma y resta de
fracciones algebraicas suele ser muy molesto.
Eso porque la realización de una sola suma puede
requerir muchos pasos. Sin embargo, la lógica en
la que cada paso se fundamenta, se entiende fá-
cilmente relacionándola con los pasos análogos
que se efectúan al sumar fracciones “normales”.
En este documento:
 “Activando” nuestros conocimientos acerca de temas
previos, que tal vez sean relevantes.
 Observaciones acerca de las fracciones “normales”
 Cómo se suman las fracciones “normales”
 Observaciones acerca de fracciones algebraicas
 Sumando fracciones algebraicas
 Resumen
“Activando” nuestros conocimientos acerca de
temas previos, que tal vez sean relevantes.
En este repaso de nuestros conocimientos, se presentarán muchas ob-
servaciones y procedimientos en formas que revelan o que enfatizan
aspectos que nos servirán al tratar la suma de fracciones algebraicas.
Observaciones acerca de las fracciones “normales”
Con decir “fracciones normales”, me refiero a aquellas cuyos numerado-
res y denominadores son números específicos como 2, 17, 116, etc. en
vez de expresiones como 4𝑥 − 9.
Sabemos que una fracción tal-por ejemplo, “
3
4
”-se usa para repre-
sentar dos cosas que son distintas, pero relacionadas. Una de éstas es
“tres de las cuatro partes iguales en las que un objeto o conjunto entero
está dividido”:
H

2. Cómo sumar fracciones algebraicas
2 de 11
La otra cosa que se representa a través del escrito “
3
4
” es el número
que resulta al efectuarse la operación “3 ÷ 4”. En este documento, nos
limitamos a fracciones que tienen este segundo significado.
Cómo se suman las fracciones “normales”
El procedimiento para la suma de éstas se fundamenta en la Propiedad
Distributiva, de la multiplicación sombre la suma. Por ejemplo,
2
7
+
3
7
= 2 ×
1
7
+ 3 ×
1
7
= (2 + 3) ×
1
7
= 5 ×
1
7
=
5
7
.
Cuando las dos fracciones tienen denominadores distintos, las tras-
formamos en fracciones equivalentes que sí, tienen un mismo denomi-
nador. La trasformación se efectúa multiplicando las fracciones para
sumar, por “fracciones unitarias”. Es decir, por fracciones como
3
3
,
2
2
, y
5
5
, que son iguales a 1.
Consideremos un ejemplo específico: trasformaremos la fracción
3
4
en una fracción equivalente a la misma (es decir, que represente el
mismo valor numérico), pero que tenga el denominador 8:
3
4
×
2
2
=
3×2
4×2
=
6
8
.
Ya que
2
2
es “1”,
3
4
×
2
2
es igual a
3
4
. La multiplicación por una frac-
ción unitaria como
3
4
no altera el valor numérico de la fracción
3
4
; sino la
trasforma en una fracción equivalente. Dicha de otra manera, fracciones
equivalentes, como
3
4
y
6
8
, son dos maneras de escribir un mismo nú-
mero. Para enfatizar esta segunda manera de idear la situación, multi-
pliquemos la fracción
3
4
por la fracción unitaria
25
25
:
3
4
×
25
25
=
3×25
4×25
=
75
100
= 75 ÷ 100 = 0.75 .
Es decir, los escritos “
3
4
” y “
75
100
” son dos maneras de escribir el núme-
ro cuya expresión, en la forma de un número decimal, es 0.75. (Verifí-
quelo dividiendo 3 por 4 con una calculadora.)
La verdad es que se puede formar una infinitud de fracciones equiva-
lentes a
3
4
, o a cualquiera otra fracción dada. Una de nuestras tareas,
cuando sumamos fracciones que tienen numeradores diferentes, es la
Según el significado de
“fracción” que tratamos en
este documento, el escrito
“
3
4
” representa el número
que resulta al efectuarse la
operación “3 ÷ 4”. Pode-
mos decir, también, que
“
3
4
” es el número que
resulta al efectuarse la
operación “3 ÷ 4”.

3. Cómo sumar fracciones algebraicas
11-3
de identificar, para cada fracción, cuáles de sus equivalentes nos con-
vienen.
Para identificarlas, se factorizan los denominadores de las fracciones
para sumar. Consideremos la suma de las fracciones
5
12
y
7
30
. Primero,
examinemos la descomposición (“factorización”) en factores primos de
ambos denominadores:
12 = 2 × 2 × 3; 30 = 2 × 3 × 5.
Por lo tanto,
5
12
+
7
30
=
5
2×2×3
+
7
2×3×5
.
Queremos encontrar fracciones equivalentes a
5
12
y a
7
30
que ten-
gan, ambas, el mismo denominador. Por el Teorema de Factorización
Única, sabemos que “dos fracciones tienen el mismo denominador”
quiere decir que la factorización del denominador de la una es idéntica a
la factorización del denominador de la otra. Vista desde esta perspecti-
va, la pregunta, “¿Cómo podemos encontrar fracciones equivalentes a
5
12
y a
7
30
que tengan el mismo denominador?” se reduce a la pregunta,
“¿Cómo podemos trasformar
5
12
y
7
30
en fracciones cuyos denominado-
res tengan la misma factorización? O sea, que tengan factorizaciones
que coinciden.”
Ya que las respectivas factorizaciones de los denominadores de
5
12
y
7
30
son distintas, tendremos que modificarlas para hacerlas coincidir.
Pero al modificarlas, debemos conservar inalterados los valores numéri-
cos de
5
12
y
7
30
. Sin duda, ya estás pensando, “¿Modificar la factoriza-
ción del denominador de una fracción, sin alterar el valor numérico de la
fracción? ¡Esto es exactamente lo que sucede cuando se multiplica la
fracción por cualquiera fracción unitaria!”
Exacto: la trasformación de
5
12
y
7
30
en fracciones equivalentes, con
un mismo denominador, se efectúa mediante la multiplicación por frac-
ciones unitarias, como veremos a continuación. Algunos de los detalles
presentados abajo no son necesarios cuando sumamos fracciones
“normales”, pero el presentarlos aquí nos ayudará cuando tratamos la
suma de fracciones algebraicas:
5
12
+
7
30
=
5
2×2×3
+
7
2×3×5
= (
5
2×2×3
) ×
5
5
+ (
7
2×3×5
) ×
2
2
,
=
5×5
2×2×3×5
+
7×2
2×3×5×2
,
=
5×5
2×2×3×5
+
7×2
2×2×3×5
,
este último resultado porque el orden de los factores in el denominador
no altera el valor numérico de ello.
Por la llamada “Teorema
de Factorización Única”,
todo número puede ser
factorizado en factores
primos de una sola manera.
Entonces, si los denomina-
dores de dos fracciones
tienen la misma factoriza-
ción, entones tienen el
mismo denominador.
Esta explicación será un
poco abstracta, hasta enre-
dada, pero la capacidad
para formular el concepto
de “denominadores comu-
nes” de diferentes formas
nos ayudará cuando trata-
mos la suma de fracciones
algebraicas.

4. Cómo sumar fracciones algebraicas
4 de 11
Ya son idénticos los denominadores, pero ¿cómo identificamos a
5
5
y
2
2
como las fracciones unitarias indicadas? Bueno, al multiplicar cual-
quiera fracción
𝑎
𝑏
por alguna fracción unitaria
𝑐
𝑐
, el resultado es
𝑎×𝑐
𝑏×𝑐
,
donde se nota que al denominador de la fracción original
𝑎
𝑏
, se le aña-
dió el factor 𝑐.
Ahora, examinemos las factorizaciones de
5
12
y
7
30
. La factorización
de 30 contiene un factor “5” que no aparece en la factorización de 12.
Pero podemos hacerlo aparecer, multiplicando
5
12
(=
5
2×2×3
) por la frac-
ción unitaria
5
5
:
(
5
2×2×3
) ×
5
5
=
5×5
2×2×3×5
.
En cuanto a la fracción
7
30
, la factorización de su denominador con-
tiene un solo factor “2”, mientras la factorización de 12 contiene dos
factores “2”. Por lo tanto, debemos multiplicar
7
30
por
2
2
:
(
7
2×3×5
) ×
2
2
=
7×2
2×3×5×2
.
Una tabla como la siguiente sistematiza la identificación de las frac-
ciones unitarias necesarias para las trasformaciones, y también las frac-
ciones equivalentes a
5
12
y
7
30
que se obtienen:
Las fracciones para sumar
5
12
7
30
Factorización
del denominador
2 × 𝟐 × 3 2 × 3 × 𝟓
Factores presentes en el
denominador de la otra
fracción, que no están en
el denominador de éste
𝟓
Un segundo
factor “𝟐”
Fracción o fracciones uni-
tarias necesaria(s) para la
trasformación
5
5
2
2
Fracción equivalente que
resulta
5
12
×
5
5
=
25
60
7
30
×
2
2
=
14
60
Bueno, terminemos con la suma. Arriba, demostramos que
5
12
+
7
30
=
5×5
2×2×3×5
+
7×2
2×2×3×5
.

5. Cómo sumar fracciones algebraicas
11-5
Demostramos, también, que
5
12
=
25
60
, y
7
30
=
14
60
, por lo que nuestra
continuación podría ser
5
12
+
7
30
=
25
60
+
14
60
,
etc. En cambio, y con el propósito-otra vez-de prepararnos mejor para la
suma de fracciones algebraicas, seguimos así:
5
12
+
7
30
=
5×5
2×2×3×5
+
7×2
2×2×3×5
=
5×5 + 7×2
2×2×3×5
,
=
39
2×2×3×5
.
Llegados a este punto, examinamos el numerador para saber si uno
o más de sus factores primos aparece en el denominador también:
39
2×2×3×5
=
3×13
2×2×3×5
.
Resulta que el factor “3” sí, aparece en ambos, por lo que “lo elimi-
namos”.
39
2×2×3×5
=
3×13
2×2×3×5
.
=
13
2×2×5
=
13
20
.
La justificación para dicha maniobra es…
39
2×2×3×5
=
3×13
2×2×3×5
=
3×13
3×2×2×5
=
3
3
×
13
2×2×5
= 1 ×
13
2×2×5
=
13
2×2×5
=
13
39
.
Observaciones acerca de fracciones algebraicas
La observación más importante, es que una misma fracción algebraica
se puede “visualizar” o “concebir” de diferentes formas. Por ejemplo,
consideremos la fracción
2𝑥+4
3𝑥−7
:
 Su numerador es, a la vez,
 la suma “4 𝑚á𝑠 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 2 𝑦 𝑥”; y
 el número (aun si desconozcamos cuál es) que resulte al efec-
tuar estas operaciones.
 Su denominador es, a la vez, la diferencia
 “𝐸𝑙 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 3 𝑦 𝑥, 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑠 7”; y

6. Cómo sumar fracciones algebraicas
6 de 11
 el número (aun si desconozcamos cuál es) que resulte al efec-
tuar estas operaciones.
 La fracción
2𝑥+4
3𝑥−7
es, a la vez,
 la cociente de los dos números “2𝑥 + 4” y “3𝑥 − 2” ; y
 el número (aun si desconozcamos cuál es) que resulte al efec-
tuar la división “(2𝑥 + 4) ÷ (3𝑥 − 7)”.
Oscilaremos a menudo (aunque sea inconscientemente) entre estos
conceptos en el curso de sumar fracciones algebraicas.
Debemos recordar, también, que se multiplican las fracciones alge-
braicas exactamente como las fracciones “normales”:
𝑎
𝑏
×
𝑐
𝑑
=
𝑎×𝑐
𝑏×𝑑
.
Por ejemplo,
(
2𝑥−3
11𝑦+6
) ∙ (
𝑦−5
𝑧+8
) =
(2𝑥−3)(𝑦−5)
(11𝑦+6)(𝑧+8)
.
Obtenido este resultado, podemos desarrollar los productos en el nume-
rador y denominador o no, conforme nos convenga.
Sumando fracciones algebraicas
Al igual que el procedimiento para la suma de fracciones “normales”, el
procedimiento para la suma de fracciones algebraicas se fundamenta en
la propiedad distributiva y el uso de fracciones unitarias. Gracias a nues-
tro repaso de conocimientos acerca de temas previos, no será necesario
hacer comentarios extensos sobre los siguientes ejemplos.
Ejemplo 1:
3
5x
+
7
5x
Las dos fracciones tienen el mismo denominador, por lo que…
3
5𝑥
+
7
5𝑥
=
3+7
5𝑥
=
10
5𝑥
.
Ahora, nos preguntamos si el numerador “10” y el denominador “5𝑥"
tienen algún factor común, con fines de simplificar el resultado:
10
5𝑥
=
5∙2
5∙𝑥
=
5∙2
5∙𝑥
=
2
𝑥
.
Ejemplo 2:
4
15
+
7
5𝑥
Los denominadores no son idénticos; por lo tanto, tendremos que tras-
formar las dos fracciones. Para ordenar nuestros trabajos, usemos una
tabla del tipo que vimos durante el repaso de temas anteriores:

7. Cómo sumar fracciones algebraicas
11-7
Las fracciones para sumar
4
15
7
5𝑥
Factorización
del denominador
3 ∙ 5 5 ∙ 𝑥
Factores presentes en el
denominador de la otra
fracción, que no están en
el denominador de éste
𝑥 3
Fracción o fracciones uni-
tarias necesaria(s) para la
trasformación
𝑥
𝑥
3
3
Fracción equivalente que
resulta
4
15
∙
𝑥
𝑥
=
4𝑥
15𝑥
7
5𝑥
∙
3
3
=
21
15𝑥
Ahora, vemos que
4
15
+
7
5𝑥
=
4𝑥
15𝑥
+
21
15𝑥
=
4𝑥+21
15𝑥
.
No se puede factorizar el numerador; entonces, no es posible simplificar
este resultado.
Ejemplo 3:
4
15𝑥
+
7
5𝑥3
Las fracciones para sumar
4
15𝑥
7
5𝑥3
Factorización
del denominador
3 ∙ 5 ∙ 𝑥 5 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥 ∙ 𝑥
Factores presentes en el
denominador de la otra
fracción, que no están en
el denominador de éste
Dos factores “𝑥” 3
Fracción o fracciones uni-
tarias necesaria(s) para la
trasformación
Dos fracciones
“
𝑥
𝑥
”
3
3
Fracción equivalente que
resulta
4
15𝑥
∙
𝑥
𝑥
∙
𝑥
𝑥
=
4𝑥2
15𝑥3
7
5𝑥3 ∙
3
3
=
21
15𝑥3
Ahora, vemos que
En vez de usar dos fraccio-
nes unitarias “
𝑥
𝑥
” para
trasformar la fracción
4
15𝑥
,
se puede usar la sola frac-
ción unitaria “
𝑥∙𝑥
𝑥∙𝑥
“.

8. Cómo sumar fracciones algebraicas
8 de 11
4
15𝑥
+
7
5𝑥3 =
4𝑥2
15𝑥3 +
21
15𝑥3 =
4𝑥2+21
15𝑥
.
Otra vez, no es posible simplificar este resultado.
Ejemplo 4:
2𝑥+3
𝑥2+5𝑥
+
4𝑥−7
2𝑥+10
Las fracciones para sumar
2𝑥+3
𝑥2+5𝑥
4𝑥−7
2𝑥+10
Factorización
del denominador
𝑥 ∙ (𝑥 + 5) 2 ∙ (𝑥 + 5)
Factores presentes en
el denominador de la
otra fracción, que no
están en el denomi-
nador de éste
2 𝑥
Fracción o fracciones
unitarias necesaria(s)
para la trasformación
2
2
𝑥
𝑥
Fracción equivalente
que resulta
2𝑥+3
𝑥2+5𝑥
∙
2
2
=
(2𝑥+3)∙2
𝑥∙(𝑥+5)∙2
4𝑥−7
2𝑥+10
∙
𝑥
𝑥
=
(4𝑥−7)∙𝑥
2∙(𝑥+5)∙𝑥
Por lo tanto,
2𝑥+3
𝑥2+5𝑥
+
4𝑥−7
2𝑥+10
=
(2𝑥+3)∙2
𝑥∙(𝑥+5)∙2
+
(4𝑥−7)∙𝑥
2∙(𝑥+5)∙𝑥
=
(2𝑥+3)∙2+(4𝑥−7)∙𝑥
2∙𝑥∙(𝑥+5)
.
Ahora, se desarrollan los productos en el denominador, para luego sim-
plificarlo.
(2𝑥+3)∙2+(4𝑥−7)∙𝑥
2∙𝑥∙(𝑥+5)
=
6𝑥+6+4𝑥2−7𝑥
2∙𝑥∙(𝑥+5)
=
4𝑥2−𝑥+6
2𝑥2+10𝑥
.
No es posible simplificar este resultado.

9. Cómo sumar fracciones algebraicas
11-9
Ejemplo 5:
2𝑥+3
𝑥2+5𝑥
+
4𝑥−7
𝑥2−25
Las fracciones para sumar
2𝑥+3
𝑥2+5𝑥
4𝑥−7
𝑥2−25
Factorización
del denominador
𝑥 ∙ (𝑥 + 5) (𝑥 + 5)(𝑥 − 5)
Factores presentes
en el denominador
de la otra fracción,
que no están en el
denominador de
éste
(𝑥 − 5) 𝑥
Fracción o fraccio-
nes unitarias nece-
saria(s) para la
trasformación
𝑥−5
𝑥−5
𝑥
𝑥
Fracción equiva-
lente que resulta
2𝑥+3
𝑥2+5𝑥
∙
𝑥−5
𝑥−5
=
(2𝑥+3)(𝑥−5)
𝑥∙(𝑥+5)(𝑥−5)
4𝑥−7
𝑥2−25
∙
𝑥
𝑥
=
(4𝑥−7)𝑥
(𝑥+5)(𝑥−5)∙𝑥
Por lo tanto,
2𝑥+3
𝑥2+5𝑥
+
4𝑥−7
𝑥2−25
=
(2𝑥+3)(𝑥−5)
𝑥∙(𝑥+5)(𝑥−5)
+
(4𝑥−7)𝑥
(𝑥+5)(𝑥−5)𝑥
=
(2𝑥+3)(𝑥−5)+(4𝑥−7)𝑥
𝑥(𝑥+5)(𝑥−5)
.
Ahora, se desarrollan los productos en el denominador, para luego sim-
plificarlo.
(2𝑥+3)(𝑥−5)+(4𝑥−7)𝑥
𝑥(𝑥+5)∙(𝑥−5)
=
2𝑥2−10𝑥+3𝑥−15+4𝑥2−7𝑥
𝑥(𝑥+5)(𝑥−5)
=
6𝑥2−14𝑥−15
𝑥3−25𝑥
.
No es posible simplificar este resultado.
Aquí tenemos un
ejemplo de un “cambio
de óptica”:
El problema se ha reducido
al desarrollo de productos
de binomios. Por ejemplo,
(2𝑥 + 3)(𝑥 − 5). Aquí, los
productos ocurren en el
denominador de una frac-
ción, pero no importa: los
desarrollamos como siem-
pre. Amén de la simplifica-
ción posterior, de términos
semejantes.

10. Cómo sumar fracciones algebraicas
10 de 11
Ejemplo 6:
2𝑥+3
𝑥2+5𝑥
+
6𝑥+1
𝑥2−5𝑥
+
4𝑥−7
𝑥2−25
Las mismas ideas que se usan para sumar dos fracciones algebraicas,
funcionan cuando sumamos tres o más.
Las fracciones para sumar
2𝑥+3
𝑥2+5𝑥
6𝑥+1
𝑥2−5𝑥
4𝑥−7
𝑥2−25
Factorización
del denominador 𝑥 ∙ (𝑥 + 5) 𝑥 ∙ (𝑥 − 5) (𝑥 + 5)(𝑥 − 5)
Factores presentes
en el denominador
de las otras frac-
ción, que no están
en el denominador
de ésta
𝑥 − 5 𝑥 + 5 𝑥
Fracción o fraccio-
nes unitarias nece-
saria(s) para la
trasformación
𝑥−5
𝑥−5
𝑥+5
𝑥+5
𝑥
𝑥
Fracción equivalen-
te que resulta
(2𝑥+3)(𝑥−5)
𝑥(𝑥+5)(𝑥−5)
(6𝑥+1)(𝑥+5)
𝑥(𝑥−5)(𝑥+5)
(4𝑥−7)𝑥
(𝑥+5)(𝑥−5)𝑥
Por lo tanto,
2𝑥+3
𝑥2+5𝑥
+
6𝑥+1
𝑥2−5𝑥
+
4𝑥−7
𝑥2−25
=
(2𝑥+3)(𝑥−5)
𝑥(𝑥+5)(𝑥−5)
+
(6𝑥+1)(𝑥+5)
𝑥(𝑥−5)(𝑥+5)
+
(4𝑥−7)𝑥
(𝑥+5)(𝑥−5)𝑥
=
(2𝑥+3)(𝑥−5)+(6𝑥+1)(𝑥+5)+(4𝑥−7)𝑥
𝑥(𝑥+5)(𝑥−5)
.
Ahora, se desarrollan los productos en el denominador, para luego sim-
plificarlo.
(2𝑥+3)(𝑥−5)+(6𝑥+1)(𝑥+5)+(4𝑥−7)𝑥
𝑥(𝑥+5)(𝑥−5)
=
2𝑥2−10𝑥+3𝑥−15+6𝑥2+30𝑥+𝑥+5+4𝑥2−7𝑥
𝑥(𝑥+5)(𝑥−5)
=
12𝑥2+17𝑥−10
𝑥3−25𝑥
.
No es posible simplificar este resultado.
Resumen
 Fracciones “normales” se usan para comunicar dos cosas distintas,
pero relacionadas:
 Por ejemplo, el escrito “
3
4
“ se usa para significar “tres de las
cuatro partes iguales en las que un objeto o conjunto entero

11. Cómo sumar fracciones algebraicas
11-11
está dividido”, y también para representar el número que resul-
ta al efectuarse la operación “3 ÷ 4”.
 Al igual que el procedimiento para la suma de fracciones “norma-
les”, el procedimiento para la suma de fracciones algebraicas se
fundamenta en la propiedad distributiva y el uso de fracciones unita-
rias.
 La multiplicación de una fracción dada, por cualquiera fracción uni-
taria, modifica la factorización del denominador de la fracción dada
(y de su numerador también), sin alterar el valor numérico se la
fracción.
 Si los denominadores de dos fracciones tienen la misma factoriza-
ción, entonces las dos fracciones tienen el mismo denominador.
 Se puede “ver” una misma fracción de varias formas, entre las cua-
les oscilaremos (aunque sea inconscientemente) en el curso de
sumar fracciones algebraicas.
 Las mismas ideas que se usan para sumar dos fracciones algebrai-
cas, funcionan cuando sumamos tres o más.