Matematicas financieras 3

Carlos Mario Morales C ©2012
Unidad de Aprendizaje: Anualidades y gradientes
1

Matemáticas Financieras
No es tá permitida la reproducción tota l o parcial de es te
l ibro, ni su tratamiento informático, ni la transmi s ión de
ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico,
mecánico, por fotocopia, por regi stro u otros métodos, s in
el permi so previo y por es crito del titular del copyright.
DERECHOS RESERVADOS © 2011 por Carlos Mario Morales
C. carrera 77c No 61-63 Medel lín-Colombia
Teléfono: 421.28.93
E_Mai l : c a r l o s m o r a l e s c a s t a n o @ g m a i l . c o m
Impres ión digita l en Colombia.
2
Datos Catalográficos para citar este libro
Matemáticas Financieras
Carlos Mario Morales C.
Editorial propia. Medellín, 2012
ISBN: Pendiente
Formato 21x24 cm. Paginas:

Anualidades y
gradientes
UNIDAD 3: ANUALIDADES Y GRADIENTES
3
OBJETIVO
Al finalizar la unidad los estudiantes estarán en capacidad de calcular operaciones
financieras en las cuales la contraprestación se hace a través de cuotas periódicas. Para
esto deducirá los modelos matemáticos para calcular el valor actual, futuro, interés y
número de pagos para diferentes tipos de operaciones y aplicará estos en situaciones de
la vida empresarial.
CONTENIDO
1. Anualidades
2. Anualidades anticipadas
3. Anualidades diferidas
4. Anualidades perpetuas
5. Gradientes
6. Ejercicios resueltos
7. Ejercicios propuestos

Introducción
Es corriente que se pacte entre el deudor y acreedor el pago de una obligación financiera
en cuotas periódicas a una tasa de interés, durante un tiempo determinado. Cuando las
cuotas son constantes la operación recibe el nombre de anualidad, por el contrario si las
cuotas son cambiantes se le denomina gradiente. Cuando, por ejemplo, una persona
compra un automóvil pagado una cuota inicial y el resto del dinero en cuotas mensuales
iguales durante un tiempo determinado, se configura una operación financiera de
anualidades; si por el contrario las cuotas crecen con la inflación por ejemplo, la operación
se denomina gradiente.
Anualidad o gradiente es un sistema de pagos a intervalos iguales de tiempo; de esta
forma, no significa pagos anuales, sino pagos a intervalo regular; definida así en la vida
cotidiana se encuentran innumerables ejemplos de este tipo de operaciones: el pago de
dividendos, los fondos de amortización, los pagos a plazos, los pagos periódicos a las
compañías de seguros, los sueldos, y en general todo tipo de renta son, entre otros,
ejemplos de anualidades o gradientes.
En este tipo de operaciones se distinguen los siguientes elementos: la renta o pago, el
periodo de pago o de renta, el tiempo o plazo y la tasa de interés. La renta se define como
el pago periódico, también denominado como cuota o deposito. El periodo de renta es el
tiempo que se fija entre dos pagos consecutivos; el tiempo o plazo de la operación es el
intervalo de tiempo que sucede desde el inicio del primer periodo de pago y el final del
último. Finalmente la tasa de interés es el tipo de interés que se acuerda en la operación.
Dependiendo de la forma como se pacten los montos y periodos de pago las operaciones
se pueden clasificar en ordinarias, variables, anticipadas, diferidas, perpetuas. En esta
unidad de aprendizaje se analizan cada una de ellas determinándose los modelos
matemáticos que permiten simular y analizar estos tipos de operación financiera.
4

1. Anualidades
Son operaciones financieras en las cuales se pacta el cubrimiento de las obligaciones en
una serie de pagos periódicos iguales que cumple con las siguientes condiciones:




Los pagos (rentas) son de igual valor.
Los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo
A todos los pagos (rentas) se les aplica la misma tasa de interés
El número de pagos y periodos pactados es igual
Las anualidades que cumplen con estas condiciones son las ordinarias o vencidas y las
anticipadas. Los modelos matemáticos que se deducen para el cálculo y análisis de este
tipo de anualidades tienen en cuenta las anteriores condiciones; por lo cual, es necesario
que al momento de aplicarse las formulas a situaciones particulares, se asegure que se
cumplan dichas condiciones.
5
Ejemplo 1.
Determinar si el siguiente sistema de pagos corresponde a una anualidad.
A A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6
Respuesta
El sistema de pagos no corresponde a una anualidad ya que no obstante los pagos son
iguales y se hacen a intervalos de tiempo igual, el número de pagos no es igual al
número de periodos

6
Ejemplo 2.
A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6
Respuesta
Si se supone que la tasa de interés que se aplica a cada pago es la misma, se puede
afirmar que el sistema corresponde a una anualidad teniendo en cuenta que los pagos
son iguales, se hacen a intervalo de tiempo igual y los periodos pactados corresponden
al número de pagos. Es la forma general de una anualidad ordinaria o vencida
Ejemplo 3.
A A A´ A´´ A A
0 1 2 3 4 5 6
Respuesta
El sistema de pagos no corresponde a una anualidad ya que no obstante que el número
de pagos es igual al número de periodos y los intervalos de tiempo son iguales los pagos
no son iguales.
Ejemplo 4.
A A A A A A
0 1 2 3 4 5 6

1.1 Valor presente de la anualidad
Para la deducción del modelo matemático se considera una operación en la cual un
préstamo se paga en cuotas iguales , a una tasa de interés efectiva por periodo ,
durante periodos. La situación se muestra en la grafica No 7.
GRAFICA NO 7 – VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD
A
0 1 2 3 n-2 n-1 n
i
Vp
Para calcular el valor presente se utiliza la formula (12), considerando cada valor de A
como un valor futuro y sumando todos los resultados en 0.
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
Factorizando A, se obtiene:
[
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
]
( )
Multiplicando esta por el factor , esto da como resultado la siguiente ecuación: ( )
7
Respuesta
Si se supone que la tasa de interés que se aplica a cada pago es la misma, se puede
afirmar que el sistema corresponde a una anualidad teniendo en cuenta que los pagos
son iguales, se hacen a intervalo de tiempo igual y los periodos pactados corresponden
al número de pagos. Es la forma general de una anualidad anticipada

[
] ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Restando la ecuación (a) de la (b), se obtiene:
[ ]
( ) ( ) ( )
Despejando de este resultado el Vp, se obtiene:
[ ]
( )
La cual también se puede expresar como:
( )
[ ] ( )
Donde:
El factor * ( ) + suele nombrarse como: ( ⁄ ). Este significa el factor para
hallar , dado el pago o renta , la tasa de interés efectiva a la cual son trasladados los
pagos al valor inicial y el número de pagos . La formula (23) se puede escribir en notación
clásica, como:
( ⁄ ) ( )
8
Ejemplo 5.
Un pequeño empresario para reponer su equipo de producción hoy, está en capacidad
de realizar 36 pagos de $2´000.000 mensuales, a partir del próximo mes; si el banco que
financia la operación cobra una tasa de interés del 24% N-m. ¿De cuánto dinero
dispondrá para la reposición de los equipos?
Solución
Parámetros

[ ]
[ ]
9
Pagos: $2´000.000
Numero de pagos: 36
Tasa de interés: 24% N-m
Representación gráfica
Para determinar lo que el pequeño empresario tendrá disponible para reposición de
equipos, se debe hallar el valor presente de los pagos mensuales. En la siguiente gráfica
se representa la operación:
2´000.000
0 1 2 3 34 35 36
j = 24%N-m
Vp =¿?
Cálculos
Para determinar el valor presente, lo primero que se debe hacer es hallar la tasa efectiva
mensual a partir de la tasa nominal, para esto se utiliza la formula (15):
Teniendo la tasa efectiva de interés se procede a calcular el valor presente,
considerando ( ⁄ ). Nótese que la tasa efectiva de interés coincide
los periodos en los cuales se realiza los pagos. El calculo se realiza utilizando la formula
(23)
( )
( )
Respuesta
El pequeño empresario dispondrá de para la reposición de los equipos.

1.2 Pagos o renta a partir del valor presente
De la ecuación (23) se puede deducir el factor para hallar , dado el valor presente , o lo
que es igual ( ⁄ ).
[
( )
]
( )
( ⁄ ) ( )
Los símbolos tienen el mismo significado que en la ecuación (23)
10
Ejemplo 6.
Una persona desea comprar un automóvil que tiene un precio de $64´000.000 a través
de un crédito. Si la empresa de financiamiento ofrece las siguientes condiciones:
préstamo del 90% del valor total en cuotas iguales durante 60 meses y una tasa efectiva
de interés del 0,95% EM, ¿Cuál será el valor de la cuota mensual?
Solución
Parámetros
Valor del automóvil: $64´000.000
Financiación: 90% del valor total
Numero de pagos: 60
Tasa de interés: 0,95% EM
Considerando que solo se financia el 90% del valor del vehículo el préstamo debe ser
por un valor de:
푃
En la siguiente gráfica se representa la operación:
A= ¿?
0 1 2 3 58 59 60
i = 0,99% EM
Vp =57´600.000
Cálculos
Para determinar el valor de los pagos mensuales, ( ⁄ ), para lo cual se aplica

[
( )
]
[ ]
1.3 Pagos o renta con base en el valor futuro
Igual que se hizo en el la deducción anterior, para determinar este modelo, se considera
una operación en la cual el valor final es equivalente a pagos iguales , a una tasa de
interés efectiva por periodo , durante periodos. La situación se muestra en la grafica No
8.
GRAFICA NO 8 – VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD
A
0 1 2 3 n-2 n-1 n
i
Vf
Para determinar el valor futuro ( ⁄ ) remplazamos en la formula (24) el valor
presente en función del valor futuro, formula (12).
( ) ( )
[
( )
]
( )
Remplazando ( ) en ( ), se obtiene:
( ) [ ]
( )
11
directamente la formula (25), considerando la tasa efectiva de interés mensual:
( )
Respuesta
El valor de la cuota mensual será de $

[
( )
]
( )
( ⁄ )
( )
[
( )
]
[ ]
12
Ejemplo 8.
De cuánto deberá ser el ahorro mensual de una persona que proyecta adquirir una casa
de $100´000.000 dentro de cinco años, si la fiducia le asegura una tasa de interés
efectiva mensual del 0,7%.
Solución
Parámetros
Valor futuro: $100´000.000
Numero de pagos: 5 años = 60 meses (inicia un mes después de tomar la decisión)
Tasa de interés: 0,7% EM
A= ¿?
0 1 2 3 58 59 60
i = 0,7 EM
Vf =100´000.000
Cálculos
Para determinar los pagos del ahorro ( ⁄ ) se aplica directamente la formula
(26), considerando la tasa efectiva de interés mensual:
( )
Respuesta
Se deberá realizar un ahorro de $ mensual

1.4 Valor futuro de la Anualidad
De la formula (26) se puede determinar el valor futuro en función de los pagos, así:
( )
[ ] ( )
( ⁄ ) ( )
13
Ejemplo 7.
Un padre de familia quiere conocer de cuánto dispondrá para la educación superior de
su hijo, si inicia un ahorro mensual de 300.000, un mes antes de que cumpla 10 años y
hasta cuando cumpla 18, edad en la cual estima iniciara los estudios universitarios; la
fiducia donde se realiza el ahorro asegura una de interés del 10% N-m
Solución
Parámetros
Valor de los pagos: $300.000
Numero de pagos: 8 años = 96 meses
Tasa de interés: 10% N-m
A= 300.000
0 1 2 3 94 95 96
j = 10% N-m
Vf =¿?
Cálculos
Para determinar el valor futuro del ahorro ( ⁄ ) inicialmente se debe hallar la
tasa de interés efectiva mensual, para esto se aplica la formula (15), considerando que la
tasa de interés que ofrece la fiducia esta expresa en nominal:
Con esta tasa de interés efectiva se puede calcular, ( ⁄ ), para lo cual se aplica
directamente la formula (28), considerando la tasa efectiva de interés mensual:

[ ]
[ ]
1.5 Número de pagos con base en el valor futuro
Si se conocen el , los pagos , y la tasa de interés , de la ecuación (28) se puede
determinar el valor de ; es decir, el número de pagos. Lo mismo se podría hacer a partir
de la ecuación (23) cuando se conocen , los pagos , y la tasa de interés . A
continuación se deduce la formula para calcular el valor de , a partir de la ecuación (28).
( )
[ ]
( )
( )
Aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuación se obtiene:
( ( ) ) ( )
Por propiedades de los logaritmos, se obtiene:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Despejando , se obtiene:
( )
( )
( )
14
( )
( )
Respuesta
El Padre de familia dispondrá de $ cuando su hijo cumpla 18 años

15
Ejemplo 8.
Cuántos pagos semestrales de $600.000 deberá realizar un padre de familia para pagar
la universidad de su hijo que en futuro estima le costará $4´500.000; el banco reconoce
por este tipo de ahorros una tasa de interés del 7% N-s
Solución
Parámetros
Valor futuro: 4´500.000
Tasa de interés: 7% N-s
A= 600.000
0 1 2 3 n-2 n-1 n
j = 7% N-s
Vp=4´500.000
Cálculos
Inicialmente se hallar la tasa de interés efectiva semestral aplicando la formula (15),
considerando que la tasa de interés nominal que cobra el banco:
Con esta tasa de interés efectiva, el valor futuro , y el valor de los pagos se puede
determinar el valor de para lo cual se aplica directamente la formula (30),
considerando la tasa efectiva de interés semestral:
( )
( )
( ) ( )
( )
Esta respuesta indica que deben hacerse 6,77 pagos semestrales. No obstante, desde el
punto de vista practico el ahorrador (deudor) tiene dos opciones:
a) Terminar de ahorrar (pagar) en el semestre 6, aumentando el último pago

b) O terminar de ahorrar (pagar) en el semestre 7, disminuyendo el ultimo pago
Respuesta
Se deben realizar 6 o 7 pagos.
1.6 Número de pagos con base en el valor presente
Si se conocen el , los pagos , y la tasa de interés , de la ecuación (23) se puede
determinar el valor de ; es decir, el número de pagos. A continuación
fórmula para calcular el valor de , a partir de la ecuación (23).
se deduce la
( )
[ ]
[ ( ) ]
( )
( )
( )
Aplicando logaritmo en ambos lados de la ecuación, se obtiene:
( ) ( )
( )
( )
( )
16
Ejemplo 9.
Cuántos pagos semestrales de $600.000 deberá realizar un padre de familia para pagar
la universidad de su hijo que hoy día cuesta $4´500.000; el banco cobra tasa de interés
del 3,5% ES
Solución
Parámetros
Valor presente: 4´500.000
Tasa de interés: 3,5% ES

1.7 Tasa efectiva de interés a partir del valor presente
Cuando se tienen los demás elementos de la anualidad, es decir: el valor presente o
valor futuro , el valor y numero de pagos se puede determinar el valor de la tasa de
interés a partir de la formula (23) o (28). No obstante por tratarse de ecuaciones con más
de una raíz, no es posible hallar la solución analíticamente; por esta razón se debe utilizar
un método de tanteo y error.
( )
[ ]
17
A= 600.000
0 1 2 3 n-2 n-1 n
i = 3,5% ES
Vp=4´500.000
Cálculos
El número de pagos se puede calcular directamente de la formula (31), considerando la
tasa efectiva de interés semestral:
( )
( )
( )
( )
Esta respuesta indica que deben hacerse 8,85 pagos semestrales. No obstante, desde el
punto de vista practico el ahorrador (deudor) tiene dos opciones:
a) Terminar de ahorrar (pagar) en el semestre 8, aumentando el último pago
b) O terminar de ahorrar (pagar) en el semestre 9, disminuyendo el último pago
Respuesta
Se deben realizar 8 o 9 pagos.

( )
[ ]
La forma de proceder en estos casos, es la siguiente:
a) Se asigna un valor inicial a la tasa de interés y se calcula la ecuación.
b) Si el valor es menor que la igualdad entonces se disminuye la tasa y se vuelve
a calcular, en caso contrario se aumenta la tasa y se vuelve a calcular
c) Cuando se logre determinar dos valores, uno mayor y otro menor, suficientemente
aproximados a los valores de la igualdad, se procede a calcular la tasa de interés por
interpolación.
Con el siguiente ejemplo se ilustra el anterior procedimiento:
[ ]
18
Ejemplo 10.
Si una compañía de pensiones ofrece, por un pago inmediato de $90 millones, una renta
de $5 millones durante 30 años. ¿Qué tasa de interés está reconociendo?
Solución
Parámetros
Valor presente: 90´000.000
Valor de los pagos: $5´000.000
Numero de pagos: 30 anuales
A= 5´000.000
0 1 2 3 28 29 30
i = ¿? EA
Vp=90´000.000
Cálculos
Para determinar la tasa de interés se parte de la formula (23):
( )

98´002.206,75 3%
90´000.000 X
86´460.166,50 4%
[ ]
19
De acuerdo al procedimiento descrito se le da valor inicial a la tasa (efectiva anual) y se
calcula el valor del lado derecho, así para un valor de , se obtiene:
Considerando que el valor de la derecha es mucho mayor al lado izquierdo,
aumentamos el valor de y se vuelve a calcular. En este caso se calcula para ,
obteniendo:
Considerando que el valor de la derecha es mayor al lado izquierdo, aumentamos el
valor de y se vuelve a calcular. En este caso se calcula para , obteniendo:
Considerando que en este caso el valor de la menor al lado derecho, se puede concluir
que la tasa de interés está entre 3% y 4%. El valor exacto se calcula por interpolación
como se indica a continuación:
Aplicando una sencilla regla de tres: si para una diferencia entre 98´002.206,75 y
86´460.166,50, existe una diferencia del 1%; que diferencia en % habrá para diferencia
entre 98´002.206,75 y 90´000.000, así se obtiene la fracción que sumada a 3% completa
la tasa de interés.
Sumando el resultado a 3%, se obtiene la tasa de interés buscada: 3,693%
Este resultado se puede comprobar remplazando este valor en la ecuación (23) y
verificando que se cumple la igualdad.
( )
Respuesta
La compañía de pensiones reconoce una tasa efectiva anual de: 3,693%

2. Anualidades anticipadas
En los negocios es frecuente que los pagos se efectúen al comienzo de cada periodo; es el
caso de los arrendamientos, ventas a plazos, y contratos de seguros, este tipo de
operaciones financieras reciben el nombre de anualidades anticipadas.
Una anualidad anticipada es una sucesión de pagos o rentas que se efectúan o vencen al
principio del periodo del pago. En la gráfica No 9 se comparan las anualidades vencidas y
anticipadas
GRAFICA NO 9 – COMPARACIÓN DE ANUALIDADES VENCIDAS Y ANTICIPADAS
Anualidad Vencida
1 2 3 n-2 n-1 n
. . .
0
1 2 3 n-1 n
Anualidad Anticipada
2.1 Valor presente de las anualidades anticipadas
préstamo se paga en cuotas iguales , a una tasa de interés efectiva por periodo ,
durante periodos, desde el periodo 0. La situación se muestra en la grafica No 10.
GRAFICA NO 10 – VALOR PRESENTE DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA
A
0 1 2 3 n-2 n-1 n
i
೦
풑
Si se analiza la operación se puede afirmar que el valor presente en este caso se puede
determinar como la suma de y el valor presente de una anualidad durante n-1 periodos.
20

( ) ( )
[ ]
( ) ( )
[ ] ( )
[ ]
[ ]
21
Ejemplo 11.
El contrato de arriendo de una oficina fija pagos de $4´000.000 mensuales al principio de
cada mes, durante de un año. Si se supone un interés del 2,5% efectivo anual; ¿Cuál será
el pago único al inicio del contrato que cubre todo el arriendo?
Solución
Parámetros
Valor de los pagos anticipados: $4´000.000
Numero de pagos: 12 mensuales
Tasa de interés efectiva mensual: 2,5%
A= 4´000.000
0 1 2 3 10 11 12
i = 2,5% EM
೦೦ =¿?
Cálculos
Para determinar el valor presente de la anualidad anticipada se aplica directamente la
formula (32):
( ) ( )
( ) ( )
Respuesta
El valor total del contrato al momento de su firma es:

2.2 Valor futuro de las anualidades anticipadas
Para la deducción del modelo matemático se considera una operación en la cual un ahorro
se paga en cuotas iguales , a una tasa de interés efectiva por periodo , durante
periodos, desde el periodo 0. La situación se muestra en la grafica No 11.
GRAFICA NO 11 – VALOR FUTURO DE UNA ANUALIDAD ANTICIPADA
A
-1 0 1 2 3 n-2 n-1 n
i
೦
풇
Si se analiza la operación se puede afirmar que el valor futuro de la anualidad anticipada
es igual al valor futuro de la anualidad durante n periodos (desde -1 hasta n-1) trasladada
1 periodo, ha través de la formula (11), hasta el periodo n.
( )
[ ] ( ) ( )
22
Ejemplo 12.
Una empresa arrienda una bodega que tiene de sobra por $5´000.000 mensuales, los
cuales se pagan de manera anticipada. Si cada que recibe el arriendo lo coloca en un
fondo de inversiones que promete una tasa de interés del 2% EM. ¿Cuánto podrá retirar
al cabo de un año?
Solución
Parámetros
Valor de los pagos anticipados: $5´000.000
Numero de pagos: 12 mensuales
Tasa de interés efectiva mensual: 2%

[ ] ( )
] ( [ )
3. Anualidades diferidas
Hasta el momento se ha considerado que el pago de las rentas se inicia inmediatamente
después de que se plantea la operación; no obstante, existen transacciones donde los
pagos o rentas se realizan después de haber pasado cierta cantidad de periodos, en estos
casos la operación se denomina anualidad diferida. En la gráfica No 12 se ilustran este tipo
de actividades.
GRAFICA NO 12 –ANUALIDAD DIFERIDA
A
0 1 2 3 n-3 n-2 n-1 n
i
푽풑
23
A= 5´000.000
0 1 2 3 10 11 12
i = 2% EM
೦೦ =¿?
Cálculos
Para determinar el valor futuro de la anualidad anticipada se aplica directamente la
formula (33):
( )
( )
Respuesta
El valor ahorrado por el empresario al cabo de un año es:

3.1 Valor presente de las anualidades diferidas
En este caso se halla el valor presente de la anualidad en un periodo antes de iniciarse los
pagos, utilizando para ello la formula
utilizando para ello la formula (12)
(23), el valor hallado se traslada al periodo 0
[ ]
[ ]
24
Ejemplo 12.
Una empresa acepta que un cliente le pague el valor de una compra realizada el día de
hoy, en seis cuotas mensuales de $800.000 a partir del séptimo mes. Si la empresa
aplica una tasa efectiva de interés del 2,5% EM, ¿Cuál será el valor de la venta?
Solución
Parámetros
Numero de pagos: 6 mensuales, a partir del mes 7
800.000
0 1 2 3 7 8 9 10 11 12
i = 2,5%
푽풑 ¿ ?
Cálculos
Para determinar el valor presente inicialmente calculamos el valor presente de la
anualidad en el periodo 6, utilizando para ello la ecuación (23):
( )
( )
Este valor se traslada al periodo 0, para esto se utiliza la formula (12)

( )
( )
Respuesta
El valor de la venta realizada por la empresa es:
3.2 Valor futuro de las anualidades diferidas
En este caso se halla el valor presente de la anualidad un periodo antes de iniciarse los
pagos, utilizando para ello la formula
(23), el valor hallado se traslada al periodo n
25
Ejemplo 13.
Si un padre inicia un ahorro mensual de $50.000, cuando su hijo cumple 1 año, ¿Cuál
será el valor ahorrado, cuando este cumpla 18 años, si el banco donde hace el deposito
le reconoce un interés anual del 0,6% EM?
Solución
Parámetros
Numero de pagos: 204 mensuales, a partir del mes 12
50.000
0 1 11 12 211 212 213 214 215 216
i = 0,6%
푽풇 ¿ ?
Cálculos
Para determinar el valor futuro inicialmente calculamos el valor presente de la

anualidad en el periodo 11, utilizando para ello la ecuación (23):
( )
[ ]
[ ]
( )
Este valor se traslada al periodo 216, para esto se utiliza la formula (11)
Respuesta
El valor del ahorro cuando el hijo cumpla 18 años es :
4. Anualidades perpetuas
( )
( )
Cuando el número de pagos de una anualidad es muy grande, o cuando no se conoce con
exactitud la cantidad de pagos se dice que la anualidad es perpetua.
Al deducirse los modelos matemáticos se debe tener en cuenta que solo existe el valor
presente ya que por tratarse de una anualidad perpetua el valor futuro de este tipo de
anualidades sería infinito.
Partiendo del valor presente de la anualidad formula (23) se puede hallar el limite cuando
n tiende a infinito, teniendo en cuenta la definición de anualidad perpetua.
( )
[ ]
( )
im A [
] im
→∞
→∞
( )
26
Ejemplo 14.
El consejo municipal de Santa Fe de Antioquia resuelve crear un fondo para proveer a
perpetuidad las reparaciones del puente colonial de esa población que se estima tendrá
un costo anual de $91 millones de pesos, doce años después de una reparación general.
¿Cuánto se deberá colocar en el fondo al momento de terminar la reparación general, si

( )
( )
27
la tasa de interés de colocación del mercado es del 7% anual?
Solución
Parámetros
Valor de los pagos: $91 millones
Numero de pagos: infinitos, a partir del año 12
Tasa de interés efectiva anual: 7%
91 millones
0 1 11 12 13 14 15 n-2 n-1 ∞
i = 7% EA
푽풑 ¿ ?
Cálculos
Lo que habrá que depositar en el fondo será igual al valor presente de la anualidad
perpetua calculada en el año 11, para lo cual se utiliza la formula (34), y este valor
trasladado al momento 0, que es donde se supone se termino la reparación general,
para esto se utiliza la formula (12):
Respuesta
En el fondo se deben colocar:

5. Gradientes
Son operaciones financieras en las cuales se pacta cubrir la obligación en una serie de
pagos periódicos crecientes o decrecientes que cumplen con las siguientes condiciones:
Los pagos cumplen con una ley de formación
Los pagos se hacen a iguales intervalos de tiempo
A todos los pagos (rentas) se les aplica la misma tasa de interés
El número de pagos y periodos pactados es igual
La ley de formación, la cual determina la serie de pagos, puede tener un sinnúmero de
variantes; no obstante, en la vida cotidiana las más utilizadas son el gradiente aritmético y
el geométrico; las cuales a su vez pueden generar cuotas crecientes o decrecientes.
Como el lector ya lo habrá deducido, las anualidades son casos particulares de los
gradientes donde el crecimiento es cero, lo que causa que los pagos sean todos iguales;
entonces igual que el caso de la anualidad los modelos matemáticos que se deducen para
el cálculo y análisis de los gradientes tienen en cuenta las anteriores condiciones por lo
cual, es necesario que al momento de aplicarse las formulas a situaciones particulares, se
asegure que se cumplan dichas condiciones
5.1 Gradiente aritmético
Para el gradiente aritmético, la ley de formación indica que cada pago es igual al anterior,
más una constante ; la cual puede ser positiva en cuyo caso las cuotas son crecientes,
negativa lo cual genera cuotas decrecientes. En el caso de que la constante sea cero, los
pagos son uniformes, es decir se tiene el caso de una anualidad.
5.1.1 Ley de formación
Considerando que los pagos en cada periodo serán diferentes, entonces estos se
identificaran con un subíndice que indica el consecutivo del pago.
De acuerdo a la ley de formación, en este caso, cada pago será igual al anterior más una
constante, así como se muestra a continuación:
28

푃
( )
5.1.2 Valor presente de un gradiente aritmético
préstamo se paga en una serie de cuotas formada a través de un gradiente aritmético, a
una tasa de interés efectiva por periodo , durante periodos. La situación se muestra en
la grafica No 13.
GRAFICA NO 13 – VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO
푨೦ (풏 ೦)풌
푨೦ (풏 ೦)풌
푨೦ (풏 ೦)풌
푨೦
೦೦
푨೦ 풌
푨೦
0 1 2 3 n-2 n-1 n
i
Vp
Para calcular el valor presente se utiliza la formula (12), considerando cada valor de las
cuotas y sumando todos los resultados en 0.
( )
29

( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( )
Rescribiendo la ecuación se obtiene el siguiente resultado:
( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
De la anterior expresión se puede concluir que la primera parte, las fracciones con
numerador corresponde al valor presente de la anualidad y que las otras expresiones
tienen como factor común K; de esta forma la ecuación se puede escribir como:
( )
( )
[ ] [
( ) ( ) ( )
]
( )
Supongamos que el factor de es igual , es decir:
( )
[
( ) ( ) ( )
]
Si multiplicamos la ecuación anterior por ( ), entonces se obtiene:
( )
( )( ( ) [ )]
( ) ( )
Si se resta ( ) de , se obtiene:
( )
( )( )]
( )
( ) [
( ) ( )
[
( ) ( ) ( )
]
( ) ( ) ( )
( )( ) ( ) ( )
( )
[ ]
( )
30

( )
[ ] ( )
( )
Remplazando (b) en (a), se obtiene:
( )
( )
( )
]
( )
[ ]
[
[ ] [
( )
]
31
Ejemplo 15.
Un padre de familia esta dispuesto a realizar el ahorro que se muestra en la grafica; de
cuánto debería ser la inversión hoy para igualar dicho ahorro, sí el banco reconoce una
tasa de interés del 5% semestral.
೦ ೦೦೦ ೦೦೦
೦ ೦೦೦ ೦೦೦
೦ ೦೦೦ ೦೦೦
೦ ೦೦೦ ೦೦೦
೦ ೦೦೦ ೦೦೦
೦೦೦ ೦೦೦
0 1 2 3 4 5 6
i =5%
Vp = ¿?
Solución
Parámetros
Valor del pago inicial: $800.000
Numero de pagos: 6 semestrales
Tasa de interés efectiva anual: 5% ES
El gradiente tiene un crecimiento de $200.000, es decir
Cálculos
Para hallar el equivalente del ahorro se debe calcular el valor presente del gradiente,
para lo cual se utiliza la formula (35):
( ) ( )

[ ] [
( )
]
( ) ( )
Respuesta
El valor equivalente del ahorro al día de hoy es:
5.1.3 Valor futuro de un gradiente aritmético
Para hallar el valor futuro ( ), basta remplazar el valor presente ( )
formula (37), en la formula (11).
del gradiente,
( )
( )
( )
( )
]
[ ]
[
( ) [
( )
[ ]
] ( )
೦ ೦೦೦
೦೦೦
32
Ejemplo 15.
¿Qué valor recibirá una persona que realiza el ahorro semestral que se indica en la
gráfica? El banco donde se realiza el ahorro reconoce una tasa de interés del 6%
semestral.
೦ ೦೦೦ ೦೦೦
೦ ೦೦೦ ೦೦೦
೦ ೦೦೦ ೦೦೦
೦ ೦೦೦ ೦೦೦
೦೦೦ ೦೦೦
0 1 2 3 4 5 6
i
Vf = ¿?
Solución
Parámetros
Valor del pago inicial: $800.000
Numero de pagos: 6 semestrales

[ ]
[
]
[ ] [ ]
5.1.4 Valor presente de un gradiente aritmético infinito
Cuando se habla de pagos de gradientes matemáticos infinitos, solo tiene sentido hablar
del valor presente, como equivalente de dichos pagos. La principal aplicación de dicha
serie es el cálculo del costo de capital.
GRAFICA NO 14 – VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE ARITMÉTICO INFINITO
푨೦
푨೦
푨೦
푨೦
0 1 2 3 4 … ∞
i
Vp = ¿?
Modelo matemático
33
Tasa de interés efectiva anual: 6% ES
El gradiente tiene un crecimiento de $500.000, es decir
Cálculos
Para hallar el valor final del ahorro se debe calcular el valor futuro del gradiente , para
lo cual se utiliza la formula (38):
( ) ( )
( ) ( )
Respuesta
El valor final del ahorro es:

Planeando la ecuación de valor de la serie se obtiene:
( )
( )
im [ [ ]
[
]]
( )
→∞
( )
( )
im [ ]
im
→∞
[ ] im [ ]
( )
→∞ →∞
[ ]
( )
೦೦ ೦೦೦
೦೦೦
34
Ejemplo 16.
¿Qué valor deberá cancelar una persona un año antes de su retiro para recibir
anualmente una pensión de 30 millones, la cual se incrementara 2 millones cada año? El
fondo de pensiones reconoce una tasa de interés del 6,5% anual.
೦೦ ೦೦೦ ೦೦೦
೦೦ ೦೦೦ ೦೦೦
೦೦ ೦೦೦ ೦೦೦
0 1 2 3 4 … ∞
i = 6,5 %
Vp = ¿?
Solución
Parámetros
Valor del pago inicial: $30´000.000
TNausmae dreo indtee préasg oesf:e icntfivinai taonsu al: 6,5% EA
El gradiente tiene un crecimiento de $2´000.000, es decir
Cálculos
Para hallar el valor inicial que debe colocar la persona se debe calcular el valor presente
del gradiente infinito , para lo cual se utiliza la formula (37):

( )
5.2 Gradiente geométrico
Para el gradiente aritmético, la ley de formación indica que cada pago es igual al anterior,
multiplicado por una constante (1+G); si G es positiva el gradiente será con cuotas
crecientes, si G es negativo el gradiente será decreciente y si G es igual a 0, los pagos son
uniformes, es decir se tiene el caso de una anualidad.
5.2.1 Ley de formación
Considerando que los pagos en cada periodo serán diferentes, entonces estos se
identificaran con un subíndice que indica el consecutivo del pago.
De acuerdo a la ley de formación, en este caso, cada pago será igual al anterior
multiplicado por una constante, así como se muestra a continuación:
푃
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
5.2.2 Valor presente de un gradiente geométrico
préstamo se paga en una serie de cuotas formadas a través de un gradiente
35
Respuesta
El futuro pensionado deberá cancelar :

geométrico, a una tasa de interés efectiva por periodo , durante periodos. La situación
se muestra en la grafica No 14.
GRAFICA NO 14 – VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO
푨೦(೦ 푮)풏
೦
푨೦(೦ 푮)풏
೦
푨೦(೦ 푮)풏
೦
푨೦(
೦
푮)೦
푨೦(೦
푮)
푨೦
0 1 2 3 n-2 n-1 n
i
Vp
Para calcular el valor presente se la ecuación de valor, para lo cual se utiliza la formula
(12), considerando cada valor de las cuotas y sumando todos los resultados en 0.
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
Multiplicando la ecuación anterior por , se obtiene: ( )
))( ( ( ) ( ) ( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
Restando ( ) de ( ), se obtiene:
))( ( ( )
( ) ( )
36

(
)
[
( )
( )
] ( )
[
( )
]
( )
[
( )
]
( )
( )
[
( )
]
( )
( )
[
( )
] ( )
Si el valor presente es indeterminado; no obstante, esta situación se puede aclarar
usando la regla de L´ôpital y derivando la expresión con respecto a ; así como se muestra
a continuación:
( )
im [ ]
→ ( ) ( )
( )
im [ ]
→
( )
( )
( )
im [ ]
→ ( )
( )
( )
De ( ) y ( ) se puede concluir que:
( )
( )
[
( )
]
( )
( )
37
Ejemplo 17.
¿Cuál será el valor hoy de una pensión de un trabajador que le pagaran durante su
época de jubilación 24 pagos anuales iniciando en 2´000.000 y con incrementos del 10%
anual? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 7% EA
Solución
Parámetros

TNausmae dreo indtee préasg oesf:e 2ct4i vaan uaanlueasl : 7% EA
El gradiente tiene un crecimiento del 10% anual, es decir
Representación grafica
೦ ೦೦೦
೦೦೦
೦ ೦೦೦ ೦೦೦
0 1 2 3 … … 24
Cálculos
Para hallar el valor inicial de la pensión que se deberá pagar se aplica la formula (38)
cuando , considerando que se trata de un gradiente geométrico con un
crecimiento del 10%.
( )
i = 7 %
[
( )
]
( )
[
( )
( )
)
]
38
೦೦ ೦೦೦ ೦೦೦ ೦೦
೦ ೦೦೦ ೦೦೦
Vp = ¿?
(
Respuesta
El valor presente de la pensión es :
Ejemplo 18.
¿Cuál será el valor hoy de una pensión de un trabajador que le pagaran durante su
época de jubilación 24 pagos anuales iniciando en 2´000.000 y con incrementos del 10%
anual? Suponga que se reconoce una tasa de interés del 10% EA
Solución
Parámetros

೦ ೦೦೦
೦೦೦
( )
( )
5.2.3 Valor futuro de un gradiente geométrico
Para hallar el valor futuro ( ), basta remplazar el valor presente
formula (40), en la formula (11).
( ) del gradiente,
( )
( )
] ( )
( )
[
( )
39
TNausmae dreo indtee préasg oesfe: c2t4iv aan aunauleasl: 10% EA
೦೦ ೦೦೦ ೦೦೦ ೦೦
೦ ೦೦೦ ೦೦೦
೦ ೦೦೦ ೦೦೦
0 1 2 3 … … 24
i = 7 %
Vp = ¿?
Cálculos
Para hallar el valor inicial de la pensión que se deberá pagar se aplica la formula (38)
cuando , considerando que se trata de un gradiente geométrico con un
crecimiento del 10%.
Respuesta
El valor presente de la pensión es :

( )
[( ) ( ) ]
De otro lado,
( )
( )
( )
De esta manera,
( ) [( ) ( ) ]
( )
( )
40
Ejemplo 19.
¿Cuál será el valor final de un ahorro que se realiza durante 36 semestres iniciando con
un pago de 3´000.000 e incrementos del 4%? Suponga que se reconoce una tasa de
interés del 3,5% ES
Solución
Parámetros
TNausmae dreo idnete préasg oesfe: c3t6iv sae smeemsetrsatlreasl: 3,5% ES

೦ ೦೦೦
೦೦೦
( )
[( ) ( ) ]
[( ( ) ) ( ) ]
41
Ejemplo 20.
¿Cuál será el valor final de un ahorro que se realiza durante 36 semestres iniciando con
un pago de 3´000.000 e incrementos del 4%? Suponga que se reconoce una tasa de
interés del 4% ES
Solución
Parámetros
TNausmae dreo idnete préasg oesfe: c3t6iv sae mseemstersatlreasl: 4% ES
೦೦ ೦೦೦ ೦೦೦ ೦೦
೦ ೦೦೦ ೦೦೦
೦ ೦೦೦ ೦೦೦
0 1 2 3 … … 36
i = 3,5%
Vf = ¿?
Cálculos
Para hallar el valor final del ahorro se aplica la formula (39) cuando ,
considerando que se trata de un gradiente geométrico con un crecimiento del 4%.
Respuesta
El valor del ahorro es:

೦ ೦೦೦
೦೦೦
( )
( )
5.2.4 Valor presente de un gradiente aritmético infinito
Cuando se habla de pagos de gradientes geométricos infinitos, solo tiene sentido hablar
del valor presente, como equivalente de dichos pagos. La situación se ilustra en la grafica
No 16.
42
೦೦ ೦೦೦ ೦೦೦ ೦೦
೦ ೦೦೦ ೦೦೦
೦ ೦೦೦ ೦೦೦
0 1 2 3 … … 36
i = 4%
Vf = ¿?
Cálculos
Para hallar el valor final del ahorro se aplica la formula (39) cuando ,
considerando que se trata de un gradiente geométrico con un crecimiento del 4%.
Respuesta

GRAFICA NO 16 – VALOR PRESENTE DE UN GRADIENTE GEOMÉTRICO INFINITO
푨೦
푨೦
푨೦
푨೦
0 1 2 3 4 … ∞
i
Vp = ¿?
Modelo matemático
De la ecuación ( ) para cuando , se obtiene:
( )
( )
[
( )
]
( )
im [ ]
→∞ ( ) ( )
( )
( )
im [(
→∞
) ]
( )
( ) Si entonces la expresión ( ) es mayor que 1, y no tendrá límite cuando
( )
tiende a ∞.
( ) Si entonces la expresión ( ) es menor que 1, y por consiguiente el límite será
( )
igual , cuando tiende a ∞.
( )
[ ] ( )
( )
De la ecuación ( ) para cuando , se obtiene:
im ( )
→∞ ( )
En este caso, no hay límite
43

De ( ) y ( ) entonces se puede escribir el valor presente de un gradiente geométrico
infinito, como:
( )
( )
∞
೦ ೦೦೦
೦೦೦
44
Ejemplo 21.
¿Cuál será el valor de la prima de un seguro que pretende realizar pagos de forma
indefinida, iniciando en 4´000.000 con incrementos mensuales del 1%? Suponga que se
reconoce una tasa de interés del 1,5% EM
Solución
Parámetros
TNausmae dreo indtee préasg oesf:e icntfivinai tmose nsual: 1,5% EM
El gradiente tiene un crecimiento del 1% mensual, es decir
೦ ೦೦೦ ೦೦೦
೦ ೦೦೦ ೦೦೦
0 1 2 3 … ∞
i = 1,5%
Vp = ¿?
Cálculos
Para hallar el valor de la prima del seguro se debe calcular el valor presente de la serie
infinita de la formula (42), considerando que ≤ , y teniendo en cuenta que se trata
de un gradiente geométrico con un crecimiento del 1%.

( )
( )
45
Respuesta

6. Ejercicios resueltos
[ ]
[ ]
( )
46
6.1 Un padre de familia cuando su hijo cumple 12 años hace un depósito de $X en una
fiduciaria con el objeto de asegurar sus estudios universitarios, los cuales se
iniciara al cumplir 20 años. Se estima que para esa época el valor de la matrícula
anual de la universidad va ser de $3´000.000 y no sufrirá modificaciones durante
los seis años que duraran sus estudios, ¿Cuál deberá ser el valor del depósito $X?
Suponga que la fiducia le reconoce una tasa de interés del 30% anual.
Solución
Parámetros
o Valor de los pagos: $3 millones
o Numero de pagos: 6, a partir del año 12
o Tasa de interés efectiva anual: 7%
3 millones
0 1 7 8 9 10 11 12 13
12 13 19 20 21 22 23 24 26
i = 30% EA
푽풑 ¿ ?
Cálculos
Para calcular el deposito se calcula el valor presente 7 de la anualidad,
aplicando la formula (23) y el resultado se traslada al periodo 0, es decir cuando el
hijo cumple 12 años, utilizando la formula (12)
( )
( )

( )7
[ ]
[ ]
47
01.03.10
01.10.10
01.08.11
6.2 Una pequeña empresa solicita un préstamo el día 1 de marzo de 2010 y acuerda
efectuar pagos mensuales de $1´200.000, desde el 1 de octubre de 2010, hasta el
1 de agosto de 2011. Si el banco aplica una tasa de interés del 3.5% efectivo
mensual, ¿Cuál será el valor del préstamo?
Solución
Parámetros
o Valor de los pagos: $1´200.000
o Numero de pagos: 11, a partir del 1 de octubre
o Tasa de interés efectiva mensual: 3,5%
1´200.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
i = 3,5% EM
푽풑 ¿ ?
Cálculos
Para calcular el préstamo se calcula el valor presente de la anualidad,
aplicando la formula (23) y el resultado se traslada al periodo 0, es decir el 01 de
marzo del 2010, utilizando la formula (12)
( )
( )
Respuesta
El deposito que deberá hacer el padre de familia es:

( )
( )
48
Respuesta
El préstamo será de:
01.04.10
01.04.11
01.04.12
01.04.13
6.3 Un inversionista que depositó el primero de abril de 2010, $10 millones, en un
fondo que paga un interés del 6% N-s ¿Cuántos retiros semestrales de $800.000
podrá hacer, si el primer retiro lo hace el primero de abril de 2013?
Solución
Parámetros
o Valor de los pagos: $800.000
o Tasa de interés: 6% N-s
o Periodos semestrales
800.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9… n …
푽풑 ೦೦ ೦೦೦ ೦೦೦ j = 6% N-s
Cálculos
Para calcular el número de retiros, inicialmente llevamos el deposito inicial hasta
seis meses antes de iniciar lo retiros, es decir el 01 de abril del 2013; esto con el
fin de configurar la anualidad, para esto se utiliza la formula (11)
Tasa de interés efectiva se calcula a partir de la formula (15)
Numero de periodos: 5 periodos (semestres)

49
6.4 Un trabajador deposita en un fondo de pensiones el día de hoy la suma de
$1´000.000 y dentro de tres años $3´000.000; al final del año 5 comienza a hacer
depósitos anuales de $5´000.000, durante 6 años, ¿Cuánto dinero podrá retirar
anualmente en forma indefinida, comenzando al final del año 14? El fondo
reconoce una tasa del 20% efectivo anual
Solución
Parámetros
o Valor de los pagos: 5´000.0000
o Tasa de interés: 20% EA
o Periodos anuales: 6
o Depósitos extras; año 1: 1´000.000, año 3: 3´000.000
A = ¿?
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17…
푽೦ ೦ ೦೦೦ ೦೦೦ i = 20% EA
푽೦ ೦ ೦೦೦ ೦೦೦
푽푨 ೦ ೦೦೦ ೦೦೦
( )
( )
A partir de la anualidad configurada se puede calcular el numero de retiros
(pagos) utilizando la formula (31)
( )
( )
( )
( )
Respuesta
El inversionista podrá hacer: retiros semestrales de $800.000 y un veinteavo retiro
por una fracción de los $800.000

Cálculos
Para determinar el valor que trabajador puede retirar anualmente en forma
indefinida se debe configurar la anualidad perpetua con valor presente en el
periodo 13. Este valor se calcula, por su parte, como el valor futuro de la
anualidad con pagos de $5´000.000, traslada al periodo 13, más el valor futuro, en
este mismo periodo, de los ahorros de $1´000.000 y 3´000.000. Para calcular los
valores futuros se utilizan las formulas (11) y (28).
( )
( )
( )
[ ]
( )
( )
[ ] ( )
50
(P3a4r)a, ddeetsepremjainnadro eAl monto que puede retirar a perpetuidad, aplicamos la formula
Respuesta
El trabajador podrá realizar retiros anuales de 23´013.807,71
6.5 Una empresa estudia el arriendo de una casa lote para sus operaciones. Su agente
inmobiliario le presenta dos ofertas: una casa para la cual se estima un costo de
mantenimiento de $2.000.000 anuales y de $3.000.000 cada 4 años para
reparaciones mayores; de otro lado se ofrece una casa que requerirá de una suma
de $3.000.000 anuales para mantenimiento y de $2.500.000 cada tres años para
reparaciones adicionales. Si la casa-lote se va usar por tiempo indefinido y
suponiendo que el costo de capital de la empresa es del 35% efectivo anual. ¿Cuál
de las dos alternativas le aconsejaría tomar a la empresa?
Solución
Parámetros

51
o Casa No 1
o Anualidad mantenimiento: 2´000.0000 anual; anualidad de reparaciones
$3´000.000 cada 4 años
o Casa No 2
o Anualidad mantenimiento: 3´000.0000 anual; anualidad de reparaciones
$2´500.000 cada 3 años
o Periodos anuales: perpetuo
En la siguientes gráficas se representan las dos alternativas:
Casa No1
i = 35% EA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12… n
푨೦ ೦ ೦೦೦ ೦೦೦
푨೦ ೦ ೦೦೦ ೦೦೦
Casa No2
i = 35% EA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12…
푨೦ ೦ ೦೦೦ ೦೦೦
푨೦ ೦ ೦೦೦ ೦೦೦
Cálculos
Para determinar la mejor alternativa; se compara el valor presente de ambas
alternativas. El calculo del valor presente se realiza aplicando la formula (34) y
considerando que ambos casos el valor presente es la suma de las dos
anualidades en el periodo cero (0)
Casa No1

considerando que es igual a 1 y es
considerando que es igual a 1 y es
52
Para la anualidad de cada cuatro años se debe determinar la tasa efectiva
equivalente partiendo de la tasa efectiva anual, para ello se utiliza la formula (16),
( )
( )
Considerando esta tasa de interés se puede ahora calcular el valor presente de la
alternativa, como sigue:
Casa No2
Para la anualidad de cada tres años se debe determinar la tasa efectiva
equivalente partiendo de la tasa efectiva anual, para ello se utiliza la formula (16),
( )
( )
Considerando esta tasa de interés se puede ahora calcular el valor presente de la
alternativa, como sigue:
Respuesta
El valor presente de la segunda alternativa es mucho mayor que el de la primera por lo
cual la mejor opción será la casa No1

[
( )
]
53
6.6 Con una tasa de interés del 24% N-t, ¿Cuál debe ser el valor de los pagos
semestrales vencidos que, hechos por 10 años, amortizarán una deuda de
$120´000.000?
Solución
Parámetros
o Valor presente o actual: $120´000.000
o Tasa de interés: 24% N-t
o Periodos semestrales: 20
i = 24% N-t
0 1 2 3 4 5 6 7 8… 16 17 18 19 20
푨 ¿ ?
Cálculos
Considerando que se trata de pagos semestrales es necesario determinar la tasa
de interés efectivo semestral a partir de la tasa nominal trimestral dada. Para
esto, inicialmente se halla la tasa efectiva trimestral a partir de la nominal,
A partir de esta tasa se halla la tasa efectiva semestral, utilizando para ello la
formula (16), considerando que es igual a 4 y es
( )
( )
Considerando esta tasa de interés se puede ahora calcular los pagos de la
anualidad, utilizando para ello la formula (25), como sigue:
[ ]
( )

54
6.7 Con una tasa de interés del 24% N-t, ¿Cuál debe ser el valor de los pagos
semestrales anticipados que, hechos por 10 años, amortizarán una deuda de
$120´000.000?
Solución
Parámetros
o Valor presente o actual: $120´000.000
o Tasa de interés: 24% N-t
o Periodos semestrales: 20
i = 24% N-t
0 1 2 3 4 5 6 7 8… 16 17 18 19 20
푨 ¿ ?
Cálculos
Considerando que se trata de pagos semestrales es necesario determinar la tasa
de interés efectivo semestral a partir de la tasa nominal trimestral dada. Para
esto, inicialmente se halla la tasa efectiva trimestral a partir de la nominal,
A partir de esta tasa se halla la tasa efectiva semestral, utilizando para ello la
formula (16), considerando que es igual a 4 y es
( )
( )
Considerando esta tasa de interés se puede ahora calcular los pagos de la
anualidad, despejando A de la formula (32), como sigue:

[ ]
( ) ( )
( ) ( )
[ ]
[ ]
Respuesta
Las cuotas semestrales anticipadas para pagar la deuda son de
i = 24% N-m
55
6.8 Un señor desea comprar una póliza de seguro que garantice a su esposa el pago
de $4´000.000 mensuales durante 10 años y adicionalmente $5´000.000 al final de
cada año durante este mismo período. Si el primer pago se efectúa al mes del
fallecimiento del señor, hallar el valor de la póliza de seguro suponiendo que la
compañía de seguros garantiza el 24% N-m
Solución
Parámetros
o Tasa de interés: 24% N-m
o Anualidad 1: $4´000.000 mensuales durante 120 meses
o Anualidad 2: $5´000.000 anuales durante 10 años
푨೦ ೦ ೦೦೦ ೦೦೦
0 1 2 3… 12 13… 24… 36… 48… 117 118 119 120
푨೦ ೦ ೦೦೦ ೦೦೦
Cálculos
El valor de la póliza corresponde al valor presente de la suma de las dos
anualidades. Para realizar el cálculo se requiere hallar la tasa efectiva de interés

[ ]
[ ]
[ ]
56
anual y mensual equivalente a la tasa nominal dada.
Tasa efectiva mensual
Tasa efectiva anual
A partir de esta tasa efectiva mensual se halla la tasa efectiva anual, utilizando
para ello la formula (16), considerando que es igual a 12 y es
( )
( )
Considerando estas tasas de interés se puede ahora calcular los valores presentes
de las anualidades y sumarlos para obtener el valor de la póliza. Para esto se
utiliza la formula (23), como sigue:
( )
Anualidad mensual
( )
Anualidad anual
( )
Valor de la póliza:
Respuesta
El valor de la póliza es:

57
6.9 Una pequeña empresa acuerda con su banco un préstamo el cual se pagara en 12
cuotas mensuales. Si el primer pago es de $6´000.000 y los pagos sucesivos
disminuyen cada uno en $800.000
a) ¿Cuál será el valor del último pago?
b) ¿Cuál será el valor final de los pagos, suponiendo una tasa del 36% N-m?
Solución
Parámetros o Tasa de interés: 36% N-m
o Pagos mensuales decrecientes, con y
푨೦ ೦ ೦೦೦ ೦೦೦
i = 36% N-m
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
푨೦ ೦ ೦೦೦ ೦೦೦ 풚푲 ೦೦೦ ೦೦೦
Cálculos
Para calcular el pago en el periodo 12, se utiliza la ley de formación del gradiente
matemático considerando y .
( )
( )
Para realizar el cálculo del valor final se requiere hallar inicialmente la tasa
efectiva de interés mensual equivalente a la tasa nominal dada.
Tasa efectiva mensual
Considerando la tasa de efectiva mensual se puede ahora calcular el valor final de

los pagos. Para esto se utiliza la formula (36), como sigue:
( ) ( )
[ ]
[
]
( ) ( )
[ ] [ ]
58
Respuesta
El valor de la póliza es:
6.10 Hallar el valor de $X en el flujo de caja que se muestra en la gráfica, considerando
una tasa de interés efectiva del periodo del 30%
220.000
200.000
180.000
160.000
140.000
120.000
80.000 100.000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
X
Solución
Parámetros o Tasa de interés: 30% E
o Pagos mensuales crecientes, con y
Cálculos
El Valor de X será equivalente al valor de la serie gradiente aritmética que inicia en
el periodo 2, valorada en el periodo 5, más el valor futuro en el periodo 5 de los
valores de los periodos 1 y 2.
Lo primero es hallar el valor presente de la serie gradiente en el periodo 2, una
vez hallado, este se lleva al periodo 5. Para calcular el valor presente del gradiente

se utiliza la formula (35), considerando que
[ ]
[
( )
]
( ) ( )
[ ] [
( )
]
59
( ) ( )
Para hallar el valor futuro del valor anterior en el periodo 5, aplicamos la formula
(11), considerando 3 periodos y la tasa de interés efectiva del periodo
( )
( ) ( )
Para hallar el valor futuro de los valores de los periodos 1 y 2 se aplica igualmente
la formula (11)
( )
( ) ( )
( ) ( )
El valor de X, será igual a la suma de ( ), ( ) y ( )
Respuesta
El valor de X es:
6.11 Hallar el primer pago de un gradiente aritmético creciente en $300.000, que tenga
50 pagos y que sea equivalente a 50 pagos que crecen un 20%, con primer pago
de $1´000.000, suponga una tasa del 20%

Solución
Parámetros o Tasa de interés: 20% E
o Serie gradiente aritmética, con ¿ ? y , y
o Serie gradiente geométrica, con y y
Cálculos
Pdeabrae hhaalllalarr epl rpimrimereor epla vgaol odre plrae sseernitee a drietm laé tsiceari ec ogne o m é t r i c a c o n y p a g o ys ; usne
. Para esto se aplica la formula (38), considerando que
( )
Considerando que el gradiente aritmético es equivalente, entonces el valor
presente debe ser igual al del ( gradiente )
geométrico; con esto y sabiendo el
numero de pagos, interés y valor del incremento, utilizando la formula (35), se
puede despejar el valor de
( ) ( )
[ ]
[
( )
]
[
( )
]
( ) ( )
] [
60
Respuesta
El valor de la primera cuota del gradiente aritmético es:
6.12 Con interés efectivo del 14% hallar el valor final de la siguiente serie.
Periodo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Valor
300
500
700
900
1.100
1.300
1.000
700
400
100
-200
-500

[
] [
]
[ ]
[
]
[
] [
] ( )
61
Solución
En la tabla se identifican a) La primera es una se drioes a sreitrmieést ica creciente que se inicia en el periodo 0 y
termina en el periodo 6, con y
b) La segunda es una serie aritmética decreciente que se inicia en el periodo 6 y
termina en el periodo 12, con y
o Tasa de interés: 14% E
Cálculos
El Valor final será igual a la suma de las dos series creciente y decreciente
valoradas en el periodo 12. Para calcular el valor final se utiliza la formula (36) y la
formula (11)
( ) ( )
( )
Primera serie
El valor final de esta serie en el periodo 6, es:
( ) ( )
Considerando que se requiere el valor equivalente en el periodo 12, se halla el
valor futuro del anterior valor en 12 utilizando la formula (11)
( ) ( )
Segunda serie
El valor final de esta serie en el periodo 12, es:
( ) ( )
El valor de la serie será igual , es decir:

Respuesta
El valor final de la serie será:
Periodo
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
[ ]
[ ] ( )
( )
[
( )
]
62
6.13 Con interés efectivo del 6% hallar el valor presente de la siguiente serie.
Solución
En la tabla se identifica lo siguiente:
a) Una anualidad con pagos , iniciando en el periodo y terminando en
b) Una serie gradiente geométrica creciente que se inicia en el periodo y
termina en el periodo , con y
c) Un pago de 9,4 en el periodo 9
Cálculos
El valor presente de la serie será igual a la suma del valor presente de la
anualidad, más el valor de la serie geométrica valorada en 0, más el valor presente
del pago realizado en el periodo 9.
Anualidad
Para calcular el valor presente en 0 de la anualidad se utiliza la formula (23),
considerando , y la tasa de interés efectiva del periodo
( )
( )
Gradiente geométrico
Para valorar el gradiente en el periodo 0, inicialmente se calcula el valor presente
en 4 el gradiente utilizando la formula (38), considerando que ,
seguidamente para este valor se calcula el equivalente en 0, utilizando la formula
()
( )
Valor
60
60
60
60
72
86,4
103,68
124,42
149,3 + 9,4
179,16
215

( )
[
( )
)
]
Para hallar el valor en el periodo 0, se utiliza la formula (12), considerando 4
periodos
( )
(
Pago periodo 9
( )
( )
El valor presente del pago del periodo 9, se calcula utilizando la formula (12)
( )
( )
( )
63
El valor de la serie será igual a la suma de
Respuesta
El valor inicial de la serie será:
6.14 Hallar el valor presente de una serie infinita de pagos, si el primero corresponde a
$1´000.000, son crecientes en un 10% y la tasa efectiva es del 8%.
Solución
Parámetros
o Serie gradiente creciente con y
o Numero de pagos: infinitos
Cálculos
Recordemos que en la formula (40) si el , entonces el valor presente del
gradiente es infinito, considerando que este es el caso, entonces: ∞

( )
∞
Respuesta
El valor inicial de la serie será: ∞
6.15 ¿Cuál será el valor inicial equivalente de una serie infinita de pagos mensuales que
crecen cada mes en $300.000, cuyo primer pago es de $2´000.000 y para el cual se
reconoce una tasa del 2.5% efectivo mensual?
Solución
Parámetros
o Serie gradiente aritmética creciente con y
o Tasa de interés: 2,5% EM
Cálculos
El valor equivalente inicial de una serie aritmética infinita se calcula utilizando la
formula (37), considerando el primer pago, el gradiente y la tasa de interés.
( )
64
Respuesta
El valor inicial de la serie es:
6.16 Para el mantenimiento y preservación de la carretera de acceso a una vereda los
vecinos de la región quieren establecer un fondo. Se estima que los trabajos para
el próximo año tendrán un costo de 10 millones de pesos; y que este se
incrementará todos los años en un 18%. Hallar el valor del fondo, suponiendo que
la fiducia reconoce un interés del 28% efectivo anual
Solución

o Serie gradiente geométrica creciente con y
Cálculos
El valor del fondo será el valor inicial de la serie geométrica infinita de los pagos
estimados para el mantenimiento y preservación, de esta forma el valor se calcula
utilizando la formula (40), considerando que la tasa de interés es mayor que el
gradiente.
( )
( )
65
Parámetros
Respuesta
Los vecinos deben establecer un fondo con un valor inicial de :
6.17 Una entidad financiera presta a un cliente $30 millones, con un interés del 34.8%
N-m. El deudor tiene un plazo de 15 años para amortizar la deuda, mediante
pagos mensuales. Suponiendo que la primera cuota es de $100.000 y vence al
final del primer mes, ¿cuál debe ser el porcentaje de reajuste mensual de la cuota,
para cancelar la deuda?
Solución
Parámetros
o Valor inicial
o Valor de la primera cuota:
o Numero de pagos: 180, mensuales
o Tasa de interés: 34.8% N-m
Cálculos
Para calcular el gradiente de la serie geométrica creciente, inicialmente se debe
calcular la tasa de interés efectiva mensual, utilizando la formula (15);
seguidamente se despejara de la formula (38), previendo que .

( )
[
]
66
( )
( )
Considerando que se trata de una ecuación de orden con varias raíces de orden
superior, la solución debe hacerse por tanteo y error. Después de hacer algunos
tanteos se llega a un valor de 3,48%
Respuesta
La cuota debe tener un incremento mensual de:
6.18 A un pequeño empresario le ofrecen en comodato un restaurante durante un año,
se le garantiza al menos la venta mensual de 6.000 almuerzos durante todo año;
los cuales le serán pagados a razón de $5.000 cada uno, al final del año sin
intereses. El empresario calcula que el costo de los insumos de cada almuerzo será
de $2.000 los cuales deberán ser pagados al principio de cada mes. El valor de los
insumos se estima tiene un incremento del 5% mensual. El costo mensual de
mano de obra, la cual se considera permanecerá estable es de $2´500.000;
además estima que requerirá hacer una inversión inicial de $10 millones para la
adecuación del restaurante. Suponiendo un interés mensual del 3%. Calcular cuál
será el valor de su ganancia en pesos de hoy
Solución
Parámetros
o Valor total de los almuerzos: 푃
o Costo de los insumos: con mensuales de (serie geométrica creciente con pagos iannctriecmipaednotoss)
o Costo de la mano de obra: (anualidad con pagos vencidos)
o Inversión inicial
o Tasa de interés: 3% EM
Cálculos
El valor de la ganancia será igual a los ingresos menos los egresos; valorados en el
periodo 0 (en pesos de hoy).
Periodo 0 (en pesos de hoy)
Para hallar la ganancia se calcula los ingresos, costo de insumos y mano de obra
en 0; no es necesario calcular el equivalente de la inversión, teniendo en cuenta
que este pago se realiza en este mismo periodo.

( )
( )
( )
( )
[
( )
] ( )
[ ]
[ ] ( )
67
Valor presente de los ingresos, se calculan utilizando la formula (12)
Valor presente de los insumos, considerando que se trata de un gradiente
geométrico se utiliza la formula (38) teniendo en cuenta que el primer pago es:
( ) lo anterior
considerando que se trata de pagos anticipados. A esta serie se le debe sumar el
pago se hace en el periodo 0.
( )
Valor presente de la mano de obra, considerando que se trata de una anualidad se
utiliza la formula (23), teniendo en cuenta que , e
( )
( )
La ganancia como se indico es igual a los ingresos ( ) insumos ( ), menos el valor de la mano de obra ( ) y mmeennooss eel l vavalolor r ddee lolas inversión de
Respuesta
La utilidad a valores actuales que obtendrá el empresario es:

7. Ejercicios propuestos
Cuando su hijo cumple 10 años, un padre hace un depósito de $X en una fiduciaria
a nombre de su hijo con el objeto de asegurar los estudios universitarios, los cuales
iniciará cuando cumpla 18 años. Si la Fiducia reconoce una tasa de interés del 20%
N-t y estimando que para esa época el valor de la matrícula anual en la universidad
será de $2´500.000 y que permanecerá constante durante los seis años que duran
los estudios; ¿Cuál deberá ser el valor del depósito?
Una persona quiere solicitar un préstamo bancario el día 1 de marzo del 2008; su
capacidad económica solo le permite realizar pagos mensuales de $240.000, a
partir del 1 de octubre del mismo año y hasta el 31 de diciembre del 2010. Si la
entidad bancaria aplica una tasa de interés del 1,8% EM; ¿De qué valor deberá ser
el préstamo?
Una persona próxima a pensionarse deposita en un fondo de inversión el 1 de
mayo del 2000, la suma de $10´000.000. Si el fondo reconoce en promedio un
interés del 36% N-s; ¿Cuántos retiros mensuales de $800.000 podrá hacer, a partir
de la fecha de jubilación que se estima será el 1 de abril del 2006?
Un inversionista deposita hoy $1 millones, $3 millones en 2 años; al final del año 4
comienza a hacer depósitos semestrales de $800.000, durante 6 años; Si el fondo
de inversiones le reconoce una tasa de interés del 12%EA; ¿Cuánto dinero podrá
retirar mensualmente, en forma indefinida, comenzando al final del año 10?
Una empresa tiene dos alternativas para una instalación de producción: la primera
de ellas requiere la suma de $2.500.000 mensuales como costo de mantenimiento
y de $10´000.000 cada 4 años para reparaciones adicionales; de otro lado, la
segunda alternativa requerirá de una suma de $3.000.000 mensuales para
mantenimiento y de $12´500.000 cada tres años para reparaciones adicionales.
Considerando que la instalación se usara por tiempo indefinido y que el costo de
capital de la empresa es del 35% EA; ¿Cuál de las dos alternativas es más
conveniente?
Si un banco aplica una tasa de interés del 24% N-t; ¿Cuál deberá ser el valor de los
pagos semestrales vencidos, hechos durante un periodo de 10 años, para
amortizar una deuda de $45´000.000?
Una entidad financiera presta a un cliente $300 millones, con un interés del 34.8%
N. El deudor tiene un plazo de 20 años para amortizar la deuda, mediante pagos
semestrales. Suponiendo que la primera cuota es de $2´000.000 y vence al final del
primer semestre, ¿Cuál será el porcentaje de reajuste mensual de la cuota, para
cancelar la deuda?
A un pequeño empresario le ofrecen en comodato un restaurante durante dos
años, se le garantiza al menos la venta mensual de 10.000 platos durante todo año;
los cuales le serán pagados a razón de $6.000 cada uno, al final del año sin
7.1
7.2
7.3
7.4
7.5
7.6
7.7
7.8
68

intereses. El empresario calcula que el costo de los insumos de cada almuerzo será
de $2.000 los cuales deberán ser pagados al principio de cada mes. El valor de los
insumos se estima tiene un incremento del 4% mensual. El costo mensual de mano
de obra, la cual se considera permanecerá estable es de $3´500.000; además
estima que requerirá hacer una inversión inicial de $50 millones para la adecuación
del restaurante. Suponiendo un interés mensual del 3%. Calcular el valor de la
ganancia en pesos al final del comodato.
Si un banco aplica una tasa de interés del 24% N-t; ¿Cuál deberá ser el valor de los
pagos semestrales anticipados, hechos durante un periodo de 10 años, para
amortizar una deuda de $45´000.000?
Un señor desea contratar una póliza de seguro que garantice a sus hijos el pago de
$2´500.000 mensuales durante quince años y adicionalmente $5´000.000 al final
de cada año durante ese periodo. Si el primer pago se realiza un mes después de la
muerte del señor; ¿Cuál será el valor póliza? La compañía de seguros aplica una
tasa de interés del 24% N-m
Una empresa metalmecánica tiene cuatro opciones para la compra de una
maquinaria: el modelo A cuesta $300 millones; el modelo B, $500 millones, el C
$700 millones y el modelo D, $900 millones. Si la persona puede hacer 42 pagos
mensuales de máximo $30 millones comenzando al final del mes 6. ¿Cuál será el
modelo más costoso que podrá comprar? Suponga una tasa del 24% N-m
Un filántropo ha creado una institución de caridad y desea asegurar su
funcionamiento a perpetuidad. Se estima que esta institución necesita para su
funcionamiento $10´000.000, al final de cada mes, durante el primer año;
$12´000.000, al final de cada mes, durante el segundo año y $13´000.000, al final
de cada mes, en forma indefinida. Suponiendo que la fiducia que administrara el
dinero reconoce una tasa de interés del 30% N-m; ¿Cuál será el valor del depósito
que deberá hacer el filántropo al inicio en la fiducia?
Un grupo de benefactores decide dotar un hospital de los equipos de laboratorio
que requiere para operar. Se estima que el costo de los equipos el 1 de julio del
2011 es de $45´500.000 y que el costo de operación trimestral indefinidamente es
de $3´000.000 a partir del primero del 1 de agosto, fecha en la cual entrará en
funcionamiento. ¿Cuál debe ser el valor de la donación que se haga el 1 de enero
del 2010 si el dinero es invertido inmediatamente en una fiduciaria que garantiza
el 24% N-t?
Si se desea cancelar una deuda de $9´500.000 en pagos mensuales iguales durante
tres años, el primero al final de mes, y además se efectuaran abonos anuales
extraordinarios de dos y media veces la cuota mensual, comenzando al final del
primer año; ¿De cuánto serán las cuotas mensuales y las extraordinarias? Suponga
una tasa de interés del 36% N-b
Si una fiducia reconoce una tasa del 20% EA; ¿Qué es más conveniente para una
institución de caridad recibir una renta perpetua de $4´800.000 cada 5 años
7.9
7.10
7.11
7.12
7.13
7.14
7.15
69

recibiendo el primer pago al final del cuarto año o recibir $2´000.000 anuales de
renta perpetua comenzando al final del primer año?
Se quiere financiar la compra de un carro que tiene un costo de $47´000.000
mediante el pago de 60 cuotas mensuales vencidas; y cuotas anuales vencidas
extraordinarias del 5% del valor total durante el periodo de vigencia del préstamo.
Si la entidad financiera aplica una tasa de interés del 1,8 EM; ¿Cuál será el valor de
las cuotas mensuales?
Una máquina llegará al final de su vida útil dentro de 2 años; para esa época se
estima que una nueva costará $90´000.000; además que la máquina vieja podrá
ser vendida en $20´000.000; ¿Qué ahorro trimestral debe hacer un empresario en
una cuenta que paga el 30% N-m con el objeto de hacer la compra en el momento
oportuno; si tiene previsto hacer el primer deposito al final del sexto mes?
Para cancelar una deuda un banco exige 12 pagos mensuales vencidos. Si el banco
aplica una tasa de interés del 36% N-m y el primer pago es de $6´000.000,
disminuyendo $800.000 por mes
¿Cuál será el valor del último pago?
Al final; ¿Qué valor total se habrá pagado?
Si un Banco aplica una tasa de interés del 4% ES a un préstamo que se paga en 15
cuotas mensuales que decrecen linealmente en $40.000 y el primer pago es de
$500.000; ¿Cuál será el valor del préstamo?
Para el siguiente flujo de caja, calcule el valor de X, si se aplica una tasa de interés
del 25% N-b. Los periodos son meses.
7.16
7.17
7.18
a.
b.
7.19
7.20
7.21 Una persona quiere comprar un automóvil, que actualmente cuesta $40 millones;
para tal fin, decide establecer un fondo mediante depósitos mensuales crecientes
en un 10%. Si el primer depósito es de $500.000, el cual se hace al final del primer
mes; ¿Cuánto tiempo le llevará reunir el dinero necesario para la compra, si el
automóvil sube de precio cada mes un 1%? Suponga que los rendimientos pagados
a los depósitos son el del 4% EM
¿Cuántos pagos mensuales deben hacerse para cancelar una deuda de $20
millones, con intereses del 33% N-m? Suponga que la primera cuota es de
$500.000 y que la cuota crece $50.000 mensualmente
Un benefactor quiere donar un monto de dinero que en un futuro sirva para
operar el centro de urgencias de un Hospital. Si los costos de operación son
inicialmente de $20´000.000 y se incrementan 3% cada mes; ¿Cuánto deberá
depositar el benefactor, si la fiducia reconoce una tasa de interés del 8% EA?
Para mantener en buen estado la escuela de un pueblo, loa habitantes desean
establecer una fiducia, para proveer recursos para las reparaciones futuras. Si se
7.22
7.23
7.24
70
Periodo 1 2 3 4 5 6 7 8
Valor 2.000 2.500 3.125 3.906,25 4.882,81 0 X -50.000

estima una inversión inicial de $25´000.000 y que el costo de mantenimiento para
el próximo año es de 10 millones; igualmente, se estima que este costo se
incrementará todos los años en un 15%. Considerando que la fiducia reconocerá
una tasa de interés del 22% EA; ¿Cuánto será el valor inicial que se deberá
depositar en la fiducia?
¿Qué suma de dinero debe ahorrar un padre de familia mensualmente en una
entidad que reconoce interés racional y paga una tasa de interés simple del 21%
anual, para dentro de seis meses pagar la matrícula de su hijo en la Universidad
que tiene un costo de $3´000.000?
7.25
71

Matematicas financieras 3

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Matematicas financieras 3

Semelhante a Matematicas financieras 3 (20)

Último

Último (20)

Matematicas financieras 3