Definición de escenarios geodesia topografía

David Hernández López.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA
MATEMÁTICA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA CARTOGRÁFICA,
GEODESIA Y FOTOGRAMETRÍA.
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIERÍA
GEODÉSICA, CARTOGRÁFICA Y TOPOGRÁFICA.
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE VALENCIA

DEFINICIÓN DE ESCENARIOS: GEODESIA Y TOPOGRAFÍA.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA. 0-1
0. DEFINICIÓNDEESCENARIOS:GEODESIAYTOPOGRAFÍA.
0.1 INTRODUCCIÓN.
0.2 DESARROLLO HISTÓRICO DE LA GEODESIA.
0.2.1 EL MODELO ESFÉRICO DE LA TIERRA.
0.2.2 EL MODELO ELIPSOIDAL DE LA TIERRA.
0.3 FIGURAS GEOMETRICAS DE APROXIMACIÓN AL GEOIDE.
0.4 REFERENCIACIÓN GEODÉSICA.
0.4.1 COORDENADAS ASTRONÓMICAS.
0.4.2 COORDENADAS GEODÉSICAS.
0.5 REDES GEODÉSICAS.

INTRODUCCIÓN A LA CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
1. INTRODUCCIÓN A LA CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
1.1 NECESIDAD DE LA CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA EN EL
PROCESO CARTOGRÁFICO.
1.1.1 INTRODUCCIÓN.
1.1.2 EL CONCEPTO DE MAPA FRENTE AL DE PLANO .
1.1.3 PROBLEMAS ASOCIADOS A LA REPRESENTACIÓN CARTOGRÁFICA.
1.2 REPRESENTACIÓN PLANA DE LA SUPERFICIE DE
REFERENCIA. CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.

GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
2. GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
2.1 CONCEPTO DE SUPERFICIE.
2.2 DEFINICIÓN DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
2.3 CURVAS PARAMÉTRICAS.
2.4 PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA
SUPERFICIE.
2.5 DEFINICIÓN DE UNA CURVA CONTENIDA EN UNA
SUPERFICIE.
2.6 MEDIDA DE DISTANCIAS, ÁNGULOS Y SUPERFICIES
SOBRE UNA SUPERFICIE.
2.6.1 MEDIDA DE DISTANCIAS SOBRE UNA SUPERFICIE. PRIMERA
FORMA CUADRÁTICA FUNDAMENTAL.
2.6.2 MEDIDA DE ÁNGULOS SOBRE UNA SUPERFICIE.
2.6.3 MEDIDA DE SUPERFICIES SOBRE UNA SUPERFICIE.
2.7 SECCIÓN NORMAL Y LÍNEA GEODÉSICA SOBRE EL
ELIPSOIDE.
2.7.1 DEFINICIÓN DE SECCIÓN NORMAL.
2.7.2 DEFINICIÓN DE LÍNEA GEODÉSICA.

2.8 TEOREMA DE EULER. RADIO DE CURVATURA DE UNA
SECCIÓN NORMAL CUALQUIERA SOBRE EL ELIPSOIDE.
2.8.1 INDICATRIZ DE DUPIN. DIRECCIONES PRINCIPALES.
2.8.2 CURVATURA DE UNA CURVA PLANA CONTÍNUA.
2.8.3 APLICACIÓN AL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.

TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
3. TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
3.1 INTRODUCCIÓN.
3.2 RELACIÓN PLANO-SUPERFICIE DE REFERENCIA.
MÓDULOS DE DEFORMACIÓN.
3.2.1 CÁLCULO DE ELEMENTOS DIFERENCIALES SOBRE EL ELIPSOIDE Y
SUS CORRESPONDIENTES SOBRE EL PLANO.
3.2.1.1 CÁLCULO DE ELEMENTOS DIFERENCIALES SOBRE EL ELIPSOIDE.
3.2.1.2 CÁLCULO DE ELEMENTOS DIFERENCIALES SOBRE EL PLANO.
3.2.2 MÓDULOS DE DEFORMACIÓN LINEAL, ANGULAR Y SUPERFICIAL.
3.2.2.1 MÓDULO DE DEFORMACIÓN LINEAL.
3.2.2.2 MÓDULO DE DEFORMACIÓN ANGULAR.
3.2.2.3 MÓDULO DE DEFORMACIÓN SUPERFICIAL.
3.3 TEORÍA DE DEFORMACIONES. ELIPSE INDICATRIZ DE
TISSOT.
3.3.1 DEFINICIÓN DE LA ELIPSE INDICATRIZ DE TISSOT.
3.3.2 DEFORMACIÓN ANGULAR A PARTIR DE LOS SEMIEJES DE LA
ELIPSE INDICATRIZ DE TISSOT.
3.3.3 DEFORMACIÓN SUPERFICIAL A PARTIR DE LOS SEMIEJES DE LA
ELIPSE INDICATRIZ DE TISSOT.
3.3.4 CÁLCULO DE LOS SEMIEJES DE LA ELIPSE INDICATRIZ DE TISSOT.

TEORÍA GENERAL DE DEFORMACIONES.
3.4 CONDICIONES DE CONFORMIDAD.
3.4.1 EQUIVALENCIA ENTRE LA CONDICIÓN DE CONFORMIDAD Y LA
CONDICIÓN DE QUE EN TODO PUNTO LA ELIPSE DE TISSOT SEA UN
CÍRCULO.
3.4.2 CONDICIONES DE CONFORMIDAD.

PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
4. PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE
MERCATOR ( U.T.M ).
4.1 INTRODUCCIÓN.
4.2 FUNCIONES QUE DEFINEN LA PROYECCIÓN.
4.2.2 PROBLEMA DIRECTO. PASO DE COORDENADAS GEODÉSICAS A
U.T.M.
4.2.3 PROBLEMA INVERSO. PASO DE COORDENADAS U.T.M. A
GEODÉSICAS.
4.3 CONVERGENCIA DE MERIDIANOS.
4.4 DEFORMACIÓN PRODUCIDA A LAS DISTANCIAS.
4.4.2 MÓDULO DE DEFORMACIÓN LINEAL PUNTUAL.
4.4.3 MÓDULO DE DEFORMACIÓN LINEAL PARA LONGITUDES FINITAS.
4.4.4 DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE CORRESPONDIENTE AL
ARTIFICIO DE TISSOT.
4.5 CÁLCULOS TOPOGRÁFICOS-GEODÉSICOS SOBRE LA
PROYECCIÓN U.T.M.

PROYECCIÓN UNIVERSAL TRANSVERSA DE MERCATOR, U.T.M.
4.5.2 GEODÉSICAS TRANSFORMADAS SOBRE LA PROYECCIÓN.
4.5.2.1 PROBLEMÁTICA EN DISTANCIAS.
4.5.2.2 PROBLEMÁTICA ANGULAR.
4.6 CUADRÍCULA DE LA PROYECCIÓN U.T.M.
4.7 PROBLEMAS EN LAS ZONAS LIMÍTROFES ENTRE HUSOS.

PROYECCIONES CÓNICAS.
5. PROYECCIONES CÓNICAS
5.1 INTRODUCCIÓN.
5.2 PROYECCIÓN CÓNICA CONFORME DE LAMBERT.
5.2.1 DEFINICIÓN DE LA PROYECCIÓN.
5.2.2 COMPROBACIÓN DE LA CONDICIÓN DE CONFORMIDAD.
5.2.3 ESTUDIO DE LA DEFORMACIÓN LINEAL DE LA PROYECCIÓN.
ARTIFICIO DE TISSOT.
5.3 PROYECCIÓN CÓNICA EQUIVALENTE. PROYECCIÓN DE
ALBERS.
5.4 EXTENSIÓN DE LAS PROYECCIONES ANTERIORES AL CASO
DE SISTEMA DE REFERENCIA QUE INCLUYA EN SU
DEFINICIÓN UNA SUPERFICIE DE REFERENCIA ESFÉRICA.

DESARROLLOS CILÍNDRICOS DIRECTOS.
6. DESARROLLOS CILÍNDRICOS DIRECTOS.
6.1 INTRODUCCIÓN.
6.2 DESARROLLO CILÍNDRICO DIRECTO CONFORME. CARTA
DE MERCATOR.
6.2.1 INTRODUCCIÓN HISTÓRICA.
6.2.2 FUNCIONES QUE DEFINEN EL DESARROLLO.
6.2.3 DEFORMACIÓN LINEAL DE LA PROYECCIÓN.
6.2.4 APLICACIÓN A LA NAVEGACIÓN DE LA CARTA DE MERCATOR.
6.3 DESARROLLO CILÍNDRICO DIRECTO EQUIVALENTE DE
LAMBERT.
6.3.1 FUNCIONES QUE DEFINEN EL DESARROLLO.
6.3.2 ESTUDIO DE LAS DEFORMACIONES DEL DESARROLLO.

PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
7. PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
7.1 INTRODUCCIÓN.
7.2 PROYECCIÓN ESCENOGRÁFICA.
7.2.1 PROYECCIÓN ESCENOGRÁFICA OBLÍCUA.
7.2.2 PROYECCIÓN ESCENOGRÁFICA POLAR.
7.2.3 PROYECCIÓN ESCENOGRÁFICA MERIDIANA O ECUATORIAL.
7.3 PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA.
7.3.1 INTRODUCCIÓN. PROPIEDADES DE LA PROYECCIÓN
ESTEREOGRÁFICA.
7.3.2 PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA OBLÍCUA.
7.3.3 PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA POLAR.
7.3.4 PROYECCIÓN ESTEREOGRÁFICA MERIDIANA O ECUATORIAL.
7.4 PROYECCIÓN GNOMÓNICA O CENTRAL.
7.4.1 INTRODUCCIÓN. PROPIEDADES.
7.4.2 PROYECCIÓN GNOMÓNICA OBLÍCUA.
7.4.3 PROYECCIÓN GNOMÓNICA POLAR.
7.4.4 PROYECCIÓN GNOMÓNICA MERIDIANA.

PROYECCIONES GEOMÉTRICAS.
7.5 PROYECCIÓN ORTOGRÁFICA.
7.5.1 INTRODUCCIÓN. PROPIEDADES.
7.5.2 PROYECCIÓN ORTOGRÁFICA OBLÍCUA.
7.5.3 PROYECCIÓN ORTOGRÁFICA POLAR.
7.5.4 PROYECCIÓN ORTOGRÁFICA MERIDIANA.

SISTEMAS ISOMÉTRICOS DE COORDENADAS SOBRE UNA SUPERFICIE.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA I-1
I. SISTEMAS ISOMÉTRICOS DE COORDENADAS SOBRE
UNA SUPERFICIE.
I.1 INTRODUCCIÓN.
I.2 DEFINICIÓN DE UN SISTEMA ISOMÉTRICO.
I.3 SISTEMAS ISOMÉTRICOS EN EL PLANO.
I.4 SISTEMAS ISOMÉTRICOS EN LA ESFERA.
I.5 SISTEMAS ISOMÉTRICOS EN EL ELIPSOIDE.

NUEVAS LATITUDES DEFINIDAS EN CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA: LATITUD CRECIENTE Y AUTÁLICA.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA. II-1
II. NUEVAS LATITUDES DEFINIDAS EN CARTOGRAFÍA
MATEMÁTICA: LATITUD CRECIENTE Y AUTÁLICA.
II.1 INTRODUCCIÓN.
II.2 LATITUD CRECIENTE.
II.2.1 DEFINICIÓN.
II.2.2 PASO DE LATITUD GEODÉSICA A CRECIENTE.
II.2.3 PASO DE LATITUD CRECIENTE A GEODÉSICA.
II.3 LATITUD AUTÁLICA.
II.3.1 DEFINICIÓN.
II.3.2 PASO DE LATITUD GEODÉSICA A AUTÁLICA.
II.3.3 PASO DE LATITUD AUTÁLICA A GEODÉSICA.

PROYECCIONES CONFORMES A PARTIR DE FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA. III-1
III. PROYECCIONES CONFORMES A PARTIR DE
FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA.
III.1 INTRODUCCIÓN.
III.2 NÚMEROS COMPLEJOS.
III.3 FUNCIÓN DE VARIABLE COMPLEJA.
III.3.1 DEFINICIÓN.
III.3.2 FUNCIONES DE VARIABLE COMPLEJA ANALÍTICAS. CONDICIONES
DE CAUCHY-RIEMANN.
III.3.3 DEMOSTRACIÓN DE QUE UNA FUNCIÓN COMPLEJA ANALÍTICA
IMPLICA UNA TRANSFORMACIÓN CONFORME.

LONGITUD DEL ARCO DE MERIDIANO.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA. IV-1
IV. LONGITUD DELARCO DE MERIDIANO.
IV.1 INTRODUCCIÓN.
IV.2 DEFINICIÓN.
IV.3 LONGITUD DEL ARCO DE MERIDIANO A PARTIR DE LA
LATITUD GEODÉSICA.
IV.4 DETERMINACIÓN DE LA LATITUD GEODÉSICA
CORRESPONDIENTE A UN DETERMINADO VALOR DE LA
LONGITUD DEL ARCO DE MERIDIANO.
IV.5 CÁLCULO DE LA LONGITUD DE UN ARCO DE
LOXODRÓMICA SOBRE EL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.

DESARROLLO DE LA P.U.T.M. EXTENDIDA A LA PENÍNSULA IBÉRICA Y LAS BALEARES.
GEODESIA Y CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA. V-1
V. DESARROLLO DE LA PROYECCIÓN U.T.M.
EXTENDIENDO EL HUSO 30 AL CONJUNTO DE LA
PENÍNSULA IBÉRICA Y DE LAS ISLAS BALEARES.
V.1 JUSTIFICACIÓN DEL ESTUDIO.
V.2 DESARROLLO DE LA PROYECCIÓN.
V.2.1 PROBLEMA DIRECTO.
V.2.2 PROBLEMA INVERSO.
V.2.3 CONVERGENCIA DE MERIDIANOS.
V.2.4 COEFICIENTE DE ANAMORFOSIS LINEAL.
V.3 APLICACIÓN PRÁCTICA DE UNA RED GEODÉSICA DE
PRIMER ORDEN.

0. DEFINICIÓNDEESCENARIOS:GEODESIAYTOPOGRAFÍA.
0.1 INTRODUCCIÓN.
La geodesia es la ciencia que estudia la figura y el campo gravitacional exterior de la Tierra. Por figura
entendemos la forma y dimensiones. El problema de la geodesia implica una formulación geométrica ( forma de
la Tierra ) y una física ( campo de gravedad ).
Hasta no hace mucho se aceptaba en la comunidad científica una división de la geodesia en:
• geodesia geométrica, siendo su objetivo la formulación geométrica y
• geodesia física, siendo su objetivo la formulación física.
Hoy día se tiende a considerar ambas formulaciones inseparables dado que están íntimamente ligadas.
El problema del estudio de la figura de la Tierra se reduce a la determinación de las coordenadas de los
puntos de su superficie en un sistema de referencia único, general para toda la Tierra.
El problema del estudio del campo gravitacional terrestre se reduce a la determinación del potencial de
la fuerza de la gravedad sobre la superficie terrestre y en su espacio exterior, en el mismo sistema de referencia
que se estudia la figura de la Tierra.
La superficie física de la Tierra es la frontera entre las masas sólidas o líquidas con la atmósfera.
Recientemente el fondo del océano también se ha considerado en el planteamiento del problema geodésico,
siendo la superficie limítrofe entre el cuerpo terrestre sólido y las masas de agua oceánicas.
La Tierra tiene una complicada configuración geométrica, siendo necesario definir una superficie de
referencia. Se define el geoide como una superficie equipotencial, lugar geométrico de los puntos que están en
equilibrio por la actuación de las siguientes solicitaciones:
• fuerzas de atracción entre las partículas que conforman la masa terrestre,
• fuerza centrífuga debida a la rotación terrestre y
• fuerza de atracción de los demás astros.
Estudiando estas fuerzas y los potenciales que provocan se pueden definir física y geométricamente la
figura del geoide, que es asimilable a prolongar la superficie de los mares en calma ( fluido en equilibrio
respecto de las solicitaciones anteriores ) por debajo de los continentes. Sin embargo, el geoide no coincide con
exactitud con la superficie real del mar, dado que los océanos están sujetos a mareas y corrientes. Por esta razón
para definir el geoide se utiliza el concepto de nivel medio del mar.
Dado que el geoide es una superficie equipotencial respecto del potencial gravitatorio y el vector fuerza
de la gravedad es el gradiente del mismo, la dirección del vector gravedad en cualquier punto de él será
perpendicular al geoide. La dirección del vector de la gravedad en un punto de la superficie terrestre coincide
con la línea de la plomada.

Ilustración 0 - 1
El geoide se ha escogido como la superficie equipotencial que corresponde al nivel medio del mar dado
que esta es una superficie con realidad física suficiente, es decir, es tangible, metrizable, reconocible.
Si la Tierra tuviera una densidad uniforme, no existiese orografía consolidada y las únicas fuerzas
solicitantes fuesen la de atracción newtoniana y la centrífuga, el geoide tendría una forma de esfera achatada por
los polos, de elipsoide de revolución. El hecho de que estos supuestos no sean ciertos tiene como consecuencia
que el geoide se aparte del elipsoide hasta ±100 m. Esta desviación se conoce como ondulación del geoide.
El cuerpo terrestre y su campo de gravedad están sujetos a variaciones temporales, de naturaleza
secular, periódica y singular, que pueden ocurrir a nivel global, regional y local. Las mediciones geodésicas y
técnicas de evaluación, actualmente han avanzado al grado que pueden detectar una parte de este cambio. Si las
condiciones promedio son calculables, entonces las observaciones deben corregirse por estos cambios, sirva de
ejemplo en esta línea la correción por movimiento del polo a las observaciones astronómicas ( paso de
observaciones instantáneas a absolutas ) estudiada en astronomía de posición. Con la detección de una parte de
las variaciones, la geodesia también contribuye a la investigación de la dinámica del cuerpo terrestre. La figura
de la Tierra y el campo de gravedad se conciben por lo tanto como variables dependientes del tiempo. Esto
conduce a la consideración de la “geodesia de cuatro dimensiones”.
La complicada forma del geoide impide que se pueda utilizar como superficie sobre la que realizar los
cálculos geométricos en geodesia. Se requieren sistemas de referencia con una métrica y curvatura definidas.
En cualquier trabajo geodésico será imprescindible tener definido el sistema de referencia en el que se
va a trabajar. En la definición del sistema de referencia cobra un papel fundamental la superficie de referencia
del mismo. Tres son las superficies de referencia que se han venido empleando: elipsoide de revolución, esfera y
plano.

Ilustración 0 - 2
Cuando se trabaja en un marco territorial reducido la falta de planeidad terrestre es lo suficientemente
pequeña como para que pueda despreciarse, con ciertas limitaciones que hay que tener siempre presente.
Este es el límite que durante mucho tiempo se ha considerado para separar la geodesia de la topografía.
No cabe duda de que la ciencia geodésica y la técnica topográfica tienen objetivos comunes en parte:
determinación de forma y dimensiones de la superficie terrestre y posibilidad de representación cartográfica de
la misma sobre un plano. Sin embargo, es difícil establecer una separación concisa. La geodesia empieza allí
donde termina la topografía, pero no pueden separarse ya que la topografía necesita apoyarse en la geodesia en
la mayor parte de los casos.
0.2 DESARROLLO HISTÓRICO DE LA GEODESIA.
La formulación del problema de la geodesia se desarrolló en el curso del siglo diecinueve. Sin embargo,
la pregunta de la figura de la Tierra ya se había planteado en la antigüedad. Después de que la esfera sirvió como
primer modelo para la Tierra, el elipsoide de revolución se impuso como forma de la Tierra en la primera mitad
del siglo dieciocho.
0.2.1 EL MODELO ESFÉRICO DE LA TIERRA.
En el pasado prevalecieron varias opiniones sobre la forma de la Tierra, por ejemplo el disco terrestre
rodeado de agua imaginado por Okeanus ( Ilíada de Homero - 800 a. C., Tales de Mileto - 600 a. C. ). Pitágoras
( - 580/500 a. C. ) y su escuela, así como Aristóteles ( 384/322 a. C. ), entre otros, apoyaron la forma esférica.
El fundador de la geodesia científica es Eratóstenes de Alejandría ( 276-195 a. C. ). Bajo la suposición
de una Tierra esférica, dedujo por mediciones, un radio para la Tierra. El principio del método de medida de
arco que él desarrollo se utilizó prácticamente hasta épocas actuales. Mediante mediciones geodésicas se
determina la longitud ∆G de un arco de meridiano, observaciones astronómicas proporcionan el ángulo central γ
inherente. El radio de la Tierra está dado por:
R
G
=
∆
γ
Cap. 0 - 1

Ilustración 0 - 3
Eratóstenes encontró que en la época del solsticio de verano, los rayos del sol caían verticalmente
dentro de un pozo en Siena ( hoy día Asuán ); mientras que en Alejandría, aproximadamente en el mismo
meridiano, formaban un ángulo con respecto a la dirección de la línea de la plomada. De la longitud de la
sombra proyectada por una vara ( “gnomon” ) determinó este ángulo como 1/50 de un círculo completo, o sea γ
= 7° 12’. Estimó que la distancia entre Siena y Alejandría era de 5000 estadios, sacando ese dato de los mapas
catastrales egipcios. Siendo la longitud de un estadio egipcio de 157.5 m., obtenemos un radio terrestre de 6270
km. Este valor discrepa del radio de una Tierra esférica media ( 6371 m. ) por -2%. Una determinación posterior
en la antigüedad se le atribuye a Posidonio ( 135-51 a. C. ) usando el arco de meridiano de Alejandría a Rodas,
obtuvo un radio terrestre con discrepancia de -11%.
Durante la Edad Media en Europa, la pregunta sobre la figura de la Tierra no se plantea. Los árabes
transmitieron una medición de arco hecha por el Califa de Al-Mámun ( - 827 ) al noroeste de Bagdad ( + 10% de
desviación ). En los inicios de la era moderna, el físico francés Fernel observó en 1525 en el meridiano de París
las latitudes geográficas de París y Amiens, usando un cuadrante; la distancia la calculó del número de
rotaciones de una rueda de carreta ( + 0.1% de desviación ).
Las mediciones de arco restantes basadas en la noción de una Tierra esférica se caracterizan por
avances fundamentales en tecnología instrumental ( 1611, telescopio de Kepler ) y metodología ( después de la
aplicación inicial de triangulación elaborada por Gemma Frisius -1508,1555-en los Países Bajos, y por Tycho
Brahe -1546,1601- en Dinamarca, el holandés Willebrod Snellius -1580,1626- dirigió la primera triangulación
para determinar la figura de la Tierra).
A través de la iniciativa de la Academia de Ciencias fundada en París en 1666, Francia asumió en los
siglos diecisiete y dieciocho el liderazgo en geodesia. El abate francés J. Picard llevó a cabo en 1669/70 una
medición de arco en el meridiano de París entre Malvoisine y Amiens con la ayuda de una triangulación; él fue
el primero en usar un telescopio con hilos en la reticula. El valor que obtuvo para el radio de la Tierra (
desviación de +0.01% ) sirvió a Newton para la verificación de la ley de la gravedad que había formulado en
1665/66.
0.2.2 EL MODELO ELIPSOIDAL DE LA TIERRA.
En los siglos dieciséis y diecisiete provienen de la astronomía y la física nuevas observaciones e ideas
que tienen una influencia decisiva.

Nicolás Copérnico ( 1473-1543 ) logró la transición del universo geocéntrico de Tolomeo a un sistema
heliocéntrico ( 1543: “De revolutionibus orbium coelestium “ ), ya postulado por Aristarco de Samos ( 320-250
a. C. ). Juan Kepler ( 1571-1630 ) descubrió las leyes del movimiento planetario ( 1609: “Astronomía nova
...”, 1619: “Harmonices mundi” ), y Galileo Galilei ( 1564-1642 ) desarrolló mecanismos modernos ( ley de la
caída de los cuerpos, ley del movimiento del péndulo).
En 1666 el astrónomo J. D. Cassini observó el achatamiento de los polos de Júpiter. El astrónomo J.
Richer descubrió en 1672, con motivo de una expedición a Cayena para determinar paralajes de Marte, que él
debía acortar la longitud de un péndulo de segundos que había ajustado en París para volver a obtener
oscilaciones de un segundo. De esta observación y con base en la ley del movimiento pendular se puede concluir
que existe un incremento en gravedad del ecuador a los polos. Basándose en estos trabajos y en los suyos
propios Isaac Newton ( 1643-1727 ) y Christian Huygens ( 1629-1695 ) desarrollaron modelos terrestres,
basados en principios de física, que tenían los polos achatados.
Newton ( 1687: “Philosophiae naturalis principia mathematica” ) obtuvo un elipsoide de revolución
como la figura de equilibrio para una Tierra homogénea, líquida y rotacional basada en la validez de la ley de la
gravitación universal. El achatamiento,
f =
a - b
a
Cap. 0 - 2
( f = achatamiento, a = semieje mayor, b = semieje menor ) en este caso es de 1/230. Huygens (1690: “Discours
de la Cause de la Pesanteur” ) desplaza el origen de las fuerzas de atracción terrestres al centro de la Tierra y
desarrolla una superficie equilibrada, simétrica, rotacional, que tiene una curva meridiana con f = 1/578.
Frente al modelo de elipsoide achatado por los polos aparece el modelo con achatamiento en el ecuador
obtenido por La Hire y Cassini ( 1683-1718 ), quienes prolongaron el arco de Picard al Norte hacia Dunkerque y
al Sur hacia Collioure. Los cálculos de dos segmentos de arco dieron un achatamiento negativo de f = -1/95, que
puede atribuirse particularmente a errores de medición de las latitudes astronómicas. Las intensas disputas entre
los partidarios del modelo de Newton y los de Cassini sobre la figura de la Tierra fue resuelta por dos
mediciones de arco posteriores auspiciadas por la Academia Francesa de Ciencias.

Ilustración 0 - 4
Maupertius, Clairaut y Celsius, entre otros, participaron en la expedición a Laponia (1736/37). Jorge
Juan , Antonio de Ulloa y Louis Godin, entre otros, participaron en la expedición a Peru (1735/43). Como
resultado de estas medidas, una cerca del polo y otra cerca del ecuador, en 1756 se pudo probar la validez del
modelo de Newton. En palabras de Voltaire, “la expedición había aplastado los polos y a Cassini”.
Ilustración 0 - 5
Una síntesis entre la fundamentación física y geodésica de la forma elipsoidal de la Tierra fue
finalmente lograda por Clairaut ( 1713-1765 ) con el teorema que lleva su nombre en 1743, y que permite el
cálculo del achatamiento a partir de dos mediciones de gravedad en diferentes latitudes.
Después de que el elipsoide rotacional se había aceptado como modelo de la Tierra se realizaron
numerosas mediciones de arco hasta mediados del siglo diecinueve para determinar las dimensiones de este
elipsoide terrestre global. La longitud de arco se obtenía mediante una triangulación. Se realizaron mediciones
de arco a lo largo de un meridiano elipsoidal ( medición de arco de latitud ), a lo largo de un paralelo ( medida
de arco de longitud ), y mediciones de arco inclinadas al meridiano.
Como Laplace ( 1802 ), Gauss ( 1828 ), Bessel ( 1837 ), y otros ya habían reconocido, la suposición de
un modelo terrestre elipsoidal no se puede sostener teniendo una precisión de observación suficientemente alta.

No se puede ignorar la desviación de la dirección de la plomada física, a la cual están referidas las medidas, y de
la normal al elipsoide ( desviación de la vertical ).
A pesar de estas discrepancias, se adoptaron numerosos ajustes hasta mediados del siglo diecinueve
para determinar las dimensiones del elipsoide, en donde las desviaciones de la vertical, siendo causadas
físicamente, y por tanto teniendo características sistemáticas, se trataban como errores de observación
accidentales.
Con la definición de geodesia de Friedrich Robert Helmert y la presentación del Geoide se produce la
transición al concepto actual de la figura de la Tierra. Aquí las desviaciones de la vertical se toman en cuenta en
el cálculo de los parámetros del elipsoide.
La determinación del geoide fue por cerca de 70 años ( 18880-1950 ) la meta principal de la geodesia.
Su importancia disminuyó después de 1945 con el desarrollo de métodos para la derivación directa de la
superficie física de la Tierra; sin embargo, su determinación aún permanece como un problema esencial de la
geodesia.
0.3 FIGURAS GEOMETRICAS DE APROXIMACIÓN AL GEOIDE.
La geodesia geométrica tiene que utilizar una superficie de referencia de estructura matemática más
sencilla que el geoide. En la actualidad se utilizan como figuras de aproximación la esfera y el elipsoide de
revolución.
El sistema de referencia no se define únicamente mediante las dimensiones de la superficie de
referencia ( radio para esfera y semiejes para elipoide) sino que es preciso definir su localización y orientación
respecto de un eje medio de rotación terrestre y su centro de masas. Esto obliga a introducir el concepto de
datum en un apartado posterior de este tema.
La investigación geodésica, apoyada en costosos trabajos de campo, ha dado lugar a la aparición de
elipsoides con diferentes parámetros y distinto datum. La causa es la necesidad de obtener para cada país aquel
sistema de referencia que se aproxime lo más posible a la forma del geoide en sus dominios geográficos. Esto
dió lugar a la aparición de problemas en los enlaces de los diferentes trabajos geodésicos y en el establecimiento
de una cartografía uniforme. Se introduce por tanto el concepto de elipsoide geoexcéntrico en los diferentes
sistemas de referencia. Algunos elipsoides geoexcéntricos utilizados en diferentes sistemas de referencia son:
Fecha Nombre del científico a = semieje mayor (m.) f = aplanamiento
1819 Walbeck 6376896 1/302.78
1830 Airy 6377563 1/299.325
1830 Everest 6377276 1/300.802
1841 Bessel 6377397 1/299.153
1858 Clarke 6378361 1/294.26
1859 V. Shubert 6378566 1/292.109
1866 Clarke 6378206 1/294.979
1880 Clarke 6378249 1/293.465
1909 Hayford 6378388 1/297.0
1927 Internacional 6378388 1/297.0
1940 Krassowsky 6378295 1/298.4
En la siguiente figura se puede apreciar la diferencia existente entre un elipsoide geocéntrico o global,
con centro en el centro de masas de la Tierra, y un elipsoide geoexcéntrico o local.

Ilustración 0 - 6
En 1909 Hayford publicó los resultados para un elipsoide en EEUU. En el año 1924 la Asamblea
General de la Asociación Internacional de Geodesia, celebrada en Madrid, adoptó este elipsoide pasando a
formar parte de las “Constantes Internacionales de 1927”.
En 1967, la Unión Astronómica Internacional y la Unión Internacional de Geodesia y Geofísica
definierón un nuevo sistema de referencia, “Sistema Geodésico de Referencia de 1967” con las siguientes
características geométricas:
• superficie de referencia: elipsoide de revolución de,
• a = 6378160 m.
• f = 1 / 298.247167427
• semieje menor del elipoide de referencia paralelo al eje medio de rotación terrestre ( Origen
Convencional Internacional, C.I.O., polo medio definido por el Bureau International de l’Heure
( B.I.H.) en 1903 ).
• primer meridiano paralelo al meridiano cero definido también por el B.I.H.
Ilustración 0 - 7

Ilustración 0 - 8
El sistema de referencia al que viene referida la geodesia española en la actualidad es el conocido como
Europeam Datum 1950, E.D.50. Está definido como,
• superficie de referencia, elipsoide de Hayford,
• datum, Postdam ( localidad alemana ),
• origen de altitudes ortométricas, el nivel medio del mar en Alicante y
• origen de longitudes, meridiano del observatorio astronómico de Grenwich.
Antiguamente en España en el sistema de referencia la superficie de referencia era el elipsoide de
Struve y el datum era el observatorio astronómico de Madrid, también origen de longitudes.
Un sistema de referencia que ha cobrado gran importancia mundial en la actualidad es el WGS84. Esto
es debido a que este es el sistema al que viene referido el Sistema de Posicionamiento Global ( G.P.S. ), sistema
de observación a satélites artificiales que es de uso ampliamente difundido en trabajos topográficos y
geodésicos. Este sistema se define como,
• elipsoide de revolución de parámetros:
• semieje mayor, a = 6378137 m.
• semieje menor, b = 6356752.3 m
• origen el centro de masas de la Tierra ( geocentro ),
• semieje menor paralelo al O.C.I., eje Z,
• origen de longitudes meridiano de Grenwich, eje X intersección del ecuador medio con el plano del
meridiano de Grenwich y
• eje Y situado en el plano del ecuador medio formando con los ejes Z y X una terna rectangular
dextrorsum.
En la actualidad se está comenzando a difundir la información geodésica con respecto también a este
sistema de referencia.
0.4 REFERENCIACIÓN GEODÉSICA.
Una vez definida la superficie de referencia que se va a utilizar como aproximación al geoide vamos a
pasar a definir los sistemas de coordenadas a los que referiremos la posición de cualquier punto de la superficie
terrestre.

0.4.1 COORDENADAS ASTRONÓMICAS.
Su definición es ineliduble dado que hemos de ser capaces de relacionar el geoide con la superficie de
referencia que empleemos.
La superficie de referencia que se emplea para las coordenadas astronómicas es una esfera centrada en
el centro de masas terrestre. A esta esfera se le conoce con el nombre de esfera celeste. El radio se considera
ilimitado. Elementos geográficos de la misma son:
Ilustración 0 - 9
• Eje terrestre.- línea coincidente con el eje de rotación de la Tierra. Debido a que el eje de rotación
terrestre no es fijo en el tiempo se considera el eje medio definido como O.C.I. del cual ya se ha
hablado. La movilidad del eje de rotación terrestre da lugar en astronomía a la consideración de
coordenadas y observaciones instántaneas o absolutas según se refieran al eje de rotación del
instante de observación o al eje medio.
• Polos geográficos.- Son los puntos de intersección del eje terrestre con la esfera celeste.
• Plano meridiano astronómico.- Cualquier plano que contenga al eje terrestre.
• Plano paralelo astronómico.- Cualquier plano normal al eje terrestre.
• Meridiano astronómico.- Intersección de cualquier plano meridiano astronómico con la esfera
celeste.
• Paralelo astronómico.- Intersección de cualquir plano paralelo astronómico con la esfera celeste.
• Plano ecuatorial astronómico.- Plano paralelo que pasa por el centro de la esfera celeste. Se puede
hablar de plano ecuatorial medio, definido por el B.I.H., o de plano ecuatorial instantáneo.
• Ecuador astronómico.- Es el paralelo correspondiente al plano ecuatorial astronómico.
• Vertical astronómica en un punto de la superficie terrestre.- Coincide con la dirección del vector de
gravedad o línea de la plomada, en dicho punto.
Definimos la dirección de la línea de la plomada en un punto como aquella normal a la superficie
equipotencial de la gravedad que pasa por el punto. La línea de la plomada no es recta sino curva debido a que
las superficies equipotenciales de la gravedad no son paralelas.

Ilustración 0 - 10
Ilustración 0 - 11
• Plano horizonte astronómico en un punto de la superficie terrestre.- Plano perpendicular a la vertical
astronómica en dicho punto.
Una vez definidos los elementos geográficos ya estamos en disposición de definir las coordenadas
astronómicas de un punto de la superficie terrestre:
Ilustración 0 - 12
• Longitud astronómica.- Es el ángulo medido a lo largo del ecuador astronómico, entre el meridiano
origen y el meridiano del punto en cuestión. En graduación sexagesimal se puede evaluar de 0° a
360° , creciendo al este del meridiano origen, o de 0° a 180°, positivo o negativo según el meridiano
del punto esté al este o al oeste del meridiano origen.
• Latitud astronómica.- Es el ángulo que forma la vertical astronómica del punto con el plano del
ecuador astronómico.
De acuerdo a lo anteriormente analizado podríamos hablar de coordenadas astronómicas instantáneas o
absolutas.

Es importante darse cuenta de que mediante estas dos coordenadas polares, longitud y latitud
astronómicas, definimos una recta en el espacio y no un punto. Para definir el punto faltaría como tercera
coordenada polar una distancia. Sin embargo, este no es objetivo astronómico sino geodésico.
0.4.2 COORDENADAS GEODÉSICAS.
En lo que sigue en este capítulo consideraremos como superficie de referencia del sistema de referencia
el elipsoide de revolución. La extensión de los conceptos abordados para el caso de una superficie de referencia
esférica es trivial.
El sistema de referencia geodésico se define mediante:
• superficie de referencia.- elipsoide de revolución cuyas dimensiones quedan definidas por dos de los
tres siguientes parámetros: semieje mayor ( a ), semieje menor ( b ) y aplanamiento ( f ),
• definiendo unos ejes o líneas de referencia en la superficie, un origen y un sentido de medida en los
mismos, curvas paramétricas que estudiaremos en su momento,
• definiendo la posición relativa del elipsoide respecto del geoide mediante el datum geodésico,
• definiendo el origen de alturas.
Tres son las coordenadas geodésicas que definen la posición de un punto de la superficie de terrestre,
latitud y longitud geodésica y altura elipsoidal, que posteriormente definiremos.
Vamos a estudiar en primer lugar como relacionar un punto de la superficie terrestre con la superficie
de referencia dado que dos de las coordenadas geodésicas ( longitud y latitud geodésicas ) se refieren a esta
superficie.
A un punto P sobre la superficie terrestre le corresponde un punto P0 sobre el geoide obtenido
proyectando según la línea de la plomada que pasa por P. Para obtener el punto correspondiente sobre la
superficie de referencia, Q0, proyectamos según la normal a dicha superficie, elipsoide, que pasa por P0. Esta
proyección es conocida como proyección Pizzetti. Otra posible posición para el punto Q, sobre el elipsoide,
correspondiente al P, sobre la superficie terrestre, se obtiene mediante la proyección Helmert, siendo Q obtenido
al proyectar según la normal al elipsoide que pasa por P. Esta segunda proyección es menos rigurosa pero
igualmente válida por la pequeña separación entre Q y Q0.
Ilustración 0 - 13
En esta figura se aprecian las diferentes alturas utilizadas en geodesia y topografía:
• Altura ortométrica, H.- Distancia de la superficie terrestre al geoide medida sobre la línea de la
plomada.
• Altura elipsoidal, h.- Distancia de la superficie terrestre al elipsoide medida sobre la normal al
elipsoide.

Se puede establecer como relación muy aproximada una de las principales ecuaciones de la geodesia,
h = H + N
Cap. 0 - 3
donde N es la ondulación del geoide o distancia entre Q0 y P0 medida a lo largo de la normal al elipsoide que
pasa por Q0.
Al igual que definimos una serie de elementos geográficos para la esfera celeste, o para las coordenadas
astronómicas, podemos definirlos para el elipsoide de revolución, o coordenadas geodésicas.
Vamos a considerar un sistema de coordenadas cartesianas tridimensionales definido como:
Ilustración 0 - 14
• Centro, punto origen ( 0,0,0 ).- El centro del elipsoide de revolución.
• Eje Z.- Semieje menor del elipsoide de revolución.
• Plano XY ( Z=0 ).- Plano perpendicular al eje Z que contiene al origen del sistema de coordenadas.
Antes de definir los ejes X e Y hemos de definir algunos elementos geométricos:
• Polos geodésicos.- Son los puntos de intersección del eje Z con el elipsoide de revolución.
• Plano meridiano geodésico.- Cualquier plano que contenga al eje Z.
• Plano paralelo geodésico.- Cualquier plano normal al eje Z.
• Meridiano geodésico.- Intersección de cualquier plano meridiano geodésico con el elipsoide de
revolución. Su ecuación es la de una elipse.
• Paralelo geodésico.- Intersección de cualquir plano paralelo geodésico con el elipsoide de
revolución. Su ecuación es la de un círculo de radio decreciente conforme nos apartemos del plano
Z=0.
• Plano ecuatorial geodésico.- Plano Z=0.
• Ecuador geodésico.- Es el paralelo geodésico correspondiente al plano ecuatorial geodésico.
• Vertical geodésica en un punto de la superficie del elipsoide de revolución.- Coincide con la
dirección del vector normal al elipsoide en dicho punto.
• Vertical geocéntrica.- Es la dirección del vector que une el punto con el centro del elipsoide.
• Plano horizonte geodésico en un punto de la superficie del elipsoide.- Plano perpendicular a la
vertical geodésica que contiene al punto.
• Meridiano geodésico origen.- Una vez posicionado el elipsoide respecto del geoide, mediante la
definición del datum, se puede obtener el punto correspondiente sobre el elipsoide de cualquier
punto de la superficie terrestre tal y como estudiamos anteriormente. Se adopta como meridiano
geodésico origen normalmente el meridiano geodésico del observatorio astronómico de Grenwich.

Una vez definido el meridiano geodésico origen podemos ya definir el eje X del sistema de
coordenadas cartesianas tridimensionales como el eje intersección del plano ecuatorial geodésico ( Z=0 ) y el
plano meridiano origen. El eje Y estará contenido en el plano Z=0 y será perpendicular al X y su sentido será tal
que los tres ejes formen una terna dextrógira.
Una vez definidos los elementos geográficos ya estamos en disposición de definir las coordenadas
geodésicas de un punto de la superficie del elipsoide:
• Longitud geodésica.- Es el ángulo medido a lo largo del ecuador geodésico, entre el meridiano
origen y el meridiano del punto en cuestión. En graduación sexagesimal se puede evaluar de 0° a
360° , creciendo al este del meridiano origen, o de 0° a 180°, positivo o negativo según el meridiano
del punto esté al este o al oeste del meridiano origen.
• Latitud geodésica.- Es el ángulo que forma la vertical geodésica del punto con el plano del ecuador
geodésico.
También se suele hablar de latitud geocéntrica definiéndola como el ángulo que forma la vertical
geocéntrica con el plano ecuatorial geodésico.
Si pretendemos definir la posición espacial de un punto de la superficie terrestre en el sistema de
referencia, dado que no se encuentra sobre la superficie del elipsoide de revolución, hemos de introducir una
tercera coordenada, la altura ortométrica ( H ), si el origen de alturas del sistema de referencia es la superficie
del geoide, o la altura elipsoidal ( h ), si el origen de alturas del sistema de referencia es la propia superficie del
elipsoide.
La posición de un punto respecto del sistema de referencia también la podremos expresar en
coordenadas cartesianas tridimensionales respecto del sistema de tales coordenadas previamente definido.
Un concepto muy importante en astronomía y geodesia es el de desviación relativa de la vertical.
Ilustración 0 - 15
La desviación relativa de la vertical en un punto no es sino el ángulo formado en dicho punto entre la
vertical astronómica y la vertical geodésica. También puede figurar en algunos textos como deflexión de la
vertical.
Este concepto es de gran importancia debido a que toda observación angular efectuada con un
goniómetro estará referido a la vertical astronómica instantánea debido a que el eje principal del mismo
materializa la dirección del vector de gravedad cuando se nivela. Dado que nos interesan coordenadas
geodésicas y no astronómicas, habrá ocasiones en que, a pesar de la pequeña diferencia entre la vertical
astronómica y geodésica, tendremos que realizar correcciones a las magnitudes observadas para referirlas al
sistema de referencia geodésico. Existe una rama de la ciencia geodésica que hace especial mención a este tema,
los métodos astrogeodésicos.

Para definir la posición relativa del elipsoide y geoide hemos de fijar el datum del sistema de referencia
que no es sino un punto en que el elipsoide y geoide son tangentes, o lo que es equivalente, la desviación relativa
de la vertical es nula.
En el caso del sistema de referencia oficial en España, E.D.50, ya se mencionó que el datum, o punto
fundamental, es Postdam, en Alemania. En el anterior sistema de referencia era el observatorio astronómico de
Madrid, que además era el origen de longitudes.
A partir del datum y mediante observaciones angulares y distanciométricas se irán transmitiendo las
coordenadas geodésicas, latitud y longitud geodésicas, a todos los puntos necesarios. La tercera coordenada o
cota ortométrica tendrá su origen definido en el sistema de referencia, nivel medio del mar en Alicante en el
E.D.50, y se transmitirá mediante métodos de nivelación a cualquier punto de interés.
Un concepto muy importante que nos resta por abordar es el de acimut que une dos puntos. En un
principio definiremos el acimut geodésico y el acimut astronómico dejando para un capítulo posterior la
definición del acimut cartográfico.
Ilustración 0 - 16
Azimut geodésico de un punto P a un punto Q, ambos sobre el elipsoide, es el ángulo entre dos planos,
ambos conteniendo a la vertical geodésica del punto P, uno de los cuales contiene al punto polo norte geodésico
y otro al punto Q ( nótese que hemos definido cada uno de los dos planos mediante una recta y un punto ). El

ángulo se mide en el sentido de las agujas del reloj ( dextrógiro ó retrógrado ), desde el norte. El plano definido
por la vertical geodésica en P y el punto Q produce como intersección con el elipsoide la sección normal de P a
Q. Esta no coincide con la sección normal de Q a P.
Ilustración 0 - 17
El azimut geodésico que realmente interesa no es el de las secciones normales directa o recíproca sino
el de la línea geodésica que podemos definir como la línea más corta entre dos puntos sobre una superficie ( una
recta en una superficie plana, un círculo máximo en una superficie esférica, una curva de complicada ecuación
en un elipsoide de revolución ).
Al problema de determinar las coordenadas geodésicas de un punto, latitud y longitud, a partir de las de
otro y del azimut y distancia de la línea geodésica que lo une al primero, se le conoce como problema directo de
la geodesia. El problema inverso de la geodesia consistiría en determinar el azimut y distancia de la línea
geodésica que une dos puntos, conocidas las coordenadas de ambos.
Ilustración 0 - 18
Si como superficie de referencia utilizamos la esfera celeste y en lugar de considerar la vertical y polo
norte geodésicos consideramos los astronómicos, definiríamos el acimut astronómico. La relación existente entre
el azimut geodésico y el astronómico es objeto de estudio de la astronomía de posición.
0.5 REDES GEODÉSICAS.
El sistema de referencia oficial para la cartografía española, E.D.50, está materializado sobre la
superficie terrestre por la Red Geodésica Nacional y por la Red de Nivelación de Alta Precisión.
La Red Geodésica está constituida por un mallado de vértices geodésicos que son monumentaciones
con una morfología tal que facilitan la toma de observables topográficos y geodésicos. Están localizados en
zonas elevadas de forma que se posibilita la intervisibilidad entre los mismos.Desde cada uno de los vértices se

observa un mínimo de vértices en su vuelta de horizonte lo que permite la toma de orientación o determinación
de la meridiana geodésica. La unión de cada uno de los vértices con los de su vuelta de horizonte da lugar a los
triángulos geodésicos que constituyen la malla. Actualmente se considera a los vértices geodésicos agrupados en
dos ordenes en función de la longitud del lado del triángulo de la malla:
• Red Geodésica de Primer Orden, R.G.P.O..- Integrada por vértices que forman triángulos
geodésicos de lado tipo 30 a 70 kilómetros.
• Red de Orden Inferior, R.O.I.- Integrada por vértices que forman triángulos geodésicos de lado tipo
5 a 10 kilómetros.
Ilustración 0 - 19
Los vértices geodésicos están dotados de las tres coordenadas. La tercera coordenada, o altura
ortométrica, es de precisión inferior a las coordenadas geodésicas longitud y latitud. Esto se debe a que el
método de nivelación empleado para dotarlos de la misma es nivelación trigonométrica. Sólo algunos vértices
están enlazados de forma precisa a la Red de Nivelación de Alta Precisión.
La Red de Nivelación de Alta Precisión completa a la Red Geodésica en la materialización del sistema
de referencia E.D.50. Está constituida por itinerarios entrelazados de clavos de nivelación dotados de altura
ortométrica precisa, al ser la nivelación geométrica de alta precisión el método empleado para dotarlos de la
misma. Dado que en el E.D.50 el origen de alturas, geoide, se identifica físicamente con el nivel medio del mar
en Alicante, esta red está enlazada al mareógrafo que define ese nivel medio en dicha localidad.
El proyecto, construcción, observación, cálculo, conservación y publicidad de estas redes es
competencia del Instituto Geográfico Nacional.
Actualmente está surgiendo la iniciativa por parte de Diputaciones, Ayuntamientos o Comunidades
Autónomas ( tal es el caso de la Comunidad Valenciana ) de densificar la Red Geodésica mediante redes
denominadas habitualmente de Cuarto Orden. Esta nomenclatura alude a una clasificación que antiguamente
correspondía a la Red Geodésica y que establecía redes de Primer, Segundo y Tercer Orden según criterio de
longitud del lado de los triángulos geodésicos de los vértices que las integraban. La longitud tipo para el caso de
las redes de Cuarto Orden es de 2 a 3.5 kilómetros. Esta densificación es muy positiva de cara a cualquier
trabajo topográfico ya que se reducen los errores transmitidos, los trabajos de densificación de la R.O.I.
mediante redes topográficas y aumenta la posibilidad de comprobación de los trabajos y eliminación de errores
groseros.
La siguiente figura corresponde a un gráfico de la red geodésica de primer orden.

Ilustración 0 - 20

1. INTRODUCCIÓN A LA CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
1.1 NECESIDAD DE LA CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA EN EL
PROCESO CARTOGRÁFICO.
La cartografía tiene como finalidad la concepción, preparación, redacción y realización de todos los
tipos de mapas, planos y cartas. Implica el estudio de la expresión gráfica de los fenómenos a representar y
engloba el conjunto de operaciones que, partiendo de información discretizada de datos, proveniente de
diferentes fuentes, culmina en una impresión ( sobre papel, en formato digital,... ) que suministra una gran
cantidad de información.
Constituye una transcripción gráfica de los fenómenos geográficos.
También se puede definir la cartografía como el conjunto de estudios y operaciones científicas y
técnicas que intervienen en la formación o análisis de mapas, modelos en relieve o globos, que representen la
Tierra, parte de ella, o cualquier parte del Universo.
Un producto cartográfico aparece como un conjunto de trazados, signos y palabras escritas, de tipología
más o menos complicada. Se trata de un esquema de la realidad y su formación obedece a numerosos acuerdos y
convenciones, expresados en el propio producto o implícitos, que deben conocerse para la interpretación
correcta de la información representada.
Hay productos cartográficos que pretenden únicamente ser una representación de la superficie terrestre
( accidentes naturales y artificiales ), o información georeferenciada. Otros tienen por objeto indicar la
localización de determinada información que por su naturaleza es atribuible a una posición geográfica ( datos
meteorológicos, ... ), o información georeferenciable. Al segundo tipo se les denomina temáticos, en oposición a
los primeros o topográficos.
1.1.2 EL CONCEPTO DE MAPA FRENTE AL DE PLANO .
Se acostumbra a denominar mapa a toda representación plana de una parte de la superficie terrestre que,
por su extensión y debido a la curvatura de la superficie de referencia del sistema de referencia adoptado para
dotar de coordenadas a los puntos de la misma, requiera hacer uso de transformaciones analizadas por la
cartografía matemática.
Se suele denominar plano a un mapa en el que se representa una porción de la superficie de referencia
lo suficientemente limitada como para que se haya prescindido de la curvatura de la misma gracias a que las
deformaciones que implican esta consideración son de una magnitud inferior a la precisión métrica de la
cartografía. Sin embargo, también se utiliza el término plano para mapas de gran escala, tipo 1/1000-1/2000-...,
en los que si se tiene en cuenta la curvatura de la superficie de referencia.
Otra clasificación o diferenciación entre ambos tipos de productos cartográficos muy estandarizada
alude a la escala de representación. Así, según una gran cantidad de tratados de cartografía, se habla de plano
cuando al escala es igual o mayor a 1:10000 y de mapas cuando es inferior a ella.
En general, si pretendemos que cualquier producto cartográfico tenga utilidad métrica, es decir, que a
partir de medidas sobre el mismo seamos capaces de obtener la misma magnitud real sobre el terreno, es
imprescindible hacer uso correcto de las transformaciones aportadas por la cartografía matemática.
Resulta conveniente hacer en este punto mención a en base a que parámetros se opta por una u otra
superficie de referencia.

En primer lugar hay que recordar que el sistema de referencia oficial para la cartografía española es el
E.D.50 y este utiliza como superficie de referencia el elipsoide de Hayford. Es por esto que cualquier producto
cartográfico oficial utilizará este elipsoide como superficie de referencia.
La superficie de referencia esférica es utilizada en representaciones a muy pequeña escala, tales como
mapas para atlas ( escalas 1/1000000 o inferiores ) y para representaciones de continentes o incluso de la
totalidad de la superficie terrestre.
Una superficie de referencia esférica de radio 6370000 metros es utilizada en cálculos topográficos y
fotogramétricos intermedios habitualmente para ciertas correcciones: corrección a los desniveles topográficos
obtenidos por nivelación trigonométrica, corrección a distancias reducidas sobre el plano del horizonte del punto
de observación, desplazamiento de imagen de puntos sobre la impresión fotográfica, ... Habitualmente estas
correcciones no son rigurosas dado que realmente se trabaja en el sistema de referencia E.D.50 pero están
estudiados los errores que produce esta simplificación, en función de la distancia normalmente, y se aplican
siempre y cuando sean lo suficientemente pequeños como para producir que la precisión final sea tal que el
trabajo en cuestión entre dentro de la tolerancia prefijada.
El hecho de adoptar como superficie de referencia un plano en un sistema local de coordenadas no
implica, salvo que el área de trabajo sea muy limitada, que pueda obviarse la desconexión con la realidad de esta
modelización. Este es uno de los principales problemas asociados a muchos trabajos de topografía de obras y por
ello lo estudiaremos en detalle.
1.1.3 PROBLEMAS ASOCIADOS A LA REPRESENTACIÓN CARTOGRÁFICA.
Dos son los problemas principales con los que nos encontramos.
En primer lugar pretendemos representar sobre un plano una porción, o incluso la totalidad, de la
superficie de referencia, incluyendo información del relieve, orografía o accidentes naturales del terreno.
Para solventarlo hemos de recurrir a:
• Adoptar una escala de representación, de forma que una amplia superficie quede representada en
pequeñas dimensiones.
• Una discretización de la superficie topográfica a representar y de la información en ella contenida.
No es sino una generalización, pasar del total de información del terreno a aquella que interese
representar tanto en cuanto a información georeferenciada como georeferenciable, en función del
factor de escala del producto cartográfico y del uso al que vaya destinado.
• Adoptar un sistema de representación del relieve sobre un plano, normalmente el sistema de planos
acotados.
En segundo lugar, a no ser que la superficie de referencia sea un plano, nos encontramos con el
problema de que tanto la superficie de una esfera como la de un elipsoide no son desarrollables sobre un plano.
Este problema se resuelve mediante la cartografía matemática. Nos permite establecer una correspondencia
biunívoca entre la superficie de referencia y el plano con deformaciones controladas.

Ilustración 1 - 1
Con todo lo expuesto hasta el momento queda justificada la necesidad de recurrir a la cartografía
matemática.
1.2 REPRESENTACIÓN PLANA DE LA SUPERFICIE DE
REFERENCIA. CARTOGRAFÍA MATEMÁTICA.
Ya se estudió anteriormente como se relacionába la superficie terrestre con la superficie de referencia
que se continuará considerando como un elipsoide de revolución.
A cada punto de la superficie de referencia le corresponderá un punto de la superficie topográfica,
perfectamente identificado, y toda la información asociada al mismo, altura ortométrica y cualguier otro dato
georeferenciable.
El problema que ha de resolver la cartografía matemática es cómo pasar de esa superficie de referencia
al plano de representación del producto cartográfico.
El problema no es otro que la imposibilidad de desarrollar la superficie de un elipsoide sobre un plano.
Por expresarlo de una forma coloquial, no hay forma de producir una sección a esa superficie elipsódica y
estirarla hasta convertirla en un plano sin que aparezcan deformaciones.
Se recurre a una correspondencia biunívoca entre ambas superficies, a cada punto del elipsoide se le
hace corresponder un punto sobre el plano y existirá también la correspondencia inversa de forma que desde el
punto del plano se pueda regresar al punto sobre el elipsoide.
Para expresar esto analíticamente se considera que un punto del elipsoide viene representado por sus
coordenadas geodésicas polares latitud y longitud, ( ϕ, λ ) y el punto correspondiente sobre el plano se
representa por dos coordenadas en un sistema cartesiano bidimensional, ( x, y ). Existirán unas funciones, que
llamaremos directas, ( f, g ), para pasar del elipsoide al plano, y otras, que llamaremos inversas, ( f’, g’ ), para
pasar del plano al elipsoide, de forma que:
• transformación del elipsoide al plano:
( )
( )
x f
y
= ϕ λ
φ ϕ λ
,
= ,
Cap. I - 1
• transformación recíproca o inversa, del plano al elipsoide:

( )
( )
ϕ
λ φ
= f x y' ,
= ' x,y
Cap. I - 2
A cada una de las posibles transformaciones definidas por funciones de este tipo se le denomina
proyección cartográfica.
Se pueden clasificar las proyecciones en dos grupos:
• Proyecciones geométricas o perspectivas.- En estas, las funciones que definen la transformación se
obtienen del análisis geométrico de la proyección. Existe un punto origen o centro de la proyección
geométrica, situamos el plano de la proyección en una determinada posición y obtenemos la
proyección de un punto del elipsoide en la intersección de la recta proyectiva, recta que une el
origen o centro de la proyección, con el plano de la proyección. Según la posición del centro de la
proyección se hablará de:
Si en lugar de proyectar directamente sobre el plano de la proyección se proyecta sobre un cono o un
cilindro, que ocupe una determinada posición, y después se obtiene el plano como desarrollo de estos, se hablará
de desarrollos cartográficos.
Ilustración 1 - 3
• Proyecciones matemáticas.- En este caso, las funciones matemáticas que definen la transformación
no tienen un fundamento geométrico exacto, si bien se suelen obtener a partir de las proyecciones
geométricas con la imposición de ciertas condiciones matemáticas.
Ilustración 1 - 2

Es evidente que uno de los usos más extendidos de un producto cartográfico es obtener información
métrica de la superficie terrestre en él representada, ya sean medidas distanciométricas, superficiales o
angulares. Lo ideal sería utilizar una proyección cartográfica que no introdujese ninguna deformación en las
medidas angulares y ninguna otra que la propia homotecia debida al factor de escala en las medidas de distancias
y superficies. Pues bien, esto es imposible. No existe ninguna proyección cartográfica que conserve las tres
magnitudes.
Se pueden clasificar también las proyecciones cartográficas en función de qué magnitudes conserven
en:
• proyecciones conformes.- conservan los ángulos,
• proyecciones equidistantes o afilácticas.- conservan las distancias y
• proyecciones equivalentes.- conservan las superficies.
Como se estudiará en su momento, las hay también que siendo conformes conservan las distancias de
ciertas curvas sobre la superficie de referencia, las hay también que para ciertas zonas minimizan las tres
deformaciones,...
En cualquier caso será preciso conocer que deformaciones introduce una proyección para poder
eliminarla y restituir la magnitud real. Para esto estudiaremos como calcular en cada punto las tres
deformaciones mediante unas funciones matemáticas que denominaremos módulos de deformación angular,
lineal y superficial. Estos módulos de deformación, extendidos del entorno diferencial de un punto a la magnitud
medida ( ángulo, distancia o superficie ), permitirán restituir la magnitud real.
Una vez que se conozcan las diferentes proyecciones cartográficas y en base al uso al que vaya
destinado el producto cartográfico estaremos en posición de optar por una u otra.
Al igual que existe un sistema de referencia oficial para la cartografía española, el E.D.50, también
existe una proyección oficial o reglamentaria para toda la cartografía oficial. Según real decreto 2303/1970 de
16 de Julio de 1970 se adopta como reglamentaria en España la Proyección Universal Transversa de Mercator
(U.T.M.). Esta será la proyección cartográfica en que más centraremos la atención.
Las proyecciones cartográficas nos permitirán, además de resolver el problema de la representación de
la superficie de referencia sobre un plano, resolver problemas de cálculo de coordenadas sobre un plano
sirviéndonos de la sencilla geometría plana.

2. GEOMETRÍA DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
2.1 CONCEPTO DE SUPERFICIE.
Consideremos el espacio euclídeo de tres dimensiones. Superficie es el lugar geométrico de los
valores que adoptan tres funciones dependientes de dos parámetros.
Ilustración II - 1
La expresión analítica de una superficie se puede realizar de distintas formas:
- en forma paramétrica:
( )
( )
( )
x x u v
y y u v
z z u v
=
=
=
,
,
,
Cap. II - 1
- en forma vectorial:
x y u v e z u v e x u v x u v x u v= x (u,v) = x(u,v) • e1 + + =( , ) • ( , ) • ( ( , ), ( , ), ( , ))2 3 1 2 3
Cap. II - 2
- en forma explícita:
( )z f x y= ,
Cap. II - 3
- en forma implícita:
( )F x y z, , = 0
Cap. II - 4
Un punto de la superficie quedará definido por tres coordenadas. Los tres tipos de coordenadas
más utilizadas en geodesia son:

- coordenadas cartesianas.- (x,y,z) que, para el caso de una superficie, se obtienen directamente
de la expresión de la superficie en forma paramétrica.
- coordenadas esféricas.- Tienen gran trascendencia en el ámbito de la ingeniería cartográfica
por su utilización tanto en el modelo de superficie de referencia esférico como elipsoidal.
Ilustración II - 2
x
y
= cos cos
= cos sen
z = sen
ρ ϕ λ
ρ ϕ λ
ρ ϕ
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅
Cap. II - 5
- coordenadas cilíndricas.
Ilustración II - 3
x = r cos
y = r sen
z = z
⋅
⋅
λ
λ
Cap. II - 6

2.2 DEFINICIÓN DEL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
El elipsoide de revolución es la figura geométrica que mejor se aproxima al geoide. La
caracterización genérica del elipsoide de revolución se analiza a continuación.
Ilustración II - 4
Se pretende parametrizar la superficie del elipsoide de revolución con las coordenadas
geodésicas ya analizadas: latitud y longitud geodésicas ( ϕ,λ ).
Las dimensiones del elipsoide de revolución se suelen definir por cualquier pareja de los
siguientes parámetros:
- semieje mayor.- a
- semieje menor.-b
- primera excentricidad.-
e
a b
a
2
2 2
2=
−
Cap. II - 7
- segunda excentricidad.-
e
a b
b
'2
2 2
2=
−
Cap. II - 8
- aplanamiento.-
f
a b
a
=
−
Cap. II - 9

Se plantea llegar a establecer la definición en paramétricas de la superficie del elipsoide. En
definitiva se trata de encontrar las expresiones de las coordenadas cartesianas tridimensionales de un
punto de la superficie del elipsoide en función de las coordenadas latitud y longitud geodésicas..
Dada la elipse meridiana ( en el plano XZ ó Y=0 ), se consideran las circunferencias inscrita ( de
radio b ) y circunscrita ( de radio a ).
Ilustración II - 5
Se va a utilizar como paso intermedio una nueva coordenada, la latitud reducida ( u ).
cos u =
x
a
x = a cos u→ ⋅
Cap. II - 10
sen senu =
z
b
z = b u→ ⋅
Cap. II - 11
La parametrización sería directa.
x a
a
= ⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅
cos
cos
u cos
y = u sen
z = b sen u
λ
λ
Cap. II - 12
El problema es que interesa la parametrización en función de las coordenadas geodésicas ( ϕ,λ )
y no ( u,λ ). La latitud geocéntrica, ψ, tampoco tiene interés.
Se verifica para cualquier punto de la elipse meridiana:
x a a du
z b
= ⋅ → − ⋅ ⋅
= ⋅ → ⋅ ⋅
cos sen
sen
u dx = u
u dz = b cos u du
Cap. II - 13
Si de la expresión de x en la elipse meridiana se despeja la latitud reducida,

u arco
x
a
=





cos
Cap. II - 14
La ecuación en forma explícita de la elipse meridiana sería,
z b arco
x
a
= ⋅











sen cos
Cap. II - 15
Evidentemente, la tangente a un punto de la elipse meridiana se obtendría a partir de derivar la
función anterior con respecto a la variable de la que depende, es decir x,
dz
dx
. Por lo tanto la normal
resultaría,
− =
dx
dz
tg ϕ
Cap. II - 16
Aplicando las expresiones de las derivadas,
a
a
b a
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
⋅ → ⋅
sen
tg
tg tg
u du
b cos u du
u = tg tg u =
b
ϕ
ϕ ϕ
Cap. II - 17
Operando convenientemente,
( )( )
( )
1 1
1
1 1
1
1
1
2
2
2
2 2
2 2
2
2
2
2
2 2 2
2
2 2 2 2 2
2
2
2 2 2
2
2
2 2 2 2
2
2 2
2 2 2 2
2
2 2
2
2
2
2 2
+ = + =
+
=
+ = + ⋅ =
+ ⋅
+ ⋅ = + ⋅ =
⋅ ⋅
=
= ⋅ + − ⋅
=
⋅
+ − ⋅
=
+
−
⋅
=
− ⋅
tg
sen
cos
cos sen
cos cos
tg tg
tg
tg
sen
cos
cos sen
cos
cos
sen
cos
cos
sen
cos
sen
cos
sen
u
u
u
u u
u u
u
b
a
a b
a
a b a b
a
a b a
u
a
a b a b a
a
e
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
+ b2
Por lo tanto,

cos
sen
u =
cos
1- e2
ϕ
ϕ⋅ 2
Cap. II - 18
( ) ( )
sen
cos
sen
sen cos
sen
sen sen
sen
sen sen
sen
sen
sen
u = 1- cos2
u
e
e
e
e
e
e
e
e
e
= −
− ⋅
=
− ⋅ −
− ⋅
=
=
− ⋅ − −
− ⋅
=
− ⋅ +
− ⋅
=
⋅ −
− ⋅
1
1
1
1
1 1
1 1
1
1
2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
2 2
ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Cap. II - 19
Reemplazando en las ecuaciones paramétricas primitivas,
( )
( )
x a x
a
z b z
b e
= ⋅ ⇒ =
⋅
⋅
= ⋅ ⇒ =
⋅ ⋅ −
⋅
cos
cos
sen
sen
sen
sen
u
1- e
u
1- e
2
2
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
2
1
2
2
2
1
2
1
Cap. II - 20
Denominando,
( )
ν
ϕ
=
− ⋅
a
e1 2 2
sen
Cap. II - 21
1 12
2 2
2
2 2 2
2− = −
−
=
− +
=e
a b
a
a a b
a
b
a
Cap. II - 22
Luego es directo llegar a las ecuaciones en paramétricas del elipsoide de revolución,
introduciendo la coordenada geodésica longitud,
( )
x
y
z
b
a
e
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅
= ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅
ν ϕ λ
ν ϕ λ
ν ϕ ν ϕ
cos cos
cos sen
sen sen
2
2
2
1
Cap. II - 23
A la expresión ν, anteriormente obtenida, se la denomina gran normal o normal principal. Tiene
como significado geométrico el ser el radio de curvatura de la sección normal perpendicular al meridiano,
es el segmento comprendido entre el punto considerado de una elipse meridiana y la intersección de la
normal en él con el eje menor de la elipse meridiana.

Ilustración II - 6
El elipsoide, así definido, verifica la ecuación genérica en implícitas
x y
a
z
b
2 2
2
2
2 1
+
+ =
Cap. II - 24
como fácilmente podría comprobarse.
Otro parámetro muy importante en el elipsoide de revolución es el radio de curvatura de la elipse
meridiana en un punto. Se denomina ρ y su expresión es:
( )
( )
ρ
ϕ
=
⋅ −
− ⋅
a e
e
1
1
2
2 2
3
2sen
Cap. II - 25
Ilustración II - 7

Para localizar un punto de la superficie terrestre se ha de introducir una tercera coordenada
geodésica, la altura elipsoidal ( h ). La expresión de las coordenadas cartesianas tridimensionales se
obtiene de modo directo,
( )
( )
( )( )
x h
y h
z e h
= + ⋅ ⋅
= + ⋅ ⋅
= ⋅ − + ⋅
ν ϕ λ
ν ϕ λ
ν ϕ
cos cos
cos sen
sen1 2
Cap. II - 26
Ilustración II - 8
La parametrización definida por Cap.II-25 correspondería a todo el espacio euclideo de tres
dimensiones.
También resulta interesante conocer el paso de coordenadas cartesianas tridimensionales a
coordenadas geodésicas,
( ) ( )x y z h, , , ,⇒ ϕ λ
Cap. II - 27
p x y
ar g
z a
p b
ar g
z e b
p e a
ar g
y
x
h
p
= +
=
⋅
⋅






=
+ ⋅ ⋅
− ⋅ ⋅






=






= −
2 2
2 3
2 3
θ
ϕ
θ
θ
λ
ϕ
ν
cot
cot
' sen
cos
cot
cos
Cap. II - 28
Recuérdese que el paso de la altura elipsódica, con significado geométrico pero no físico, a
altura ortométrica, con significado físico, pasa por el conocimiento de la ondulación del geoide,
H h N= −
Cap. II - 29

2.3 CURVAS PARAMÉTRICAS.
Para una superficie dada por los parámetros ( u,v ), se denominan coordenadas curvilíneas a los
pares de valores ( ui, vi ) que toman los parámetros ( u,v ), definiéndose para cada par de valores un punto
de la superficie.
Para u=cte=c1, la ecuación bajo esta condición es
x v= x ( c1 , )
Cap. II - 30
que representa una curva llamada de parámetro v, o v-curva.
De igual forma, para v=cte=c2 la ecuación bajo esta condición es
x = x ( u,c2 )
Cap. II - 31
que representa una curva llamada de parámetro u, o u-curva.
Trazando las curvas u=cte y v=cte, para todos los valores posibles de estos parámetros, de su
dominio, se establece el recubrimiento de una red de curvas paramétricas que definen la superficie.
Los vectores tangentes a las curvas paramétricas, v=cte y u=cte, son respectivamente
xu =
x
u
= (
x
u
x
u
x
u
2 3∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
1
, , )
Cap. II - 32
xv =
x
v
= (
x
v
x
v
x
v
2 3∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
1
, , )
Cap. II - 33
Ilustración II - 9
La condición necesaria y suficiente para que la ecuación represente una superficie es que,
x vu x 0∧ ≠
Cap. II - 34
Esta condición es equivalente a que las curvas de parámetros no van a ser nunca iguales en
ningún punto de la superficie. También se puede expresar como,

rango ( J (
x , x , x
u, v
) = 21 2 3
)
Cap. II - 35
indicando J la matriz Jacobiana de la superficie respecto a los parámetros ( u,v ).
J =
x
u
x
u
x
u
x
v
x
v
x
v
1 2 3
1 2 3
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂










Cap. II - 36
En el caso del elipsoide de revolución, la ecuación en forma vectorial es,
( )( )x ( , ) = cos cos , cos sen , 1-e2
ϕ λ ν ϕ λ ν ϕ λ ν ϕ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅sen
Cap. II - 37
Las curvas paramétricas son los paralelos ( ϕ=cte ) y los meridianos ( λ=cte ).
A continución se determinarán los vectores tangentes.
a) vector tangente al meridiano de un punto.
xϕ
∂
∂ ϕ
∂
∂ ϕ
∂
∂ ϕ
=






x x x1 2 3
, ,
Cap. II - 38
( )
( ) ( )∂ ν
∂ ϕ
∂
∂ ϕ
ϕ
ϕ ϕ ϕ
ϕ
ν ϕ ϕ
ϕ
=
− ⋅








=
⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ − ⋅
=
⋅ ⋅ ⋅
− ⋅
−
a
e
a e e
e
e
e
1
1 2
2 1 12 2
1
2
2 2
1
2 2
2 2
2
2 2
sen
sen sen cos
( sen )
sen cos
sen
( )
∂
∂ ϕ
∂
∂ ϕ
ν ϕ λ
∂ ν
∂ ϕ
ϕ λ ν ϕ λ
ν ϕ ϕ
ϕ
ϕ ν ϕ λ
ϕ
ϕ
ν ϕ λ
ϕ ϕ
ϕ
ν ϕ λ
x
- sen =
=
e
1
2
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅
− ⋅
⋅ − ⋅





 =
⋅
− ⋅
−





 ⋅ ⋅ ⋅ =
=
⋅ − + ⋅
− ⋅





 ⋅ ⋅ ⋅ = −
⋅
cos cos cos cos cos
sen cos
sen
cos sen cos
cos
sen
sen cos
cos sen
sen
sen cos
1 1
1
1
1
1
2 2
2 2
2 2
2 2 2 2
2 2
e
e
e
e e
e
a ( )
( )
−
− ⋅
⋅ ⋅
e
e
2
2 2
3
21 sen
sen cos
ϕ
ϕ λ
y, recordando la definición del radio del meridiano, ρ,
∂
∂ ϕ
ρ ϕ λ
x1
= − ⋅ ⋅sen cos
Cap. II - 39
de la misma forma,

∂
∂ ϕ
ρ ϕ λ
x2
= − ⋅ ⋅sen sen
Cap. II - 40
Por último,
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
∂
∂ ϕ
∂
∂ ϕ
ν ϕ
∂ ν
∂ ϕ
ϕ ν ϕ
ν ϕ ϕ
ϕ
ν ϕ
ϕ
ϕ
ν ϕ
ν
ϕ
ϕ ρ ϕ
x3
= ⋅ − ⋅ = ⋅ + ⋅





⋅ − =
=
⋅ ⋅ ⋅
− ⋅
+ ⋅





⋅ − =
⋅ ⋅ ⋅
− ⋅
+





⋅ ⋅ ⋅ − =
=
⋅ −
− ⋅
⋅ = ⋅
1 1
1
1
1
1 1
1
1
2 2
2 2
2 2
2
2 2
2 2
2
2
2 2
e e
e
e
e
e
e
e
e
e
sen sen cos
sen cos
sen
cos
sen
sen
cos
sen
cos cos
Cap. II - 41
Por tanto, finalmente,
( )xϕ ρ ϕ λ ρ ϕ λ ρ ϕ= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅sen cos , - sen sen , cos
Cap. II - 42
b) vector tangente al paralelo de un punto.
Derivando con respecto a λ, se obtiene directamente,
( )xλ ν ϕ λ ν ϕ λ= − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅cos sen cos cos, , 0
Cap. II - 43
2.4 PLANO TANGENTE Y RECTA NORMAL A UNA
SUPERFICIE.
Dada una superficie, se denomina plano tangente en un punto P de la misma al lugar geométrico
de todas las rectas tangentes a todas las curvas que pasan por el mismo. La ecuación en forma vectorial
del mismo quedará en función del punto P y de los vectores tangentes a las curvas paramétricas
particularizadas en el punto P.
x v x xP uP vP(u,v,c ,c ) = x (u + c + c1 2 P 2, ) 1 ⋅ ⋅
Cap. II - 44
La dirección de la normal está definida por la dirección perpendicular a los dos vectores
tangentes.
nP
uP vP
uP vP
=
x x
x x
∧
∧
Cap. II - 45
Representa el vector normal normalizado, módulo unitario, denominado versor normal.

Ilustración II - 10
La ecuación de la recta normal será,
x vP P(u,v,c) = x (u + c nP , ) ⋅
Cap. II - 46
En el caso del elipsoide de revolución tendremos que:
a) vector y versor normal al elipsoide de revolución en un punto.
n =
x x
x x
ϕ λ
ϕ λ
∧
∧
Cap. II - 47
( )
x x
i j k
ϕ λ ρ ϕ λ ρ ϕ λ ρ ϕ
ν ϕ λ ν ϕ λ
ρ ν ϕ λ ρ ν ϕ λ ρ ν ϕ ϕ
∧ = − ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
− ⋅ ⋅ ⋅ ⋅
=
= − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅
sen cos sen sen cos
cos sen cos cos
cos cos cos sen cos sen
0
2 2
, ,
Cap. II - 48
El módulo será,

( )( )( )
( )( )
x xϕ λ ρ ν ϕ λ ρ ν ϕ λ ρ ν ϕ ϕ
ρ ν ϕ λ λ ϕ ϕ
ρ ν ϕ ϕ ϕ ρ ν ϕ
∧ = ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ =
= ⋅ ⋅ + ⋅ − = ⋅ ⋅
2 2 2 4 2 2 2 4 2 2 2 4 2
2 2 4 2 2 2 2
2 2 4 2 2 2 2 2
1
cos cos cos sen cos sen
cos cos sen cos sen
cos cos cos cos
x xϕ λ ρ ν ϕ∧ = ⋅ ⋅ cos
Cap. II - 49
Luego el versor normal tendrá por expresión,
( )n = − ⋅ ⋅cos cosϕ λ ϕ λ ϕ, - cos sen , - sen
Cap. II - 50
2.5 DEFINICIÓN DE UNA CURVA CONTENIDA EN UNA
SUPERFICIE.
Una curva C contenida en una superficie S queda definida mediante una aplicación entre los
parámetros ( u,v ), que definen la superficie, con un parámetro t que va a definir la curva, es decir,
u = u ( t ), v = v ( t )
La ecuación vectorial de la curva es
x t= x ( u(t), v(t) ) = x ( )
Cap. II - 51
Entre las infinitas curvas que pueden trazarse sobre una superficie por un punto juegan un papel
fundamental las curvas paramétricas que ya se han estudiado.

2.6 MEDIDA DE DISTANCIAS, ÁNGULOS Y SUPERFICIES
SOBRE UNA SUPERFICIE.
2.6.1 MEDIDA DE DISTANCIAS SOBRE UNA SUPERFICIE. PRIMERA
FORMA CUADRÁTICA FUNDAMENTAL.
En la geometría del plano euclídeo la distancia entre dos puntos infinitamente próximos de
coordenadas ( x, y ) y ( x+dx, y+dy ) viene dada por el módulo del vector que los une dx dy2 2
+ .
Se va a plantear aquí el problema de determinar la distancia entre dos puntos infinitamente
próximos de una superficie S. Para ello se puede considerar que, en un entorno de un punto P de S
suficientemente pequeño, la superficie coincide con el plano tangente a ella en P, y por tanto se pueden
trasladar las propiedades infinitesimales de la superficie a las del plano.
Sean los puntos de la superficie x d xy x + infinitamente próximos. La distancia euclídea
entre los puntos viene dada por el módulo del vector que une ambos puntos, luego,
( ) ( )ds d x d x x du x dv x du x dv E du F du dv G dvu v u v
2 2 2
2= ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅
Cap. II - 52
siendo,
E x x
F x x
G x x
u u
u v
v v
= ⋅
= ⋅
= ⋅
Cap. II - 53
los coeficientes de la denominada PRIMERA FORMA CUADRÁTICA FUNDAMENTAL.
Normalmente se expresa,
I (du,dv) = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅E du F du dv G dv2 2
2
Cap. II - 54
Matricialmente se puede expresar según,
( )I (du,dv) = du dv ⋅





⋅






E F
F G
du
dv
Cap. II - 55
Se demuestra sin dificultad que es una forma cuadrática definida y positiva, es decir, la distancia
es siempre mayor o igual a cero, dándose este último caso únicamente cuando los dos puntos coinciden,
E G F⋅ − ≥2
0
Cap. II - 56
Además es un invariante frente a cambios de base, lo que es evidente al ser la distancia un
invariante.

Consideremos ahora u = u (t) y v = v (t) una curva sobre s y x (t), x (t + dt) dos puntos
infinitamente próximos en dicha curva. Entonces la distancia entre estos puntos medida a lo largo de la
curva viene dada por,
ds
d x
dt
d x
dt
dt E
du
dt
F
du
dt
dv
dt
G
dv
dt
dt2 2
2 2
2
2= ⋅





⋅ = ⋅





 + ⋅ ⋅ ⋅





 + ⋅











⋅
ds E
du
dt
F
du
dt
dv
dt
G
dv
dt
dt= ⋅





 + ⋅ ⋅ ⋅





 + ⋅





 ⋅
2 2
2
Cap. II - 57
La distancia entre los puntos x t( )1 y x t( )2 de la curva es
s E
du
dt
F
du
dt
dv
dt
G
dv
dt
dt
t
t
= ⋅





 + ⋅ ⋅





⋅





+ ⋅





 ⋅∫
2 2
2
1
2
Cap. II - 58
De otra forma se puede expresar,
( )ds
dt
d x
dt
=
t
Cap. II - 59
Si una curva viene parametrizada por un parámetro t, dado que existe esta relación entre s y t,
podemos decir que s es el parámetro longitud de arco. A la parametrización de una curva por la longitud
de arco, ( )x x s= , se le denomina regular. En este caso, sustituyendo en la expresión anterior el
parámetro t por el s,
( )ds
ds
d x
ds
= = →
s
vector unitario y tangente a la curva1
Cap. II - 60
A continuación se determina la primera forma cuadrática fundamental para un elipsoide de
revolución retomando las expresiones de los vectores tangentes a las curvas paramétricas ya analizados.
E x x
F x x
G x x
= ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ =
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =
= ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ = ⋅
ϕ ϕ
ϕ λ
λ λ
ρ ϕ λ ρ ϕ λ ρ ϕ ρ
ρ ϕ λ ν ϕ λ ρ ϕ λ ν ϕ λ
ν ϕ λ ν ϕ λ ν ϕ
2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
0
sen cos sen sen cos
sen cos cos sen sen sen cos cos
cos sen cos cos cos
Cap. II - 61
y, por lo tanto,
( )
( ) ( )
I (d , d ) = 2 2
ϕ λ ρ ϕ ν ϕ λ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
λ⋅ + ⋅ ⋅ =
⋅ −
− ⋅
⋅ +
⋅
− ⋅
⋅d d
a e
e
d
a
e
d2 2 2 2
2 2 2
2 2 3
2
2 2
2 2
1
1 1
cos
sen
cos
sen
Cap. II - 62
Ahora se evalua esta expresión sobre las líneas paramétricas.
Para los paralelos, latitud geodésica constante,

( )
( )
( ) ( )
( )
I d 2 2
λ ν ϕ λ
ϕ
ϕ
λ
ϕ
ϕ
λ
ϕ
ϕ
λ λ
= = ⋅ ⋅ =
⋅
− ⋅
⋅
=
⋅
− ⋅
⋅ =
⋅
− ⋅
⋅ −∫
ds d
a
e
d
s
a
e
d
a
e
2 2 2
2 2
2 2
2 2
1
2 1
2
2 2
1
2
2 1
1
1 1
cos
cos
sen
cos
sen
cos
sen
Cap. II - 63
Luego evaluar la longitud de un arco de paralelo es muy sencillo. Fijándose en que el radio del
paralelo resulta, de acuerdo a la expresión para obtener la longitud de un arco de paralelo, ν ϕ⋅ cos , se
puede confirmar el significado geométrico de la gran normal.
Para los meridianos, longitud geodésica constante,
( )
( )
( )
( )
( )
I d 2 2
ϕ ρ ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
= = ⋅ =
⋅ −
− ⋅
⋅
= ⋅ − ⋅
− ⋅
∫
ds d
a e
e
d
s a e
d
e
2 2
2 2 2
2 2 3
2
2 2
3
21
2
1
1
1
1
sen
sen
Cap. II - 64
Esta integral no tiene primitiva y normalmente se evalúa mediante el desarrollo de potencias en
e2 2
⋅ sen ϕ , truncándose en las potecias octava o décima. Al igual que en el caso anterior vemos que el
radio del arco de meridiano en un punto es ρ, dado que la longitud de arco de meridiano es ρ·dϕ. La
longitud del arco de meridiano es tratada con profundidad en el apéndice IV debido a que su resolución
es necearia en la proyección Universal Transversa de Mercator, U.T.M.
Un resultado importante del estudio de la primera forma cuadrática fundamental para el
elipsoide de revolución cuando está parametrizado por las coordenadas geodésidcas ( ϕ, λ ) es que sus
coeficientes sólo dependen de ϕ, por lo que se le conoce como parametrización de Clairaut.
2.6.2 MEDIDA DE ÁNGULOS SOBRE UNA SUPERFICIE.
Considérense dos curvas sobre una superficie S dadas por los parámetros t y τ.
x (t) = x ( u(t), v(t) )
x ( ) = x ( u( ), v( ) )τ τ τ
Cap. II - 65
y considérense sus vectores tangentes dados por
x
d x
dt
du
dt
dv
dt
t u v= = x + x⋅ ⋅
x
d x
d
du
d
dv
d
u vτ
τ τ τ
= = x + x⋅ ⋅
Cap. II - 66
El ángulo que dos curvas sobre una superficie forman en un punto vendrá dado por el ángulo
que forman sus vectores tangente en dicho punto. El ángulo que forman dos vectores se obtendrá a partir
del producto escalar de los mismos.

cos =
x
x
α
τ
τ
t
t
x
x
⋅
⋅
Cap. II - 67
x x
du
dt
x
dv
dt
du
d
x
dv
d
t u v u v⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ =τ
τ τ
(x x) ( )
( ) ( ) ( ) ( )= ⋅ ⋅ ⋅





 + ⋅ ⋅ ⋅





+ ⋅ ⋅ ⋅





 + ⋅ ⋅ ⋅





 =x x
du
dt
du
d
x x
du
dt
dv
d
x x
dv
dt
dv
d
x x
dv
dt
du
d
u u u v v v v u
τ τ τ τ
= ⋅ ⋅





+ ⋅ ⋅ + ⋅





 + ⋅ ⋅





E
du
dt
du
d
F
du
dt
dv
d
dv
dt
du
d
G
dv
dt
dv
dτ τ τ τ
Cap. II - 68
Según se vió,
x
ds
dt
ds
d
t = =xτ
τ
Cap. II - 69
Por tanto,
cos =
E
du
dt
α
τ τ τ τ
τ
⋅ ⋅





+ ⋅ ⋅ + ⋅





+ ⋅ ⋅






⋅
du
d
F
du
dt
dv
d
dv
dt
du
d
G
dv
dt
dv
d
ds
dt
ds
d
Cap. II - 70
Así, el ángulo formado entre las curvas paramétricas, u=cte ( du=0 ) y v=cte ( dv=0 ), para las
curvas de parámetro t y τ, respectivamente,
ds
dt
E
du
dt
G
dv
dt
F
du
dt
dv
dt
G
dv
dt





 = ⋅





 + ⋅





 + ⋅ ⋅ ⋅





 = ⋅






2 2 2 2
2
ds
d
E
du
d
G
dv
d
F
du
d
dv
d
E
du
dτ τ τ τ τ τ





 = ⋅





 + ⋅





 + ⋅ ⋅ ⋅





 = ⋅






2 2 2 2
2
cos =
F
dv
α
τ
τ
⋅ ⋅






⋅





 ⋅ ⋅






=
⋅
dt
du
d
G
dv
dt
E
du
d
F
G E2 2
Cap. II - 71
Analizando esta expresión se llega a la conclusión de que las curvas paramétricas forman un
sistema ortogonal si y sólo si F=0. Por lo tanto, para el elipsoide de revolución las curvas paramétricas,
ϕ=cte y λ=cte ( paralelos y meridianos ), forman un sistema ortogonal puesto que F=0.

Ahora se determina el ángulo que forma una curva cualquiera 1de parámetro t, con los
meridianos ( λ=cte , dλ=0), curva 2 de parámetro τ, puesto que F=0,
( )
cos =
E
d
α
ϕ ϕ
τ
τ
ϕ ϕ
⋅ ⋅






⋅
=
⋅ ⋅
⋅
1 2
1 2
1 2
1 2
dt
d
d
ds
dt
ds
d
E d d
ds ds
Cap. II - 72
Pero, sobre un meridiano,
ds E d d2 2 2= ⋅ = ⋅ϕ ρ ϕ
Cap. II - 73
y, sustituyendo en la expresión anterior,
cos =α
ρ ϕ ϕ
ρ ϕ
ρ
ϕ2
1 2
2 1
1
1
⋅ ⋅
⋅ ⋅
= ⋅
d d
d ds
d
ds
Cap. II - 74
Se denominan curvas loxodromas a aquellas que forman un ángulo constante con los
meridianos, es decir,
( ) =
1
c2cos α ρ
ϕ2 2
2
2= ⋅
d
ds
Cap. II - 75
ds c d E d G d d d
d c d
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
1
= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅
⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅
ρ ϕ ϕ λ ρ ϕ ν ϕ λ
ν ϕ λ ρ ϕ
cos
cos ( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
d
c d
a e
e
e
a
e
e
e
d
λ
ρ ϕ
ν ϕ
ρ
ν ϕ
ϕ
ϕ
λ
ϕ
ϕ ϕϕ
ϕ
2
2
=
= c
1- e
2
2 2 2
2 2
2
2
2 2 2
2 2 3
2 2
2
2 2
2 2
2
2
1
1
1
1 1
1
1 1
1
2
( )
cos
sen
sen
sen
cos sen
− ⋅ ⋅
⋅
=
⋅ −
− ⋅
⋅
− ⋅
=
−
− ⋅
− ⋅ − ⋅
⋅ ⋅∫
Cap. II - 76
2.6.3 MEDIDA DE SUPERFICIES SOBRE UNA SUPERFICIE.
Considérese una pequeña región ∆R sobre una superficie S limitada por las curvas de parámetros
( u, u+du ) y ( v, v+dv ), se determinará el área de dicha superficie con la hipótesis de que es
infinitesimal.
El área del paralelogramo infinitesimal cuyos lados son los vectores,
d x x du x dvu v1 2= ⋅ = ⋅dx
Cap. II - 77
viene dada por,

dA d x d x x x du dv E G F du dvu v= ∧ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ − ⋅ ⋅1 2
2
Cap. II - 78
donde se ha tenido en cuenta la relación entre el módulo del producto vectorial y el módulo del producto
escalar. Finalmente, extendiendo la definición a un recinto no infinitesimal,
A E G F du dv
R
= ⋅ − ⋅ ⋅∫∫ 2
∆
Cap. II - 79
En el caso del elipsoide de revolución parametrizado con las coordenadas geodésicas ( ϕ,λ ), el
área de un recinto vendrá dado por la expresión,
A E G d d d d= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅∫∫ ∫∫λ ϕ ρ ν ϕ λ ϕ
λ
λ
ϕ
ϕ
λ
λ
ϕ
ϕ
1
2
1
2
1
2
1
2
cos
Cap. II - 80
( )
( )
( )
A a e
e
d= ⋅ − ⋅
⋅ −
− ⋅
⋅∫2 2 1
2 2
1
11
2
cos
sen
2ϕ λ λ
ϕ
ϕ
ϕ
ϕ
Cap. II - 81
2.7 SECCIÓN NORMAL Y LÍNEA GEODÉSICA SOBRE EL
ELIPSOIDE.
2.7.1 DEFINICIÓN DE SECCIÓN NORMAL.
Sea un punto A sobre la superficie del elipsoide y sea la dirección de la normal al elipsoide en A.
Para cualquier otro punto del elipsoide existe una sección normal que lo contiene.
Para un punto tal como el B, se define el plano normal de A a B como el que contiene a la
normal en A y al punto B sobre el elipsoide. Se ha definido un plano mediante una recta y un punto. Se

define la sección normal de A a B como la curva intersección del plano nomal de A a B y la superficie
del elipsoide de revolución.
Es evidente que el plano normal de B a A no coincidirá con el de A a B debido a que el segundo
se definiría por la normal al elipsoide en B y el punto A sobre el elipsoide. En consecuencia, la sección
normal de B a A no coincide con la de A a B.
En la mayor parte de los trabajos topográficos e incluso geodésicos se desprecia la desviación
relativa de la vertical debido a su pequeña magnitud y a las pequeñas correcciones que implica un
tratamiento riguroso con respecto a la precisión de los observables topográficos y geodésicos.
Al despreciar la desviación relativa de la vertical se asume que coinciden la dirección de la
vertical astronómica y la vertical geodésica, normal al elipsoide. Esto supone que el eje principal de un
instrumento de medida de ángulos, correctamente estacionado, materializará la dirección de la normal al
elipsoide. Por tanto, las direcciones que se observarán serán secciones normales.
Si se observase un triángulo geodésico, debido a la falta de coincidencia entre la sección normal
directa y recíproca entre cada dos vértices del mismo, no sepodría hablar propiamente de un triángulo tal
y como se desprende de Ilustración II-9. No se tendrían tres lados sino seis.
2.7.2 DEFINICIÓN DE LÍNEA GEODÉSICA.
El problema que se planteaba en el apartado anterior, duplicidad de la línea que une dos puntos
sobre el elipsoide, sección normal directa y recíproca, se resuelve con la línea geodésica.
Hay diferentes formas de definir la línea geodésica entre dos puntos sobre una superficie.
Muchas de estas definiciones exigen de mayores conocimientos en cuanto a geodesia geométrica. De
forma sencilla, línea geodésica entre dos puntos de una superficie se puede definir como la curva de
menor longitud que los une. En un plano sería una recta, en una superficie esférica sería un círculo
máximo y en un elipsoide sería una curva definida por tres ecuaciones diferenciales de las cuales
realizamos una deducción simplificada.
Sea la siguiente figura donde aparece representado un triángulo elipsódico ( los tres lados son
geodésicas ). Se puede demostrar que los meridianos son líneas geodésicas, pero no los paralelos.

Supóngase que la dirección del elemento inicial de la línea geodésica ds desde el punto A está
dada por el azimut A. Trázese desde el punto B’ el arco elemental de paralelo B’C. Las diferencias de
latitudes y longitudes de los puntos A y B’ están designadas por dϕ y dλ; la convergencia de meridianos
en el punto B’, por dA.
Partiendo del triángulo elemental AB’C se tendrá,
ρ ϕ
λ ν ϕ λ
⋅ ⋅
⋅ ⋅ ⋅ ⋅
d = ds cosA
r d = cos d = ds senA
Cap. II - 82
donde r es el radio del paralelo de latitud ϕ.
Teniendo en cuenta que el ángulo en el vértice B’ del triángulo CPB’ es igual a 90° menos dA,
se puede escribir,
cos tg(90 - ) = ctg d (90 - dA)
tg d sen = tg dA
dA = d sen =
ds sen A tg
ϕ λ
λ ϕ
λ ϕ
ϕ
ν
⋅
⋅
⋅
⋅ ⋅
c
Cap. II - 83
Finalmente se obtienen las tres ecuaciones diferenciales que definen la geodésica,
d
ds
d
ds
ϕ
ρ
λ
ν
ϕ
ν
ϕ
=
= ⋅
= ⋅
cos
sen
sec
sen
tg
A
A
dA
ds
A
Cap. II - 84
Este sistema de ecuaciones tiene un significado muy importante dado que es el sistema de
partida para resolver los problemas geodésicos directo e inverso a los que ya se hizo referencia en el
primer tema.

Una importante propiedad de la línea geodésica que se puede deducir a partir de las expresiones
anteriores y de la siguiente figura es el teorema de Clairaut: ‘ a lo largo de una línea geodésica de una
superficie de revolución el producto del radio del paralelo por el seno del acimut es una cantidad
constante para todo punto de la misma’.
En el plano del dibujo aparece representado el meridiano del punto A. Si designamos por r el
radio del paralelo del punto A, el radio del paralelo del punto C será r+dr, de acuerdo al dibujo la
expresión de dr es,
− = ⋅ ⋅dr d senρ ϕ ϕ
Cap. II - 85
donde el signo negativo implica que cuando aumenta la latitud disminuye el radio del paralelo.
Retómese una expresión anteriormente deducida,
cos A =
d
ds
ρ
ϕ
⋅
Cap. II - 86
Multiplicando ambos miembros de esta ecuación por r·dA,
r A dA = r
d
ds
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅cos ρ
ϕ
dA
Pero también se obtuvo que,
dA = sen dϕ λ⋅
Cap. II - 87
y, sustituyendo en el segundo miembro de la ecuación anterior,
r A dA = r
d
ds
⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅cos senρ
ϕ
ϕ λd
Cap. II - 88
Por otra parte también se obtuvo,

sen A = r
d
ds
⋅
λ
Cap. II - 89
Multiplicando ambos miembros por dr,
dr dr⋅ ⋅ ⋅sen A = r
d
ds
λ
Cap. II - 90
Si se sustituye la expresión de dr de Cap.II-85 en el segundo miembro,
dr d⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅sen senA = - r
d
ds
ρ
ϕ
ϕ λ
Cap. II - 91
Sumando Cap.II-88 y Cap.II-91 se llega a la siguiente ecuación diferencial,
r ⋅ ⋅ ⋅cos A dA + dr sen A = 0
Cap. II - 92
Que es el resultado de diferenciar con respecto a las dos variables, r y A, la expresión, (r·sen A)
y puesto que esta derivada está igualada a cero se concluye el teorema de Clairaut,
r ⋅ sen A = cte.
Cap. II - 93
2.8 TEOREMA DE EULER. RADIO DE CURVATURA DE UNA
SECCIÓN NORMAL CUALQUIERA SOBRE EL ELIPSOIDE.
Hasta este momento se ha visto la expresión de los radios de curvatura de dos tipos de secciones
normales características en un punto del elipsoide de revolución:
- ρ, radio de curvatura de la elipse meridiana, o sección normal de acimut geodésico 0. Esta
sección normal se puede demostrar que es además una geodésica.
- ν, radio de curvatura del primer vertical, acimut geodésico 90°, o también gran normal.
Estas son las secciones principales en el elipsoide de revolución pero interesará también el radio
de cualquier otra sección normal.
El propósito de este apartado es demostrar el teorema de Euler que permite obtener el radio de
curvatura de una sección normal de acimut geodésico A por la expresión,
1 2 2
R
A A
A
= +
cos sen
ρ ν
Cap. II - 94
Hasta alcanzar esta expresión han de estudiarse una serie de conceptos previos.

2.8.1 INDICATRIZ DE DUPIN. DIRECCIONES PRINCIPALES.
Considérese una superficie cualquiera definida por z=f ( x, y ).
Tómese el plano tangente en un punto M0 de esta superficie como plano xy ( z=0 ), y la normal a
este plano en M0 como eje z. En este sistema de ejes se puede escribir,
z h k= f ( x, y ) = f ( x y )0 0+ +,
Cap. II - 95
siendo h y k variaciones infinitamente pequeñas de las variables x e y alrededor del punto M0.
Si se desarrolla por Taylor,
z h k
h k f
h k= f ( x, y ) = f ( x y ) +
f
x
f
y
f
x
f
y x y
..0 0 2 2,
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂





 ⋅ +





 ⋅ +





 ⋅ +





 ⋅ +
⋅





 ⋅ ⋅ +
0 0
2
0
2 2
0
2 2
0
2 2
Cap. II - 96
Dado que se ha tomado el origen del sistema de coordenadas en el punto M0 , se tendrá que f
( x0, y0 ) = 0. Además, si el plano xy coincide con el plano tangente las derivadas primeras de la función f
particularizadas para un punto del plano tangente, como el M0, son nulas. Por tanto el desarrollo en serie
de Taylor se reduce a,
z
h k f
h k= f ( x, y ) =
f
x
f
y x y
..2 2
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
2
0
2 2
0
2 2
0
2 2





 ⋅ +





 ⋅ +
⋅





 ⋅ ⋅ +
Cap. II - 97
y, puesto que h y k son los incrementos de coordenadas x e y respectivamente de acuerdo al sistema de
ejes tomado,
z
x y f
x y= f ( x, y ) =
f
x
f
y x y
..2 2
∂
∂
∂
∂
∂
∂ ∂
2
0
2 2
0
2 2
0
2 2





 ⋅ +





 ⋅ +
⋅





 ⋅ ⋅ +
Cap. II - 98
Esta es la ecuación de un paraboloide referido a los ejes anteriormente citados y la coordenada z
es un infinitésimo de segundo orden con relación a x e y. Si z=0 el paraboloide se transforma en una
cónica. Su naturaleza será variable según la superficie estudiada y el punto considerado. Puede ser una
elipse, una parábola, una hipérbola o incluso dos rectas.
A este paraboloide se le conoce como Indicatríz de Dupín.
Aplicando un giro en el plano z=0 puede hacerse que adopte la forma,
z = a x' + b y'2 2
⋅ ⋅
Cap. II - 99
Se llamarán direcciones principales de una superficie en un punto M0 de la misma a las
direcciones de los ejes de simetría de la indicatríz de Dupín.
2.8.2 CURVATURA DE UNA CURVA PLANA CONTÍNUA.
Sea una curva plana contínua que admite como expresión y=f(x).

Considérese un cambio de ejes de forma que se tome como eje x la tangente y como eje y la
normal en un punto M0. Las coordenadas de un punto de la curva distanciado del anterior un diferencial h
será y = f ( x0 + h ), y desarrollando por Taylor,
y h= f ( x +
f
x
f
x
h
+ ...0 2
2
)
∂
∂
∂
∂





 ⋅ +





 ⋅
0
2
0
2
Cap. II - 100
Dado que el origen del sistema de coordenadas se ha situado en M0 se verifica que f ( x0 ) = 0.
Además, dado que el eje x tiene la dirección de la tangente la primera derivada particularizada en el punto
M0 se anula ( la pendiente es nula ). Puesto que h está en la dirección del eje x, la expresión se reduce a,
y =
f
x
h
+ ...2
2
∂
∂
2
0
2





 ⋅
Cap. II - 101
Si se desprecia el cuarto témino del desarrollo en serie de Taylor, para lo que h debe ser un
diferencial, se obtiene la siguiente ecuación,
2⋅ ⋅y
1
f ''
= x
0
2
Cap. II - 102
La ecuación de un circulo de radio R que contiene al punto M0 tiene por coordenadas del centro
( 0, R ) y por tanto su ecuación es,
( )x2 2
+ y - R = R2
Cap. II - 103
y, operando,
x2
+ y = 2 R y2
⋅ ⋅
Cap. II - 104
Pero en un entorno diferencial del punto M0 resulta que ( y ) es un infinitésimo de segundo
orden comparado con la x luego el cuadrado de ( y ) lo será de cuarto orden y podrá despreciarse. Esto
justifica que la ecuación del círculo se reduzca a,
x2
= 2 R y⋅ ⋅
Cap. II - 105
Este círculo se conoce como círculo osculador y su radio se obtiene según,
R
y
=
x
x 0
2
lim→ ⋅






2
Cap. II - 106
Identificando con la expresión Cap.II-102 el radio de curvatura de una curva plana contínua
sería,

R =
1
f ''0
Cap. II - 107
2.8.3 APLICACIÓN AL ELIPSOIDE DE REVOLUCIÓN.
En el elipsoide de revolución la indicatríz de Dupín en un punto M0 es una elipse que responde a
la siguiente figura.
Una de las secciones principales, la correspondiente al semieje mayor, por simetría, es el
meridiano que pasa por M0. El otro eje de simetría de la elipse es perpendicular al anterior, y por tanto
corresponde al primer vertical, se corresponde con el semieje menor.
Para calcular los radios de curvatura hay que servirse de la expresión analizada en el apartado
anterior,
R
y
=
x2
2⋅
Cap. II - 108
Se toman distintos planos para cada una de las curvas objeto de interés:
- Curva meridiana,
( )
R
M A
z
a
z1
0
2
2 2
=
2
⋅
=
⋅
= ρ
Cap. II - 109
- Primer vertical,
( )
R
M B
z
b
z2
0
2
2 2
=
2
⋅
=
⋅
= ν
Cap. II - 110
- Para una sección cualquiera,

( )R
M N
zN =
2
0
2⋅
Cap. II - 111
La ecuación de la indicatríz de Dupín es:
x
a
y
b
2
2
2
2 1+ =
Cap. II - 112
Sustituyendo de las ecuaciones de R1 y R2, se obtiene,
x
R z
y
R z
x
R
y
R
z
2
1
2
2
2
1
2
2
2 2
1
2
⋅ ⋅
+
⋅ ⋅
=
+ = ⋅ ⋅
Cap. II - 113
Dado que el punto N pertenece a la elipse podemos se pueden obtener sus coordenadas según,
x N
y N
N
N
= M
= M
0
0
⋅
⋅
cos
sen
θ
θ
Cap. II - 114
Sustituyendo estas coordenadas en la ecuación de la elipse sellega a,
( ) ( )
( )
M N
R
M N
R
R R M N
0
2 2
1
0
2 2
2
2
1
2
2
0
2
⋅
+
⋅
= ⋅
+ =
⋅
=
cos sen
cos sen
θ θ
θ θ
2 z
2 z 1
R
Cap. II - 115
Se ha alcanzado la expresión del teorema de Euler.
1 2 2
R
A A
A
= +
cos sen
ρ ν
Cap. II - 116
Un radio medio muy utilizado es el obtenido por la expresión,
Rm = ρ ν⋅
Cap. II - 117

Definición de escenarios geodesia topografía

Definición de escenarios geodesia topografía

Recomendados

Recomendados

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Mais procurados (20)

Semelhante a Definición de escenarios geodesia topografía

Semelhante a Definición de escenarios geodesia topografía (20)

Último

Último (20)

Definición de escenarios geodesia topografía