2. LA ELIPSE
• LA ELIPSE
• La elipse es el lugar geométrico
de los puntos del plano cuya
suma de distancias a dos
puntos fijos llamados FOCOS
es una constante.
• PF+PF’ = 2a
• Elementos
• Semieje mayor: a
• Semieje menor: b
• Semidistancia focal: c
• Focos: F(0, c) , F(0, -c)
• Vértices: A(a, 0), A’(-a, 0),
• B(0, b), B’(0, -b)
B
F’ A
X
Y
P(x, y)
2b
A’ F
2c
B’
2a
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3. RELACIÓN FUNDAMENTAL
• RELACIÓN FUNDAMENTAL
• Por definición, la suma de
distancias de cualquier punto a los
focos F y F’ es 2a.
• PF+PF’ = 2.a
• Tomamos el vértice superior B(0, b)
y tenemos que se nos forma un
triángulo rectángulo.
• Por Pitágoras:
a2 = b2 + c2
• Excentricidad
• Se define como la relación:
• e = c / a
• Como siempre c < a
• 0 < e < 1 en una elipse
B(0, b)
a b a
A’ F’ F A
X
Y
2c
B’
2a
c
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4. ECUACIÓN REDUCIDA
P(x, y)
F A
X
Y
• ECUACIÓN REDUCIDA
• Se considera el origen de coordenadas O(0, 0) el
• Se aplica la definición, dándose cuenta de que
cada distancia del punto P(x,y) a los focos es una
hipotenusa de triángulos rectángulos:
F’
y
B’
b
x
centro geométrico de la elipse.
• PF+PF’ = 2.a
• √((x+c)2+ y2)) + √((c – x)2+ y2))=2.a
• √((x+c)2+ y2)) = 2.a – √((c – x)2+ y2))
• Elevando todo al cuadrado:
• x2+ 2xc+c2 + y2 = 4a2 + x2– 2xc+c2 + y2 – 4.a√(c2 – 2xc + x2+ y2)
• xc – a2 = – a√(c2 – 2xc + x2+ y2)
• x2c2 – 2xca2 + a4 = a2c2 – 2xca2 + x2a2+ y2a2 Como c2 = a2 – b2
• x2a2 – x2b2 + a4 = a4 – a2b2 + x2a2+ y2a2
• Quedando: x2b2 + y2a2 = a2b2
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5. Ejercicios
• Hallar la ecuación de la elipse cuyos datos conocidos son:
• 1º.- Vértices: A(5,0), A’(-5,0), B(0, 3) y B’(0, -3)
• El centro de la elipse es C((5+(-5))/2, (3+(-3))/2) ,, C(0,0)
• Eje mayor: 2.a = 10 ,, a =5 ,, Eje menor: 2b = 6 ,, b = 3
• Ecuación: b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 9x2 + 25y2 = 225
• 2º.- Vértices: A(5,0), A’(-5,0),, Focos: F(3, 0) y F’(-3, 0)
• El centro de la elipse es C((5+(-5))/2, 0) ,, C(0,0)
• Semieje mayor: a = 5 ,, Distancia focal: 2c = 6 c =3
• Semieje menor: b = √ (52 – 32 ) = 4
• Ecuación: b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 16x2 + 25y2 = 400
• 3º.- Centro: C(0,0),, Focos: F(3, 0), F’(-3, 0) y P(4, 2’4)
• Ecuación: b2 x2 + a2 y2 = a2 b2 16.b2 + 5’76.a2 = a2.b2
• Relación: a2 = b2 + c2 a2 = b2 + 9
• Resolviendo el sistema: b2 = 16 ,, b = 4 y a2 = 25 ,, a = 5
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6. ECUACIÓN GENERAL
X
Y
P(x, y)
F
F’
• ECUACIÓN REDUCIDA
• Teníamos: x2b2 + y2a2 = a2b2
• Dividiendo todo entre a2b2
• Queda: x2 y2
• --- + --- = 1
• a2 b2
• ECUACIÓN GENERAL
• Lo normal es que el centro de la elipse
• no sea el origen de coordenadas:
• Resultando: (x – k)2 (y – h)2
• --------- + ---------- = 1
• a2 b2
• ECUACIÓN DESARROLLADA
• Operando en la ecuación general:
• x2b2 + y2a2 – 2kb2x – 2ha2y + (b2k2 + a2h2 – a2b2) = 0
• Que es la ecuación general desarrollada.
O
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7. Ejercicios
• Hallar la ecuación de la elipse cuyos datos conocidos son:
• 4º.- Vértices: A(8,3), A’(-8,3), B(0, 7) y B’(0, -1)
• El centro de la elipse es C((8+(-8))/2, (7+(-1))/2) ,, C(0,3)
• Eje mayor: 2.a = 16 ,, a =8 ,, Eje menor: 2b = 8 ,, b = 4
• Ecuación: b2 x2 + a2 (y – 3)2 = a2 b2
16x2 + 64y2 – 384y + 576 – 1024 = 0
Simplificando entre 16 queda: x2 + 4y2 – 14y – 28 = 0
• 5º.- Vértices: A(17,2), A’(-9,2),, Distancia focal: 2c=10
• El centro de la elipse es C((17+(-9))/2, 2) ,, C(13,2)
• Semieje mayor: a = (17 – (– 9))/2 = 26/2 = 13
• Semieje menor: b = √ (a2 – c2 ) = √ (132 – 52 ) = 12
• Ecuación: b2 (x – k)2 + a2 (y – h)2 = a2 b2
• 144 (x – 13)2 + 169 (y – 2)2 = 144.169
• 144x2 + 169y2 – 3744x – 676y + 676 = 0
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