Interes compuesto iafic_2010

CORPORACIÓN UNIVERSITARIA REGIONAL DEL CARIBE Código:
IAFIC CONTABILIDAD Y FINANZAS – ADMINISTRACIÓN DE EMPRESAS
Sincelejo, Sucre Versión:
01
INTERÉS COMPUESTO Fecha:
24-05-2010

2. INTERÉS COMPUESTO
2.1 DEFINICIÓN
Como ya lo vimos, en el interés simple el valor presente (P) permaneces constante
durante todo el tiempo que dura la transacción, ahora, para el caso del interés compuesto,
los intereses devengados en cada período se suman o añaden (capitalizan) al valor
presente del período anterior, calculando cada vez un interés sobre un valor presente
mayor.

Lo anterior se puede ilustrar con el siguiente ejemplo:

Ejemplo 1:

Una cooperativa financiera de la ciudad ha realizado un préstamo a un comerciante por
n
un valor $1.000.000 a una tasa de interés del 27% anual (2,25% mensual). ¿Cuánto
mensual)
deberá pagar el comerciante a la cooperativa mensualmente durante 6 meses?
gar

Tabla de amortización

Mes Valor presente Interés producido al mes Valor futuro
(P) (I) (F)
0 $1.000.000,00 $ 0,00 $1.000.000,00
1 $1.000.000,00 $22.500,00 $1.022.500,00
2 $1.022.500,00 $23.006,25 $1.045.506,25
3 $1.045.506,25 $23.523,89 $1.069.030,14
4 $1.069.030,14 $24.053,18 $1.09
1.093.083,32
5 $1.093.083,32
93.083,32 $24.594,37 $1.117.677,69
17.677,69
6 $1.117.677,69
17.677,69 $25.147,75 $1.142.825,44
42.825,44

2.2 FÓRMULA Y DEFINICIÓN DE VARIABLES
F = P (1+i)n

Donde:

F = Valor futuro
P = Valor presente
i = Tasa de interés por período
n = Número de períodos

Mg. Jorge Sánchez Noguera Página 1

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24-05-2010

2.3 DIAGRAMA DE FLUJO DE CAJA
El diagrama de flujo de caja que representa la transacción a interés compuesto del
ejemplo anterior sería:

P=$1.000.000
i = 27% anual

1 2 3 4 5 6 meses

F1=$1.022.500,00
1.022.500,00

F2=$
=$1.045.506,25

F3=$1.069.030,14

F4=$1.093.083,32

F5=$1.117.677,69
17.677,69

F6=$1.142.825,44
=$
Ejemplo 2:

¿Cuál es el valor futuro de $2.500.000 en 3 años a una tasa de interés del 29% anual, si
el interés se capitaliza anualmente?

Fórmula:

F = P (1+i)n

Donde:

F =?
P = $2.500.000
i = 29% anual
n = 5 años

Reemplazando:

F = $2.500.000(1+0,29)5
F = $2.500.000(1,29)5
F = $2.500.000(3,572305165)
F = $8.930.762,91


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24-05-2010

Diagrama de flujo de caja:

Para el caso anterior tenemos:

F = $8.930.762,91
i = 29% anual

1 2 3 4 5 años

P = $2.500.000

Ejemplo 3:

¿Cuál es el valor futuro de $1.700.000 depositados en un banco comercial durante 4
años, al 18% anual, capitalizable trimestralmente?

Solución:

Fórmula:

F = P (1+i)n

Donde:

F =?
P = $1.700.000
i = 18% anual (18%/4 trimestres = 4,5% trimestral)
n = 4 años (4 años x 4 trimestres del año = 16 trimestres)

Reemplazando:

F = $1.700.000(1+0,045 16
045)
F = $2.500.000(1,045)16
F = $2.500.000(2,022370153)
2,022370153)
F = $3.438.029,26


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Diagrama de flujo de caja
caja:

F = $3.438.029,26
i = 4,5% trimestral

1 2 14 15 16 trimestres

P = $1.700.0000
1.700.0000

Ejemplo 4:

Si una entidad financiera recibe de una cooperativa $5.000.000 que reconoce el 15%
anual de interés, capitalizable bimestralmente, ¿cuánto tendrá que pagar la entidad
financiera al cabo de dos años?

Solución:

Fórmula:

F = P (1+i)n

Donde:

F =?
P = $5.000.000
i = 15% anual (15%/6 bimestres = 2,5% bimestral)
n = 2 años (2 años x 6 bimestres del año = 12 bimestres)

Reemplazando:

F = $5.000.000(1+0,025)12
F = $5.000.000(1,025)12
F = $5.000.000(1,344888824)
F = $6.724.444,12


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Diagrama de flujo de ca
caja:

P = $5.000.000 i = 2,5 bimestral

1 2 10 11 12 bimestres

F = $6.724.444,12

2.4 VALOR PRESENTE
En algunos negocios financieros necesitaremos conocer el valor presente dado un valor
futuro (pago único) después de n períodos a una tasa de interés i.

Fórmula:

Ya conocemos que:

F = P (1+i)n

Ahora despejamos P (Valor presente) y obtenemos:

[ ]
1

P=F (1 + i)n

Diagrama de flujo:

F
i=%

1 2 n-2 n-1 n
P=?


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Ejemplo 5:

¿Cuánto se debe invertir hoy en una cooperativa financiera que reconoce el 14,4% de
interés anual capitalizable trimestralmente para obtener un valor acumulado dentro de 4
años de $6.200.000?

Solución:

Fórmula:

P = F (1/(1 + i)n)

Donde:

F = $6.200.000
P =?
i = 14,4% anual (14,4%/4 trimestres = 3,6% trimestral)
n = 4 años (4 años x 4 trimestres del año = 16 trimestres)

Reemplazando tenemos:

P = $6.200.000 (1/(1+0,036)16)
0,036)
P = $6.200.000 (1/(1,036)16)
P = $6.200.000 (1/(1,760986743)
P = $6.200.000 (0,5678634459)
P = $3.520.753.36


F = $3.520.753,36
i = 3,6% trimestral

1 2 14 15 16 trimestres
P = $6.200.000

2.5 TASA DE INTERÉS NOMINAL Y EFECTIVA
La tasa de interés expresada sobre la base de un año con períodos de capitalización
semestral, trimestral, mensual, entre otros, se denomina tasa de interés nominal. En
cambio, la tasa que determina el interés periódico que realmente debe sumarse al valor
presente al momento de la liquidación se denomina tasa de interés efectiva.
efectiva


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24-05-2010

Para entender mejor, veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 6:

Si una entidad financiera entrega en préstamo la suma de $6.000.000 a la tasa del 18%
anual capitalizable trimestralmente, ¿cuánto recibirá al final de un año?

Solución:

Fórmula:

F = P (1 + i)n

Donde:

F =?
P = $6.000.000
i = 18% anual (18%/4 trimestres = 4,5% trimestral)
n = 1 año (1 año x 4 trimestres del año = 4 trimestres)

Reemplazando:

F = $6.000.000(1+0,045)4
F = $6.000.000(1,045)4
F = $6.000.000(1,192518601)
F = $7.155.111,60

Explicación:

$7.155.111,60 es lo que efectivamente la entidad financiera recibirá al finalizar un año.
Ahora, la tasa nominal fue del 18% anual capitalizable trimestralmente, pero la pregunta
que nos debemos hacer, es: ¿cuál es la tasa efectiva que cobra realmente la entidad
financiera?

Solución:

i = (F – P / P) 100


i = ($7.155.111,60 - $6.000.000 / $6.000.000) 100
i = ($1.155.111,60 / $6.000.000) x 100
i = 19,25% es la tasa efectiva anual que la entidad financiera está cobrando


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2.6 INTÉRES EQUIVALENTE
Ahora bien, en diversas transacciones financieras habrá necesidad de convertir tasas de
interés nominales a efectivas equivalentes o tasa de interés efectivas a nominales
equivalentes. Veamos:

2.6.1 Conversión de una tasa nominal a una tasa
.1
efectiva anual equivalente.
Hallar la tasa efectiva anual equivalente a la tasa nominal del 24% anual capitalizable
semestralmente, trimestralmente y mensualmente.

Fórmula:

i = (1 + r/m)m - 1

Donde:

r = Tasa de interés nominal
m = Número de períodos

Solución:

Semestralmente

i = (1 + 0,24/2)2 - 1
i = (1 + 0,12)2 - 1
i = (1,12)2 - 1
i = (1,2544) - 1
i = 0,2544 es decir 25,44% efectiva anual

Trimestralmente

i = (1 + 0,24/4)4 - 1
i = (1 + 0,06)4 - 1
i = (1,06)4 - 1
i = (1,26247696) - 1


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24-05-2010

Mensualmente

i = (1 + 0,24/12)12 - 1
i = (1 + 0,02)12 - 1
i = (1,02)12 - 1
i = (1,268241795) - 1

NOTA: La tasa efectiva anual es igual a la tasa nominal cuando se capitaliza anualmente.

2.6.2 Conversión de una tasa efectiva anual en una
tasa nominal equivalente
equivalente.
Fórmula:

r = m ((1 + i)1/m – 1)

r = Tasa nominal
i = Tasa efectiva

Hallar la tasa nominal r capitalizable semestralmente, trimestralmente y mensualmente,
equivalente a una tasa efectiva anual del 39,24%.

Semestralmente

r = 2 ((1 + 0,3924)1/2 – 1)
r = 2 ((1,3924)1/2 – 1)
r = 2 ((1,18) – 1)
r = 2 (0,18)
r = 0,36 es decir 36% anual capitalizable semestralmente

Trimestralmente

r = 4 ((1 + 0,3924)1/4 – 1)
r = 4 ((1,3924)1/4 – 1)
r = 4 ((1,086278049) – 1)


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r = 4 (0,08627804912)
r = 0,345 es decir 34,5% anual c
capitalizable trimestralmente

Mensualmente

r = 12 ((1 + 0,3924)1/12 – 1)
r = 12 ((1,3924)1/12 – 1)
r = 12 ((1,027969749) – 1)
r = 12 (0,02796974919)
r = 0,335 es decir 33,5% anual capitalizable mensualmente

2.7 CAPITALIZACIONES ANTICIPADAS
En diferentes transacciones financieras seguramente se pacta el cobro de los intereses en
forma anticipada. Lo anterior significa que si un Banco nos presta la suma de $100 al 3%
mensual anticipado, la entidad crediticia descontará $3 y nos e entregara el valor
excedente, es decir $97. Bajo estas circunstancias la tasa de interés efectiva será mayor
ya que los períodos de capitalización se inician inmediatamente en el período cero (0).

En las transacciones financieras realizadas con capitalizaciones anticipadas, para efectos
capitalizaciones
de encontrar la tasa efectiva, el interés descontado debe considerarse como un
descuento.

Para ilustrar este caso veamos el siguiente ejemplo:

Un comerciante recibe un préstamo por valor de $4.000.000, a 3 meses de plazo, a una
plazo
tasa de interés del 24% anual, con capitalizaciones anticipadas. Hallar la tasa efectiva del
préstamo.

Tabla de amortización

Período Valor neto del Descuento Valor Futuro
n préstamo anticipado F
0 $3.920.000 $ 80.000 $4.000.000
1 $ 81.600 $4.080.000
2 $ 83.232 $4.161.600
3 $ 0 $4.244.832
Total intereses pagados: $244.832


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24-05-2010


P = $3.920.000 I = 24% anual

0 1 2 3 meses

F0 = $4.000.000
4.000.000

F1 = $4.080.000

F2 = $4.161.600

F3 = $4.244.832
4.244.832

Ahora, para averiguar la tasa de interés efectiva, pueden ocurrir dos situaciones: La
primera, que conozca la tasa nominal y quiera averiguar la tasa efectiva. La segunda, que
conozca la tasa efectiva y quiera averiguar la tasa nominal. Veamos:

Primera situación:
Obtener la tasa efectiva anual equivalente de una tasa nominal cuando las
capitalizaciones son anticipadas semestralmente, trimestralmente y
mensualmente.

Ejemplo: Hallar la tasa efectiva de interés equivalente a una tasa nominal del 33% anual,
anual
cuando las capitalizaciones son anticipadas semestralmente, trimestralmente y
mensualmente.

Fórmula:

i = (1 – r/m)-m - 1

Donde:

i = Tasa efectiva
r = Tasa nominal

Capitalización anticipada en forma semestral


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24-05-2010

i = (1 – 0,33/2)-2 – 1
i = (1 – 0,165)-2 – 1
i = (0,835)-2 – 1
i = 1,434257234 – 1
i = 0,434 es decir 43,4% tasa efectiva de inter anual
interés

Capitalización anticipada en forma trimestral

i = (1 – 0,33/4)-4 – 1
i = (1 – 0,0825)-4 – 1
i = (0,9175)-4 – 1
i = 1,411158215 – 1
% interés

Capitalización anticipada en forma mensual

i = (1 – 0,33/12)-12 – 1
i = (1 – 0,0275)-12 – 1
i = (0,9725)-12 – 1
i = 1,397412681 – 1
% interés

Segunda situación:
Obtener la tasa nominal equivalente de una tasa efectiva anual cuando las
capitalizaciones son anticipadas semestralmente,
semestralmente, trimestralmente y
mensualmente.

Para ilustrar el caso anterior, veamos el siguiente ejemplo:

Ejemplo 7:

Una compañía financiera reconoce a sus clientes el 38,08% efectivo anual capitalizable
trimestralmente por anticipado. ¿Cuál es la tasa nominal equivalente?

Fórmula:

r = m (1 – (1 + i)-1/m)


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24-05-2010

Donde:

i = Tasa de interés


r = 4 (1 – (1 + 0,3808)-1/4)
4
-1/4
r = 4 (1 – (1,3808) )
r = 4 (0,0775)
r = 0,31 es decir 31% tasa nominal anual capitalizable trimestralmente por anticipado

2.8 CASOS ESPECIALES
2.8.1 Calcular el número de períodos. En algunas
operaciones financieras a interés compuesto es posible que desconozcamos el número
de períodos de capitalización. Para ilustrar la presente situación, veamos el siguiente
ejemplo:

Un industrial de la región invirtió la suma de $550.000 en una entidad financiera que le
reconoce el 33% anual con capitalizaciones mensuales. ¿Cuánto tiempo deberá
permanecer el dinero en dicha entidad financiera para obtener $1.718.698?
rmanecer

Solución:

Fórmula:

n = log (F/P) / Log (1 + i)

P = $550.000
F = $1.718.698
i = 33% anual, es decir 2,75% mensual
n =?


n = log ($1.718.698 / $550.000) / Log (1 + 0,0275)
n = log ($3.124905455) / Log (1,
3.124905455) (1,0275)
n = 0.4948368821 / 0.01178183055
n = 42 meses aproximadamente, es decir 3,5 años (42 meses / 12 meses)

2.8.2 Calcular la tasa de interés. Otra de las situaciones que se
q
pueden encontrar en las transacciones financieras a interés compuesto, ocurre cuando se
desconoce la tasa de interés. Veamos el siguiente caso:


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24-05-2010

Un comerciante invirtió en una cooperativa financiera $3.450.000 y al cabo de 36 meses
obtuvo $5.896.529,60. ¿Cuál fue la tasa de interés capitalizable mensualmente que le
60.
reconoció la cooperativa financiera?

Solución:

Fórmula:

Log (1 + i) = Log (F / P) / n

F = $5.896.529,60
P = $3.450.000
i = ¿?
n = 36 meses


Log (1 + i) = Log ($5.896.
$5.896.529,60 / $3.450.000) / 36
Log (1 + i) = Log (1.709139014 / 36
(1.709139014)
Log (1 + i) = 0.2327773879 / 36
Log (1 + i) = 0.0064660385

Ahora encontramos el inversos de 0.0064660385

1.014999991 = 1 + i

Ahora resolvemos:

i = 1 – 1.014999991
i = 0.015 es decir 1.5% mensual


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24-05-2010

PARA RECORDAR
1. Fórmula para calcular el interés compuesto (F)

F = P (1+i)n

2. Fórmula para calcular el valor presente (P)

P = F (1/(1 + i)n)

3. Fórmula para calcular la tasa efectiva anual

i = (F – P / P) 100

4. Fórmula para convertir la tasa efectiva anual equivalente a la tasa nominal

i = (1 + r/m)m - 1

5. Fórmula para convertir la tasa nominal anual equivalente a la tasa efectiva

r = m ((1 + i)1/m – 1)

6. Fórmula para obtener la tasa efectiva anual equivalente de una tasa nominal
equivalente
cuando las capitalizaciones son anticipadas

i = (1 – r/m)-m - 1

7. Fórmula para obtener la tasa nominal equivalente de una tasa efectiva anual
cuando las capitalizaciones son anticipadas

r = m (1 – (1 + i)-1/m)

8. Fórmula para calcular el número de períodos (n)

n = log (F/P) / Log (1 + i)

9. Fórmula para calcular la tasa de interés (i)

Log (1 + i) = Log (F / P) / n


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24-05-2010

EJERCICIOS
1. Una compañía constructora del país se ha comprometido a construir un puente en un
importante municipio del departamento de Sucre cuyo valor se ha calculado en
$300.000.000. Para lograrlo se ha visto obligada a solicitar un préstamo a una entidad
financiera de la localidad para cubrir un 45% del valor de la obra, a una tasa de interés del
ciera
16% anual capitalizable trimestralmente con un plazo de 2 años. ¿Cuánto deberá
cancelar la compañía constructora al vencimiento del plazo pactado?

2. Una importante empresa artesanal del municipio de Sampues desea exportar sus
productos al mercado europeo, para ello ha recurrido al sector financiero de la ciudad de
Sincelejo para buscar apoyo en la financiación de sus exportaciones. La entidad
financiera ha decidido aprobarle un préstamo con la condición de que cancele dentro de
un año la suma de $65.000.000 a una tasa del 18% anual capitalizable semestralmente.
¿Cuánto dinero le ha prestado?

3. ¿Un inversionista de la ciudad de Corozal nos pregunta: ¿Cuántos añ debe colocar
años
una inversión de $6.200.000 en una cooperativa financiera para triplicar su valor si la tasa
de interés pactada es del 28% anual capitalizable bimestralmente?

4. En una importante emisora de la ciudad de Sincelejo se escucha la siguiente
publicidad: “Venga a nuestro Banco e invierta su ahorros, en 3 años duplicaremos
Banco… ,
su dinero con capitalizaciones trimestrales” ¿Qué tasa de interés reconoce el
Banco…?

5. Un comerciante de la ciudad de Tolú desea saber: ¿Qué es más rentable: invertir un
dinero en una entidad financiera que reconoce el 27% anual capitalizable mensualmente
sobre saldo vencido, o al 27% anual capitalizable mensualmente en forma anticipada?

NOTA: Para cada uno de los casos anteriores, realizar el correspondiente diagrama de
flujo de caja.

¡ÉXITOS!


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