El tema de parábola esta dirigido para los estudiantes del II SEMESTRE en el área de MATEMATICAS, de la Carrera de Administración Industrial

1. ECUACION DE LA PARÁBOLA
Jaime Mayhuay castro
Instructor

2. DEFINICIÓN
Es el conjunto de puntos
P(x,y) de tal manera que
la distancia de P(x,y) a
otro punto llamado
FOCO es igual a la
distancia de P(x,y) a la
recta llamada DIRECTRIZ
• AF = AA’
• BF = BB’
• CF = CC’

3. ELEMENTOS DE LA PARÁBOLA
Eje de simetría: es la recta
que pasa por el foco y el
vértice.
Vértice: es el punto donde
la parábola interseca a su
eje de simetría.
Lado recto: es una cuerda
focal perpendicular al eje de
la parábola.

4. ECUACION DE LA PARÁBOLA
Vértice en el origen
pyx 42

• Vértice en el origen
• Eje de simetría el eje y.
• Foco F(0,p)
• Directriz la recta y = -p
Si p > 0 se abre hacia arriba
Si p < 0 se abre hacia abajo

5. ECUACION DE LA PARÁBOLA
Vértice en el origen
pxy 42

• Vértice en el origen.
• Eje de simetría el eje x.
• Foco F(p,0)
• Directriz la recta x= - p
Si p > 0 se abre hacia arriba
Si p < 0 se abre hacia abajo

6. ECUACION DE LA PARÁBOLA
Vértice fuera del origen
• Vértice en V(h, k).
• Foco F(h, k+p).
• Directriz y = k-p es:
Si p > 0 se abre hacia arriba
Si p < 0 se abre hacia abajo
   kyphx  4
2

7. ECUACION DE LA PARÁBOLA
Vértice fuera del origen
• Vértice en V(h,k).
• Foco F(h+p,k).
• Directriz x= h-p
Si p > 0 se abre hacia arriba
Si p < 0 se abre hacia abajo
   hxpky  4
2

8. EJEMPLO 1
De la ecuación y2 = 4x
4p=4 p= 1 > 0
b) V(0;0). c) F(1;0)
d) Directriz. x=-1
e) I4pI = 4Hallar
a) La gráfica.
b) Su vértice.
c) Su foco.
d) Ec. directriz.
e) LLR.( Long. Lado recto)

9. EJEMPLO 2
La ecuación x2 = -12y
4p=-12 p= -3 < 0
b) V(0;0). c) F(0;-3)
d) Directriz. y= 3
e) I4pI = 12Hallar
a) La gráfica.
b) Su vértice.
c) Su foco.
d) Ec. directriz.
e) LLR.( Long. Lado recto)

10. EJEMPLO 3
De la Ec. x2 + 20y = 0
Hallar :
a) La gráfica ,
b) Su vértice,
c) Su foco,
d) La ec, de la directriz.
e) La LLR.
x2 = - 20y
4p=-20 p= -5 < 0
b) V(0;0). c) F(0;-5)
d) Directriz. y= 5
e) I4pI = 20

11. EJEMPLO 4
De la Ec. (y -3) 2 = 4(x-4)
Hallar :
a) La gráfica ,
b) Su vértice,
c) Su foco,
d) La ec, de la directriz.
e) La LLR.
4p= 4 p= 1 > 0
b) V(4;3). c) F(5;3)
d) Directriz. x= 3
e) I4pI = 4

12. EJEMPLO 5
De la ecuación (x+2) 2 = -12(y-3)
Hallar :
a) La gráfica ,
b) Su vértice,
c) Su foco,
d) La ec, de la directriz.
e) La LLR.
4p= -12 p= -3 < 0
b) V(-2;3)
c) F(-2;3-3) F(-2;0)
d) Directriz. y= 6
e) I4pI = 4
3
-2
y=6

13. EJEMPLO 6
Hallar el vértice y el foco de la parábola:
x2 - 20y = 20
b) V(0;-1).
4p= 20, p= 5>0
Se abre hacia arriba
c) F(0;-1+5) = F(0,4)
Despejando: x2 =20y+20
Factorizando: x2 =20(y +1)
x2 =20(y +1)

14. EJEMPLO 7
Hallar el vértice y el foco de la parábola.
y2 +6x +10y +31 =0
De y2 +6x +10y +31 =0
Ordenando:
y2 +10y + 6x +31 =0
Completo cuadrados
y2 +10y +25 =-6x -31+25
(y+ 5) 2 =-6x -6
(y+ 5) 2 =- 6 (x +1)
V(-1; -5)
4p=-6 p= -3/2
Se abre a la izquierda
F(-1-3/2;-5)
F(-5/2;-5)

15. EJEMPLO 8
Hallar la longitud del lado recto de la parábola.
y2 -4x - 2y -11 = 0
De y2 -4x - 2y -11 = 0
Ordenando:
y2 -2y – 4x -11 = 0
Completo cuadrados
y2 -2y +1 = 4x +11+1
(y - 1) 2 = 4x+12
(y -1) 2 = 4 (x + 3)
La longitud del lado
recto (LLR)
I 4p I = 4

16. Ejemplo 9
Encontrar la ecuación de la parábola con vértice
en el origen, cuyo foco es el punto F(O,3) y la
directriz es paralela al eje x. Grafiquemos la
parábola
Foco F(0;3) y Vértice
V(0,0)
Donde: p = 3
La ecuación tiene la forma:
x2 = 4py
x2 = 4(3)y
La ecuación sería
x 2 = 12 y

17. Ejemplo 10
Encontrar la ecuación de la parábola con vértice
V(-6,-1) y directriz y=2
-6
-1
y=2
Vértice V(-6,-1)
Directriz: y = 2
Donde p =- 3 (abre hacia abajo)
La ecuación sería
(x+6)2 = -4(3)(y+1)
( x + 6)2 = -12(y+1)
3

18. EJEMPLO 11
De la parábola hallar el vértice y el foco
y2 + 2y – 16x – 47 = 0 .
De y2 + 2y – 16x – 47 = 0
Ordenando:
y2 + 2y = 16x +47
Completo cuadrados
y2 +2y +1 = 16x +47+1
(y + 1) 2 = 16x+48
(y +1) 2 = 16 (x + 3)
V(-3; -1)
4p=16 p= 4
Se abre a la derecha
F(-3+4;-1)
F(1;-1)

19. Ejemplo 12
De la parábola hallar el vértice y el foco
x2+ 2x – 4y + 9 = 0
De x2+ 2x – 4y + 9 = 0
Ordenando:
x2 + 2x = 4y -9
Completo cuadrados
x2 +2x +1 = 4y -9 +1
(x + 1) 2 = 4y - 8
(x +1) 2 = 4 (y -2)
V(-1; 2)
4p=4 p= 1
Se abre hacia arriba
F(-1;2+1)
F(-1;3)

20. PROBLEMA 13
Una parábola, de vértice V(-3,0) y cuyo eje
focal es el eje X. Si la parábola pasa por los
puntos A(1,4) y B(–1,k), halle k.
La ecuación seria :
A(1,4) pasa por la parábola:
Resolviendo p=1
La ecuación:
 342
 xpy
 31442
 p
 342
 xpy
Pero B(-1;k) pasa por la parábola:
El valor de K es
 3142
k
8K

21. MUCHAS GRACIAS