Números Reales

1. República Bolivariana De Venezuela
Ministerio Del Poder Popular Para La Educación
Universidad Politécnica Territorial Andrés Eloy Blanco
Barquisimeto, Estado – Lara
Números Reales
Estudiante: Ismar Torres
CI: 31877654
Sección CO0124
Profesora: María Alejandra Carruido

2. Conjunto
Un conjunto señala a la totalidad de los entes que tienen una propiedad común. Un
conjunto está formado por una cantidad finita o infinita de elementos, cuyo orden es
irrelevante. Los conjuntos matemáticos pueden definirse por extensión (enumerando uno
a uno todos sus elementos) o por comprensión (se menciona sólo una característica
común a todos los elementos).
Operaciones con conjuntos
UNIÓN DE CONJUNTOS
Se llama UNIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por los elementos de A o
de B, es decir:
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c, d, e, f} y B={b, d, r, s}
Entonces está formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B.
Luego,
INTERSECCIÓN DE CONJUNTOS
Se llama INTERSECCIÓN de dos conjuntos A y B al conjunto formado por objetos que
son elementos de A y de B, es decir:

3. En la imagen la intersección es la parte obscura de la misma.
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c, e, f}, B = {b, e, f, r, s} y
C = {a, t, u, v}.
Encuentre:
Como la intersección está formada por los elementos comunes de ambos conjuntos, se
tiene que:
Cuando dos conjuntos no tienen elementos en común como B y C en el ejemplo anterior,
se denominan Conjuntos disjuntos.
DIFERENCIA DE CONJUNTOS
Dados dos conjuntos A y B, se llama DIFERENCIA al conjunto:
Luego A-B se llama complemento de B con respecto a A.

4. En el diagrama de Venn A-B está representado por la zona rayada.
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c} y B = {b, c, d, e}. Entonces:
A – B = {a} y B – A = {d, e}.
Asimismo, se llama DIFERENCIA SIMÉTRICA entre A y B al conjunto
En el diagrama de Venn la diferencia simétrica está representada por las regiones menos
oscuras. (Lo que no tienen en común).
Ejemplo:
Sean A = {a, b, c, d} y B = {a, c, e, f, g}.
Entonces
COMPLEMENTO DE UN CONJUNTO

5. Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A ' formado por
todos los elementos de U, pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U.
Simbólicamente se expresa:
Ejemplos:
a) Sean U = {m, a, r, t, e } y A = {a, e }
Su complemento de A es: A' = {m, t, r}
b) Sean U = {letras de la palabra aritmética} y A = { e, i, a }
Determinado por extensión tenemos
U = {a, r, i, t, m, e, c} A = { e, i, a }
Su complemento es: A' = {r, t, m, c}

6. En forma gráfica
Números reales
Los números reales se dice que son cualquier número que se encuentre o corresponda
con la recta real que incluye a los números racionales y números irracionales, Por lo
tanto, el dominio de los números reales se encuentra entre menos infinito y más infinito.
Las principales características de los números reales son:
 Orden. Todos los números reales siguen un orden, por ejemplo 1, 2, 3, 4 …
 Integral. La integridad de los números reales marca que no hay espacios vacíos, es
decir, cada conjunto que dispone de un límite superior tiene un límite más pequeño.
 Infinitos. Los números reales no tienen final, ni por el lado positivo ni por el lado
negativo. Por eso su dominio está entre menos infinito y más infinito.
 Decimal. Los números reales pueden ser expresados como una expansión decimal
infinita.
Clasificación de los números reales
La clasificación de los números reales incluye los siguientes números.
 Números naturales. Son los números iguales o mayores que uno no decimales. El
conjunto de los números naturales no tiene en cuenta el cero.
 Números enteros. Son los números positivos y negativos no decimales, incluyendo el
cero. Es decir, los números naturales incluyendo los números negativos y el cero.
 Números racionales. Los que se pueden representar como el cociente de dos enteros
con denominador diferente a cero. Son las fracciones que pueden crearse utilizando
números naturales y enteros.
 Números irracionales. Aquellos que no pueden ser expresados como una fracción de
números enteros con denominador distinto a cero. Se trata de números decimales que
no pueden expresarse ni de manera exacta, ni de manera periódica, siendo el número
pi un ejemplo de este tipo de números.
Operaciones de los números reales

7. Las distintas operaciones de los números reales cumplen con una serie de propiedades:
Propiedad Interna
Cuando se suman dos números reales el resultado que se obtiene es otro número real.
Lo mismo ocurre con la multiplicación de números reales, que también da como resultado
otro número real.
Propiedad Asociativa
El modo en que se asocian o agrupan los sumandos no influye en el resultado de una
suma. En el caso de una multiplicación tampoco importa la asociación pues el resultado
será siempre el mismo
a + (b + c) = (a + b) + c
a x (b x c) = (a x b) x c
Propiedad Conmutativa
Tanto la suma como la multiplicación de números reales cumplen con la propiedad
conmutativa que indica que el orden no varía el resultado.
a + b = b + a
a x b = b x a
Elemento neutro y elemento opuesto
En la suma el cero se convierte en el elemento neutro pues cualquier número que se
sume con el 0 va a dar como resultado el mismo número.
a + 0 = a
Por su parte, si al sumar dos números reales se obtiene cero se dice que esos números
son opuestos (e - e = 0).
En cuanto a la multiplicación, el elemento neutro en los números reales es el 1, ya que
cualquier número real que se multiplique por 1 da lugar al mismo número.
a x 1 = a
0.453 x 1 = 0.453
En la multiplicación el inverso de un número es aquel que al multiplicarlo, da como
resultado la unidad:
a x 1/a = 1

8. 3.4 x 1/3.4 = 1
Propiedad Distributiva
El producto de un número real por una suma de números reales es igual a la suma de
los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.
a x (b + c) = a x b + a x c
Al proceso inverso de la propiedad distributiva se le conoce como sacar el factor común.
a x b + a x c = a x (b + c)
La gran mayoría de las situaciones físicas que tienen lugar se modelan con números
reales por lo que son de suma importancia. El conjunto de los números reales está
formado por otros números como los naturales, enteros, racionales e irracionales. Los
números reales son infinitos y siguen un orden, pudiendo ser decimales y negativos.
Es habitual que utilicemos los números naturales en el día a día y que sepamos mucho
más de ellos de lo que pensamos, porque forman parte importante en nuestra sociedad
para organizar, contar y realizar cálculos.
Desigualdad matemática
Es una proposición de relación de orden existente entre dos expresiones algebraicas
conectadas a través de los signos: desigual que ≠, mayor que >, menor que <, menor o
igual que ≤, así como mayor o igual que ≥, resultando ambas expresiones de valores
distintos.
Por tanto, la relación de desigualdad establecida en una expresión de esta índole, se
emplea para denotar que dos objetos matemáticos expresan valores desiguales.
Algo a notar en las expresiones de desigualdad matemática es que, aquellas que
emplean:
 mayor que >
 Menor que <
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥
Estas son desigualdades que nos revelan en qué sentido la una desigualdad no es igual.
Ahora bien, los casos de aquellas desigualdades formuladas como:

9.  Menor que <
 Mayor que >
Son desigualdades conocidas como desigualdades “estrictas”.
En tanto, que los casos de desigualdades formuladas como:
 Menor o igual que ≤
 Mayor o igual que ≥
Son desigualdades conocidas como desigualdades “no estrictas o más bien, amplias”.
La desigualdad matemática es una expresión que está formada por dos miembros. El
miembro de la izquierda, al lado izquierdo del signo igual y el miembro de la derecha, al
lado derecho del signo de igualdad. Veamos el ejemplo siguiente:
3x + 3 < 9
La solución del enunciado anterior nos revela el planteamiento de desigualdad de las
expresiones.
Propiedades de la desigualdad matemática
 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se
mantiene.
 Si dividimos ambos miembros de la expresión por el mismo valor, la desigualdad se
mantiene.
 Si restamos el mismo valor a ambos miembros de expresión, la desigualdad se mantiene.
 Si sumamos el mismo valor a ambos miembros de la expresión, la desigualdad se
mantiene.
Hay que tener presente que las desigualdades matemáticas poseen también las
siguientes propiedades:
 Si se multiplica ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad
cambia de sentido.
 Si se divide ambos miembros de la expresión por un número negativo, la desigualdad
cambia de sentido.
Para terminar, hemos de destacar que desigualdad matemática e inecuación son
diferentes. Una inecuación se genera mediante una desigualdad, pero podría no tener
solución o ser incongruente. Sin embargo, una desigualdad podría no ser una inecuación.
Por ejemplo
3 < 5

10. Se cumple la desigualdad, ya que 3 es menor que 5. Ahora bien, no es una inecuación
puesto que no tiene incógnitas.
Valor Absoluto
El valor absoluto de un número es su distancia desde cero en una recta numérica . Por
ejemplo, 4 y –4 tienen el mismo valor absoluto (4).
Así, el valor absoluto de un número positivo es justo el mismo número, y el valor absoluto
de un número negativo es su opuesto. El valor absoluto de 0 es 0.
El valor absoluto de x se escribe como | x |. Así,
|4| = 4
|–4| = 4
|54221.997| = 54221.997
|(–1/4)| = 1/4
Desigualdades de valor absoluto
Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de valor
absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.

11. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .
Ejemplo 1 :
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en una desigualdad
compuesta .
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.

12. Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | > b ,
entonces a > b O a < - b .
Ejemplo 2 :
Resuelva y grafique.
Separe en dos desigualdades.
Reste 2 de cada lado en cada desigualdad.
La gráfica se vería así:
Fuente Bibliográfica
https://definicion.de/conjunto
https://jcastrom.jimdofree.com/matematica/matem%C3%A1tica-discreta/operaciones-con-conjuntos/
https://www.sdelsol.com/glosario/numeros-reales/
https://economipedia.com/definiciones/desigualdad-matematica.html
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-value
https://www.varsitytutors.com/hotmath/hotmath_help/spanish/topics/absolute-value-
inequalities