Conceptos de linealización gráficas lineales

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS FÍSICAS
LABORATORIO DE FÍSICA A
CONCEPTOS DE GRAFICACIÓN LINEAL
Objetivos
1. Comprender la importancia de utilizar gráficos en física y en ingeniería.
2. Realizar linealización de gráficos por el método de cambio de variable.
3. Obtener experimentalmente la relación matemática, más adecuada, entre dos
cantidades físicas, a partir de una tabla de valores provenientes del procesamiento
de los datos obtenidos en el laboratorio.
4. Comprobar las aproximaciones en el cálculo de la ecuación de la recta por el
método grafico manual y el mínimo cuadrado.
Importancia de los gráficos en física
En el trabajo experimental en ciencias frecuentemente estudiamos la relación entre dos
variables que interactúan. Por ejemplo, ¿Cómo la longitud de un péndulo influencia en el
periodo?, ¿Cómo varía la velocidad de un cuerpo cayendo con respecto al tiempo? O
¿cómo es la respuesta de frecuencia característica de un receptor telefónico? Son ejemplos
de preguntas que pueden ser respondidas a partir de datos experimentales. Estas variables
pueden ser representadas en forma de gráficas que resuman las características que fueron
estudiadas. Otros propósitos del uso de gráficos en ciencias e ingeniería incluyen obtener
una expresión matemática que expresa la relación entre las variables físicas y contrastar
gráficos trazados a partir de datos experimentales con gráficos trazados a partir de datos
teóricos.
Significado de la representación gráfica
Las leyes y principios físicos expresan relaciones entre variables físicas que pueden ser
representadas en forma de enunciado, en forma de símbolos en una ecuación y por medio
de una gráfica. La gráfica, presenta a un observador entrenado una figura clara de la manera
que la variable dependiente está relacionada con la variable independiente. Las gráficas
pueden también ser utilizadas para obtener pares de valores diferentes a los graficados, para
suavizar pares de datos inexactos e indicar tendencias y puntos críticos.
Reglas específicas para graficar curvas en papel de coordenadas rectangulares
Muchas reglas rígidas para la preparación de gráficas han sido adoptadas por
representaciones de científicos y sociedades de ingeniería. Algunas de ellas se listan a
continuación:
1. Variables dependiente e independiente: Grafique la variable independiente (causa)
sobre las abscisas (eje X) y la variable dependiente (efecto) sobre las ordenadas (eje
Y).

2. Nomenclatura de los ejes: Trazar líneas ligeramente gruesas para los ejes (segmento
de recta dirigido) y colocar una etiqueta junto al eje horizontal y vertical incluyendo
el nombre de la cantidad física representada y su unidad separados por una coma.
En caso de utilizar una potencia de diez ésta debe ser incluida en la etiqueta. se
incluye dentro de la etiqueta.
Figura 1. Reglas 1 y 2 de Graficación en papel de coordenadas rectangulares
3. Escalas: Escoja escalas para las divisiones principales en el papel que sean
fácilmente subdivididas. Valores como 1, 2, 5, 10 son mejores, pero a veces escalas
de 4 son utilizadas. En forma general la escala escogida debe ser tal que la curva
pueda abarcar toda la hoja. Nunca utilice 3,7, o 9 ya que hacen complicado leer
valores de la gráfica. La escala horizontal y vertical no deben necesariamente ser las
mismas.
Figura 2. Escalas para graficación en papel de coordenadas rectangulares
4. Datos muy grandes o muy pequeños: Si los valores son excepcionalmente grandes o
pequeños, utilice un factor multiplicador (potencia de diez) de modo que permita
utilizar un máximo de dos dígitos para indicar el valor de la división principal.
Expresar sus datos en notación científica le podría ser útil.
Variable Dependiente (efecto)
V(cm/s)
X (cm)
Variable Independiente (causa)

Ejemplo:
Representar los siguientes valores sobre una recta de 8.0 centímetros de longitud:
L (m) 7 900 12 300 16 800 21 400 29 900 36 500
Observe que los datos pueden representarse de la siguiente manera:
L (m) x 103
7.900 12.300 16.800 21.400 29.900 36.500
Figura 3. Ejemplo de graficación en papel de coordenadas rectangulares
5. Cantidad de puntos: Tome la mayor cantidad de puntos que le sea posible dentro
del tiempo que se le asigna para el trabajo. Menos de cinco puntos le darán
resultados muy pobres. Sería conveniente obtener al menos 10 puntos.
6. Puntos Experimentales: Identifique claramente cada uno de los puntos
experimentales graficados mediante un símbolo como un círculo. Si muchas curvas
están siendo graficadas en la misma hoja utilice más símbolos como cuadrados y
triángulos para identificar los puntos de cada curva. Las líneas auxiliares utilizadas
para la localización en el gráfico de los puntos experimentales deben borrarse para
obtener una fácil visualización de la curva.
7. Línea de ajuste óptimo: Dibuje la curva de mejor ajuste, es decir una curva sin
cambios bruscos de curvatura, a través del promedio de los puntos ignorando
aquellos puntos erráticos. Se puede decir que la mejor curva es aquella que divide
los puntos de modo que sus desplazamientos de la curva sean mínimos. Identifique
con guiones aquellas porciones que sean extrapoladas.
Figura 4. Linealización incorrecta Figura 5. Linealización correcta
0 5 10 15 20 25 30 35 40 x 103
(m)
7.900
12.300
16.800
21.400 29.900
36.500
20 40 l (cm)60 80
1.0
2.0
T (s)
Línea no suavizada
(Incorrecta)
20 40 l (cm)60 80
1.
0
2.
0
T (s)
Línea suavizada
(Correcta)

8. Título del gráfico: En la parte superior de la hoja identifique el título del gráfico, así
como características específicas necesarias como la naturaleza de los equipos o
condiciones de ser necesario.
9. Tabla de datos experimentales: No es recomendable incluir tablas de datos
experimentales en el mismo espacio de la curva trazada, excepto algunas
excepciones.
10. En gráficas para reportes técnicos es una buena práctica colocar las iniciales del
experimentador así como la fecha en la esquina inferior derecha.
11. Cuando más de una curva es graficada en la misma hoja diferéncielas claramente.
De ser posible identifíquelas como (a), (b) y agregue sub leyendas explicando.
Análisis e interpretación de gráficas
Una de las grandes ventajas del análisis gráfico es la simplicidad en que la información
puede ser obtenida directamente de la gráfica observando la forma, pendiente o
intersección. Dada la ecuación de una recta y=mx+b.
Forma: En el caso de una línea recta se puede determinar rápidamente la forma de relación
entre las variables graficadas. Es necesario hacer dos distinciones entre variación lineal y
proporcionalidad directa. Variación lineal significa simplemente una relación de primer
grado y se indica por cualquier línea recta. Una proporción directa significa que las dos
variables son directamente proporcionales y simultáneamente cero, lo cual ocurre sólo para
líneas rectas que pasa por el origen del sistema de coordenadas.
Pendiente (m): La pendiente de una línea recta es la relación entre ∆𝑦 y ∆𝑥; nos representa
la relación entre las variables graficadas.
Intersección (b): Información importante se obtiene de la intersección de la gráfica con un
eje coordenado. Por ejemplo la intersección de una gráfica velocidad versus tiempo con el
eje de velocidad nos indica el valor de velocidad cuando el tiempo es cero. La intersección
con el eje vertical debe ser leída a partir de la gráfica, esto es, por simple inspección.
Figura 6. Ejemplo de una gráfica lineal
 V
 T
b
v = at + b
T
V
a



t (s)
V (m/s)

En la gráfica V versus t (Figura 6) la pendiente m representa la aceleración a =
∆𝑉
∆𝑡
y la
intersección b representa la velocidad inicial.
Algunas veces la intersección con el eje vertical de la recta b no es posible encontrarlo por
simple inspección visual, por ejemplo cuando las escalas horizontal y vertical empiezan en
el origen y la intersección en el eje vertical cuando x=0 es negativo. En otras ocasiones la
pendiente de la recta m puede representar el resultado de una operación matemática entre
varios parámetros de los cuales uno es desconocido. En cualquiera de los dos casos
anteriores, se procede primero a encontrar la magnitud de la pendiente de la recta y a partir
de ella encontrar los parámetros desconocidos.
Linealización de curvas
Cuando la curva experimental es una línea recta es más útil que muchas otras formas de
curva. Sin embargo, no todas las relaciones entre variables físicas son lineales. Para obtener
una curva recta de estas variables físicas se realiza un proceso llamado linealización en el
cual las variables son reordenadas de forma que la curva resultante sea una línea recta. Por
ejemplo, la variación del periodo de un péndulo simple con su longitud no podría
representarse por medio de una gráfica periodo versus longitud ya que la ecuación que las
relaciona teóricamente es:
𝑇 = 2𝜋√
𝑙
𝑔
(1)
Es evidente de la ecuación (1) que T varía directamente con √𝑙 o 𝑇2
es directamente
proporcional a l. Por lo tanto, al graficar 𝑇2
𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑙 resulta en una línea recta que pasa por
el origen.
Asumiendo dos variables física V y x cuya relación puede ser expresada como V = axn
+ b,
si al graficar V vs. x obtengo uno de los siguientes curvas:
Figura 7. Ejemplos de exponente n en la relación V = 𝑎𝑥 𝑛
+ b
x
y
n< 0
y
x
0 < n < 1
y
x
n> 1

Se puede observar que en la ecuación original V = axn
+ b si realizamos un cambio de
variable z= xn
la ecuación original puede escribirse como V = az + b, lo cual tiene la forma
de una ecuación lineal. El valor del exponente n depende de la forma de la curva
experimental obtenida según la figura. Por tanto, la lineación se produce graficando V vs.
z, esto es, V vs xn
, obteniéndose uno de los siguientes resultados:
Figura 8. Ejemplos de exponente n en la relación V = 𝑎𝑥 𝑛
+ b linealizado
El valor del exponente n debe ser asumido por el estudiante según la forma de la curva. A
la tabla de valores a graficar se deberá agregarla columna de valores z=xn
. A continuación
se presentarán algunas relaciones no lineales.
Tipos de gráficas no lineales
Hipérbola: La curva de la figura representa la relación entre la presión y el volumen para
una determinada masa de gas a temperatura constante.
Figura 8. Relación inversa entre Presión y Volumen
Note que la simetría de la curva sugiere que podría ser una hipérbola rectangular expresada
por la ecuación.
𝑝 𝑣 = 𝑐 (2)
0
1
2
3
4
5
0 2 4 6 8
Presión(Pa)
Volumen (m3)
Presión versus Volumen
xn
y
n< 0
y
xn
0 < n < 1
y
xn
n> 1

La ecuación puede ser escrita en forma lineal como: 𝑝 = 𝑐 (
1
𝑣
) donde c es la pendiente de
la línea recta. La prueba de esto sería graficar 𝑝 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠
1
𝑣
.
Figura 9. Relación lineal entre Presión y Volumen
-1
Parábola: Una relación común de éste tipo se expresa como:
𝑦 = 𝑘𝑥2
(3)
La gráfica de los datos de ésta ecuación resulta en una parábola. Es evidente la curva
graficada de la ecuación (3) será una línea recta si se grafica 𝑦 𝑣𝑒𝑟𝑠𝑢𝑠 𝑥2
. Por ejemplo,
Distancia versus tiempo para un cuerpo en caída libre siendo 𝑣0 = 0
𝑚
𝑠
.
𝑠 =
1
2
𝑔𝑡2
(4)
Figura 10. Relación parabólica entre s y t; Relación lineal entre s y t
2
0
0,5
1
1,5
2
2,5
0 1 2 3 4 5
Presión(Pa)
Volumen-1(m-3)
Presión versus Volumen-1
y = 4,934x1,9918
y = 4,8866x + 0,0168
0
50
100
150
200
0 10 20 30 40
s versus t
s versus t^2

Potencial: La ecuación (3) puede ser también un ejemplo de una ecuación potencial, las
que tiene la forma general:
𝑦 = 𝑘 𝑥 𝑛
(5)
Donde la potencia n puede ser cualquier valor. Aplicando logaritmos a ambos lados de la
ecuación (5):
log 𝑦 = log (𝑘𝑥 𝑛
)
log 𝑦 = log 𝑘 + 𝑛 log 𝑥 (6)
Se puede observar en la ecuación (6) que si graficamos log y versus log x en papel de
coordenadas rectangulares, su pendiente sería el valor del exponente n y la intersección con
el eje vertical cuando log x = 0 (esto es, x=1) representa log k.
Ejemplo: Para los siguientes datos experimentales se han realizado las siguientes gráficas
para apreciar sus formas.
t(s) s(m) log(t) log(s)
0 0 - -
1 4,9 0 0,69019608
2 19,6 0,30103 1,29225607
3 44,1 0,47712125 1,64443859
4 78,4 0,60205999 1,89431606
5 122,5 0,69897 2,08813609
6 176,4 0,77815125 2,24649858
7 240,1 0,84509804 2,38039216
8 313,6 0,90308999 2,49637605
9 396,9 0,95424251 2,5986811
10 490 1 2,69019608
Tabla 1. Datos experimentales
Figura 11. Gráfica s versus t
0
200
400
600
0 2 4 6 8 10 12
s(m)
t(s)
s versus t

Figura 12. Gráfica log(s) versus log(t)
Figura 13. Gráfica s versus t en escala logarítmica
Se puede observar en la figura anterior que cuando el eje horizontal t=1s la intersección con
el eje vertical es aproximadamente 4,9 m, lo cual coincide con la ecuación (4) cuando t=1.
Exponencial: Un buen ejemplo de una relación exponencial es la siguiente ecuación
desarrollada para medir la conductividad térmica en el laboratorio. Esta ecuación para
determinar la constante de conductividad K expresada como:
𝑡 = −
𝑙𝑚𝑠
𝐾𝐴
(log 𝑒 𝐼 − log 𝑒 𝐼0) (7)
Donde 𝐼es es la lectura de corriente de un galvanómetro. Realizando un cambio de base en
el logaritmo de base e a diez.
log 𝑒 𝐼 =
log 𝐼
log 𝑒
=
log 𝐼
0,434
Entonces la ecuación (7) nos queda:
0
0,5
1
1,5
2
2,5
3
0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
log(s)
log(t)
log(s) versus log(t)
1
10
100
1000
1 10
s(m)
t(s)
s versus t

𝑡 = −
𝑙𝑚𝑠
𝐾𝐴
(
log 𝐼
0,434
−
log 𝐼0
0,434
) (8)
Despejando de la ecuación (8) log 𝐼 nos queda:
log 𝐼 = log 𝐼0 − [
0,434𝐾𝐴
𝑙𝑚𝑠
] 𝑡 (9)
Para la ecuación (9) se puede decir que tiene forma de una ecuación lineal y=mx +b donde
en el eje vertical se grafica log I, en el eje horizontal t siendo la pendiente -[
0,434𝐾𝐴
𝑙𝑚𝑠
] y la
intersección con el eje vertical cuando t=0 el valor de log 𝐼0.
Para evitar agregar una columna log I a nuestra tabla de datos, se puede utilizar papel
semilogarítmico en el cual una de las dos escalas vertical u horizontal es logarítmica y la
otra es una escala lineal.
Figura 14. Gráfica I versus t en escala rectangular
Figura 15. Gráfica I versus t en escala semilogarítmica
0
5
10
15
20
25
0 2 4 6 8 10 12
I(A)
t (min)
Corriente I versus tiempo t
1
10
100
0 2 4 6 8 10 12
I(A)
t (min)
Corriente I versus tiempo t

Método de Mínimos Cuadrados
Supongamos que hemos medido un conjunto de pares de datos (xi, yi) durante un
experimento, por ejemplo, la posición de un móvil en ciertos instantes de tiempo. Ahora
queremos obtener una función y = f(x) que se ajuste lo mejor posible a los valores
experimentales. Se pueden ensayar muchas funciones: lineal, cuadrática, polinomial,
potencial o logarítmica. La función más sencilla es la de tipo lineal y = mx + b. El
procedimiento de ajustar los datos experimentales a una función lineal se denomina
Regresión Lineal.
Regresión Lineal
Los datos experimentales se dispondrán en dos columnas, de modo que en cada fila se
registre la abscisa x y su correspondiente ordenada y. La importancia de las distribuciones
bidimensionales radica en investigar cómo influye una variable sobre la otra. Esta puede ser
una dependencia causa efecto, por ejemplo, a mayor altura de caída (causa), mayor es la
rapidez de impacto con el suelo (efecto). O bien, el aumento de la masa de un sistema
sometido a una fuerza constante, da lugar a una disminución de la aceleración del mismo.
Si utilizamos un sistema de coordenadas cartesianas para representar la distribución
bidimensional, obtendremos un conjunto de puntos conocido como el diagrama de
dispersión, cuyo análisis permite estudiar cualitativamente, la relación entre ambas
variables tal como se ve en la figura 1. El siguiente paso, es la determinación de la
dependencia funcional entre las dos variables x e y que mejor ajusta a la distribución
bidimensional. En éste tipo de regresión (lineal) se requiere la determinación de dos
parámetros: la pendiente y la ordenada en el origen de la recta de regresión, y = ax + b.
La regresión nos permite además, determinar el grado de dependencia de las series de
valores x e y, prediciendo el valor y2 estimado que se obtendría para un valor x2 que no esté
en la distribución.

Figura 16. Ejemplo de datos experimentales
Vamos a determinar la ecuación de la recta que mejor ajusta a los datos representados en la
figura. Además se denomina error ei a la diferencia yi-y, entre el valor medido yi, y el valor
ajustado y= axi+b, tal como se ve en la figura inferior. El criterio de ajuste se toma como
aquél en el que la desviación cuadrática media sea mínima, es decir, la suma debe de ser
mínima.
𝑆 = ∑ 𝑒𝑖
2
𝑛
1
= ∑(𝑦𝑖 − (𝑎𝑥𝑖 + 𝑏))
2
𝑛
1
(10)
Figura 17. Desplazamiento yi-y en un punto xi
Los extremos de una función: máximo o mínimo se obtienen cuando las derivadas de s
respecto de a y de b sean nulas. Lo que da lugar a un sistema de dos ecuaciones con dos
incógnitas del que se despeja a y b.

𝜕𝑠
𝜕𝑎
= 0 … 𝑎 =
𝑛 ∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 − (∑ 𝑥𝑖)(∑ 𝑦𝑖)
𝑛 ∑ 𝑥𝑖
2 − (∑ 𝑥𝑖)2
=
∑ 𝑥𝑖 𝑦𝑖 −
(∑ 𝑥 𝑖)(∑ 𝑦𝑖)
𝑛
∑ 𝑥𝑖
2 −
(∑ 𝑥 𝑖)
2
𝑛
(10.1)
𝜕𝑠
𝜕𝑎
= 0 … 𝑏 =
∑ 𝑦𝑖 − 𝑎(∑ 𝑥𝑖)
𝑛
(10.2)
Entonces la ecuación y = ax + b donde a corresponder la pendiente y b la intersección en
el eje y. El coeficiente de correlación es otra técnica de estudiar la distribución
bidimensional, que nos indica la intensidad o grado de dependencia entre las variables X e
Y. El coeficiente de correlación r es un número que se obtiene mediante la fórmula.
𝑥̅ =
1
𝑛
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑆 𝑥𝑥 =
1
𝑛
∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅)2
𝑛
𝑖=1
𝑦̅ =
1
𝑛
∑ 𝑦𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑆 𝑦𝑦 =
1
𝑛
∑(𝑦𝑖 − 𝑦̅)2
𝑛
𝑖=1
𝑆 𝑥𝑦 =
1
𝑛
∑(𝑥𝑖 − 𝑥̅)(𝑦𝑖 − 𝑦̅)
𝑛
𝑖=1
r =
Sxy
√(Sxx)(Syy)
; −1 ≤ r ≤ 1 (10.3)
El signo de r es igual al signo de la pendiente de la recta de regresión lineal.
El coeficiente de correlación puede valer cualquier número comprendido entre -1 y +1.
• Cuando r es cercano a 1, significa que hay una fuerte relación lineal positiva entre x y y.
•Cuando r es cercano a 0, significa que no hay relación lineal entre x y y.
•Cuando r es cercano a-1, significa que hay una poca relación lineal entre x y y.

Si usamos el método de mínimo cuadrados para los datos experimentales mostrados en la
tabla.
Voltaje (V)
x10 -3
15 28 29 37 41 45
Corriente (I)
x10-3
6.8 7.8 8.5 9.1 9.5 10.4
Por lo cual usando la ecuación (10.1) la pendiente en este caso es:
𝒎 =
∑ 𝑰𝑽 −
(∑ 𝑰)(∑ 𝑽)
𝒏
∑ 𝑰 𝟐 −
(∑ 𝑰)
𝟐
𝒏
Procedemos a llenar la tabla con sus respectivas cifras significativas:
I (mA) V(mV) VI 𝐼2
(𝑥10−6
)
6.8 15 10(𝑥10−5
) 46
7.8 28 22(𝑥10−5
) 61
8.5 29 25 (𝑥10−5
) 72
9.1 37 34 (𝑥10−5
) 83
9.5 41 39 (𝑥10−5
) 90
10.4 45 46.8 (𝑥10−5
) 108
∑ 𝐼 = 52.1 ∑ 𝑉 = 195 ∑ 𝑉𝐼=176 (𝑥10−5
) ∑ 𝐼2
= 460(𝑥10−6
)
𝒎 =
∑ 𝑽𝑰 −
(∑ 𝑰)(∑ 𝑽)
𝒏
∑ 𝑰 𝟐 −
(∑ 𝑰)
𝟐
𝒏
=
176 (𝑥10−5
) −
(𝟓𝟐.𝟏)(𝟏𝟗𝟓)𝑿𝟏𝟎−𝟔
𝟔
𝟒𝟔𝟎𝑿𝟏𝟎−𝟔 −
(𝟓𝟐.𝟏𝑿𝟏𝟎−𝟑) 𝟐
𝟔
=
𝟔. 𝟔𝟖𝑿𝟏𝟎−𝟓
𝟕. 𝟔𝟎𝑿𝟏𝟎−𝟔
= 𝟖. 𝟖[Ω].
Bibliografía:
(1) Guía de laboratorio de física A, ESPOL
(2) Selective experiments in physics, CENCO

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