Bab ini membahas penyelesaian turunan parsial fungsi implisit dengan menggunakan aturan rantai. Metode pendiferensialan implisit digunakan untuk menentukan turunan fungsi yang didefinisikan secara implisit oleh persamaan F(x,y)=0. Turunan fungsi implisit dapat ditentukan untuk dua variabel maupun tiga variabel atau lebih. Contoh soal diberikan beserta penyelesaiannya untuk memperjelas konsep dasar

1. BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Kalkulus Lanjut (Advanced Calculuc) merupakan mata kuliah lanjutan dari
Kalkulus I yang telah dipelajari pada semester sebelumnya. Proses perkuliahan di
kampus sangatlah minim, karena waktu yang tidak cukup dan banyak mahasiswa yang
malas masuk kuliah. Sehingga mahasiswa sangat di tuntut untuk memiliki
keterampilan di dalam mempelajari sendiri semua materi yang dipelajari. Dengan
demikian mahasiswa sangat dituntut aktif dalam perkuliahan maupun aktif mencari
bahan materi yang akan di pelajari.
Makalah ini merupakan salah satu syarat di dalam mengikuti atau melakukan
diskusi dalam perkuliahan. Sehingga pemahaman terhadap bahan kuliah bisa lebih
menjadi maksimal. Insya Allah...
B. Rumusan Masalah
Bagaimanakah cara menyelesaikan turunan parsial fungsi secara implisit ?
C. Tujuan
Menjelaskan penyelesaian turunan parsial fungsi implisit;
D. Manfaat
Dapat memahami penyelesaian turunan parsial fungsi implisit dua variabel
atau lebih;
1

2. BAB II
PEMBAHASAN
Turunan Parsial Fungsi Implisit
Penurunan Secara Implisit
Penurunan secara implisit secara tidak langsung telah di bahas dalam
kalkulus. Salah satu manfaat dari aturan rantai adalah untuk menentukan turunan
fungsi yang didefinisikan secara implisit. Misalkan y fungsi dari x yang didefinisikan
secara implisit, dan diberikan oleh persamaan, F(x,y) = 0. Karena y fungsi dari,
maka dengan aturan rantai dihasilkan,
+ = 0
Karena, dx⁄dx = 1, maka dihasilkan rumus :
= -
Dengan cara yang sama, misalkan x fungsi dari y yang didefinisikan secara implisit,
dan diberikan oleh persamaan F(x,y) = 0, maka dihasilkan rumus :
= -
Contoh 1
Bila y fungsi dari x yang didefinisikan oleh, 3xy2 + 3y3 = x3, hitunglah
dy⁄(dx.)
Penyelesaian :
Andaikan, F(x,y) = 3xy2 + 3y3 - x3 , dengan menurunkan F secara parsial
terhadap x dan y dihasilkan :
= 3y2 – 3x2 = 3(y2 – x2) = 3(y + x)(y – x)
= 6xy + 6y2 = 6y(x + y)
Jadi, =- =- =
2

3. Contoh 2
Bila x fungsi dari y yang didefinisikan oleh, arc tan (x⁄y) = ln (x2 + y2),
hitunglah dx⁄dy.
Penyelesaian :
Andaikan, F(x,y) = arc tan (x⁄y) - ln (x2 + y2), dengan menurunkan F secara
parsial terhadap x dan y dihasilkan :
= –
= –
Jadi,
Dari rumus penurunan secara implisit di atas, dapat dikembangkan untuk
menentukan turunan-turunan parsial fungsi n variabel. Misalakan z adalah fungsi
dari x dan y yang didefinisikan secara implisit, diberikan oleh persamaan F (x, y, z) =
0. Dengan menurunkan secara parsial F terhadap x dengan asumsi y konstan dengan
aturan rantai dihasilkan :
+ + =0
Karena y konstan, maka ∂y/∂x = 0, dan mengingat dx/dx = 1, sehingga dihasilkan
rumus,
Dengan cara yang sama, dan jika di asumsikan y konstan dengan menurunkan
secara parsial F terhadap y dengan asumsi x konstan, dengan aturan rantai
dihasilkan:
+ + =0
3

4. Karena x konstan, maka ∂x/∂y = 0, dan mengingat dy/dy = 1, sehingga dihasilkan
rumus,
Contoh 3
Tentukanlah, dan dari, x2 y + y3 z = 2xz4
Penyelesaian :
Andaikan, F (x, y, z) = x2 y + y3 z - 2xz4 . dengan menurunkan secara parsial F terhadap x,
y dan z
dihasilkan:
= 2xy – 2z4 = x2 + 3y2z = y3 – 8xz3
Jadi,
– –
=- =
– –
–
=- = .
–
Adapun turunan fungsi untuk dua variabel atau lebih, yaitu :
1. Turunan fungsi implisit dua variabel
Hasil ini digunakan untuk mencari turunan fungsi implisit. Andaikan F(x,y)=0,
dimana y fungsi implisit dari x, sehingga bisa dicari atau
F
  x
dy
dx F
y
asalkan
4

5. Contoh:
Diketahui x3 + y2 x- 3= 0 tentukan ..!
Jawab:
x3 + y2 x- 3)=
3x2 + 2xy + y2 = 0
2xy = - 3x2 - y2
(- 3x2 - y2) / 2xy
- (3x2+ y2)/2xy
2. Turunan fungsi implisit tiga variabel
Jika F(x,y,z)=0 fungsi implisit, fungsi dua variabel x dan y differensiabel
sedemikian hingga z=f(x,y), untuk setiap x,y dalam domain fungsi, maka
z F ( x, y , z ) z Fy ( x, y, z )
 x 
x Fz ( x, y, z ) y Fz ( x, y, z )
Contoh:
Tentukan dari fungsi implisit xy – z2 + 2xyz = 0
Jawab:
a. (xy – z2 + 2xyz) = c. (xy – z2 + 2xyz) = = 2xy – 2z
y+ 2yz
b. (xy – z2 + 2xyz) = = x + 2xz
Jadi
5

6. Contoh:
Misalkan f(x,y,z) = x3 ey+z – ysin (x-z)=0 maka tentukan
Jawab:
(x3 ey+z – ysin (x-z))=
= 3x2 ey+z – ycos (x-z)
(x3 ey+z – ysin (x-z))=
= x3 ey+z + ycos (x-z)
Jadi (3x2 ey+z – ycos (x-z))/ x3 ey+z + ycos (x-z)
3. Turunan fungsi implisit empat variabel
Jika F(x,y,z,w)=0 fungsi implisit, fungsi tiga variabel x, y dan z diferensiabel
sedemikian hingga w=f(x,y,z), untuk setiap x,y dan z dalam domain fungsi,
maka
w F ( x, y, z, w)
 x
x Fw ( x, y, z, w)
w Fy ( x, y, z, w)

y Fw ( x, y, z, w)
w F ( x, y, z, w)
 z
z Fw ( x, y, z, w)
Contoh:
Tentukan dari fungsi implisit 2x2w + 3y2z + zwyx + w2 = 0
Jawab:
(2x2w + 3y2z + zwyx + w2)= =
(2x2w + 3y2z + zwyx + w2) =
6

7. (2x2w + 3y2z + zwyx + w2)= = 3y2 + wyx
(2x2w + 3y2z + zwyx + w2)= = 2x2 + zyx +2w
Jadi:
= / 2x2 + zyx +2w
= / 2x2 + zyx +2w
= - ( 3y2 + wyx)/2x2 + zyx +2w
Pendiferensialan Implisit
Jika kita dihadapkan dengan fungsi
y3 + 5y = x3.
Tentu kita akan sulit untuk menggambarkan grafiknya. Tetapi ketika kita ingin
mencari gradien/kemiringan garis singgungdi suatu titik pada kurva, kita akan
kebingungan. Masalahnya, kita harus mencari turunan dari fungsi tersebut.
Hal baru dalam masalah ini adalah bahwa kita menghadapi sebuah persamaan
yang secara gamblang (eksplisit) tidak terselesaikan untuk y. Apakah mungkin
untuk mencari dy/dx dalam keadaan seperti ini?
Ya, diferensialkan kedua ruas persamaan
y3 + 5y = 3
terhadap x, dan samakan hasil-hasilnya. Dalam melakukan ini, kita anggap
bahwa persamaan yang diberikan memang menentukan y sebagai suatu fungsi
x (hanya saja kita tidak tahu bagaimana mencarinya secara eksplisit). Jadi,
setelah memakai aturan rantai pada suku pertama, kita peroleh :
7

8. Yang terakhir dapat diselesaikan untuk dy/dx sebagai berikut :
Perhatikan bahwa ungkapan kita untuk suatu kenyataan
yang sering menyusahkan. Tetapi, jika kita hanya ingin mencari kemiringan
pada sebuah titik di mana koordinatnya diketahui tidaklah sulit. Di (1,2)
= .
Jadi, kemiringannya adalah 3/17.
Metode yang baru saja digambarkan untuk mencari tanpa terlebih
dahulu menyelesaikan persamaan yang diberikan untuk secara gamblang
dalam bentuk disebut Pendiferensialan Implisit. Tetapi apakah metode
tersebut dapat memberikan jawaban yang benar?
Contoh.
Carilah jika –3!
Penyelesaian :
Cara 1 : Kita dapat menyelesaikan persamaan yang diberikan secara gamblang
untuk sebagai berikut.
Jadi,
Cara 2 : (Pendiferensialan Implisit).
Kita samakan turunan-turunan kedua ruas dari :
–3
8

9. Setelah memakai Aturan Hasilkali pada suku pertama, kita dapatkan
Walaupun jawaban ini kelihatan berlainan dari jawab yang diperoleh
terdahulu, tetapi keduanya sama. Untuk melihat ini, gantikan dalam
ungkapan untuk dy/dx yang baru saja diperoleh.
Jika sebuah persamaan dalam x dan y menentukan sebuah fungsi y = f(x) dan
fungsi ini terdiferensialkan, maka metode pendiferensialan implisit akan
menghasilkan sebuah ungkapan yang benar untuk dy/dx. Terdapat dua hal
besar dalam pernyataan ini.
Pertama perhatikan persamaan
Ia tidak mempunyai penyelesaian, karena itu tidak menentukan suatu fungsi.
Sebaliknya,
menentukan fungsi-fungsi y = f(x) = , dan fungsi y = g(x) =
- . Grafik-grafik tersebut diperlihatkan dalam gambar berikut:
9

10. Untungnya, kedua fungsi ini terdiferensialkan pada (-5,5). Pertama perhatikan
f, ia memenuhi :
x2 + [f (x)]2 = 25
Bilamana kita diferensialkan secara implisit dan menyelesaikan un f `(x), kita
peroleh:
2x + 2f(x) f’(x) = 0
f’(x) =
perlakuan serupa secara lengkap terhadap g(x) menghasilkan :
g’(x) =
Untuk keperluan praktis, kita dapat memperoleh kedua hasil ini secara serempak
dengan pendiferensialan secara implisit dari Ini memberikan
2x + 2y = 0
Secara wajar, hasilnya identik dengan yang diperoleh di atas.
Pehatikan bahwa adalah cukup untuk mengetahui dy/dx = -x/y agar dapat
menerapkan hasil-hasil kita. Andaikan kita ingin mengetahui kemiringan garis
singgung pada lingkaran bilamana x = 3. Nilai-nilai y yang
berpadanan adalah 4 dan -4. Kemiringan di (3,4) dan (3,-4). Masing-
masing diperoleh dari pergantian –x/y adalah -3/4 dan 3/4.
Kemudian kita tunjukkan bahwa:
Menentukan banyak fungsi lainnya. Pandang fungsi h yang didefenisikan oleh:
10

11. h(x) =

-5

Ia juga memenuhi , karena .Tetapi ia bahkan
tidak kontinu di , sehingga tidak saja mempunyai turunan di sana (lihat
gambar disamping).
Sementara subyek fungsi implisit menuju ke masalah teknis yang sukar
(ditangani dalam kalkulus lanjut), masalah-masalah yang kita pelajari
mempunyai penyelesaian lansung.
Dalam contoh-contoh berikut,kita anggap bahwa persamaan yang diberikan
menentukan satu atau lebih fungsi-fungsi terdiferengsialkan yang turunan-
turunannya dapat dicari dengan menerapkan pendiferensialan implisit.
Contoh
Carilah jika !
11

12. Penyelesaian :
Contoh
Carilah jika
Penyelesaian :
=
Contoh
Cari persamaan garis singgung pada kurva
dititik (0,1).
Penyelesaian :
Untuk menyederhanakan, kita gunakan cara penulisan ’ untuk
.Bilamana kita mendiferensialkan kedua ruas dan menyamakan hasilnya,kita
peroleh :
12

13. Di (0,1), .Sehingga, persamaan garis singgung di (0,1) adalah:
Kita telah mempelajari bahwa di mana adalah sembarang
bilangan bulat.Sekarang ini kita perluas pada kasus di mana n adalah
bilangan rasional sembarang.
TEOREMA M :
Aturan Pangkat
Andaikan adalah bilangan rasional sembarang,maka:
13

14. BAB III
PENUTUP
A. Kesimpulan
Turunan Parsial Fungsi Implisit
F
  x
dy
Turunan fungsi implisit dua variable
dx F
y
Turunan fungsi implisit tiga variable
z F ( x, y , z ) z Fy ( x, y, z )
 x 
x Fz ( x, y, z ) y Fz ( x, y, z )
Turunan fungsi implisit empat variable
w F ( x, y, z, w) w Fy ( x, y, z, w) w F ( x, y, z, w)
 x   z
x Fw ( x, y, z, w) y Fw ( x, y, z, w) z Fw ( x, y, z, w)
B. Saran
Saran dari kelompok kami buat Dosen, agar kiranya mengajarkan atau
menjelaskan kembali dasar – dasar materi yang ada dalam makalah ini, karena
masih banyak mahasiswa yang belum memahami dasar – dasar yang mestinya
diketahui sebelum mempelajari makalah ini, termasuk kami juga. Sehingga sulit
buat mahasiswa yang lain menguasai materi yang ada dalam makalah ini.
Saran buat teman – teman mahasiswa, supaya kiranya lebih banyak
belajar sendiri mengenai isi makalah ini karena waktu yang kita gunakan tidak
akan cukup untuk kita menguasai seluruh isi makalah ini. Dan juga di saat proses
perkuliahan berlangsung kiranya teman – teman memperhatikan dengan sungguh
–sungguh agar apa yang kita pelajari saat itu bisa kita pahami secara maksimal.
14

15. DAFTAR PUSTAKA
Prayudi.Kalkulus Lanjut, Edisi Pertama.Penerbit Graha Ilmu.Yogyakarta.2009
Purwanto, Heri.Kalkulus 1. Ercontara Rajawali.Jakarta.2005
http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus_diferensial.html
http://www.mascipul.com/2009/11/free-download-materi-kalkulus-materi-
matematika.html
http://id.wikipedia.org/wiki/Kalkulus.html
http://www.mediafire.com/?2y5izytydnq
http://www.mediafire.com/?zzk1qmdwx1y
15