프로그래머를위한선형대수학1.2
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프로그래머를 위한 성형 대수학 1장 후반부
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- 1. 선형대수학 Ch.1 역행렬, 행렬식과 확대률 아꿈사 Cecil
- 2. 역행렬 행렬은 사상의 개념 역행렬은 역사상
- 3. y = Ax 일때 A-1y = x 가 성립 AA-1 = I (필수조건: A 정방행렬) 고, 반대로 어떠한 y를 가져와도 ‘A-1y = 렬 A-1입니다. 대략 ‘이동점 y를 갖고 원 대응하는 행렬이 A-1입니다. 다르게 표현하면 A하고 A-1하면 원래대 대로 돌아갑니다. 즉, 다음과 같습니다.3 역 사상 변환
- 4. 역행렬의 성질 (A-1)-1 = A (AB)-1 = B-1A-1 (Ak)-1 = (A-1)k
- 5. 대각행렬의 역행렬 A = diag(a1, a2, …an) AA-1 = I 여야 하므로 A-1 = diag(1/a1, 1/a2, …1/an)
- 6. 블록 행렬 행렬의 종횡에 단락을 넣어 각 구역을 작은 행렬로 간주한것 1.2.9 블록행렬 ‘큰 문제를 작은 부분 문제로 분할하는 것’은 복잡함에 대처하는 수단으로 효과가 있습니다. 행렬 연산에도 실은 그런 분할이 가능합니다. 정의와 성질 행렬의 종횡에 단락을 넣어 각 구역을 작은 행렬로 간주한 것을 블록행렬 이라고 합니다. 쉬운 선형대수 책에는 그다지 실리지 않는 소재입니다만, 응용할 때 자주 사용하는 테크닉이므로 설명해두겠습니다. 크기가 같은 블록행렬 A = (Aij)와 B = (Bij), 수 c에 대해 다음 성질이 성립 합니다.
- 7. 블록 행렬의 덧셈 블록행렬의 정수배두 행렬의 블록의 크기가 동일해야 함
- 8. 블록 행렬의 곱셈 (1.14) 위의 예라면, 행렬 블록간 곱셈이 가능해야 함
- 9. 행백터와 열백터 행벡터, 열벡터 블록행렬의 특별한 경우로 다음과 같이 한 방향으로만 작게 나누는 생각해 볼 수 있습니다. 단락지어진 각 단편의 크기가 n×1이나 1×n′ 이므로 각 단락을 벡터 간주하는 것도 가능합니다. 그런 이유로 위 행렬처럼 나타났을 때 a1 am을 ‘A의 열벡터’라고 하고, b1 T, ..., bT m′ 를 ‘B의 행벡터’라고 합니 열백터 행백터
- 10. 열백터와 행백터를 사용한 백터의 곱 전자가 ‘열벡터는 e1, ..., em의 목적지’에 후자가 ‘곱의 정의’에 대응하고 있네요(1.18). 또한, 행렬끼리의 곱은 다음과 같이 씁니다. A: 열백터, B 행백터
- 11. 블록 대각행렬 ‘﹨’ 방향의 블록이 모두 정방 행렬이고 그외 모두 영행렬인 것 블록대각행렬 ‘’ 방향의 대각선상 블록이 모두 정방행렬이고, 그 외의 블록이 모두 영행 렬인 것을 블록대각행렬이라고 합니다. 대각성분에 대응하는 행렬 A1, A2, A3, A4를 대각블록이라고 합니다.45 1.28 기호 ≡는 무슨 의미인가요? ‘○○를 △△라 둔다’라는 마음을 담은 =입니다. 좌변과 우변 어느 쪽이 ○○고 어느 쪽이 △ △인지는 문맥을 보고 스스로 판단해 주십시오. 또한, 분야에 따라 ≡를 다른 의미로 사용할 각 A는 대각블록 대각성분에 대응하는 행렬 A1, A2, A3, A4를 대각블록이라고 합니다.4 1.28 기호 ≡는 무슨 의미인가요? ‘○○를 △△라 둔다’라는 마음을 담은 =입니다. 좌변과 우변 어느 쪽이 ○○고 어느 쪽이 △인지는 문맥을 보고 스스로 판단해 주십시오. 또한, 분야에 따라 ≡를 다른 의미로 사용 수 있으니 주의해 주십시오(1.36도 참고). 이런 행렬은 ‘각 블록마다 독립적으로 변환된다’라는 형태의 사상을 냅니다. 예를 들어 앞의 행렬은 다음과 같이 독립된 ‘서브시스템(subsystem) 각 블록마다 독립적으로 변환됨
- 12. 행렬 표현: 고계 차분 Xt = -0.7xt-1 - 0.5xt-2 + 0.2t-3 + 0.1xt-4 즉, 처럼 ‘행렬을 곱하다’라는 형태로 쓸 수 있습니다. 미분 형식
- 13. 행렬 표현: 정수항의 나눗셈 y = Ax +b <= 행렬을 곱하는 형태가 되지 않음 라고 쓸 수 있습니다. 이런 식으로 차분방정식이나 미분방정식으로 현상을 기술하는 방법은 공 학에서 자주 사용합니다. 더 자세한 내용은 4장에서 배웁니다. 정수항의 나눗셈(제법) y = Ax + b처럼 눈에 거슬리는 정수항 +b의 탓에 아쉽게도 ‘행렬을 곱하 다’의 형태가 되지 않는 경우가 자주 나타납니다. 이런 경우는 로 두면,46 이런 식으로 차분방정식이나 미분방정식으로 현상을 기 학에서 자주 사용합니다. 더 자세한 내용은 4장에서 배웁 정수항의 나눗셈(제법) y = Ax + b처럼 눈에 거슬리는 정수항 +b의 탓에 아쉽 다’의 형태가 되지 않는 경우가 자주 나타납니다. 이런 경 로 두면,46 즉, 다음과 같이 ‘행렬을 곱하다’라는 형태로 쓸 수 있습니 행렬을 곱하는 형태가 되면 선형대수의 일반론을 사용할 수 있음 => 4장
- 14. 좌표 변환과 행렬 기저는 백터를 표현하는 방법 다른 기저를 사용할 경우 백터의 표현이 달라짐 좀 더 쉬운 표현으로 변환하여 쉬운 문제로 변환 좌표변환: 정방행렬 A를 곱하는 개념
- 15. 좌표 변환을 행렬로 쓰다(책 참고)
- 16. 전치행렬 행렬 A의 행과 열을 바꿔 놓은 것이 A의 전치행렬 실체로서의 화살표 는 변하지 않지만, 좌표 표현 x가 변한다고 생각해 주십시오. 1.2.12 전치행렬 = ? ? ? 덧셈, 뺄셈, 곱셈에서 시작하여 거듭제곱이나 역행렬 등의 연산을 알 습니다. 마지막으로 하나 더 행렬의 기본적인 연산인 ‘전치행렬’을 설 겠습니다. 행렬 A의 행과 열을 바꿔넣는 것을 A의 전치행렬이라고 하고 T라고 씁니다.58 T는 Transpose의 T입니다. 예를 들면 다음과 같은 입니다. 1행이 1열로, 2행이 2열로 바뀝니다. ‘AT’라고 썼을 때 ‘A의 전치’인지 의 T승’인지는 문맥을 보고 판단해 주십시오. 이 책에서는 언제나 전치 의미입니다. 연산 순서의 약속은 기법의 외관 그대로 거듭제곱과 같습 . ABT는 A(BT)이지 (AB)T가 아닙니다.
- 17. 전치행렬의 성질 (AT)T = A (AB)T = BTAT (A-1)T = (AT)-1 전치 행렬은 이후의 장에서 더 자세히 설명
- 18. 행렬의 곱셈시 고려할 사항 크기에 집찹하라 => 곱셈의 순서에 따라 계산량이 달라짐 큰 행렬이 계산 도중보다 나중에 나오는 것이 유리
- 19. 행렬식과 확대율 행렬을 통해 변환되는 면적(부피)의 변화율을 행렬식(determinant) ex) 면적 1인 도형이 2x2 행렬을 통해 변환될 경우 면적이 변환됨 det A = 0.75 or |A| = 0.75로 표현 1장에서는 ‘벡터’, ‘행렬’이라는 선형대수의 주역들 여기에 더하여 쓸 만한 보조역인 ‘행렬식’을 살펴보 1.3.1 행렬식 = 부피 확대율 정방행렬 는 그림 1-26과 같은 변환을 나를 통해 변환될 경우 너비가 0.75배 증가
- 20. 행렬식은 확률밀도함수의 변환, 주로 적분과 관련하여 면적을 구하는 곳에서 변환에 사용 되는 듯..
- 21. 뒤집음(거울에 비친 상) 열의 위치가 바뀐 경우 (a1, a2) => (a2, a1) ▲ 그림 1-29 행렬식은 평행사변형의 면적(2차원)이나 평행육면체의 부피(3차원) 또한, 도형이 ‘뒤집음(거울에 비친 상)’이 되는 경우는 ‘음의 확대율’로 나 타내기도 합니다. ▲ 그림 1-30 뒤집음(왼손이 오른손으로 변한다)이 되는 경우 부피 확대율(=행렬식)은 음수
- 22. ‘납잡하게 누르다’ 행렬 det A = 0 마찬가지로 사상으로서의 의미에 따라 다음 내용도 분명해집니다. 대각행렬 diag(a1, ..., an)이 나타내는 사상은 ‘1축 방향으로 a1배, 향으로 a2배……’였기 때문입니다.73 또한, A가 ‘납작하게 누르다’ 행렬이라면 det A = 0이 되는 것을 앞 설명하였습니다. 이 설명으로부터 다음과 같이 어딘가의 열이 모두 우나 어느 열이든 두 열이 완전히 같은 경우에는 한 번에 det A = 0이 됩니 유용한 성질 대각행렬 diag(a1, ..., an)이 나타내는 사상은 ‘1축 방향으로 a1배, 2 향으로 a2배……’였기 때문입니다.73 또한, A가 ‘납작하게 누르다’ 행렬이라면 det A = 0이 되는 것을 앞 절 설명하였습니다. 이 설명으로부터 다음과 같이 어딘가의 열이 모두 0 우나 어느 열이든 두 열이 완전히 같은 경우에는 한 번에 det A = 0이 됩니 유용한 성질 한 열이 모두 0인 경우 두개의 열이 같은 경우
- 23. 행렬식의 성질 det I = 1 det(AB) = (det A)(det B) det A-1 = 1 / det A det A = 0이면 A-1은 존재하지 않음(위의 1,2에 의해) det (diag(a1, a2, an)) = a1 x a2 … x an
- 24. 행렬식의 유용한 성질 어느 열의 정수배를 다른 열에 대해도 값이 변하지 않음 유용한 성질 다음에 설명하는 성질은 나중에 행렬식을 실제로 구할 때(1.3.4절) 사용합 니다. 행렬식은 ‘어느 열의 정수배를 다른 열에 더해도 값이 변하지 않는다’라는 성질이 있습니다. 예를 들면 다음과 같습니다. 이런 경우는 2열을 10배하여 3열에 더합니다. 이 성질은 다음 그림 1-3 처럼 생각하면 이해할 수 있습니다.75 ▲ 그림 1-33 의 그림 설명. 트럼프를 한 뭉치 겹친 평행육면체를 생각 다. 이 뭉치를 a2 방향으로 밀어도 전체 부피는 변하지 않는다. 즉, a1, a2, a3 를 세 변으로 하는 평행육 체의 부피는 를 세 변으로 하는 평행육면체의 부피와 같다.
- 25. 상삼각 행렬 대각성분보다 아래 쪽의 성분이 모두 0인 행렬 니다(c는 숫자). 여기서 밀기 전에도 후에도 이 뭉치의 부피는 변하지 지요. 트럼프가 늘거나 줄지 않았고, 압축도 팽창도 없었다는 것은 ‘3 방행렬 에 대해 ’를 나타내 입니다.76 행렬이 특별한 모양이면 행렬식을 간단히 구할 수 있습니다. 다음과 대각성분보다 아래 쪽이 모두 0인 행렬을 상삼각행렬이라고 합니다.7 이와 같은 행렬의 행렬식은 대각성분의 곱이 됩니다.78 det A = a11a22a33 이 내용을 이해하기 위해 ‘트럼프의 성질’을 사용해도 괜찮습니다만, 부피 를 직접 계산하는 것도 좋습니다. 란 열벡터에서 a1, a2, a3 을 변으로 하는 평행육면체(사각기둥)의 부피 V를 계산해보겠습니다. 그 림 1-34를 보면서 생각해 주십시오. ▲ 그림 1-34 상삼각행렬의 행렬식 = 대각성분의 곱 우선 밑면의 평행사변형 면적 S는 다음과 같이 구할 수 있습니다.
- 26. 전치 행렬의 행렬식 행렬식의 성질은 행과 열의 역할을 모두 바꿔도 성림 det(AT) = det A
- 27. 행렬식의 중요 성질 다중선형성 det(cA) = Cn det A n의 정방행렬의 컬럼 수 det(a2, a1, a3…an) = -det(a1, a2, a3…an) 전치행렬의 ‘의미’가 현 단계에서는 수수께끼이기 때문에 성질도 여기 결과만 남기겠습니다.81 열쇠가 되는(중요한) 성질 행렬식이 부피(의 n차원 판)라고 알고 있으면 다음의 다중선형성이란 도 도형으로 이해할 수 있겠지요. 이는 1열만이 아니라 다음 예와 같이 다른 열에도 똑같이 성립합니다.
- 28. 행렬식의 수식 계산 •c123 = 1 •첨자가 바뀌면 마이너스 •c213 = -c123 = -1 •c312 = -c213 = c123 = 1 •첨자에 같은 것이 있는 경우 •c113 = c232 = c333 행렬식 det A를 새로 쓰면 다음과 같습 (1.42) 미지의 랭크 ijk는 다음 규칙으로 결정 ● ● 첨자를 바꿔 넣으면 마이너스가 됩 행렬식 det A를 새로 쓰면 다음과 같습니다 (1.42) 미지의 랭크 ijk는 다음 규칙으로 결정됩니 ● ● 첨자를 바꿔 넣으면 마이너스가 됩니다
- 29. 행렬식의 수식 계산: 2, 3 차원 2차, 3차의 행렬식은 그림 1-37처럼 ( 방향) - (/ 방향) 으로 계산할 수 있습니다.84 그러나 4차 이상은 안 되므로 주의해야 합니다. 4차 처럼 ‘비스듬한 일직선’이 아닌 항이 됩니다. 4차의 경우는 ‘어느 행도 어느 열도 나뿐’인 패턴 모두에 대해, ijkl에서 부호를 정하여 더합니다. (2차) (3차) ▲ 그림 1-37 2차, 3차의 행렬식(사라스의 법칙) 2차원 3차원
- 30. 행렬식의 수식 계산(2) 블록 대각행렬의 경우 블록 삼각일 경우도 동일하게 계산됨. 일반적인 행렬일 경우 “어느 열의 정수배를 다른 열에 더해도 값이 변하지 않음” 성질을 이용하여 블록 삼각으로 변환하여 계산 1.3.4 행렬식 계산법 (2) 수치 계산▽ 구체적으로 주어진 행렬식의 값을 계산하고 싶을 때는 식 (1.42)가 아니라 다음과 같은 방법(쓸어내는 법)을 씁니다91(손으로 계산하는 방법입니다. 계산기를 사용하는 방법은 3.5절을 참고해 주십시오). 준비의 준비: 블록대각의 경우 우선 이와 같이 특별한 형태에서는 다음 사항을 확인합시다. det A를 계산하려고 그림 1-37을 보면 A가 제로 성분에 걸려 있지 않은 것은 다음 뿐입니다. 1열에 a11을 선택하지 않는 한 0에 걸리므로 남는 것은 a11을 지나는 패턴 뿐입니다. 그러므로 어느 합에도 a11이 들어갑니다. a11을 쓸어내면 다음 내용을 확인할 수 있습니다. 계산기를 사용하는 방법은 3.5절을 참고해 주십시오). 준비의 준비: 블록대각의 경우 우선 이와 같이 특별한 형태에서는 다음 사항을 확인합시다. det A를 계산하려고 그림 1-37을 보면 A가 제로 성분에 걸려 것은 다음 뿐입니다. 1열에 a11을 선택하지 않는 한 0에 걸리므로 남는 것은 a11을 뿐입니다. 그러므로 어느 합에도 a11이 들어갑니다. a11을 쓸어 내용을 확인할 수 있습니다.
- 31. References •히라오카 카즈유키, 호리 겐. 프로그래머를 위한 선형 대수학(이창신 옮김). 서울시 마포구 월드컵로 (주)도 서출판 길벗, 2017.