Boi dưỡng học sinh giỏi

1. I-Bất đẳng thức cô si
1.Chứng minh rằng
2 2 2
2
a b c a b c
b c c a a b
 
  
  
với a,b,c>0
2.Chứng minh rằng
     
3 3 3
1 1 1 3
2
a b c b c a c a b
  
  
với a,b,c>0 và abc =1
3.Cho a,b,c>0 và abc=1.Cm:
        
3 3 3
a 3
1 1 1 1 1 1 4
b c
b c c a a b
  
     
4.Cho k số không âm 1 2
, ,..., k
a a a thoả 1 2... 1
k
a a a 
Cm: 1 2 1 2
... ...
m m m n n n
k k
a a a a a a
       với ; ,
m n m n N
 
5.Cho 3 số thực x,y,z thoả mãn: 2004 2004 2004
3
x y z
   .Tìm GTLN của biểu thức
3 3 3
A x y z
  
6.Cho a+b+c =0 .Chứng minh rằng 8 8 8 2 2 2
a b c a b c
    
7.Cho số tự nhiên 2
k  . 1 2
, ,..., k
a a a là các số thực dương
Cmr: 1 2
1 2
2 3 1
... ...
m
m m
m n m n m n
k
n
n n n
a
a a
a a a
a a a
  
      
8.Cho x,y,z là ba số thực thoả mãn
1 1 1
1
x y z
   .Tìm GTNN của biểu thức
2006 2006 2006
2007 2007 2007
x y z
A
y z x
  
9.Tìm GTNN của
20 20 20
11 11 11
x y z
A
y z x
   với 1
x y z
  
10.Cho n số thực 1 2
, ,..., n
x x x thuộc đoạn  
, , 0
a b a 
Cmr:  
 
 
2
1 2
1 2
1 1 1
... ...
4
n
n
n a b
x x x
x x x ab

 
      
 
 
11.Cho n là số nguyên dương;lấy  
2000;2001
i
x  với mọi i=1,2…,n
Tìm GTLN của   
1 2 1 2
2 2 ... 2 2 2 ... 2
n n
x x
x x x x
F 
 
      
12.Xét các số thực 1 2 2006
, ,...,
x x x thoả 1 2 2006
, ,...,
6 2
x x x
 
 
Tìm GTLN của biểu thức
 
1 2 2006
1 2 2006
1 1 1
sin sin ... sin ...
sin sin sin
A x x x
x x x
 
      
 
 
13.Cho n số dương 1 2
, ,..., n
a a a Đặt :    
1 2 1 2
min , ,..., , ax , ,...,
n n
m a a a M M a a a
 
1 1
1
,
n n
i
i i i
A a B
a
 
 
  .Cmr:  
1
B n m M A
mM
  
 
 

2. 14.Cho 0, 0, 1,
i i
a b i n
    .Chứng minh rằng:
    
1 1 2 2 1 2 1 2
... ... ...
n n
n
n n n n
a b a b a b a a a bb b
    
15.Cho 0, 1,
i
a i n
   .Chứng minh rằng:       
1 2 1 2
1 1 ... 1 1 ...
n
n
n n
a a a a a a
    
16.Chứng minh  
1.2... 1 1 1.2...
n
n n n
   với 2,
n n N
 
17.Chứng minh trong tam giác ABC ta có :
1/
3
1 1 1 2
1 1 1 1
sin sin sin 3
A B C
 
   
    
     
     
2/
3
1 1 1 2
1 1 1 1
B C 3
os os os
2 2 2
A
c c c
   
     
    
     
 
   
   
3/
3
1 1 1 2
1 1 1 1
3
a b c
m m m R
     
    
     
 
   
18.Cho a,b,x,y,z > 0 và x+y+z = 1.Chứng minh:  
4
4 4
4
3 3
b b c
a a a a b
x y z
 
   
      
 
   
   
 
19.Cho
1
, 0, 0 1,.. ; 1
n
i i
i
a b x i n x

    
 . Cmr:
 
1 2
...
m
m m
m
n
b b b
a a a n a nb
x x x
 
   
       
 
   
     
với m > 0
20.Cho , , 0, 1
a b c a b c
    .Chứng minh rằng: 3
1 1 1
1 1 1 8
ab bc ca
   
   
   
   
21.Cho  
;

x a b .Tìm GTLN của biểu thức ( ) ( ) ( )
m n
F x x a b x
= - - với *
, Ν
m nÎ
22.Cho 0
2
;
x
π
é ù
ê ú
Î
ê ú
ë û
.Tìm GTLN của biểu thức ( ) p
sin . os
q
F x x c x
= với *
, Ν
p qÎ
23.Cho a,b,c không âm và có a + b + c =1.Tìm GTLN của biểu thức ( ) 30 4 2004
, ,
F a b c a b c
=
24.Cho , 0, 6
x y x y
³ + £ .Tìm GTLN của các biểu thức sau :
1/ ( ) ( )
2002
, . . 6
F x y x y x y
= - -
2/ ( ) ( )
2002
, . . 4
F x y x y x y
= - -
25.Xét các số thực dương thỏa mãn a + b +c =1.Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2
1 1 1 1
P
ab bc ca
a b c
= + + +
+ +
26.Xét các số thực dương thỏa mãn a +b +c + d =1.Tìm GTNN của biểu thức
2 2 2 2
1 1 1 1 1
P
acd abd abc bcd
a b c d
= + + + +
+ + +
27.Giả sử 1 2
, ,..., n
x x x >0 thỏa mãn điều kiện
1
1
1
n
i
i i
x
x
=
=
å
+
. Cmr:
( )
1
1
1
n
i n
i
x
n
=
£
Õ
-
28.Giả sử a,b,c >0 thỏa mãn
2 3
1
1 1 1
a b c
a b c
+ + =
+ + +
. Cmr:
2 3
6
1
5
ab c £

3. 29. Giả sử 1 2
, ,..., n
x x x >0 thỏa mãn điều kiện
1
1
n
i
i
x
=
=
å .Cmr:
( )
1
1
1 1
n
i
n
i i
x
x n
=
£
Õ
- -
30. (QG-98) Giả sử 1 2
, ,..., n
x x x >0 thỏa mãn điều kiện
1
1 1
1998 1998
n
i i
x
=
=
å
+
Cmr: 1 2
. ...
1998
1
n
n
x x x
n
³
-
31.Cho n số dương thỏa mãn điều kiện
1
1
n
i
i
a
=
<
å
Cmr:
( )
( )( )( ) ( )
1
1 2 1 2
1 2 1 2
... 1 ... 1
... 1 1 ... 1
n
n n
n n
a a a a a a
a a a a a a n
+
é ù
- + + + æ ö
ë û ÷
ç
£ ÷
ç ÷
ç
è ø
+ + + - - -
33.Cmr: , 2
n N n
" Î ³ ta có 1 1 2
n n
n n
n n
n n
- + + <
34.Cho [ ]
, , 0;1
x y z Î .Cmr: ( ) ( )
3 3 3 2 2 2
2 3
x y z x y y z z x
+ + - + + £
35. Cho [ ]
, , 0;2
x y z Î .Cmr: ( ) ( )
6 6 6 4 2 4 2 4 2
2 192
x y z x y y z z x
+ + - + + £
36.Cho [ ]
1;2
i
x Î với i=1,…,2000.Thỏa mãn
2000
1
2005
i
i
x
=
=
å Tìm GTLN của
2000
3
1
i
i
A x
=
= å
37.Chứng minh : 2 2 2
1 1 1
3.2
a b c
ab bc ca
  

     
     
     
     
Trong đó , , , 0
a b c  
38.Cho số dương a .Xét bộ số dương x,y,z thỏa mãn điều kiện:xy + yz + zx = 1
Tìm GTNN của biểu thức  
2 2 2
P a x y z
  
39.Xét các số thực x,y,z thỏa mãn : 2 2 2 2
16
25
x y z xy a
    .Trong đó a là một số dương
cho trước .Tìm GTLN của biểu thức :P = xy + yz + zx
40.Xét các số thực a,b,c,d thỏa mãn : 2 2 2 2
1
1
2
a b c d
    
Tìm GTLN và GTNN của :        
2 2 2 2
2 2 2 2
P a b c b c d b a c d
         
41.Cho hàm số ( )
f x thỏa mãn pt ( ) 4 4
2 cot
f tg x tg x g x
= +
Cmr: ( ) ( )
sinx cosx 196
f f
+ ³ ( OLP-30-4-99)
II. PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn 2 2
4
a b
  và c+d=4.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=ac+bd+cd
2.Cho a,b,c,d là các số thực thoả mãn 2 2
1
a b
  và c+d=3Cmr:
9 6 2
ac+bd+cd
4


3(HSG-NA-2005) a,b,c,d là các số thực thoả mãn 2 2
1
a b
  và c-d=3
Cmr:
9 6 2
ac+bd-cd
4


4.Cho các số a,b,c,d,x,y thỏa mãn : 2 2 2 2
40 8 10 ; 12 4 6 ;3 2 13
a b a b c d c d x y
         
Tìm GTNN của        
2 2 2 2
P x a y b x c y d
       

4. 5.Cho hai số a,b thỏa mãn điều kiện a - 2b + 2 = 0
Chứng minh rằng : 2 2 2 2
6 10 34 10 14 74 6
a b a b a b a b
         
6.Cho bốn số a,b,c,d thỏa mãn điều kiện:a + 2b = 9;c + 2d = 4
Cmr: 2 2 2 2 2 2 2 2
12 8 52 2 2 4 8 20 4 5
a b a b a b c d ac bd c d c d
               
7.Cho bốn số thực a,b,c,d thỏa mãn : 2 2
6; 1
c d a b
   
Cmr: 2 2
2 2 18 6 2
c d ac bd
    
8.Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện :    
2 2 2 2
2 ; 4 1
a b a b c d c d
      
Cmr:  
4 2 2 2 4 2 2
a b c d
      
9. .Cho a,b,c,d là bốn số thỏa mãn điều kiện : 2 2 2 2
5
a b c d
   
Cmr:
3 30
5 2 5 2 5
2
a b c d ac bd
         .Xét dấu bằng xẩy ra khi nào?
10.Cmr với mọi x,y ta đều có: 2 2 2 2
4 6 9 4 2 12 10 5
x y x x y x y
        
11.Cho a,b,c,d là bốn số thực thỏa mãn    
2 2 2 2
1 2 ; 36 12
a b a b c d c d
       
Cm:        
6 6
2 2
2 1 2 1
a c b d
      
12.Cho x,y là hai số thực thỏa mãn :
2 3 2
3 9
0, 0
x y
x y
x y
 


 

  

Cmr: 2 2
35
4 8 45
2
x y x y
     
13.Cho các số x,y thỏa mãn :
2 8 0
2 0
2 4 0
x y
x y
y x
   


  

   

Cm: 2 2
16
20
5
x y
  
III. ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM
1Chứng minh rằng với mọi  ta có
2 2
17 os 4 os +6 os 2 os +3 2 11
c c c c
   
     
2.Tìm GTNN của hàm số 2 2
4 12 2 3
y x x x x
       
3.a)Chứng minh bất đẳng thức: sin 2 ; 0;
2
tgt t t t

 
    

 
b)Cho tam giác ABC có các góc là A,B,C .
Chứng minh :
A B C
1 os 1 os 1 os
2 2 2 3 3
A B C
c c c
  
   ( A,B,C đo bằng rađian)
4.Cho  
, 0;1
a b Chứng minh rằng
   
1 1 1 1
1 1 1
x b a
x a b
a b x a x b
      
     
với  
0;1
x
 
5.Cho hàm số
2
2
os -2x+cos
x 2 os +1
x c
y
xc
 



với  
0;
 

Chứng minh : 1 1;
y x
   

5. 6.Chứng minh sin sin sin 2
A B C tgA tgB tgC 
      .với A,B,C là ba góc
của một tam giác.
7.Chứng minh sinx 1
2 2 2 ;0
2
tgx x
x


   
8.Giả sử f(x) là một đa thức bậc n thỏa mãn điều kiện   0,
f x x
 
Cmr:        
 
, ,,
... 0,
n
f x f x f x f x x
     
9.Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có
1 1 1
cot cot cot 3 3 2
sin sin sin
gA gB gC
A B C
 
     
 
 
10.Cho tam giác ABC không tù ,thỏa mãn hệ thức:
   
1 1 5
os3A+cos3B os2A+cos2B osA+cosB=
3 2 6
c c c
  .Chứng minh tam giác ABC đều
11.Cho 0
2
a b

   .Chứng minh rằng :  
a.sina-bsinb>2 cosb-cosa
12.Cho
a 1
0 q p q+1



  

.Chứng minh rằng   
1
p q p q
a p q a a

   
13.Cho

 
0
2
x .Chứng minh rằng :
3
sinx
osx
x
c
 

 
 
14.Cho tam giác ABC nhọn .Cmr:  
6 sin sin sin 12 3
tgA tgB tgC A B C
     
15.Cho a,b,c là các số không âm thỏa 2 2 2
1
a b c
   .
Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
3 3
2
a b c
b c c a a b
  
  
16.Chứng minh trong tam giác nhọn ABC ta có
   
2 1
sin sin sin
3 3
A B C tgA tgB tgC 
     
17.Cho

 
0
2
x .Cmr:
3
1
2sinx 2
2 2 2
x
tgx

 
18Cho số nguyên lẻ 3
n  .Cmr: 0
x
  ta luôn có :
2 3 2 3
1 ... 1 ... 1
2! 3! ! 2! 3! !
n n
x x x x x x
x x
n n
  
          
  
  
  
19.với giá trị nào của m thì 3 3
sin os ,
x c x m x
  
20.Cho x,y >0 .Chứng minh rằng :
2
3
2 2
4 1
8
4
xy
x x y

 
 
 
 
21.Cho 0, 0
x y
  là hai số thực thay đổi thỏa mãn   2 2
x y xy x y xy
   
Tìm GTLN của biểu thức
3 3
1 1
A
x y
 
22.Cho a,b,c là các số thỏa mãn điều kiện
3
, ,
4
a b c  
Chứng minh ta có bất đẳng thức
2 2 2
9
10
1 1 1
a b c
a b c
  
  

6. 23.(HSG Bà Rịa12-04-05)
1/Tìm cực trị của hàm số
2
1
1
x
y
x x

 
2/ Cho các số x,y,z thỏa mãn x + y + z = 3
Tìm GTNN của 2 2 2
1 1 1
P x x y y z z
        
24.Tìm GTNN của  
2 2 2
3 1 1 1 2
P x y z x y z
 
        
 
 
25. Cho , , 0
a b c  và 6
a b c
   . Cmr: 4 4 4 3 3 3
2( )
a b c a b c
    
26. Cho , , 0
a b c  và
2 2 2
1
a b c
   . Cmr:
1 1 1
( ) ( ) 2 3
a b c
a b c
     
27Cho a,b,c>0 .Cmr :
2 2 2
9
4( )
( ) ( ) ( )
a b c
a b c
b c c a a b
  
 
  
28. (Olp -2006)Cho , , 0
a b c  .Cmr:
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 6
5
( ) ( ) ( )
a b c b c a c a b
a b c b c a c a b
  
  
     
39.(Olp nhật 1997)Cho , , 0
a b c  .Cmr:
2 2 2
2 2 2 2 2 2
( ) ( ) ( ) 3
5
( ) ( ) ( )
b c a c a b a b c
b c a c a b a b c
     
  
     
40.xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện :
4
2
x y z
xyz
  




.
Tìm GTLN và NN của biểu thức 4 4 4
P x y z
   (QG -B-2004)
41. xét các số thực dương x,y,z thỏa mãn điều kiện  3
32
x y z xyz
  
Tìm GTLN và GTNN của
 
4 4 4
4
x y z
P
x y z
 

 
(QG-A-2004)
42.Các số thực dương a,b,c,d thỏa mãn a b c d
   và bc ad
 .Chứng minh rằng
b c d a d a b c
a b c d a b c d

43.Xét các số thực x,y thỏa mãn điều kiện: 3 1 3 2
x x y y
    
Tìm GTLN và GTNN của P = x + y ( QG –B-2005)
44.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn ( )
cotgx sin2 os2x
f x c
= + ,
( )
0;
x π
Î Tìm GTNN và GTLN của hàm số ( ) ( ) ( )
2 2
sin os
g x f x f c x
= QG –B-2003 )
45.Cho hàm số f xác định trên R lấy giá trị trên R và thỏa mãn ( )
cotgx sin2 os2x
f x c
= + ,
( )
0;
x π
Î Tìm GTNN và GTLN của hàm số ( ) ( ) ( ) [ ]
1 , 1;1
g x f x f x x
= - Î - ( QG –A-2003)
46.Cho x>0 và , 0; ;
2
π
a b a b
æ ö
÷
ç
Î ¹
÷
ç ÷
ç
è ø
Cmr:
sin sin
sina sin
sin sin
x b b
x a
x b b
+
æ ö æ ö
+ ÷ ÷
ç ç
>
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
+
IV-ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ LA GRĂNG
1.Chứng minh rằng nếu 0 < b < a thì ln
a b a a b
a b b
 
 
2.Chứng minh rằng nếu 0
2
a b

   thì 2 2
os os
b a b a
tgb tga
c a c b
 
  

7. 3.Chứng minh  
1
1 ; 0;1
2
n
x x x
ne
   
4.Cho m > 0 còn a,b,c là 3 số bất kỳ thỏa mãn điều kiện
0
2 1
a b c
m m m
  
 
.Chưng minh pt 2
0
ax bx c
   có ít nhất một nghiệm
thuộc khoảng  
0;1
5.Cho pt bậc n: 1
1 1 0
... 0
n n
n n
a x a x a x a


     trong đó 1 1 0
0, ,..., ,
n n
a a a a


là số thực thỏa mãn : 1 1
0
... 0
1 2
n n
a a a
a
n n

    

.Chứng minh pt đã cho có
ít nhất một nghiệm thuộc khỏang  
0;1
6.Cho các số thực a,b,c và số nguyên n > 0 thỏa mãn    
5 2 6 0
c n a b
   
Chứng minh pt : sin cos sin 0
n n
a x b x c x c
    có nghiệm thuộc khoảng 0;
2

 
 
 
7.Cho hàm số liên tục :    
: 0;1 0;1
f  có đạo hàm trên khoảng  
0;1 Thỏa mãn
   
0 0, 1 1
f f
  .Chứng minh tồn tại  
, 0;1
a b sao cho a b
 và    
, ,
1
f a f b 
8.Giải các pt sau :
a) 3 5 2.4
x x x
 
b) osx osx
3 2 osx
c c
c
 
c)   
osx osx
1 osx 2 4 3.4
c c
c
  
d) 2003 2005 4006 2
x x
x
  
9.Xét phương trình :
2 2
1 1 1 1 1
... ...
1 4 1 2
1 1
x x k x n x
     
   
Trong đó n là tham số nguyên dương
a)Cmr với mối số nguyên dương n ,pt nêu trên có duy nhất nghiệm lớn hơn 1
Kí hiệu nghiệm đó là n
x
b)Cmr dãy số  
n
x có giới hạn bằng 4 khi n
(QG-A-2002)
10.Cho hàm số ( )
f x và ( )
,
f x đồng biến trên đoạn [ ]
;
a b ,với
( ) ( ) ( ) ( )
,
1 1
,
2 2
f a a b f b b a
= - = -
Chứng minh rằng tồn tại , ,
α β δ phân biệt trong ( )
;
a b sao cho ( ) ( ) ( ) 1
, , ,
f f f
α β δ =
11.Cho [ ] [ ]
0 1 0 1
: ; ;
f ® thoả mãn các điều kiện ( ) [ ]
0 0 1
,
; ;
f x x
> " Î và ( ) ( )
0 0 1 1
,
f f
= =
Cm:tồn tại dãy số 1 2
0 ... 1
n
a a a
£ < < < £ sao cho ( )
1
1
,
n
i
i
f a
=
³
Õ
(n là số nguyên dương 2
n ³ )
12.Cho a,b,c,d là độ dài các cạnh của một tứ giác
CMR: 3
4 6
abc abd bcd acd ab ac ad bd cd
+ + + + + + +
£

8. V .DÙNG ĐỊNH NGHĨA ĐỂ TÍNH ĐẠO HÀM TẠI MỘT ĐIỂM
1.Tính đạo hàm các hs sau tại các điểm đã chỉ ra:
a)   2
1 osxcos2x...cosnx
khi x 0
0 khi x=0
c
f x x




 


tại x=0
b)  
ln osx
khi 0
x
0 khi 0
c
x
f x
x



 
 

tại x=0
2.Xác định a,b để hàm số :  
 
2
khi 0
1 khi 0
bx
x a e x
f x
ax bx x

  

 
   

có đạo hàm tại x=0
3.Cho hàm số  
p cosx +qsinx khi 0
px+q+1 khi 0
x
f x
x


 


Chứng tỏ rằng mọi cách chọn p,q hàm số f(x) không thể có đạo hàm tại x=0
VI. ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1.Giải bpt : 3 2
2 3 6 16 2 3 4
x x x x
     
2.Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất
2 2
1
2
log 11 log ax 2 3.log ax 2 1 1 0
a a
x x
 
      
 
 
3. Xác định a để bất pt sau có nghiệm duy nhất
 
2 2
1 5
log 3 log x ax+5 1 .log ax+6 0
a
a
x
 
    
 
 
4.Tìm mọi giá trị của tham số a soa cho với mối giá trị đó pt sau có đúng 3 nghiệm
phân biệt.
   
2
2 2
1
3
3
4 log 2 3 2 log 2 2 0
x a x x
x x x a
   
     
5.Tìm những giá trị của a để với mỗi giá trị đó pt:    
2 2 2
3 1 9 2
x a a x
   
có số nghiệm không nhiều hơn số nghiệm của pt
   
2 3
3
1
3 2 .3 8 4 log 3 3
2
x a a
x a x
 
     
 
 
6. Tìm những giá trị của a để pt:  
2 2 4 2
15 2 6 1 3 2 0
x m x m m
     có số nghiệm không nhiều
hơn số nghiệm của pt :   
2 3 6 8
3 1 .12 2 6 3 9 2 0,25
x m m
a x x
     
7.Giải pt :  
3
3 2
3log 1 2log
x x x
  
8.Giải hệ 5
2 3
4
tgx tgy y x
x y

  



 


9.Giải bất pt  
7 3
log log 2
x x
 

9. 10.Giải pt :
2 2
1 1
1
2 2
x x
a a
a a
   
 
 
   
   
   
với tham số  
0;1
a
11. Giải hệ:
(1)
1 1 8 (2)
tgx tgy y x
y x y
  



    


12 Giải pt:
2
osx=2

tg x
e c với ;
2 2
x
 
 
 
 
 
13 Giải pt:
2 2
3 (2 9 3) (4 2)( 1 1) 0
x x x x x
       
14.Giải pt:    
3
3 1 log (1 2 )
x
x x
VII.TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ PT CÓ NGHIỆM
1.Tìm m để pt sau có nghiệm :
2 2
1 1
x x x x m
     
2. Tìm tất cả các giá trị của a để pt:
2
1 cos
ax x
  có đúng một nghiêm 0;
2
x

 
 
 
3.Cho hàm số     
( )( )
y x x a x b với a,b là hai số thực dương khác nhau cho trước .Cmr
với mọi  
 0;1
s đều tồn tại duy nhất số thực  
 

   
 
1
0: ( )
2
s s s
a b
f
(QG-A-2006)
4.Cho pt :   2
cos2x= m+1 cos 1
x tgx

a)Giải khi m = 0
b)Tìm m để pt có nghiệm trong đoạn 0;
3

 
 
 
5.Tìm m để pt sau có nghiệm:    
4 3 3 3 4 1 1 0
m x m x m
       
6.Tìm m để tồn tại cặp số (x;y) không đồng thời bằng 0 thỏa mãn pt:
      2 2
4 3 3 4 1 0
m x m y m x y
      
7.Tìm m để pt :
1 cos8
6 2cos4
x
m
x



có nghiệm.
8.Tìm a đ pt : 2
2cos 2
ax x
+ = đúng 2 nghiệm thuộc 0
2
;
π
é ù
ê ú
ê ú
ë û
9.Cho hàm số: ( )
2
2
x
sinx+
x
f x e
= -
a) Tìm GTNN của hàm số
b) Cm pt ( ) 3
f x = có đúng hai nghiệm.
10.Chứng minh pt ( )
1
1
x
x
x x
+
= + có một nghiệm dương duy nhất
11. Cho ( ) ( )
3 2
x 0; 0
f x ax bx c a
= + + + = ¹ có 3 nghiệm phân biêt
a)Hỏi pt: ( ) ( ) ( )
2
,, ,
2 0
f x f x f x
é ù
- =
ê ú
ë û
có bao nhiêu nghiệm

10. b)Chứng minh rằng: ( )
3
3 2
27 2 9 2 3
c a ab a b
+ - < -
12.Cho pt :
2
... 0
2 2 2n
π π π
tg x tg x tg x
æ ö æ ö
æ ö ÷ ÷
ç ç
÷
ç + + + + + + =
÷ ÷
÷ ç ç
ç ÷ ÷
÷
ç ç ç
÷ ÷
è ø è ø è ø
( n là tham số)
a) Cmr v ới mối số nguy ên 2
n ³ ,pt c ó một nghiệm duy nhất trong khoảng
0
4
;
π
æ ö
÷
ç ÷
ç ÷
ç
è ø
.k í hiêụ ng đó là n
x
b)Cm dãy số ( n
x ) có giới hạn
13.Chứng minh pt ( ) 4 3 2
4 2 12 1 0
f x x x x x
= + - - + = có 4 nghiệm phân biệt 1 4
; ,
i
x i =
và hãy tính tổng
( )
2
4
2
1
2 1
1
i
i i
x
S
x
=
+
= å
-
VIII MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH
1.Tìm a ñeå heä sau coù nghieäm duy nhaát:
2 3 2
2 3 2
4 ax
x 4
y x x
y y ay
   


  


2. Tìm m để hệ pt sau có nghiệm
2x+ y-1
2 1
m
y x m
 


  


3.Giải hệ
2
2
2
1
2
1
y
x
y
x
y
x






 

 
4.Chứng tỏ rằng với mọi 0
a  thì hệ sau có nghiệm duy nhất
2
2
2
2
2
2
a
x y
y
a
y x
x

 




 


5.Tìm a để hệ
sinx=a
sin
x
y
y
y a
x





  


có nghiệm duy nhất 0 2 ,0 2
x y
 
   
6.Giải hệ:
      


     


     


3 2
3 2
3 2
3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)
3 3 ln( 1)
x x x x y
y y y y z
z z z z x
7.Giải hệ:
2
3
2
3
2
3
2 6 log (6 )
2 6 log (6 )
2 6 log (6 )
x x y x
y y z y
z z x z
    


   


   


( QG – A- 2006)

11. 8.Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (HSG12-2006)
2 3 2
1 2 2 2
2 3 2
2 3 3 3
2 3 2
1 1 1
4 ax
4 ax
............................
4 ax
n
x x x
x x x
x x x
   

  




  

6.Giải hệ:
 
 
2 1 2 2 1
2 2
1 4 .5 1 2
4 1 ln 2 0
x y x y x y
y x y x
    
   


     

( HSGQG 1999)
7.Giải hệ:
   
   
2 3
2 3
log 1 3 osx log sin 2
log 1 3sin log osx 2
c y
y c
  



  


(THTT)
8.Gọi ( )
;
x y là nghiệm của hệ pt:
2 4
3 1
x my m
mx y m
ì - = -
ï
ï
í
ï + = +
ï
î
( m là tham số)
Tìm GTLN của biểu thức 2 2
2
A x y x
= + - ,khi m thay đổi
HƯỚNG DẤN GIẢI
I.Bất đẳng thức

12. 4.   , 1,..,
m n
i i
na m n ma i k
    
7.
 
 
1
2 1
2
1
1 2
2
* :
...
* :
* :
...
m
m n m n
n
m
m n m n
n
a
m n m n na ma
a
m n csi
a
m n n m ma na
a
 
 
   

   
20.
   
 2
1 1 1
1 1 1
1 1 1
ab bc ca
A
ab bc ca abc
  
   
    
   
   
Ta có:
               
2
1 1 1 1 1 1
2 2
1 1
4 4 4 2
a b c c a b
a b a b a b
ab
      
 
      
     
Tương tự suy ra:
2
1 1 1 1
1 1 1
8
A
a b c
 
   
   
   
 
   
 
Mà:
3
3
3
1 1 1 1
1 1 1 1 4
a b c abc
 
   
     
 
   
     
Vậy:  
3
8
A dpcm

26. 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1
2
a b c d
P
ab ac ad bc bd cd bcd cda abd bca
a b c d
   
          
   
   
  
2 2
1 1 1 1 1 1 1
*
...
1 1 1 1 1 1
*
*
A B C
A
ab ac ad bc bd cd
a d
B
ab ac ad bc bd cd
a b c d
C
bcd acd dab abc
  
      
 
     
   
Ta cm: 100, 96, 64 260
A B C P
    
29.Đặt: , 1,...,
1
i
i
i
x
X i n
x
  

ta có 1
1
1
... ... 1
1 1
n
n
n
X
X
x x
X X
     
 
Từ đó suy ra:
 
1 2
1
1 1 1
... 1 . ...
1 1 1
n n
n
n X X X
X X n
     
  
(đpcm)
30. Đặt: , 1,
1998
i
i
x
X i n
   .Ta có:
1
1 1
... 1
1 1 n
X X
  
 
Từ đó suy ra:  
1... 1
n
n
X X n
  .vậy có (đpcm)
31.Đăt:
 
1
1
1
1
1 ...
; 1,..., ;
1 ...
n
i n
i n
a a
a
X i n X
a a a

  
  
  

13. Ta có:
1 1
1 1 1
...
1 1 1
n n
n
X X X 
   
  
.vậy
1
1 1
1
...
n
n n
X X X
n


 
  
 
38.
    
   
2 2
2 2 2 2 2 2 2
2 2
2 2 1
2
z z
P a x y z x y a x y
xz yz xy
  


   
         
   
   
   
   
Chọn
2
a


 
39.
  
   
2
2 2
2 2 2 2 2 2 2
16 16
1
25 2 2 25
16
2 2 1
2 25
z z
P x y z xy qx qy q x y xy
q
xz yz q xy
   
           
   
   
   
 
    
 
 
Chọn  
16 18
2 2 1
2 25 25
q
q q
    
2
ax
5
6
M
a
P  khi 3
3
5 3
a
x y
a
z

  



  


39Do vai trò của a và d,bvà c trong biểu thức trên ta dự đoán điểm cực trị
sẽ đạt được tại các bộ số thỏa đk: 2 2 2 2
,
a d c d
  .với p>0xác định sau ta có
cộng theo vế :
    
2 2 2 2
5 10
5 5
p
P p a d b c
p

     Chọn p thỏa :
1 2 1 5
1
2
p
p p
p
 
   
Vậy
 
ax
5 3 5
2
m
P


43.Ứng dung đk có nghiệm của hpt đx
II PHƯƠNG PHÁP HÌNH HỌC
1.Gọi    
; , ;
M a b N c d Từ gt suy ra M,N nằm trên đường tròn 2 2
4
x y
  và đường
thẳng
4
x y
  .Dễ thấy      
2 2 2
2 20 20
ac bd cd a c b d MN
         
Mà 2
12 8 2
MN   nên  
2 8 8 2 4 4 2
ac bd cd ac bd cd
          
Vậy axP=4+4 2
m khi 2; 2
a b c d
   

14. 2.và 3 tương tự
4.Gọi      
; , , , ;
N a b Q c d M x y Từ gt suy ra N,Q,M lần lượt thuộc các đường tròn
           
2 2 2 2
1 2
: 4 5 1, : 2 3 1
C x y C x y
        và đường thẳng
 
 :3 2 13 0
x y
  
Khi đó P MQ MN
 
Gọi 1
,
I R và 2
,
J R lần lượt là tâm và bán kính của    
1 2
,
C C
Lấy  
;
K u v đốixứng với I qua  
 thì 118 21
;
13 13
K
 
 
 
     
 
1 2
2 13 1
P MQ MN MJ JQ MI IN MJ MK R R
         
 
Đẳng thức xẩy ra khi và chỉ khi 1 1 1
, ,
M M Q Q N N
   .Trong đó 1 1
,
M Q là giao
Của JK với  
 và  
2
C còn  
1 1 1
N M I C
 
Vậy  
min 2 3 1
P  
III ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ CM BĐT
3.Từ câu a) ta có
1 ost ost
cot
2t sin
c c
gt
t

  .và vì cot cot 3 3
2 2 2
A B C
g cogt g
   nên có đpcm
4.Hàm số      
1 1 1
1 1 1
x b a
f x x a b
a b x a x b
      
     
với  
0;1
x 
có đạo hàm cấp hai không âm nên đạo hàm cấp một có nhiều nhất 1 nghiệm
1
TH :  
,
0
f x  VN Thì      
 
ax f 0 ; 1 1
f x M f
 
2
TH :  
,
0
f x  có nghiệm duy nhất x 
 thì vì  
,
f x đồng biến nên  là điểm
cực tiểu vì vậy
 
     
 
0;1
ax 0 ; 1 1
axf x m f f
m   (đpcm)
8.Đặt          
,
...
n
F x f x f x f x
    thì
       
     
, , ,
...
n
F x f x f x f x F x f x
      (1)
vì f là đa thức bậc n nên    
1
0
n
f x

 .Từ gt bài toán suy ra f là đa thức bậc chẵn
có hệ số cao nhất dương do đó F đạt GTNN.Giả sử F đạt GTNN tại 0
x Thì
 
,
0 0
F x 
vậy từ (1) suy ra        
,
0 0 0 0 0
F x F x f x f x
    (đpcm)
12.      
1 p+q 1 0
p q p q p q p q
a a a a p q a a
 
        
Hàm số:      1
p q p q
f x x p q x x

     đồng biến trên  
1;
Và có  
1 0
f  nên từ 1
a ta có (đpcm)
13.Cô lập x và xét dấu đạo hàm của   2 3
sin .
f x x tgx x
 
Chú ý:    
2 2
2 2 1 1
2sin 2sinx+tgx 3
3 3
x tg x x
  

15. *Cũng có thể xét đến đạo hàm cấp 3 để khư x
15.Từ dự đoán điểm rơi dẫn đến xét hàm số có điểm cực trị 1
3
x  là
 
3 2
1
y x x x x
   
23.
2
1
1
x
y
x x


 
đạt cực đại duy nhất bằng 2 tại x=1
nên 2 2 2
1 1 1
P x x y y z z
         nhỏ nhất bằng 3
*có thể dùng bunhia hoặc hàm lồi
40.
   
       
   
2
4 4 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2
2 2
2 2
2
2 2 2
16 2 2 16
P x y z x y z x y y z z x
x y z xy yz zx xy yz zx xyz x y z
t t
        
   
           
   
   
   
với t=xy + yz +zx
   
2
4
t x y z yz x x
x
     
Vì
2
4 2 4
3 5;2
2 2 2
y z x x
yz x
x
  
   
      
   
 
do (0<x<4)
Từ đó tìm được min và max của P
41.Tương tự40
42. Lấy ln hai vế ta có      
ln ln ln ln
d b c a c a d b
     (1)
Nếu a c
 hoặc d b
 thì hiển nhiên đúng
Xét a c
 và d b
 .Khi đó (1)  
ln ln
ln ln ln ln
1
1 1
c d
c a d b a b
c d
c a d b
a b
a b
 
   
     
 
   
   
Xét hàm số :    
ln
, 1,
1
x
f x x
x
  

nghịch biến trên 
1, Suy ra:
ln ln ln ln
1 1 1 1
c d c d
c d a b a b
f f
c d c d
a b
a b
a b a b
   
    
   
       
       
       
       
44,45. Biểu diễn sin 2 , os2x
x c theo cotgx ta được ( )
2
2
2 1
1
t t
f t
t
+ -
=
+
IV ÚNG DỤNG ĐỊNH LÍ LAGRANG
6. xét hàm số ( )
2 2
3 2
2 sin 2 sin 2
sin os
2 2 3
n n
a x b x c
f x x cc x
n n
+ +
= - + -
+ +
8.a) 3 5 2 4 5 4 4 3
.
x x x x x x x
+ = « - = - (1) .Giả sử pt có nghiệm x α
=
Xét hàm số ( ) ( )
1 0
,
f t t t t
α α
= + - > có ( ) ( )
4 3
f f
= .Do đó tồn tại ( )
3 4
;
c Î

16. Sao cho ( ) ( ) 1 1 0
0 1 0
1
,
f c c c
α α α
α
α
- - é =
é ù ê
= « + - = «
ê ú ê
ë û =
ë
Thử lại thấy 0
x = và 1
x = đều thỏa mãn (1)
Vậy pt có hai nghiệm 0
x = , 1
x =
b) 2 3 3 2 2
t
t=cosx 3 t t t
t t t
® - = « - = - . Giả sử pt có nghiệm x α
=
Xét ( )
f t t t
α
α
= - thì ( ) ( )
3 2
f f
= suy ra pt ( ) 0
,
f t = có nghiệm có
nghiệm ( )
2 3
;
c Î .
( ) ( ) ( )
, 1 , 1 0
1 0
1
α α α
f t αt α f c α c
α
- - é =
ê
= - ® = - = Û
ê =
ë
c)Đặt 1 1
cos ,
t x t
= - £ £
Ta có pt: ( )( ) ( )
3 4
1 2 4 3 4 1 0
2 4
.
.
t
t t
t
t f t t
+ + = « = - - =
+
( )
( )
( ) ( )
2
2
6 4 4
1 0 6 4 4 2 4
2 4
, ,
ln .
, ln .
t
t t
t
f t f t
= - = « = +
+
.Đây là pt bậc hai theo 4t
nên có không quá hai nghiệm do đó pt ( ) 0
f t = có không quá 3 nghiệm
Ta thấy
1
0 1
2
, ,
t t t
= = = là 3 nghiệm của pt…
C) Xét ( ) 2003 2005 4006 2
x x
f x x
= + - - có đạo hàm cấp hai dương
Và ( ) ( )
0 1 0
f f
= = .vậy pt có hai nghiệm là 0 và 1
9)Viết lại pt dưới dạng ( ) 2
1 1 1 1
0
2 1 4 1 1
...
n
f x
x x n x
= - + + + + =
- - -
(1)
Dễ thấy ,với mỗi Ν*
n Î hàm ( )
n
f x liên tục và nghịch biến trên ( )
1;+ ¥
Hơn nữa ( )
n
f x ® + ¥ khi 1
x +
® và ( )
1
2
n
f x ® - khi x ® + ¥ .Từ đó suy ra
Với mỗi Ν*
n Î ,pt(1) có duy nhất nghiệm 1
n
x >
Với mỗi Ν*
n Î ,ta có
( )
( )
( )
( )
2 2 2
1 1 1 1
4
2 2 1 4 1 2 1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1
2 3 3 5 2 1 2 1 2 1 2 1
1
0
2 2 1
...
... ...
n
f
n
k k n n
f x
n
= - + + + +
- - -
æ ö
÷
ç
= - + - + - + + - + + - ÷
ç ÷
ç
è ø
- - - +
= - < =
+
Từ đó, dohàm ( )
n
f x trên ( )
1;+ ¥ nên 4
n
x < với mọi Ν*
n Î (2)
Mặt khác hàm ( )
n
f x có đạo hàm trên [ ]
4
,
n
x nên theo định lí Lagrange
Với mỗi Ν*
n Î tồn tại ( )
4
;
n
t x
Î sao cho
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( )
2
2 2 2
4 1 4 1
Ν
4 9
1
1 4 1
, *
...
n n n
n
f f x n
f t n
x n t
t t
- - - -
= = + + + < - " Î
- -
- -

17. Hay
( )( ) ( )
1 1 9
Ν 4 Ν
2 2 1 4 9 2 2 1
* *
n
n
n x n
n x n
-
< - " Î Þ > - " Î
+ - +
(3)
từ (2) và (3) :
( )
9
4 4 Ν
2 2 1
*
,
n
x n
n
- < < " Î
+
suy ra 4
lim n
x = (đpcm)
III .ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM ĐK ĐỂ PT CÓ NGHIỆM
2. ( )
1 0
2
2
2
osx-1
ax osx , ;
x
c
c a f x x
π
æ ö
÷
ç
+ = Û = = " Î ÷
ç ÷
ç
è ø
Tìm miền giá trị của f(x) ta được a cần tìm
3.Hàm số ( )( )
y x x a x b
= - + + + có miền giá trị trên ( )
0;+ ¥ là
2
;
a b
ab
æ ö
+ ÷
ç ÷
ç ÷
ç
è ø
Do đó chỉ cần cm:
1
2 2
s s s
a b a b
ab
æ ö
+ +
÷
ç ÷
ç
< <
÷
ç ÷
ç ÷
ç
è ø
,với mọi ( )
0 1
;
sÎ
4
.
( ) ( )
4 3 3 3 4 1 1 0
3 3 4 1 1
4 3 3 1 1
m x m x m
x x
m
x x
- + + - - + - =
+ + - +
Û =
+ + - +
Chú ý:
2 2
3 1
1
2 2
x x
æ ö æ ö
+ -
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
+ =
ç ç
÷ ÷
ç ç
÷ ÷
÷ ÷
ç ç
è ø è ø
.Do đó lượng giác hóa và đưa về ẩn phụ
2
t tg
α
=
Rồi khảo sát hàm số thu được theo t
5.Tương tự 4
10. ( ) ( ) ( ) ( )
1
1 1 1 0
ln ln
x
x
x x f x x x x x
+
= + Û = + - + =
Ta có ( )
1 1 1 1 1 1
1 0
1 1
,
ln
f x
x x x x x x
æ ö
÷
ç
= + - - < - - <
÷
ç ÷
ç
è ø + +
với x>0 vậy f Nb
Mà ( )
1 2 0
ln
f = > và
( ) ( ) ( )
( )
1
1
1 1 1
1
1 1
ln ln
lim lim
ln ln
lim
x x
x
x
f x x x
x
x
x
® + ¥ ® + ¥
+
® + ¥
é ù
æ ö
÷
ç
ê ú
= + + - +
÷
ç ÷
ç
ê ú
è ø
ë û
é ù
æ ö
ê ú
÷
ç
= + - + = - ¥
÷
ç
ê ú
÷
ç
è ø
ê ú
ë û
Kết hợp f liên tục trong ( )
0,+ ¥ suy ra pt có nghiệm dương duy nhất .