1. Distribución de
Probabilidades
REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO P. P. POPULAR DE LA EDUCACION SUPERIOR
INSTITUTO UNIVERSITARIO POLITECNICO “SANTIAGO MARIÑO”
MATURIN-MONAGAS
Tutor:
Ing. AMELIA MALAVE
Realizado Por: Henrry Navarro
C.I.: V-10.308.539
Maturín, Julio de 2014
2. Distribución de
Probabilidades
Es la que nos indica mediante una lista todos los resultados
posibles de un experimento, junto con la probabilidad
correspondiente a cada uno de los resultados.
4. Variables Aleatorias
Es la cantidad que resulta de un experimento, puede
tomar distintos valor debido al azar
Se Clasifican en:
DISCRETAS
es aquella que sólo
puede tomar
valores enteros
CONTINUAS
es aquella
que puede tomar
todos los valores
posibles dentro de
un cierto intervalo
5. Función de Probabilidad
Ejemplo:
Podemos obtener las frecuencias
relativas de las calificaciones de un
curso y disponerlas en una tabla:
La Función de Probabilidad es la probabilidad de que la
variable aleatoria tome un valor particular:
6. Asignando un número a cada
calificación, y sustituyendo el símbolo
de frecuencia relativa por el de
probabilidad:
Finalmente tenemos la distribución de probabilidad de la variable
"calificación académica en la asignatura X". La distribución de
probabilidad de una variable aleatoria se define como el conjunto
de valores de la variable acompañados de sus probabilidades.
7. Función de Distribución
Sea X una variable aleatoria discreta cuyos valores
suponemos ordenados de menor a mayor.
Llamaremos función de distribución de la variable X,
y escribiremos F(x) a la función:
F(x) = p(X ≤ x)
La función de distribución asocia a cada valor de la
variable aleatoria la probabilidad acumulada hasta ese
valor.
Ejemplo:
Si añadimos una nueva columna con
las probabilidades acumuladas,
tenemos la función de distribución de
la v.a.
8. Mediana de una distribución
de probabilidades
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando
éstos están ordenados de menor a mayor.
La mediana se representa por Me.
La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
Cálculo de la mediana Datos Agrupados
1. Ordenamos los datos de menor a mayor.
2. Si la serie tiene un número impar de medidas la mediana es
la puntuación central de la misma.
2, 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6Me = 5
3. Si la serie tiene un número par de puntuaciones la mediana es
la media entre las dos puntuaciones centrales.
7, 8, 9, 10, 11, 12Me = 9.5
9. Mediana de una distribución
de probabilidades
Es el valor que ocupa el lugar central de todos los datos cuando
éstos están ordenados de menor a mayor.
La mediana se representa por Me.
La mediana se puede hallar sólo para variables cuantitativas.
Cálculo de la mediana para datos No Agrupados
La mediana se encuentra en el intervalo donde la frecuencia
acumulada llega hasta la mitad de la suma de las frecuencias
absolutas.
Es decir tenemos que buscar el intervalo en el que se encuentre
Li es el límite inferior de la clase donde se
encuentra la mediana.
es la semisuma de las frecuencias absolutas.
10. Fi-1 es la frecuencia acumulada anterior a la
clase mediana
ai es la amplitud de la clase.
La mediana es independiente de las amplitudes de los intervalos
Ejemplo:
fi Fi
[60, 63) 5 5
[63, 66) 18 23
[66, 69) 42 65
[69, 72) 27 92
[72, 75) 8 100
100
Calcular la mediana de una distribución estadística
que viene dada por la siguiente tabla:
11. Media
La media llamada también valor esperado,
esperanza matemática o simplemente esperanza de una
distribución de probabilidad discreta es la media aritmética
ponderada de todos los resultados posibles en los cuales los pesos
son las probabilidades respectivas de tales resultados. Se halla
multiplicando cada resultado posible por su probabilidad y sumando
los resultados. Se expresa mediante la siguiente fórmula:
12. Varianza
La varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado con respecto a la
media. La varianza mide la dispersión de los resultados alrededor de la media y se halla
calculando las diferencias entre cada uno de los resultados y su media, luego tales
diferencias se elevan al cuadrado y se multiplican por sus respectivas probabilidades, y
finalmente se suman los resultados: es necesario calcular la desviación estándar que se
expresa en las mismas unidades que la variable aleatoria y que por lo tanto tiene una
interpretación más lógica de la dispersión de los resultados alrededor de la media.
Se expresa mediante la siguiente fórmula:
Desviación EstándarVarianza
13. Distribución Binomial
Esta distribución aparece de forma natural al realizar
repeticiones independientes de un experimento que tenga
respuesta binaria, generalmente clasificada como “éxito” o
“fracaso”.
1. En cada prueba del experimento sólo son posibles dos resultados: el suceso A
(éxito) y su contrario
2. La probabilidad del suceso A es constante, es decir, que no varía de una prueba a
otra. Se representa por p.
3. El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados
obtenidos anteriormente
n es el número de pruebas de que consta el experimento.
p es la probabilidad de éxito.
La probabilidad de es 1− p, y la representamos por q.
La distribución binomial se suele representar por B(n, p).
14. Ejemplo:
Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la
probabilidad de que salgan tres caras.
K=3 , n=4 , p=0.5 (50%), q=0.5(50%)
P(X=3)= 4 *0.53*(1-0.5)1
3*(4-3)
= 0.833 La probabilidad de que salgan 3 caras es de 83.33% de
probabilidad que salgan 3 caras
15. Distribución
Hipergeometrica
En estadística, la distribución hipergeométrica es una de
las distribuciones de probabilidad discreta. Esta
distribución se utiliza para calcular la probabilidad de una
selección aleatoria de un objeto sin repetición. Aquí, el
tamaño de la población es el número total de objetos en
el experimento.
Su formula: Donde:
A continuación
explicamos:
16. Ejemplo: En una urna hay 7 bolas blancas y 5 negras. Se
sacan 4 bolas ¿Cuál es la probabilidad de que 3 sean
blancas?
Tenemos:
N = 12; N1 = 7; N2 = 5; k = 3; n = 4
Por lo tanto, P (x = 3) = 0,3535. Es
decir, la probabilidad de sacar 3 bolas
blancas es del 35,3%
17. Distribución de Poisson
Llamada así por su autor Siméon Denis Poisson, probabilista del siglo XIX,
representa el número de éxitos independientes que ocurren para intervalos
de medida específicos ( tiempos, lugares, espacios) , además con una
probabilidad de ocurrencia pequeña. Se le llama también; distribución de
los "eventos raros" pues se usa como aproximación a la binomial cuando el
tamaño de muestra es grande y la proporción de éxitos es pequeña. Esos
intervalos de medida pueden referirse a: Tiempo: (Segundo , minuto, hora,
día, semana, etc.) Área: (Segmento de línea, pulgada cuadrada, Centímetro
cuadrado, entre otras). Volumen:( Litro, galón, onza, entre otras.)
Su formula:
donde:
p(x, l) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número
promedio de ocurrencia de ellos es l
l = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o
producto
e = 2.718
x = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que
ocurra
18. Ejemplo:
Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día,
¿cuáles son las probabilidades de que reciba, a) cuatro cheques sin
fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de
dos días consecutivos?
a) x = variable que nos define el número de cheques sin fondo que
llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, ....., etc, etc.
l = 6 cheques sin fondo por día
e = 2.718
Es decir la probabilidad de Poisson es de 13.3% de recibir 4
cheques sin fondo al día.
19. b) x= variable que nos define el número de cheques sin fondo que
llegan al banco en dos días consecutivos = 0, 1, 2, 3, ......, etc., etc.
l = 6 x 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco en
dos días consecutivos
Nota: l siempre debe de estar en función de x siempre o dicho de otra
forma, debe “hablar” de lo mismo que x.
Es decir la probabilidad de Poisson es de 32.9% de recibir 4
cheques sin fondo en dos días consecutivos.
