Este documento presenta el segundo tema de matemáticas sobre números reales. Introduce los números reales, incluyendo números racionales e irracionales. Explica propiedades de los números reales como conmutativa, asociativa e identidad. También cubre conjuntos de números reales, operaciones con conjuntos, desigualdades, definición de valor absoluto y desigualdades con valor absoluto.

1. 2021
Universidad Politécnica
Territorial de Lara "Andrés Eloy
Blanco"
Heiker Pinto. C.I: 30125671
MATEMATICA-Grupo-B
[MATEMATICAS SEGUNDO
TEMA]
Continuandoconnuestrostrabajosvíaonline,procedoaenviarel segundotema

2. Índice
1. Introducción…página 01
2. Números Reales… página 02
3. Propiedades de los números Reales…página 02
4. Conjunto de los números Reales…página 06
5. Operaciones con conjuntos…página 07
6. Desigualdades…página 08
7. Definición de valor…página 08
8. Absoluto…página 09
9. Desigualdades con valor absoluto…página 09

3. Introducción
–Continuando las actividades de matemática a continuación se le dará a
desarrollar el segundo tema. Aquí se mostrara todo lo antes dicho en el índice.

4. Números Reales
–Se puede definir a los números reales como aquellos números que tienen
expansión decimal periódica o tienen expansión decimal no periódica.
Por ejemplo:
a) 3 es un número real ya que 3 = 3,00000000000….
b) ½ es un número real ya que ½ = 0,5000000000….
c) 1/3 es un número real y a que 1/3 = 0,3333333333333….
d) 2es un número real ya que 2= 1,4142135623730950488016887242097….
e) 0,1234567891011121314151617181920212223…. Es un número real.
Los números reales son todos aquellos números que se encuentran incluidos
dentro de los números racionales. Pueden ser positivos, negativos e incluir al
número 0, como el caso delos números irracionales. Estos números pueden ser
escritos de diferentes maneras, algunas de ellas muy simples usados
generalmente en operaciones matemáticas sencillas, y en formas más complejas.
En este grupo de números también se encuentran incluidas las fracciones de
números enteros que tengan en su denominador números que no sean nulos.
Propiedades de los números Reales
Propiedad: Conmutativa
Operación: Suma y Resta
Definición: a+b = b+a
Que dice: El orden al sumar o multiplicar reales no afecta el
Resultado.Ejemplo:2+8 = 8+2 5(-3) = ( -3)5
Propiedad: Asociativa
Operación: Suma y Multiplicación
Definición: a+(b+c)=(a+b)+c------ a(bc) = (ab)c
Que dice: Puedes hacer diferentes asociaciones al sumar o multiplicar reales y
no se afecta el
Resultado.Ejemplo:7+(6+1)=(7+6)+1 -2(4x7)= (-2x4)7
Propiedad: Identidad
Operación: Suma y Multiplicación

5. Definición: a + 0 = a------ a x 1= a
Que dice: Todo real sumado a 0 se queda igual; el 0 es la identidad aditiva. Todo
real multiplicado por 1 se queda igual; el 1 es la identidad multiplicativa. Ejemplo:-
11 + 0 = -11 17 x 1 = 17Propiedad: Inversos
Operación: Suma y Multiplicación
Definición: a + (-a) = 0------(a)1/a=1
Que dice: La suma de opuestos es cero. El producto de recíprocos es 1.
Ejemplos: 15+ (-15) = 0 1/4(4)=1
Propiedad: Distributiva
Operación: Suma respecto a Multiplicación
Definición: a (b + c) = ab + a c
Que dice: El factor se distribuye a cada sumando.Ejemplos:2(x+8) = 2(x) + 2(8)
Propiedades de las igualdades
Propiedad Reflexiva
Establece que toda cantidad o expresión es igual a sí misma.
Ejemplo: 2a = 2a; 7 + 8 = 7 + 8; x = x
Propiedad Simétrica
Consiste en poder cambiar el orden de los miembros sin que la igualdad se altere.
Ejemplo: Si 39 + 11 = 50, entonces 50 = 39 + 11Si a - b = c, entonces c = a - bSi x
= y, entonces y = x
Propiedad Transitiva
Enuncia que si dos igualdades tienen un miembro en común los otros dos
miembros también son iguales.
Ejemplo: Si 4 + 6 = 10 y 5 + 5 = 10, entonces 4 + 6 = 5 + 5Si x + y = z y a + b = z,
entonces x + y = a + b Si m = n y n = p, entonces m = p
Propiedad Uniforme

6. Establece que si se aumenta o disminuye la misma cantidad en ambos miembros,
la igualdad se conserva.
Ejemplo: Si 2 + 5 = 7, entonces (2 + 5) (3) = (7) (3)Si a = b, entonces a + x = b + x
Propiedad Cancelativa
Dice que en una igualdad se pueden suprimir dos elementos iguales en ambos
miembros y la igualdad no se altera.
Ejemplos: Si (2 x 6) - 4 = 12 - 4, entonces 2 x 6 = 12Si a + b = c + b, entonces a =
c
Conjunto de los números Reales
–De acuerdo a lo anteriormente expuesto, el conjunto de los números reales se
define como la unión de dos tipos de números, a saber; los números racionales,
los números irracionales. En matemáticas, un conjunto es una colección de
elementos con características similares considerada en sí misma como un objeto.
Los elementos de un conjunto, pueden ser las
siguientes: personas, números, colores, letras, figuras, etc. Se dice que
un elemento (o miembro) pertenece al conjunto si está definido como incluido de
algún modo dentro de él.
Ejemplo: el conjunto de los colores del arcoíris es:
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta}
Un conjunto suele definirse mediante una propiedad que todos sus elementos
poseen. Por ejemplo, para los números naturales, si se considera la propiedad
de ser un número primo, el conjunto de los números primos es:
P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}
Un conjunto queda definido únicamente por sus miembros y por nada más.
En particular, un conjunto puede escribirse como una lista de elementos,
pero cambiar el orden de dicha lista o añadir elementos repetidos no define
un conjunto nuevo. Por ejemplo:
S = {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes} = {martes, viernes, jueves,
lunes, miércoles}
AI = {rojo, naranja, amarillo, verde, azul, añil, violeta} = {amarillo, naranja,
rojo, verde, violeta, añil, azul}
Los conjuntos pueden ser finitos o infinitos. El conjunto de los
números naturales es infinito, pero el conjunto de los planetas del
sistema solar es finito (tiene ocho elementos). Además, los
conjuntos pueden combinarse mediante operaciones, de manera
similar a las operaciones con números.

7. Los conjuntos son un concepto primitivo, en el sentido de que no es
posible definirlos en términos de nociones más elementales, por lo
que su estudio puede realizarse de manera informal, apelando a la
intuición y a la lógica. Por otro lado, son el concepto fundamental de
la matemática: mediante ellos puede formularse el resto de objetos
matemáticos, como los números y las funciones, entre otros. Su
estudio detallado requiere pues la introducción de axiomas y
conduce a la teoría de conjuntos
Operaciones con conjuntos.
– Existen varias operaciones básicas que pueden realizarse, partiendo de ciertos
conjuntos dados, para obtener nuevos conjuntos:
 Unión: (símbolo ∪) La unión de dos conjuntos A y B, que se representa
como A ∪ B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al
menos a uno de los conjuntos A y B.
 Intersección: (símbolo ∩) La intersección de dos conjuntos A y B es el
conjunto A ∩ B de los elementos comunes a A y B
 Diferencia: (símbolo ) La diferencia del conjunto A con B es el
conjunto A B que resulta de eliminar de A cualquier elemento que esté
en B.
 Complemento: El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que
contiene todos los elementos que no pertenecen a A, respecto a
un conjunto U que lo contiene.
 Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos
conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que
pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
 Diferencia simétrica: (símbolo Δ) La diferencia simétrica de dos
conjuntos A y B es el conjunto A Δ B con todos los elementos que
pertenecen, o bien a A, o bien a B, pero no a ambos a la vez.
 Producto cartesiano: (símbolo ×) El producto cartesiano de dos
conjuntos A y B es el conjunto A × B de todos los pares
ordenados (a, b) formados con un primer elemento a perteneciente a A, y
un segundo elemento b perteneciente a B.
Ejemplos
 {1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}
 {5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}
 {5, z, ♠} {♠, a} = {5, z}
 {♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}
 {1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}

8. Desigualdades.
– En matemáticas, una desigualdad es una relación de orden que se da entre dos
valores cuando estos son distintos (en caso de ser iguales, lo que se tiene es
una igualdad).
Si los valores en cuestión son elementos de un conjunto ordenado, como
los enteros o los reales, entonces pueden ser comparados.
 La notación a < b significa a es menor que b;
 La notación a > b significa a es mayor que b
Estas relaciones se conocen como desigualdades estrictas, puesto que a no
puede ser igual a b; también puede leerse como "estrictamente menor que" o
"estrictamente mayor que"
 La notación a ≤ b significa a es menor o igual que b;
 La notación a ≥ b significa a es mayor o igual que b;
Estos tipos de desigualdades reciben el nombre de desigualdades amplias (o no
estrictas).
 La notación a ≪ b significa a es mucho menor que b;
 La notación a ≫ b significa a es mucho mayor que b; esta relación indica por lo
general una diferencia de varios órdenes de magnitud.
 La notación a ≠ b significa que a no es igual a b. Tal expresión no indica si uno
es mayor que el otro, o siquiera si son comparables.
Generalmente se tienden a confundir los operadores según la posición de los
elementos que se están comparando; didácticamente se enseña que la abertura
está del lado del elemento mayor. Otra forma de recordar el significado, es
recordando que el signo señala/apunta al elemento menor.
Definición de Valor
– En el área de las matemáticas el significado de valor puede referirse a:
Valor absoluto: como valor absoluto se denomina el valor que en sí posee un
número sin considerar el signo junto el cual se encuentra.
Valor posicional: se refiere a la capacidad que tienen los números para
representar diferentes valores, dependiendo de su posición en la cifra.
Es decir, por un lado, se considera el valor absoluto del número, el valor que tiene
en sí, y por otro, el que tiene de acuerdo a la posición que ocupe dentro de una
cifra. Entre más a la izquierda se sitúe, mayor será este.

9. Valor relativo: es aquel valor que un número ostente en comparación con otro.
Absoluto
– El valor absoluto es siempre un número positivo excepto el cero, ya que cero no
es ni positivo ni negativo. El valor absoluto se refiere a la distancia de un número
desde cero, independientemente de la dirección. La distancia es siempre positiva,
ya que el valor absoluto de un número no puede ser negativo. Utilice este término
para referirse a la distancia de un punto o número desde el origen (cero) de una
recta numérica.
Ejemplos
El símbolo para mostrar el valor absoluto son dos líneas verticales : | -5 | = 5. Esto
significa que el valor absoluto de "-5" es "5" porque "-5" está a cinco unidades de
cero. Dicho de otra manera:
| 5 | muestra que el valor absoluto de 5 es 5.
| -5 | muestra que el valor absoluto de -5 es 5
Desigualdades con Valor Absoluto
– Una desigualdad de valor absoluto es una desigualdad que tiene un signo de
valor absoluto con una variable dentro.
Desigualdades de valor absoluto (<):
La desigualdad | x | < 4 significa que la distancia entre x y 0 es menor que 4.
Así, x > -4 Y x < 4. El conjunto solución es .
Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.

10. Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
La solución es la intersección de las soluciones de estos dos casos.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b , si | a | < b ,
entonces a < b Y a > - b .
Ejemplo 1 :
Resuelva y grafique.
| x – 7| < 3
Para resolver este tipo de desigualdad, necesitamos descomponerla en
una desigualdad compuesta
x – 7 < 3 Y x – 7 > –3
–3 < x – 7 < 3
Sume 7 en cada expresión.
-3 + 7 < x - 7 + 7 < 3 + 7
4 < x <10
La gráfica se vería así:
Desigualdades de valor absoluto (>):
La desigualdad | x | > 4 significa que la distancia entre x y 0 es mayor que 4.
Así, x < -4 O x > 4. El conjunto solución es .

11. Cuando se resuelven desigualdades de valor absoluto, hay dos casos a considerar.
Caso 1: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es positiva.
Caso 2: La expresión dentro de los símbolos de valor absoluto es negativa.
En otras palabras, para cualesquiera números reales a y b, si | a | > b ,
entonces a > b O a < - b .