Estatica unidad 2 del angel_lugo_hector_hugo

TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO
INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL
(I.T.C.A.)
MATERIA:
ESTATICA
CATEDRÁTICO:
ING. JOSE VICTOR TRINIDAD PUENTE
ALUMNO:
HECTOR HUGO DEL ANGEL LUGO
N° DE CONTROL: 17500064
ESPECIALIDAD:
CIVIL
CERRO AZUL. VER.

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INDICE
TEMA 2 EQULIBRIO DE UNA PARTICULA ........................................................................... 3
2.1 Condiciones de equilibrio...................................................................................................... 3
2.2 ecuaciones de equilibrio................................................................................................................ 6
2.3 resultante del sistema de fuerzas.......................................................................................... 15

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TEMA 2 EQULIBRIO DE UNA PARTICULA
Por definición una partícula puede tener solo movimiento de traslación. Si la
resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es cero, la partícula está
moviéndose con velocidad constante o está en reposo; en este último caso se dice
que está en equilibrio estático. Pero el movimiento de un cuerpo rígido en general
es de traslación y de rotación. En este caso, si la resultante tanto de las fuerzas
como de los torques que actúan sobre el cuerpo rígido es cero, este no tendrá
aceleración lineal ni aceleración angular, y si está en reposo, estará en equilibrio
estático. La rama de la mecánica que estudia el equilibrio estático de los cuerpos se
llama estática.
Para que un cuerpo rígido este en equilibrio estático se deben cumplir dos requisitos
simultáneamente, llamados condiciones de equilibrio. La primera condición de
equilibrio es la Primera Ley de Newton, que garantiza el equilibrio de traslación. La
segunda condición de equilibrio, corresponde al equilibrio de rotación, se enuncia
de la siguiente forma: “la suma vectorial de todos los torques externos que actúan
sobre un cuerpo rígido alrededor de cualquier origen es cero”.
2.1 Condiciones de equilibrio
Las condiciones de equilibrio son las leyes que rigen la estática. La estática es la
ciencia que estudia las fuerzas que se aplican a un cuerpo para describir un sistema
en equilibrio. Diremos que un sistema está en equilibrio cuando los cuerpos que lo
forman están en reposo, es decir, sin movimiento. Las fuerzas que se aplican sobre
un cuerpo pueden ser de tres formas:
-Fuerzas angulares: Dos fuerzas se dice que son angulares, cuando actúan sobre
un mismo punto formando un ángulo.

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-Fuerzas colineales: Dos fuerzas son colineales cuando la recta de acción es la
misma, aunque las fuerzas pueden estar en la misma dirección o en direcciones
opuestas.
-Fuerzas paralelas: Dos fuerzas son paralelas cuando sus direcciones son
paralelas, es decir, las rectas de acción son paralelas, pudiendo también aplicarse
en la misma dirección o en sentido contrario.
A nuestro alrededor podemos encontrar numerosos cuerpos que se encuentran en
equilibrio. La explicación física para que esto ocurra se debe a las condiciones de
equilibrio:
-Primera condición de equilibrio:Diremos que un cuerpo se encuentra en
equilibrio de traslación cuando la fuerza resultante de todas las fuerzas que actúan
sobre él es nula: ∑ F = 0.
Desde el punto de vista matemático, en el caso de fuerzas coplanarias, se tiene que
cumplir que la suma aritmética de las fuerzas o de sus componentes que están el la
dirección positiva del eje X sea igual a las componentes de las que están en la
dirección negativa. De forma análoga, la suma aritmética de las componentes que
están en la dirección positiva del eje Y tiene que ser igual a las componentes que
se encuentran en la dirección negativa:

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Por otro lado, desde el punto de vista geométrico, se tiene que cumplir que las
fuerzas que actúan sobre un cuerpo en equilibrio tienen un gráfico con forma de
polígono cerrado; ya que en el gráfico de las fuerzas, el origen de cada fuerza se
representa a partir del extremo de la fuerza anterior, tal y como podemos observar
en la siguiente imagen.
El hecho de que su gráfico corresponda a un polígono cerrado verifica que la fuerza
resultante sea nula, ya que el origen de la primera fuerza (F1) coincide con el
extremo de la última (F4).
-Segunda condición de equilibrio: Por otro lado, diremos que un cuerpo está en
equilibrio de rotación cuando la suma de todas las fuerzas que se ejercen en él
respecto a cualquier punto es nula. O dicho de otro modo, cuando la suma de los
momentos de torsiónes cero.
En este caso, desde el punto de vista matemático, y en el caso anterior en el que
las fuerzas son coplanarias; se tiene que cumplir que la suma de los momentos o
fuerzas asociados a las rotaciones antihorarias (en el sentido contrario de las
agujas del reloj), tiene que ser igual a la suma aritmética de los momentos o
fuerzas que están asociados a las rotaciones horarias (en el sentido de las agujas
del reloj):
Un cuerpo se encuentra en equilibrio traslacional y rotacional cuando se verifiquen
de forma simultánea las dos condiciones de equilibrio. Estas condiciones de
equilibrio se convierten, gracias al álgebra vectorial, en un sistema de ecuaciones
cuya solución será la solución de la condición del equilibrio.
2.2 ecuaciones de equilibrio

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Como ya se dijo, un cuerpo
está en equilibrio cuando el
sistema de fuerzas se puede
reducir a un sistema
equivalente nulo Cualquier
sistema de fuerzas se puede
reducir a una fuerza
resultante única y a un par
resultante referidos a un
punto arbitrariamente
seleccionado.
Si la fuerza resultante es cero, el
cuerpo, debido a las
restricciones impuestas, no se
podrá trasladar, perdiendo así
tres grados de libertad; de otra
parte, si el par resultante es
cero, el cuerpo no rotará
alrededor de cualquiera de los
ejes coordenados. En forma
vectorial, lo anterior se puede
expresar así:
[1-17]
[1-18]
Descomponiendo los vectores en sus componentes rectangulares se
obtiene:
[1-19]
[1-20]
Estas ecuaciones independientes son las
disponibles para resolver problemas de
equilibrio de cuerpos en tres
dimensiones. En problemas
bidimensionales las ecuaciones se
reducen a tres, número que corresponde a
los grados de libertad de un movimiento
plano; dos de translación y uno de
rotación.
Si por ejemplo el
plano en que
actúan las
fuerzas es el
plano xy, las
ecuaciones de
equilibrio son:

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De acuerdo a lo anterior, el
máximo numero de incógnitas
que puede tener un problema
para poder solucionarlo
completamente, es de seis para
situaciones en tres dimensiones
y de tres para dos dimensiones.
Cuando en un problema hay
tantas incógnitas como
ecuaciones disponibles y se
pueden hallar todas, se dice que
el problema es estáticamente
determinado. Si existen mas
incógnitas que ecuaciones, el
problema es insoluble en su
totalidad por los métodos de la
estática y el problema es
estáticamente indeterminado.
De otra parte, hay situaciones en
las que, a pesar de tener un
número de incógnitas igual al de
ecuaciones disponibles no se
pueden solucionar. Estas
situaciones se presentan por un
arreglo especial de los apoyos,
haciendo que el sistema no esté
completamente restringido para
un sistema general de fuerzas.
Tal sistema es entonces
estáticamente
indeterminado y parcial o
impropiamente
restringido. Un cuerpo
parcialmente restringido
puede estar en equilibrio
para un sistema particular
de carga, pero dejará de
estarlo para un sistema
general de carga.
Por ejemplo una puerta
apoyada en sus bisagras,
estará en equilibrio
mientras no se aplique una
carga horizontal, [Fig. 1-30].
Si en un sistema hay
menos incógnitas que
ecuaciones disponibles,
éste es parcialmente
restringido, es decir, no
podrá estar en equilibrio
para un sistema general de
fuerzas.
Equilibrio No Equilibrio

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Como estas ecuaciones vectoriales son equivalentes a seis ecuaciones escalares,
resulta un sistema final de ecuaciones con seis incógnitas, por lo que limitaremos el
análisis a situaciones donde todas las fuerzas que actúan sobre un cuerpo rígido,
están en el plano xy, donde también obviamente se encuentra r. Con esta restricción
se tiene que tratar sólo con tres ecuaciones escalares, dos de la primera condición
de equilibrio y una de la segunda, entonces el sistema de ecuaciones vectorial (6.3)
y (6.4) se reduce a las siguientes ecuaciones escalares:
∑ Fx = 0, ∑ Fy = 0, ∑τO = 0
Cuando se tratan problemas con cuerpos rígidos se debe considerar la fuerza de
gravedad o el peso del cuerpo, e incluir en los cálculos el torque producido por su
peso. Para calcular el torque debido al peso, se puede considerar como si todo el
peso estuviera concentrado en un solo punto, llamado centro de gravedad. Se han
preguntado alguna vez ¿por qué no se cae la Torre de Pisa?, o ¿por qué es
imposible tocarte los dedos de los pies sin caerte cuando estas de pie apoyado con
los talones contra la pared? ¿Por qué cuando llevas una carga pesada con una
mano, extiendes y levantas el otro brazo? Para responder a esto debemos definir
los conceptos de centro de masa y de centro de gravedad y su aplicación al equilibrio
estático.
Centro de gravedad.
Debido a que un cuerpo es una distribución continua de masa, en cada una de sus
partes actúa la fuerza de gravedad. El centro de gravedad es la posición donde se
puede considerar actuando la fuerza de gravedad neta, es el punto ubicado en la
posición promedio donde se concentra el peso total del cuerpo. Para un objeto
simétrico homogéneo, el centro de gravedad se encuentra en el centro geométrico,
pero no para un objeto irregular.
Centro de masa.
Es la posición geométrica de un cuerpo rígido donde se puede considerar
concentrada toda su masa, corresponde a la posición promedio de todas las

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partículas de masa que forman el cuerpo rígido. El centro de masa de cualquier
objeto simétrico homogéneo, se ubica sobre un eje se simetría.
Cuando se estudia el movimiento de un cuerpo rígido se puede considerar la fuerza
neta aplicada en el centro de masa y analizar el movimiento del centro de masa
como si fuera una partícula. Cuando la fuerza es el peso, entonces se considera
aplicado en el centro de gravedad. Para casi todos los cuerpos cerca de la superficie
terrestre, el centro de masa es equivalente al centro de gravedad, ya que aquí la
gravedad es prácticamente constante, esto es, si g es constante en toda la masa,
el centro de gravedad coincide con el centro de masa. Existen métodos de cálculo
integral para calcular estas dos posiciones, pero aquí no las detallaremos.
Ahora se pueden responder las preguntas anteriores. Respecto a la Torre de Pisa,
la respuesta a la pregunta de porque no se cae, es porque su centro de gravedad
está geométricamente dentro de su base, que se llama “área de sustentación”. Si la
torre continúa inclinándose hasta que su centro de gravedad caiga fuera del área de
sustentación, entonces se derrumbará. Pero se le han puesto apoyos en su base
para evitar que continué inclinándose. Las otras preguntas ahora las puedes
responder tu.
Para aplicar las condiciones de equilibrio, es recomendable seguir las siguientes
instrucciones, que corresponde a dibujar el DCL del cuerpo rígido:
a) Aislar al cuerpo rígido del sistema con un límite imaginario.
b) Dibujar los vectores que representen las fuerzas en el punto de aplicación donde
las fuerzas efectivamente actúan.
c) Elegir un sistema de coordenadas conveniente para descomponer las fuerzas,
donde dibujar la componente perpendicular a la posición.
d) Elegir un eje de rotación O adecuado en el cuerpo rígido, donde se anulen los
torques de (algunas) fuerzas desconocidas.
Ejemplo 6.3: Una barra uniforme de longitud L y peso P está articulada en A en una
pared. Un alambre fijo en la pared a una distancia D sobre la articulación, sujeta a
la barra por el extremo superior, como se muestra en la figura 6.5a. El alambre
permanece horizontal cuando se cuelga un cuerpo de peso p en el extremo superior

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de la barra. Calcular la tensión del alambre y la fuerza de reacción en la articulación
de la barra.
Solución: se elige como eje de rotación la articulación de la barra en la pared, en
el punto A, se identifican las fuerzas que actúan sobre la barra, se dibuja el DCL de
la barra (figura 6.5b) y se aplican las condiciones de equilibrio.
Figura 6.5 Ejemplo 6.3 a) izquierda, b) derecha.
1ª condición de equilibrio:
r
∑ F = 0 ⇒∑ Fx = 0 y ∑ Fy = 0
eje x: FAx – T = 0 (1)
eje y: FAy – P - p = 0 (2)
2ª condición de equilibrio:
∑τA = 0 ⇒τT +τp +τP = 0
+T cosα L – p senα L – P senα (L/2) = 0 (3)
De la geometría de la figura se obtienen senα y cosα en términos de los valores
conocidos D y L:

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D L2 − D2
cosα= , senα=
L L
que se reemplazan en (3), luego se despeja T:
T = (p + P/ 2) L2 − D2 D
Ahora se calculan FAx y FAy de las ecuaciones (1) y (2).
(p + P/ 2) L2 − D2
De (1): FAx = T =
D
De (2): FAy = P + p
Ejemplo 6.4. En el sistema de la figura 6.6a, una fuerza horizontal F, cuya
línea de acción pasa por el centro de un tambor de radio R y peso P, se aplica
sobre el tambor, para hacerlo subir por un escalón de alto R/2. Hacer las
suposiciones necesarias para calcular el valor de la: a) fuerza F, b) fuerza del
borde del escalón en A, c) dirección de la fuerza en A.
Figura 6.6 Ejemplo 6.4 a) izquierda, b) derecha.

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Solución: Se conocen sólo el peso P y el radio del cilindro R. Hay que calcular
la fuerza aplicada F y la fuerza del borde del escalón en A, FA.
Las condiciones de equilibrio son:
1ª condición ∑F = 0 y 2ª condición ∑τA = 0
Se hace el DCL (figura 6.6b), se elige como eje de rotación el punto A, y al
aplicar las condiciones de equilibrio se obtiene:
eje x: F−FAx = 0 (1)
eje y: N − P + FAy = 0 (2)
∑τA : Pd−Nd−F(R/2) = 0 (3)
donde d es la distancia perpendicular, o brazo de palanca, desde A hasta las
fuerzas peso P y normal N, y el brazo de palanca de F es R/2. De la geometría
de la figura, se calcula d:
R2
=⎛⎜ R ⎞⎟2 + d 2 ⇒ d 2 = R2 − R2 = 3 R2
⎝ 2 ⎠ 4 4
d = R ⇒ 2d = 3R
De (3) se obtiene el valor de la fuerza aplicada:

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FR 3 FR (P − N)d =
⇒ (P − N) R = ⇒

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2 2 2
De (1) : FAx = 3(P − N)
De (2): FAy = P − N
El vector fuerza es:
FA = FAxiˆ+ FAy ˆj = 3(P − N)iˆ+(P − N)ˆj
Su magnitud: F A = 3(P − N)2
+(P − N)2
⇒ F A = 2(P − N)
F Ay (P − N) 1
Dirección de FA: tanα= = = ⇒α= 30º
FAx 3(P − N) 3
Notar que no se conoce N, se puede suponer que N = 0 cuando F es la fuerza
mínima para hacer subir al tambor.
2.3 resultante del sistema de fuerzas
Hoy vamos a estudiar como pueden ser las fuerzas que actúan sobre un mismo
cuerpo, es decir, vamos a estudiar los sistemas de fuerzas; ya que son el conjunto
de fuerzas que actúan en un cuerpo a la vez.
A cada una de las fuerzas que forman el sistema de fuerzas se les llama
componente del sistema. Llamamos resultante a una única fuerza cuyo resultado
es el mismo que el que produce todo el conjunto de las fuerzas del sistema.
Análogamente, llamamos equilibrante a la fuerza cuyo módulo es igual a la
resultante pero es de sentido contrario.
En la siguiente imagen podemos ver dos componente F1 y F2 que actúan sobre el
cuerpo A, y cuya resultante es R.

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Para calcular la resultante ( R ) representamos la segunda fuerza F2 haciendo
coincidir el extremo de F1 con el origen de F2, de forma paralela a nuestra F2
inicial; tal y como podemos observar en la imagen anterior. La resultante, será el
vector que une el origen de la primera fuerza, es decir, donde está situado nuestro
cuerpo (A), con el extremo de F2.
A continuación vamos a ver los diferentes sistemas de fuerzas que nos podemos
encontrar según se presenten las fuerzas sobre los cuerpos.
Un sistema de fuerzas concurrentes es aquel para el cual existe un punto en
común para todas las rectas de acción de las fuerzas componentes.
La resultante es el elemento más simple al cual puede reducirse un sistema de
fuerzas. Como simplificación diremos que es una fuerza que reemplaza a un
sistema de fuerzas. Se trata de un problema de equivalencia por composición,
ya que los dos sistemas (las fuerzas componentes por un lado, y la fuerza
resultante, por el otro) producen el mismo efecto sobre un cuerpo. En el ejemplo
que veremos a continuación vamos a hallar la resultante en forma gráfica y en
forma analítica.
EL SISTEMA
- Las fuerzas componentes son f1, f2
y f3.
- El punto en común por el que pasan
las rectas de acción de las fuerzas
componentes es A, cuyas
coordenadas son (XA,YA).
- Para definir la resultante R
deberemos obtener su módulo,
dirección y sentido (argumento) y las
coordenadas de un punto cualquiera
de su recta de acción...
...como veremos a continuación, su módulo se obtiene midiendo con una regla
en el gráfico y multiplicando por escala de fuerzas (por ejemplo: tn/cm).

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...y su argumento se obtiene midiendo con transportador el ángulo que va desde
el eje X hasta la fuerza, barriendo en el sentido de giro adoptado (horario o
antihorario).
...y las coordenadas de un punto cualquiera de su recta de acción ya las
conocemos, porque tratándose de un sistema de fuerzas concurrentes, la recta
de acción de la resultante R también pasará por ese punto A.
RESOLUCIÓN GRÁFICA
Ahora vamos a hallar la resultante en forma gráfica. Para ello, considerando los
datos dados, definiremos una escala de fuerzas (tantas toneladas equivalen a
tantos centímetros dibujados en la hoja de papel). Luego iremos armando
el polígono de fuerzas, dibujando una a una las fuerzas, una a continuación de
la otra, respetando la longitud y el ángulo de cada una de ellas.
Datos del sistema:
f1=3t - 1=0º / f2=4t - 2=45º / f3=5t - 3=105º / A=(3,2)
Esc. fzas. = 1tn/1cm
Giro en sentido horario
(1) Utilizaremos regla para
dibujar las fuerzas y
transportador para trazar los
ángulos... Considerando los
datos, dibujamos la f1. En
nuestro caso medirá 3cm.
(2) A continuación de f1,
dibujamos la f2 que medirá 4cm.

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(3) A continuación de f2,
dibujamos la f3 que medirá 5cm.
(4) Ahora dibujamos la
fuerza resultante, que surge de
unir el comienzo de la f1 con el
extremo de la f3. La "flecha" de
la resultante va hacia la "flecha"
de f3, la última fuerza. ¿Y esto
por qué? Porque estamos
hallando una fuerza (la
resultante) que es equivalente a
las tres fuerzas componentes de
nuestro sistema (f1, f2, f3).
(5) Midiendo con la regla la
longitud de la resultante
obtenemos su módulo. Midiendo
con transportador el ángulo R
obtenemos su argumento.
Esto es: 8,8cm - 59º

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(6) Y para finalizar,
transportamos en forma paralela
la recta de acción de la
resultante -usando la regla y la
escuadra- haciéndola pasar por
el punto de aplicación A. Ya
hemos resuelto el problema en
forma gráfica.
Siendo: R=8,8t - R=59º
(7) La fuerza equilibrante surge
de unir el extremo de la f3 con el
comienzo de la f1. La "flecha" de
la equilibrante va hacia el
comienzo de f1, la primera
fuerza. Conforman un polígono
de fuerzas cerrado. La
equilibrante es una fuerza de
igual recta de acción, intensidad
y sentido contrario que el de la
resultante. Se trata de un
problema de equilibrio por
composición.
Siendo: E=8,8t - E=239º

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RESOLUCIÓN ANALÍTICA
Ahora vamos a hallar la resultante en forma analítica. Recordamos los datos del
sistema:
f1=3t - 1=0º / f2=4t - 2=45º / f3=5t - 3=105º / A=(3,2)
Primero vamos a hallar las proyecciones de
R: Rx y Ry
Rx = Fi x cos i
Ry = Fi x sen i
Luego, con Rx y Ry hallamos la resultante R:
(esto nos dará el módulo)
R = arc tg Ry/Rx
(esto nos dará el argumento)
A=(3,2)
(es el punto de aplicación, dato del problema
por ser un sistema de fuerzas concurrentes)
Esto lo escuché en las
teóricas...
"Donde hay un triángulo,
existe un triángulo de
fuerzas" (contemporáneo
argentino)
Resolvemos el problema:
Rx = 3t x cos 0º + 4t x cos 45º + 5t x cos 105º
Rx = 3t + 2,83t + (-1,29t)
Rx = 4,54t
Ry = 3t x sen 0º + 4t x sen 45º + 5t x sen 105º
Ry = 0t + 2,83t + 4,83t
Ry = 7,66t
R =
R = 8,90t
R = arc tg 7,66t/4,54t
R = arc tg 1.69
R = 59.34º
En los sistemas reticulados simples, las fuerzas internas se encuentran
materializadas por las barras (1) en tracción y la (2) en compresión. Ambas

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empotradas en un cuerpo rígido que puede ser una pared o columna de hormigón.
Para calcular y dimensionar las piezas es necesario conocer la magnitud de cada
una de esas fuerzas. Esta solución la realizamos mediante la “descomposición” de
fuerzas (figura 6.22).
Figura 6.22
Imaginamos el reticulado de la figura. Es una viga en voladizo elemental. Se
compone de dos barras articuladas en sus extremos. Se sostienen desde la rígida
pared. La fuerza “P” que cuelga del extremo acciona las barras creando esfuerzos
de tracción y compresión en ellas que debemos determinarlos. Algo parecido
hicimos en párrafos anteriores cuando destacamos los métodos gráficos y
analíticos.
Resolución gráfica:
La fuerza “P” la descomponemos en las direcciones (1): tensor y (2): puntal (figura
6.23). Dibujamos en escala la fuerza y trazamos por su extremo una paralela a (2).
Por su origen una paralela a (1).
Figura 6.23
En escala determinamos las incógnitas
Barra (1): (tracción) = 90 kN (9.000 daN)
Barra (2): (compresión) = 78 kN (7.800 daN) Resolución
analítica:

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Al problema lo podemos resolver de manera analítica. Antes hacemos un repaso
de trigonometría:
tg α = (cateto opuesto) / (cateto adyacente) sen
α = (cateto opuesto) / (hipotenusa) tg α = P / (2)
(2) = P / tg α sen α = P / (1) (1)
= P / sen α
tg α = tg 30º = 0,566 sen α = sen 30º = 0,500
(1): barra (1) = 45 kN / 0,500 = 90 kN = 9.000 daN
(2): barra (2) = 45 kN / 0,577 = 78 kN = 7.800 daN
Valores coincidentes con los determinados de manera gráfica.
4. Fuerzas no concurrentes en el pla Composición analítica.
General.
A todas las fuerzas que integran el conjunto las referimos a un solo sistema de
ejes cartesianos (x, y). Una vez proyectadas sobre los mismos logramos tener
ordenadas a todas las fuerzas solo en dos direcciones normales. Hacemos la
sumatoria en cada uno de los ejes; así conocemos las Rx y Ry (figura 6.26).
Figura 6.26
Aplicamos Pitágoras para establecer la magnitud y tangente para conocer la
inclinación y por fin usamos la ley de momentos para conocer su ubicación.
Cuestiones que ya las analizamos en puntos anteriores.
Posible situación real.
En los soportes de amarre de tensores para altas antenas pueden presentarse
varias fuerzas de acción, materializadas por los cables que llegan y otras fuerzas
reactivas desde el suelo. Mediante vectores indicamos las fuerzas "F" que ejercen
los tensores y en sombra dibujamos los triángulos teóricos reactivos del suelo, las
“R” son las resultantes de cada uno de los diagramas, además actúa el peso propio
"P" del bloque de hormigón. Todas las fuerzas de acción y reacción actúan en un
mismo plano (figura 6.27).

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Figura 6.27
Con este ejemplo exponemos un caso de fuerzas no concurrentes y que con la
ayuda de la estática de fuerzas podremos encontrar el equilibrio entre las fuerzas
activas de los tensores y la resistencia del suelo.
4.3. Descomposición de una fuerza en dos direcciones.
Analizamos la descomposición de una fuerza F1, en dos direcciones no
concurrentes “a” y “b”. En este caso el punto de intersección de estas direcciones
se encuentra fuera de los límites del dibujo (figura 6.28).
Figura 6.28
Descomposición gráfica.
Trasladamos las paralelas de las direcciones a los extremos de F1 y obtenemos
las magnitudes y sentidos de Fa y Fb.
4.4. Descomposición en tres direcciones no concurrentes.
Para esta situación utilizamos una recta auxiliar (figura 6.29). La fuerza a
descomponer es F1 en las direcciones (a), (b) y (c). El procedimiento es el que
sigue:

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Figura 6.29
1) Descomponemos la fuerza F1, en una de las direcciones dadas y en otra
dirección auxiliar “z”, que está dada por la recta que une los puntos A y B (figura
6.30).
Figura 6.30
2) Luego descomponemos la fuerza “z”, en las direcciones restantes, (b) y (c).
Si las tres direcciones fueran concurrentes en un punto (figura 6.31), no sería
posible la descomposición por cuanto la dirección auxiliar coincidiría con una de
las direcciones dadas (en nuestro caso con la dirección “b”). Es por esto que la
descomposición de una fuerza en tres direcciones concurrentes resulta
indeterminada.
Figura 6.31
5. Fuerzas paralelas.
El tema que iniciamos ahora trata la composición y descomposición de fuerzas
paralelas que es uno de los sistemas comunes en las estructuras de los edificios.
. Composición fuerzas paralelas en sistema simétrico.
La fuerza de gravitatoria es la más frecuente de las producidas en las cargas de
los edificios; tiene una dirección definida, es vertical. Las cargas por peso propio,

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las sobrecargas y algunas acciones variables poseen todas las mismas
direcciones, la vertical y por tal razón son paralelas.
Las columnas de un edificio tienen direcciones paralelas y verticales; fueron
construidas para resistir las gravitatorias. Distinguimos los sistemas según posean
ejes de simetría, tanto de carga como de forma. Con simetrías de fuerzas y de
formas, obtenemos la
resultante y las reacciones de
manera inmediata, es intuitivo.
Todo debe seguir siendo
proporcionado a la simetría
original (figura 6.32).
Figura 6.32
Imaginamos la viga principal de un entrepiso que soporta las vigas secundarias.
En la parte superior (entrepiso) dibujamos la realidad, con los espesores de cada
una de las piezas. En parte inferior (esquema estructural) es el utilizado por la
Estática, la viga se la representa mediante una recta y las cargas de las vigas
secundarias mediante vectores. La resultante queda definida por:
• La ubicación: en el eje de simetría.
• La dirección: paralela al resto de las fuerzas.
• El sentido: igual a las otras fuerzas.
• La magnitud la suma de todas las fuerzas.
Mientras que las reacciones se definen por:
• La ubicación: en cada uno de los apoyos, columnas.
• La dirección: paralela al resto de las fuerzas.
• El sentido: contrario a todas las fuerzas. La magnitud: la mitad
de la resultante.
Por efecto de la simetría se obtienen las reacciones con una sola operación
aritmética:
Composición en sistemas asimétricos.
Ejemplo 1: Datos.
En caso de asimetría de fuerzas paralelas, la resolución puede realizarse mediante
métodos gráficos o analíticos (figura 6.33).

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Figura 6.33
F1, F2, F3: Fuerzas actuantes.
R: Resultante.
d1, d2, d3: distancia de las fuerzas al eje. dr: distancia de
la resultante al eje.
Los parámetros a resolver son: dirección, sentido, magnitud y ubicación de la
resultante.
Método gráfico.
La resolución gráfica es similar a la estudiada anteriormente, con la diferencia que
el Polígono de Fuerzas aquí es rectilíneo y todas las fuerzas se encuentran sobre
la misma vertical (figura 6.34).

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Figura 6.34
Lo explicamos dando valores a las fuerzas: F1 = + 8,0 kN
F2 = + 2,0 kN F3 = - 3,5 kN d1 = 4,40 metros d2 =
3,10 metros d3 = 2,10 metros.
El gráfico de la izquierda es el Polígono de Fuerzas; obtenemos la magnitud de la
resultante. El de la derecha es el Polígono Funicular y ubicamos la posición de la
Resultante en el sistema.
Método analítico.
El ejemplo siguiente es un sistema de fuerzas que lo podemos materializar como
un tirante que cuelga de los tensores F1 y F2 de diferentes capacidad de
resistencia. En el extremo hay una fuerza gravitatoria F3. Debemos encontrar la
magnitud de la resultante y su posición (figura 6.35).

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Figura 6.35
Determinamos el valor de la resultante:
R = - F1 - F2 + F3
R = 8,00 + 2,00 – 3,50 = 6,5 kN = 650 daN
Luego aplicamos la ley de momentos desde el origen de F3.
R.dr = F1.d1 + F2.d2
Signos: la regla de los signos es arbitraria. En este escrito establecemos que las
fuerzas que se dirigen hacia arriba son positivas, mientras que las de sentido
contrario son negativas. En cuanto al giro que producen: el momento de la fuerza;
si giran según las agujas del reloj: positivas. Caso contrario, negativo.
Posición y sentido. 6,50 . dr = 2,00 . 1,5 + 8,0
. 4,4 dr = (2,00 . 1,5 + 8,0 . 4,4) / 6,50 = 5,87 mts
Ejemplo 2:
Se necesita resolver la posición de una carga sobre el chasis de un camión
semirremolque de manera tal que los tres ejes de las ruedas tengan la misma
reacción (figura 6.36).
Datos:
R1 = R2 = R3
R = R1 + R2 + R3
Componemos las tres reacciones iguales, obtenemos la intensidad de la
resultante. Cada reacción la descomponemos en la dirección de los rayos. Luego
construimos el polígono funicular y obtenemos la posición de la resultante, con ese

29
dato colocamos la carga de manera tal que su centro de gravedad coincida con la
vertical de la resultante .
Figura 6.36
5.3. Descomposición fuerzas paralelas.
Introducción.
Necesitamos descomponer una fuerza “F” en dos direcciones. La situación real
puede ser representada por una fuerza que actúa sobre una viga de apoyo simple.
El problema es determinar la magnitud de las reacciones en las direcciones "a" y
"b": Ra y Rb (figura 6.37).
Figura 6.37 Datos.
Los datos son:
F = 95 kN = 9.500 daN da = 3,50 metros db = 5,00 metros Método

30
gráfico.
Trazamos una recta horizontal de referencia que corte a F (figura 6.38).
BIBLIOGRAFIA
1. https://www.mheducation.es/bcv/guide/capitulo/8448146700.pdf
2. https://fisica.laguia2000.com/general/condiciones-de-equilibrio
3. http://personales.unican.es/junqueraj/JavierJunquera_files/Fisica-
1/12.Estatica.pdf
4. https://es.slideshare.net/Csadana/condiciones-de-equilibrio-primera-ley-de-
newton
5. http://www.emff.urjc.es/docencia/Arquitectura/cap5.pdf
6. http://www.dcnetwork.com.mx/rec/ma/Ecuaciones%20de%20Equilibrio%20y%20
Miembros%20de%20Dos%20y%20Tres%20Fuerzas.pdf
7. https://www.fisicalab.com/apartado/fuerza-resultante#contenidos

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