現代宇宙論入門２

現代宇宙論⼊⾨:膨張する宇宙
島袋隼⼠（云南⼤学）
©NASA

前回の復習（一般相対性理論）
Rµ⌫
1
2
gµ⌫R + ⇤gµ⌫ =
8⇡G
c4
Tµ⌫
アインシュタイン方程式
時空の歪み（曲率）宇宙定数項物質分布
アインシュタイン方程式の意味
「物質（エネルギー）があると、時空（時間＋空間）は歪む」
アインシュタイン方程式を使うと、宇宙自体の進化について考えることができる！

Rµ⌫
1
2
gµ⌫R + ⇤gµ⌫ =
8⇡G
c4
Tµ⌫
アインシュタイン方程式を眺める
①この方程式を解く。→
<latexit sha1_base64="viHyuF6PHzAaZClpzXD/JkVhZok=">AAAB8XicbVDLSgNBEOyNrxhfUY9eBoPgKeyKosegF48RTAxmlzA7mU2GzMwu8xDCkr/w4kERr/6NN//GSbIHTSxoKKq66e6KM8608f1vr7Syura+Ud6sbG3v7O5V9w/aOrWK0BZJeao6MdaUM0lbhhlOO5miWMScPsSjm6n/8ESVZqm8N+OMRgIPJEsYwcZJj4NeHgobSjvpVWt+3Z8BLZOgIDUo0OxVv8J+Sqyg0hCOte4GfmaiHCvDCKeTSmg1zTAZ4QHtOiqxoDrKZxdP0IlT+ihJlStp0Ez9PZFjofVYxK5TYDPUi95U/M/rWpNcRTmTmTVUkvmixHJkUjR9H/WZosTwsSOYKOZuRWSIFSbGhVRxIQSLLy+T9lk9uKj7d+e1xnURRxmO4BhOIYBLaMAtNKEFBCQ8wyu8edp78d69j3lryStmDuEPvM8f+kKRHQ==</latexit>
gµ⌫
を自分で与えて方程式をいじる。
②
gµ⌫
を求める。
計量は中学校の時に習ったあの「定理」を使ったら理解できるので、次のページで見ていきましょう。
アインシュタイン方程式を見かけたら・・・

Rµ⌫
1
2
gµ⌫R + ⇤gµ⌫ =
8⇡G
c4
Tµ⌫
アインシュタイン方程式を眺める
gµ⌫
②
gµ⌫
を求める。そもそも
gµ⌫ って何！？
gµ⌫ は「計量（
m
e
t
r
i
c
）」という名前です。
計量は中学校の時に習ったあの「定理」を使ったら理解できるので、次のページで見ていきましょう。
μやνには数字が入る。

計量とは①
計量とは空間（時空）の距離を決める量。 <latexit sha1_base64="pYMcwsRSMjnM540QWkIPDmbWuTU=">AAAB6XicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0WPRi8cq1hbaUDabSbt0swm7G6GE/gMvHhTx6j/y5r9x2+agrQ8GHu/NMDMvSAXXxnW/ndLK6tr6RnmzsrW9s7tX3T941EmmGLZYIhLVCahGwSW2DDcCO6lCGgcC28HoZuq3n1BpnsgHM07Rj+lA8ogzaqx0H+p+tebW3RnIMvEKUoMCzX71qxcmLItRGiao1l3PTY2fU2U4Ezip9DKNKWUjOsCupZLGqP18dumEnFglJFGibElDZurviZzGWo/jwHbG1Az1ojcV//O6mYmu/JzLNDMo2XxRlAliEjJ9m4RcITNibAllittbCRtSRZmx4VRsCN7iy8vk8azuXdTdu/Na47qIowxHcAyn4MElNOAWmtACBhE8wyu8OSPnxXl3PuatJaeYOYQ/cD5/AJzejWk=</latexit>
ds
<latexit sha1_base64="6egftbR1QwQvF8VoQ/Q+J04H3r8=">AAAB6XicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0WPRi8cq9gPaUDbbTbt0swm7E7GE/gMvHhTx6j/y5r9x2+agrQ8GHu/NMDMvSKQw6LrfTmFldW19o7hZ2tre2d0r7x80TZxqxhsslrFuB9RwKRRvoEDJ24nmNAokbwWjm6nfeuTaiFg94DjhfkQHSoSCUbTSff+pV664VXcGsky8nFQgR71X/ur2Y5ZGXCGT1JiO5yboZ1SjYJJPSt3U8ISyER3wjqWKRtz42ezSCTmxSp+EsbalkMzU3xMZjYwZR4HtjCgOzaI3Ff/zOimGV34mVJIiV2y+KEwlwZhM3yZ9oTlDObaEMi3srYQNqaYMbTglG4K3+PIyaZ5VvYuqe3deqV3ncRThCI7hFDy4hBrcQh0awCCEZ3iFN2fkvDjvzse8teDkM4fwB87nD6RyjW4=</latexit>
dx
<latexit sha1_base64="dcNX2je37clunP2MVKBvjeXiXa8=">AAAB6XicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0WPRi8cq1hbaUDabTbt0swm7E6GE/gMvHhTx6j/y5r9x2+agrQ8GHu/NMDMvSKUw6LrfTmlldW19o7xZ2dre2d2r7h88miTTjLdYIhPdCajhUijeQoGSd1LNaRxI3g5GN1O//cS1EYl6wHHK/ZgOlIgEo2il+3Dcr9bcujsDWSZeQWpQoNmvfvXChGUxV8gkNabruSn6OdUomOSTSi8zPKVsRAe8a6miMTd+Prt0Qk6sEpIo0bYUkpn6eyKnsTHjOLCdMcWhWfSm4n9eN8Poys+FSjPkis0XRZkkmJDp2yQUmjOUY0so08LeStiQasrQhlOxIXiLLy+Tx7O6d1F3785rjesijjIcwTGcggeX0IBbaEILGETwDK/w5oycF+fd+Zi3lpxi5hD+wPn8AaX2jW8=</latexit>
dy
ピタゴラスの定理（三平方の定理）
<latexit sha1_base64="Ac0uI/nhObTAnc/muYWOY7rkjQI=">AAAB/XicbVDLSsNAFL2pr1pf8bFzM1gEQShJUXQjFN24rGAf0MYymUzboZMHMxMxhuKvuHGhiFv/w51/46TNQlsPDPdwzr3cO8eNOJPKsr6NwsLi0vJKcbW0tr6xuWVu7zRlGAtCGyTkoWi7WFLOAtpQTHHajgTFvstpyx1dZX7rngrJwuBWJRF1fDwIWJ8RrLTUM/c8eZdWxxfeQ1aOvSQrPbNsVawJ0Dyxc1KGHPWe+dX1QhL7NFCEYyk7thUpJ8VCMcLpuNSNJY0wGeEB7WgaYJ9KJ51cP0aHWvFQPxT6BQpN1N8TKfalTHxXd/pYDeWsl4n/eZ1Y9c+dlAVRrGhApov6MUcqRFkUyGOCEsUTTTARTN+KyBALTJQOrKRDsGe/PE+a1Yp9WrFuTsq1yzyOIuzDARyBDWdQg2uoQwMIPMIzvMKb8WS8GO/Gx7S1YOQzu/AHxucPJ5mVBw==</latexit>
ds2
= dx2
+ dy2
全く同じことですが、空間内のある
2
点の距離も同
様に計算できる。
<latexit sha1_base64="pYMcwsRSMjnM540QWkIPDmbWuTU=">AAAB6XicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0WPRi8cq1hbaUDabSbt0swm7G6GE/gMvHhTx6j/y5r9x2+agrQ8GHu/NMDMvSAXXxnW/ndLK6tr6RnmzsrW9s7tX3T941EmmGLZYIhLVCahGwSW2DDcCO6lCGgcC28HoZuq3n1BpnsgHM07Rj+lA8ogzaqx0H+p+tebW3RnIMvEKUoMCzX71qxcmLItRGiao1l3PTY2fU2U4Ezip9DKNKWUjOsCupZLGqP18dumEnFglJFGibElDZurviZzGWo/jwHbG1Az1ojcV//O6mYmu/JzLNDMo2XxRlAliEjJ9m4RcITNibAllittbCRtSRZmx4VRsCN7iy8vk8azuXdTdu/Na47qIowxHcAyn4MElNOAWmtACBhE8wyu8OSPnxXl3PuatJaeYOYQ/cD5/AJzejWk=</latexit>
ds
<latexit sha1_base64="6egftbR1QwQvF8VoQ/Q+J04H3r8=">AAAB6XicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0WPRi8cq9gPaUDbbTbt0swm7E7GE/gMvHhTx6j/y5r9x2+agrQ8GHu/NMDMvSKQw6LrfTmFldW19o7hZ2tre2d0r7x80TZxqxhsslrFuB9RwKRRvoEDJ24nmNAokbwWjm6nfeuTaiFg94DjhfkQHSoSCUbTSff+pV664VXcGsky8nFQgR71X/ur2Y5ZGXCGT1JiO5yboZ1SjYJJPSt3U8ISyER3wjqWKRtz42ezSCTmxSp+EsbalkMzU3xMZjYwZR4HtjCgOzaI3Ff/zOimGV34mVJIiV2y+KEwlwZhM3yZ9oTlDObaEMi3srYQNqaYMbTglG4K3+PIyaZ5VvYuqe3deqV3ncRThCI7hFDy4hBrcQh0awCCEZ3iFN2fkvDjvzse8teDkM4fwB87nD6RyjW4=</latexit>
dx
<latexit sha1_base64="dcNX2je37clunP2MVKBvjeXiXa8=">AAAB6XicbVBNS8NAEJ3Ur1q/qh69LBbBU0lE0WPRi8cq1hbaUDabTbt0swm7E6GE/gMvHhTx6j/y5r9x2+agrQ8GHu/NMDMvSKUw6LrfTmlldW19o7xZ2dre2d2r7h88miTTjLdYIhPdCajhUijeQoGSd1LNaRxI3g5GN1O//cS1EYl6wHHK/ZgOlIgEo2il+3Dcr9bcujsDWSZeQWpQoNmvfvXChGUxV8gkNabruSn6OdUomOSTSi8zPKVsRAe8a6miMTd+Prt0Qk6sEpIo0bYUkpn6eyKnsTHjOLCdMcWhWfSm4n9eN8Poys+FSjPkis0XRZkkmJDp2yQUmjOUY0so08LeStiQasrQhlOxIXiLLy+Tx7O6d1F3785rjesijjIcwTGcggeX0IBbaEILGETwDK/w5oycF+fd+Zi3lpxi5hD+wPn8AaX2jW8=</latexit>
dy
ds2
= dx2
+ dy2

計量とは②
ds2
= dx2
+ dy2
これをちょっとややこしく書くと
<latexit sha1_base64="CkUFX/RgBQrO+Y1YNuQB2C3zbo4=">AAACDXicbVDLSsNAFL3xWesr6tLNYBUEoSRF0Y1QdOOygn1AG8tkMmmHTh7MTMQS+gNu/BU3LhRx696df+OkDaKtBwbOOfde7tzjxpxJZVlfxtz8wuLScmGluLq2vrFpbm03ZJQIQusk4pFouVhSzkJaV0xx2ooFxYHLadMdXGb15h0VkkXhjRrG1AlwL2Q+I1hpq2vue/I2rYzO7Y5iAZXIu8/k0Y8cZrJrlqyyNQaaJXZOSpCj1jU/O15EkoCGinAsZdu2YuWkWChGOB0VO4mkMSYD3KNtTUOsdznp+JoROtCOh/xI6BcqNHZ/T6Q4kHIYuLozwKovp2uZ+V+tnSj/zElZGCeKhmSyyE84UhHKokEeE5QoPtQEE8H0XxHpY4GJ0gEWdQj29MmzpFEp2ydl6/q4VL3I4yjALuzBIdhwClW4ghrUgcADPMELvBqPxrPxZrxPWueMfGYH/sD4+AadGZtF</latexit>
ds2
= 1 ⇥ dx2
+ 1 ⇥ dy2
さらにもう少しややこしく書くと
<latexit sha1_base64="8iZ4BQ1aj0OsPeUxXO86Hjyy/ZI=">AAACK3icbZDLSgMxFIYz9VbrbdSlm2ARKkqZDIpuCqVuXFawF2hryWTSNjRzIcmIw9D3ceOruNCFF9z6HmY6RbR6IPDz/edwcn4n5Ewqy3ozcguLS8sr+dXC2vrG5pa5vdOUQSQIbZCAB6LtYEk582lDMcVpOxQUew6nLWd8kfqtWyokC/xrFYe05+GhzwaMYKVR36y58iaxJ5VhP0Fo0lXMoxK6dyk70sy2v1mcMljKGivoOHMr6LBvFq2yNS34V6CZKIJZ1fvmU9cNSORRXxGOpewgK1S9BAvFCKeTQjeSNMRkjIe0o6WP9f5eMr11Ag80ceEgEPr5Ck7pz4kEe1LGnqM7PaxGct5L4X9eJ1KD817C/DBS1CfZokHEoQpgGhx0maBE8VgLTATTf4VkhAUmSsdb0CGg+ZP/iqZdRqdl6+qkWK3N4siDPbAPSgCBM1AFl6AOGoCAe/AIXsCr8WA8G+/GR9aaM2Yzu+BXGZ9ftC6mDA==</latexit>
ds2
= g11 ⇥ dx2
+ g22 ⇥ dy2
(g11 = 1, g22 = 1)
逆に言えば、
<latexit sha1_base64="btEiqqVwoy9owzwAsDUREqZypy8=">AAAB/XicbZDLSgMxFIbP1Futt/GycxMsQgUpk6LoRii6cVnBXqAdhkyatqGZC0lGqEPxVdy4UMSt7+HOtzFtZ6GtPwQ+/nMO5+T3Y8GVdpxvK7e0vLK6ll8vbGxube/Yu3sNFSWSsjqNRCRbPlFM8JDVNdeCtWLJSOAL1vSHN5N684FJxaPwXo9i5gakH/Iep0Qby7MPUKnvpRiPr/CpgUrFwIlnF52yMxVaBJxBETLVPPur041oErBQU0GUamMn1m5KpOZUsHGhkygWEzokfdY2GJKAKTedXj9Gx8bpol4kzQs1mrq/J1ISKDUKfNMZED1Q87WJ+V+tnejepZvyME40C+lsUS8RSEdoEgXqcsmoFiMDhEpubkV0QCSh2gRWMCHg+S8vQqNSxudl5+6sWL3O4sjDIRxBCTBcQBVuoQZ1oPAIz/AKb9aT9WK9Wx+z1pyVzezDH1mfP088kzI=</latexit>
(g11 = 1, g22 = 1) という計量を与えれば、平面上での距離を表現できる。

計量とは②
ds2
= dx2
+ dy2
これをちょっとややこしく書くと
<latexit sha1_base64="CkUFX/RgBQrO+Y1YNuQB2C3zbo4=">AAACDXicbVDLSsNAFL3xWesr6tLNYBUEoSRF0Y1QdOOygn1AG8tkMmmHTh7MTMQS+gNu/BU3LhRx696df+OkDaKtBwbOOfde7tzjxpxJZVlfxtz8wuLScmGluLq2vrFpbm03ZJQIQusk4pFouVhSzkJaV0xx2ooFxYHLadMdXGb15h0VkkXhjRrG1AlwL2Q+I1hpq2vue/I2rYzO7Y5iAZXIu8/k0Y8cZrJrlqyyNQaaJXZOSpCj1jU/O15EkoCGinAsZdu2YuWkWChGOB0VO4mkMSYD3KNtTUOsdznp+JoROtCOh/xI6BcqNHZ/T6Q4kHIYuLozwKovp2uZ+V+tnSj/zElZGCeKhmSyyE84UhHKokEeE5QoPtQEE8H0XxHpY4GJ0gEWdQj29MmzpFEp2ydl6/q4VL3I4yjALuzBIdhwClW4ghrUgcADPMELvBqPxrPxZrxPWueMfGYH/sD4+AadGZtF</latexit>
ds2
= 1 ⇥ dx2
+ 1 ⇥ dy2
さらにもう少しややこしく書くと
ds2
= g11 ⇥ dx2
+ g22 ⇥ dy2
(g11 = 1, g22 = 1)
逆に言えば、
<latexit sha1_base64="btEiqqVwoy9owzwAsDUREqZypy8=">AAAB/XicbZDLSgMxFIbP1Futt/GycxMsQgUpk6LoRii6cVnBXqAdhkyatqGZC0lGqEPxVdy4UMSt7+HOtzFtZ6GtPwQ+/nMO5+T3Y8GVdpxvK7e0vLK6ll8vbGxube/Yu3sNFSWSsjqNRCRbPlFM8JDVNdeCtWLJSOAL1vSHN5N684FJxaPwXo9i5gakH/Iep0Qby7MPUKnvpRiPr/CpgUrFwIlnF52yMxVaBJxBETLVPPur041oErBQU0GUamMn1m5KpOZUsHGhkygWEzokfdY2GJKAKTedXj9Gx8bpol4kzQs1mrq/J1ISKDUKfNMZED1Q87WJ+V+tnejepZvyME40C+lsUS8RSEdoEgXqcsmoFiMDhEpubkV0QCSh2gRWMCHg+S8vQqNSxudl5+6sWL3O4sjDIRxBCTBcQBVuoQZ1oPAIz/AKb9aT9WK9Wx+z1pyVzezDH1mfP088kzI=</latexit>
(g11 = 1, g22 = 1) という計量を与えれば、平面上での距離を表現できる。
宇宙空間（時空）での距離を決めるにはどういう計量を与えれば良いんだろう？？

F
L
R
W
計量
（特別な場所が無い、一様・等方な）時空（時間＋空間）での距離を決めるための計量はフリードマ
ン（
F
r
i
e
d
m
a
n
n
）、ルメートル（
L
e
m
a
i
t
r
e
）、ロバートソン
(
R
o
b
e
r
t
s
o
n
)
、ウォーカー
(
W
a
l
k
e
r
)
によっ
て与えられた。
ds2
= g11 ⇥ dx2
+ g22 ⇥ dy2
(g11 = 1, g22 = 1)
<latexit sha1_base64="sJnhSmg8ACVO9Xu6xZauClxNW5Q=">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</latexit>
ds2
= c2
dt2
+ a(t)2

1
1 kr2
dr2
+ r2
d⌦2
F
L
R
W
計量
何となく似ているなと思ってください。
<latexit sha1_base64="hWTW7PK9RKc0HJ9/XtF/xjP5zZo=">AAAB8XicdVDJSgNBEK2JW4xb1KOXxiB4CjOi6DHoxWMEs2BmCD2dnqRJd8/QixCG/IUXD4p49W+8+Td2FiFuDwoe71VRVS/OONPG9z+8wtLyyupacb20sbm1vVPe3Wvq1CpCGyTlqWrHWFPOJG0YZjhtZ4piEXPaiodXE791T5Vmqbw1o4xGAvclSxjBxkl3/W4eChtKO+6WK0HVnwL5v8iXVYE56t3ye9hLiRVUGsKx1p3Az0yUY2UY4XRcCq2mGSZD3KcdRyUWVEf59OIxOnJKDyWpciUNmqqLEzkWWo9E7DoFNgP905uIf3kda5KLKGcys4ZKMluUWI5Miibvox5TlBg+cgQTxdytiAywwsS4kEqLIfxPmifV4Kzq35xWapfzOIpwAIdwDAGcQw2uoQ4NICDhAZ7g2dPeo/fivc5aC958Zh++wXv7BPvCkR4=</latexit>
gµ⌫
<latexit sha1_base64="ryr/0On5bE0drxMcRCRHPFS9Fho=">AAACKHicbZDJSgNBEIZ7XGPcRj16aQyCIISZQdGLGPTizQhmgWz09PRMmvQsdNcIYcjjePFVvIgokqtPYmchaOIPDT9fVVFdv5sIrsCyhsbS8srq2npuI7+5tb2za+7tV1WcSsoqNBaxrLtEMcEjVgEOgtUTyUjoClZze7ejeu2JScXj6BH6CWuFJIi4zykBjTrmtafazlXQySxr0AQeMoU9aDunmtj2jMgJcZwZad6HLCBtp2MWrKI1Fl409tQU0FTljvne9GKahiwCKohSDdtKoJURCZwKNsg3U8USQnskYA1tI6LXtbLxoQN8rImH/VjqFwEe098TGQmV6oeu7gwJdNV8bQT/qzVS8C9bGY+SFFhEJ4v8VGCI8Sg17HHJKIi+NoRKrv+KaZdIQkFnm9ch2PMnL5qqU7TPi9bDWaF0M40jhw7RETpBNrpAJXSHyqiCKHpGr+gDfRovxpvxZQwnrUvGdOYA/ZHx/QMRqqVg</latexit>
ds2
= g00 ⇥ dt2
+ g11 ⇥ dr2
+ g22 ⇥ d⌦2

Rµ⌫
1
2
gµ⌫R + ⇤gµ⌫ =
8⇡G
c4
Tµ⌫
アインシュタイン方程式をいじる
gµ⌫
②
gµ⌫
を求める。
<latexit sha1_base64="sJnhSmg8ACVO9Xu6xZauClxNW5Q=">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</latexit>
ds2
= c2
dt2
+ a(t)2

1
1 kr2
dr2
+ r2
d⌦2
W
i
t
h
�
F
R
L
W
計量

フリードマン方程式
アインシュタイン方程式を変形したら・・・
✓
ȧ
a
◆2
+
kc2
a2
c2
⇤
3
=
8⇡G
3c2
⇢
：フリードマン（
F
r
i
e
d
m
a
n
n
）方程式
宇宙の伸び縮み
（スケール因子）
宇宙に存在する物質
（エネルギー密度）
<latexit sha1_base64="LHuwpsEKzI0tung5Srf1NZJwPNg=">AAAB7XicbVDLSgNBEOyNrxhfUY9eFoMQL2FXFL2IQS8eI5gHJEuYnUySMbMzy0yvEJb8gxcPinj1f7z5N06SPWi0oKGo6qa7K4wFN+h5X05uaXlldS2/XtjY3NreKe7uNYxKNGV1qoTSrZAYJrhkdeQoWCvWjEShYM1wdDP1m49MG67kPY5jFkRkIHmfU4JWapAyHl9edYslr+LN4P4lfkZKkKHWLX52eoomEZNIBTGm7XsxBinRyKlgk0InMSwmdEQGrG2pJBEzQTq7duIeWaXn9pW2JdGdqT8nUhIZM45C2xkRHJpFbyr+57UT7F8EKZdxgkzS+aJ+IlxU7vR1t8c1oyjGlhCqub3VpUOiCUUbUMGG4C++/Jc0Tir+WcW7Oy1Vr7M48nAAh1AGH86hCrdQgzpQeIAneIFXRznPzpvzPm/NOdnMPvyC8/ENaFiOXA==</latexit>
a(t) =?
スケール因子が分かれば宇宙の
進化について分かる！

✓
ȧ
a
◆2
+
kc2
a2
c2
⇤
3
=
8⇡G
3c2
⇢
F
r
i
e
d
m
a
n
n
）方程式
宇宙膨張も収縮も
させたくない
a(t) =?
アインシュタインは自分の
哲学的立場から宇宙膨張は
認めなかった！

✓
ȧ
a
◆2
+
kc2
a2
c2
⇤
3
=
8⇡G
3c2
⇢
F
r
i
e
d
m
a
n
n
）方程式
させたくない
a(t) =?
アインシュタインは自分の
哲学的立場から宇宙膨張は
認めなかった！
膨張も収縮もしない静的な宇宙を実現するために
反重力的な宇宙項を導入

✓
ȧ
a
◆2
+
kc2
a2
c2
⇤
3
=
8⇡G
3c2
⇢
F
r
i
e
d
m
a
n
n
）方程式
させたくない
a(t) =?

©郡さん
宇宙膨張？宇宙収縮？
いろいろなモデル別でのスケール因子の振る舞い。
宇宙の中身の内容によって、宇宙
が膨張するか収縮するか決まる。
宇宙の未来がどうなるか分かる！？

ハッブル
(
・ルメートル
)
の法則
天文学辞典より（http://astro-dic.jp/hubbles-law/）
1
9
2
9
年、
E
.
H
u
b
b
l
e
によって宇宙は膨張していること
が発見される。
エドウィン・ハッブル

~
v = H~
r
ハッブルの法則：
天体の後退速度
我々から天体までの距離
天体の後退速度は天体までの距離に比例する
（遠い天体ほど早く遠ざかる。）
ハッブル
(
・ルメートル
)
の法則

距離（
M
p
c
）
後退速度
（
k
m
/
s
）
（確かに、比例しているように見えるが、そうでも無いように見える・・・）
ハッブルの論文の図
ハッブル
(
・ルメートル
)
の法則

赤方偏移
赤方偏移 z（redshift)：宇宙膨張によって、光の波長がどれだけ伸び
たのかを表す量。大きい値ほど、過去の（若い）宇宙。
＊救急車のサイレンと同じ（近づいてくる救急車と遠ざかる救急車で聞こえ方が違いますね。）
元々の波長
伸びた波長
z=0 : 現在（138億歳）
（例）
z=0.1 : 124億歳
z=1 : 60億歳
z＝10：6億歳
z＝20：1億歳
宇宙年齢
z =
0
0

加速膨張の発見、そして宇宙項、再び・・・
超新星の観測により、
1
9
9
8
年、宇宙が加速膨張していることが発見された。
（
2
0
1
1
年、ノーベル物理学賞）
(Permutter, Schmidt, Riess)
宇宙の加速膨張を説明するためには宇宙項
（ダークエネルギー）が必要。宇宙項の復活！
暗い
遠い
遠くの宇宙の超新星が思っていた以上に暗かった。
→宇宙が加速膨張していると考えないと説明できな
い。
加速膨張
減速膨張

Rµ⌫
1
2
gµ⌫R + ⇤gµ⌫ =
8⇡G
c4
Tµ⌫
おまけ。アインシュタイン方程式を解く
gµ⌫
②
gµ⌫
を求める。
実際にアインシュタイン方程式を解いて計量を求めた仕事もいくつかある

アインシュタイン方程式の厳密解
シュヴァルツシルト解・・・ブラックホールについて記述する解。事象の地平線
カー解・・・「回転する」ブラックホールを記述する解
（シュバルツシルト解は大学で一般相対性理論を勉強した時に学んだ。）

要約
• 一般相対性理論（アインシュタイン方程式）は宇宙の進化について考え
る出発点。
• 「計量」（時空の距離をどうやって測るか）を与えて、アインシュタイン方
程式を変形すると、フリードマン方程式を得る。
• フリードマン方程式を解くと、宇宙の進化について考えることができる。
• 観測的には宇宙は膨張していることが分かった。
• さらに近年の超新星観測によって、宇宙は「加速膨張」していることが
分かった。ダークネルギー？

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