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Algebra semana 2-solucion
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Hans Joan Tafur Pereda
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Separata semana 02, tema: ecuaciones exponenciales, solucionario
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de la Selva Centro Preuniversitario Algebra – Semana 02 - Solución Prof. Ing. Hans Tafur Pereda http://tafurh.blogspot.pe/ SEMINARIO PRIMER EXAMEN PARCIAL 1. Resolver: 52𝑥−3 = 59 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Resolución 2𝑥 − 3 = 9 → 𝑥 = 6 2. Resolver: ( 9 4 ) 𝑥 ( 8 27 ) 𝑥−1 = 2 3 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolución ( 2 3 ) −2𝑥 ( 2 3 ) 3𝑥−3 = 2 3 𝑥 − 3 = 1 → 𝑥 = 4 3. Resolver: 𝑥 𝑥 𝑥+1 = 256 a) 3 b) 5 c) 6 d) 8 e) 2 Resolución 𝑥 𝑥 𝑥.𝑥 = 256 → 𝑥 𝑥.𝑥 𝑥 = 22.22 Entonces 𝑥 = 2 4. Resolver: 𝑥 𝑥2 = 2 a) 2 b) √2 c) 1 2 d) 2 e) N.A. Resolución Elevando al cuadrado a ambos miembros (𝑥 𝑥2 ) 2 = 22 → (𝑥2) 𝑥2 = 22 Entonces 𝑥2 = 2 → 𝑥 = √2 5. Si: (𝑥 + 1)(𝑥+1)(𝑥+1)... = 3 ¿Cuál de las expresiones se cumple? a) 𝑥 + 2 = √3 3 + 1 b) 2𝑥 = 2√3 3 c) 𝑥2 = 2 + √3 3 d) 𝑥 − 1 = −2 e) 𝑥2 − 2 = √3 − 1 Resolución (𝑥 + 1)3 = 3 → 𝑥 + 1 = √3 3 Sumando +1 a ambos miembros 𝑥 + 1 + 1 = √3 3 + 1 → 𝑥 + 2 = √3 3 + 1 6. Resolver: 3 𝑥 + 3 𝑥−1 + 3 𝑥−2 + 3 𝑥−3 + 3 𝑥−4 = 363 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolución 3 𝑥 + 3 𝑥 3 + 3 𝑥 32 + 3 𝑥 33 + 3 𝑥 34 = 363 Factorizando 3 𝑥 (1 + 1 3 + 1 9 + 1 27 + 1 81 ) = 36 3 𝑥 ( 81 + 27 + 9 + 3 + 1 81 ) = 36 3 𝑥 = (363)(81) 121 = 35 𝑥 = 5
2.
Prof. Ing. Hans
Tafur Pereda http://tafurh.blogspot.pe/ 7. Qué valor de “x” satisface la ecuación: [( √ 𝑥 −𝑥+𝑥3 5 −𝑥+𝑥5 ) 𝑥 ] 𝑥+𝑥3 = 3125 a) 1 5 b)√5 c) − 1 5 d) -5 e) 5 Resolución [( √ 𝑥 𝑥(𝑥2−1) 5 𝑥(𝑥4−1) ) 𝑥 ] 𝑥(𝑥2+1) = 3125 𝑥 𝑥3(𝑥4−1) 5𝑥(𝑥4−1) = 55 → 𝑥 𝑥2 5 = 55 Elevando a la 5 a cada miembro (𝑥 𝑥2 5 ) 5 = (55)5 → 𝑥 𝑥2 = 552 ∴ 𝑥 = 5 8. Resolver 9 𝑥+2 = 9 𝑥 + 240 a) 1 2 b) 2 3 c) 4 d) 6 e) 3 2 Resolución 9 𝑥+2 − 9 𝑥 = 240 9 𝑥(81 − 1) = 240 (32) 𝑥 = 240 80 → 32𝑥 = 3 → 2𝑥 = 1 ∴ 𝑥 = 1 2 9. Al resolver: 4 𝑥−√𝑥2−5 − 12 ( 2 𝑥−√ 𝑥2−5 2 ) + 8 = 0 El producto de sus raíces es: a) 4 27 b) 27 4 c) 2 9 d) 9 2 e) 8 27 Resolución (2 𝑥−√𝑥2−5 ) 2 − 6 (2 𝑥−√𝑥2−5 ) + 8 = 0 Haciendo 2 𝑥−√𝑥2−5 = 𝑎 𝑎2 − 6𝑎 + 8 = 0 → (𝑎 − 4)(𝑎 − 2) = 0 𝑎 = 4 𝑉 𝑎 = 2 Remplazando en a = 4 2 𝑥−√𝑥2−5 = 22 → 𝑥 − √ 𝑥2 − 5 = 2 (𝑥 − 2)2 = √ 𝑥2 − 5 2 𝑥2 − 4𝑥 + 4 = 𝑥2 − 5 → 𝑥1 = 9 4 Remplazando en a = 2 2 𝑥−√𝑥2−5 = 2 → 𝑥 − √ 𝑥2 − 5 = 1 (𝑥 − 1)2 = √ 𝑥2 − 5 2 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 𝑥2 − 5 → 𝑥2 = 3 El producto 𝑥1 𝑥2 = 9 4 (3) = 27 4 10. Resolver: [58 𝑥 ] 4−𝑥 = 51660 a) 60 b) 120c) 240 d) 360e) 50 Resolución [523𝑥 ] 2−2𝑥 = 524(60) → 52 𝑥 = 52240 ∴ 𝑥 = 240 11. Hallar “ 𝑥” ( 1 4 ) ( 1 2 ) 4 𝑥 = √2 2
3.
Universidad Nacional Agraria
de la Selva Centro Preuniversitario Algebra – Semana 02 - Solución Prof. Ing. Hans Tafur Pereda http://tafurh.blogspot.pe/ SEMINARIO PRIMER EXAMEN PARCIAL a)1 b) 2 3 c) 2 d) 6 e) 1 2 Resolución ( 1 4 ) ( 1 2 ) 4 𝑥 = 2 1 2 2 = 2 −1 2 = ( 1 2 ) 1 2 ( 1 4 ) ( 1 2 ) 4 𝑥 = ( 1 4 ) 1 4 = ( 1 4 ) ( 1 2 ) 2 ( 1 4 ) ( 1 2 ) 4 𝑥 = ( 1 4 ) ( 1 2 ) 4 1 2 ∴ 𝑥 = 1 2 12. Resolver: 𝑥 𝑥3 = 3 a) √3 b) √3 3 c) 3 d) 1 e) N.A Resolución 𝑥 𝑥3 = √3 3 3 = √3 3 √3 3 3 ∴ 𝑥 = √3 3 13. Hallar 𝑥 [539 ] 33 𝑥 = 599 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 Resolución 539.33 𝑥 = 599 → 39+3 𝑥 = (32)9 9 + 3 𝑥 = 18 → 3 𝑥 = 9 → 3 𝑥 = 32 ∴ 𝑥 = 2 14. Calcular el valor de “n” √ 𝑥 𝑛2 + 𝑥 𝑛2+5 𝑥 𝑛 + 𝑥 𝑛+5 𝑛−1 = 𝑥5 a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 Resolución √ 𝑥 𝑛2 + 𝑥 𝑛2 . 𝑥5 𝑥 𝑛 + 𝑥 𝑛. 𝑥5 𝑛−1 = 𝑥5 √ 𝑥 𝑛2 (1 + 𝑥5) 𝑥 𝑛(1 + 𝑥5) 𝑛−1 = 𝑥5 √ 𝑥 𝑛2−𝑛 𝑛−1 = 𝑥5 → 𝑥 𝑛(𝑛−1) 𝑛−1 = 𝑥5 ∴ 𝑛 = 5 15. Resolver la siguiente ecuación exponencial: 33 𝑥 = 279 𝑥−4 a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 Resolución 33 𝑥 = (33)9 𝑥−4 Igualando exponentes 3 𝑥 = 3. 9 𝑥−4 → 3 𝑥 = 3. 32𝑥−8 𝑥 = 1 + 2𝑥 − 8 → 𝑥 = 7 16. Resolver la siguiente ecuación exponencial: [(𝑎 𝑥) 𝑥] 𝑥−𝑥 = 𝑎 √ 1 8 a) 1 b) 0.5 c) 0.2 d) 2 e) 5
4.
Prof. Ing. Hans
Tafur Pereda http://tafurh.blogspot.pe/ Resolución (𝑎 𝑥2 ) 𝑥−𝑥 = 𝑎 √ 1 23 → 𝑎 𝑥2−𝑥 = 𝑎√2−3 𝑥2−𝑥 = (2−1) 3 2 → 𝑥2−𝑥 = ( 1 2 ) 3 2 𝑥2−𝑥 = ( 1 2 ) 2− 1 2 ∴ 𝑥 = 1 2 = 0.5 17. Resolver: √ 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛 (𝑏2 𝑎) 𝑛 + 𝑥 𝑛 𝑛 = 1 𝑏 a) a b) b c) ab d) 𝑎 𝑏 e) 1 𝑎 Resolución Elevando a la potencia “n” ambos miembros de la igualdad: 𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛 (𝑏2 𝑎) 𝑛 + 𝑥 𝑛 = 1 𝑏 𝑛 Multiplicando en cruz 𝑏 𝑛(𝑥 𝑛 + 𝑎 𝑛) = 𝑏2𝑛 𝑎 𝑛 + 𝑥 𝑛 𝑏 𝑛 𝑥 𝑛 +𝑏 𝑛 𝑎 𝑛 = 𝑏2𝑛 𝑎 𝑛 + 𝑥 𝑛 𝑏 𝑛 𝑥 𝑛 − 𝑥 𝑛 = 𝑏2𝑛 𝑎 𝑛 − 𝑏 𝑛 𝑎 𝑛 𝑥 𝑛(𝑏 𝑛 − 1) = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 (𝑏 𝑛 − 1) 𝑥 𝑛 = (𝑎𝑏) 𝑛 → 𝑥 = 𝑎𝑏 18. Hallar 𝑥 + 𝑦 2 𝑥 + 5 𝑦 = 9 (1) 2 𝑥+2 − 5 𝑦+1 = −9 (2) a) 6 b) 9 c) 3 d) 4 e) 10 Resolución Haciendo 2 𝑥 = 𝑎 y 5 𝑦 = 𝑏 En (1) 𝑎 + 𝑏 = 9 En (2) 4𝑎 − 5𝑏 = −9 Resolviendo el sistema 𝑎 = 4 → 2 𝑥 = 22 → 𝑥 = 2 𝑏 = 5 → 5 𝑦 = 5 → 𝑦 = 1 Finalmente: 𝑥 + 𝑦 = 3 19. Resolver: 𝑏 𝑥 𝑛−𝑥 = 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑛 Dónde: 𝑏 = 𝑥 𝑥 𝑥 a) √ 𝑛 b) 1 c) √ 𝑛 𝑛 d) n e) N.A Resolución Remplazando (𝑥 𝑥 𝑥 ) 𝑥 𝑛−𝑥 = 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑛 𝑥 𝑥 𝑥+𝑛−𝑥 = 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑛 𝑥 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 𝑛 → 𝑥 𝑛 = 𝑥 𝑥 𝑥 𝑛 → 𝑛 = 𝑥 𝑥 𝑛 ∴ 𝑥 = √ 𝑛 𝑛 20. Resolver: 18 −𝑥 18 = 𝑥−1 . 12 𝑥 18 a) 2 b) 4 c) 6 d) 8 e) 10 Resolución 1 18 𝑥 18 = 1 𝑥 . 12 𝑥 18 𝑥 = (18.12) 𝑥 18 → 𝑥 = (23 . 33 . ) 𝑥 18 𝑥 = 6 𝑥 6 → 𝑥 1 𝑥 = 6 1 6 ∴ 𝑥 = 6
5.
Universidad Nacional Agraria
de la Selva Centro Preuniversitario Algebra – Semana 02 - Solución Prof. Ing. Hans Tafur Pereda http://tafurh.blogspot.pe/ SEMINARIO PRIMER EXAMEN PARCIAL 21. Resolver: (𝑏 𝑏 . 𝑥) 𝑥 = 𝑏 𝑏1−𝑏 a) 𝑏 𝑏 b) 𝑏2 c) 1 𝑏 d) 𝑏 𝑏+1 e) 𝑏1−𝑏 Resolución Elevando a la potencia 𝑏 𝑏 : (𝑏 𝑏 . 𝑥) 𝑥.𝑏 𝑏 = 𝑏 𝑏1−𝑏.𝑏 𝑏 (𝑏 𝑏 . 𝑥) 𝑏 𝑏.𝑥 = 𝑏 𝑏1−𝑏+𝑏 (𝑏 𝑏 . 𝑥) 𝑏 𝑏.𝑥 = 𝑏 𝑏 → 𝑏 𝑏 . 𝑥 = 𝑏 𝑥 = 𝑏 𝑏 𝑏 → 𝑥 = 𝑏1−𝑏 22. Resolver: 4 𝑥 − 3 𝑥− 1 2 = 3 𝑥+ 1 2 − 22𝑥−1 a) 1 3 b) 1 2 c) 3 2 d) 3 e) 5 2 Resolución 4 𝑥 − 3 𝑥 √3 = 3 𝑥 . √3 − 4 𝑥 2 4 𝑥 + 4 𝑥 2 = 3 𝑥 . √3 + 3 𝑥 √3 4 𝑥 (1 + 1 2 ) = 3 𝑥 (√3 + 1 √3 ) ( 4 3 ) 𝑥 = 8 3√3 = ( 4 3 ) 3 2 → 𝑥 = 3 2 23. Resolver: √ 𝑚 1 3 +𝑥 2 9 −𝑥 = √ 𝑚 1 3 −𝑥 2 9 +𝑥 . √ 𝑚2 ( 2 9 ) 2 −𝑥2 a) 2 b) 1.8 c) 1.5 d) 2.5 e) 2.8 Resolución 𝑚 1 3 +𝑥 2 9 −𝑥 = 𝑚 1 3 −𝑥 2 9 +𝑥 . 𝑚 2 ( 2 9 ) 2 −𝑥2 1 3 + 𝑥 2 9 − 𝑥 = 1 3 − 𝑥 2 9 + 𝑥 + 2 ( 2 9 ) 2 − 𝑥2 Multiplicando a cada término por: ( 2 9 ) 2 − 𝑥2 ( 1 3 + 𝑥) ( 2 9 + 𝑥) = ( 1 3 − 𝑥) ( 2 9 − 𝑥) + 2 Multiplicando 2 27 + 𝑥 3 + 2 9 𝑥 + 𝑥2 = 2 27 − 𝑥 3 − 2 9 𝑥 + 𝑥2 + 2 𝑥 3 + 𝑥 3 + 2 9 𝑥 + 2 9 𝑥 = 2 Multiplicando por 9 3𝑥 + 3𝑥 + 2𝑥 + 2𝑥 = 18 → 𝑥 = 1.8 24. Resolver la ecuación exponencial: 𝑥 𝑥 = 1 √2 4 a) 1 2 b) 1 4 c) 1 16 d) 1 8 e) 3 2 Resolución 𝑥 𝑥 = ( 1 2 ) 1 4 = ( 1 2 ) 4( 1 4.4 ) = ( 1 16 ) 1 16 𝑥 𝑥 = ( 1 16 ) 1 16 → 𝑥 = 1 16
6.
Prof. Ing. Hans
Tafur Pereda http://tafurh.blogspot.pe/ 25. Resolver el sistema 2 𝑥 = 5 + 3 𝑦 (1) 3 𝑦+1 = 2 𝑥+1 + 17 (2) Hallar x.y a) 12 b) 22 c) 15 d) 25 e) 30 Resolución Haciendo 2 𝑥 = 𝑎 y 3 𝑦 = 𝑏 En (1) 𝑎 = 5 + 𝑏 En (2) 3 𝑏 = 2𝑎 + 17 Resolviendo el sistema 𝑎 = 32 → 2 𝑥 = 25 → 𝑥 = 5 𝑏 = 27 → 3 𝑦 = 33 → 𝑦 = 3 Finalmente: 𝑥. 𝑦 = 15 26. Si 𝑎 𝑎 𝑎 = 𝑎2 , 𝑎 > 0, halle el valor de 𝑎3𝑎 a) 8 b) 4 c) 6 d) 9 e) 18 Resolución 𝑎 𝑎 = 2 → (𝑎 𝑎)3 = 23 ∴ 𝑎3𝑎 = 8 27. Si 1632𝑥 = 842𝑥 , entonces 𝑥 es a) 1 3 b)3 c)2 d) 1 4 e) 1 2 Resolución 24.32𝑥 = 23.42𝑥 → 4. 32𝑥 = 3. 42𝑥 ( 3 4 ) 2𝑥 = ( 3 4 ) → 2𝑥 = 1 → 𝑥 = 1 2 28. Si (2√7 3 ) 𝑥 = 3136, entonces el valor de 𝑥2 + 1 es a) 32 b) 29 c) 76 d) 23 e) 37 Resolución (2√7 3 ) 𝑥 = 3136 √23. 7 3 𝑥 = 562 → 56 𝑥 3 = 562 𝑥 3 = 2 → 𝑥 = 6 Luego 𝑥2 + 1 = 62 + 1 = 37 29. Si (625)3 𝑎 = (125)4 𝑎 y 7 𝑏3 = (343)3 Hallar 𝐸 = 𝑎3 − 𝑏 3 2 a) -3 b) -2 c) -1 d) 0 e) 2 Resolución 54.3 𝑎 = 53.4 𝑎 → 4. 3 𝑎 = 3. 4 𝑎 𝑎 = 1 7 𝑏3 = (73)3 → 𝑏3 = 9 → 𝑏 3 2 = 3 𝐸 = 𝑎3 − 𝑏 3 2 = 13 − 3 = −2 30. Si 𝑥8−8 𝑥 = 8, hallar 𝐸 = √ 𝑥 3𝑥 a) 2√2 3 b) 2 c) √3 3 d) 2 e) √2 3 Resolución 𝑥 1 88 𝑥 = 8 → (𝑥 1 88 𝑥 ) 88 𝑥 = 888 𝑥 √ 𝑥 𝑥 √ 𝑥 𝑥 √𝑥 𝑥 𝑥 = 888 𝑥 → √ 𝑥 𝑥 = 8 𝐸 = √√ 𝑥 𝑥3 = √8 3 → 𝐸 = 2 … sigan practicando…
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